7.2.2復數(shù)的乘、除運算課程：高中數(shù)學教材：高中數(shù)學人教A版必修第二冊章節(jié)：7.2.2復數(shù)的乘、除運算教材分析本節(jié)課介紹了復數(shù)的乘法與除法運算規(guī)則，通過代數(shù)形式推導出(a+b學情分析針對本節(jié)知識內(nèi)容和學生認知水平而言，學生已掌握實數(shù)的四則運算、多項式的乘法運算以及平方根與方程的基本概念，對復數(shù)的定義及代數(shù)形式z=a+bi（a教學目標理解復數(shù)乘法的運算規(guī)則，能夠按照多項式乘法法則進行復數(shù)乘法運算，達到數(shù)學運算核心素養(yǎng)水平一的要求。掌握復數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和分配律，能夠運用這些運算律簡化復數(shù)運算過程，達到邏輯推理核心素養(yǎng)水平二的要求。理解復數(shù)除法的運算原理，能夠通過有理化分母的方法進行復數(shù)除法運算，達到數(shù)學運算核心素養(yǎng)水平二的要求。能夠區(qū)分實數(shù)運算與復數(shù)運算的異同，理解復數(shù)運算是實數(shù)運算的推廣，達到數(shù)學抽象核心素養(yǎng)水平一的要求。能夠運用復數(shù)運算解決簡單的數(shù)學問題，體會復數(shù)運算的實際意義，達到數(shù)學建模核心素養(yǎng)水平一的要求。重點難點教學重點：復數(shù)乘法的運算法則及其運算律，復數(shù)除法的定義與化簡方法。

教學難點：復數(shù)除法中分母實數(shù)化的原理，共軛復數(shù)在運算中的應(yīng)用。課堂導入同學們，之前我們學習了復數(shù)的加減法，知道它與多項式加減法類似。那大家思考一下，如果遇到復數(shù)的乘法和除法運算，又該如何進行呢？就像我們之前在實數(shù)運算中，從加減擴展到乘除一樣，復數(shù)運算也必然要豐富起來。比如，在一些物理問題中，涉及到向量的旋轉(zhuǎn)等情況，就可能會用到復數(shù)乘法?，F(xiàn)在假設(shè)我們有兩個復數(shù)z1=2+3i，z2復數(shù)的乘法運算探究新知（一）知識精講

復數(shù)的乘法運算是復數(shù)代數(shù)運算中的基本內(nèi)容。設(shè)兩個復數(shù)分別為z1=a+bi和z2=c+di，其中a,b,c,d∈R，則它們的積按照如下法則進行計算：

(a+bi)(c+di復數(shù)的乘法滿足三條基本運算律：對于任意復數(shù)z1,z2,z3∈C，有：

交換律：z1這些運算律表明，復數(shù)集在加法和乘法下保持良好的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其運算規(guī)則延續(xù)了實數(shù)運算的基本特征。特別地，當兩個復數(shù)的虛部均為零時，即它們?yōu)閷崝?shù)，其復數(shù)乘積與實數(shù)乘積一致，體現(xiàn)了復數(shù)系對實數(shù)系的自然推廣。（二）師生互動

教師提問：我們已經(jīng)知道復數(shù)乘法類似于多項式乘法，那么請你嘗試計算(1+2i)(3?i)，并說明每一步的操作依據(jù)是什么？

學生回答：先按多項式乘法展開：(1)(3)+(1)(?i)+(2（三）設(shè)計意圖

通過引導學生從已有的多項式乘法經(jīng)驗出發(fā)，類比推導復數(shù)乘法的運算法則，幫助學生理解新知識的生成邏輯，實現(xiàn)由舊知向新知的平穩(wěn)過渡。在公式推導過程中強調(diào)i2=?新知應(yīng)用例3題目：計算(1解答：我們按照復數(shù)乘法的運算法則，從左到右依次進行計算。第一步：先計算前兩個復數(shù)的積((注意到i2=?繼續(xù)化簡：

3第二步：將結(jié)果與第三個復數(shù)相乘((再次使用i2=?合并實部和虛部：

?最終結(jié)果為：

(總結(jié)1.題目考查內(nèi)容①復數(shù)的乘法運算規(guī)則；

②多個復數(shù)連續(xù)相乘的順序與分步計算能力；

③熟練運用i2=2.題目求解要點①復數(shù)相乘類比多項式相乘，逐項展開后合并同類項；

②每一步都要及時將i2替換為?1，避免符號錯誤；

③例4題目：計算：

(1)(2+3解答：(1)計算(這個形式是共軛復數(shù)相乘，可以套用平方差公式：(令a=2，(由于i24(2)計算(使用完全平方公式：(令a=1，(又因為i21最終結(jié)果為：(1)13(2)2總結(jié)1.題目考查內(nèi)容①共軛復數(shù)的乘積（即模的平方）；

②利用乘法公式簡化復數(shù)運算；

③常見恒等式在復數(shù)范圍內(nèi)的應(yīng)用（如平方差、完全平方公式）。2.題目求解要點①當出現(xiàn)形如(a+bi)(a?bi)時，直接使用公式a2+b2可快速得出結(jié)果；新知鞏固題目：已知復數(shù)z=2+i3?4i，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

解答：我們要求復數(shù)z=由于分母是復數(shù)，我們需要將分母實數(shù)化，即對分子和分母同時乘以分母的共軛復數(shù)。分母為3?4i所以：

z先計算分母：

(再計算分子：

(2+i)(3因此：

z這個復數(shù)的實部是225>0，虛部是11答案：A總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查復數(shù)的除法運算（通過乘以共軛復數(shù)實現(xiàn)），以及復數(shù)在復平面內(nèi)的幾何意義——根據(jù)實部和虛部的正負判斷所在象限。2.題目求解要點復數(shù)除法的關(guān)鍵是分母實數(shù)化，方法是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)。正確進行復數(shù)乘法運算，注意i2得到標準形式z=a+bi3.同類型題目解題步驟若給出復數(shù)的商形式z=a+分別計算分子和分母的乘積：分母：(c分子：按多項式乘法展開，合并實部與虛部，注意i將結(jié)果寫成標準代數(shù)形式z判斷實部a和虛部b的正負：實部>0，虛部>0→第一象限實部<0，虛部>0→第二象限實部<0，虛部<0→第三象限實部>0，虛部<0→第四象限復數(shù)的除法運算探究新知（一）知識精講

復數(shù)的除法運算是復數(shù)代數(shù)形式運算的重要組成部分。對于兩個復數(shù)a+bi和c+di（其中a,b,c,d∈R，且c+di≠0），它們的商定義為：

(a于是有：

a+bic+di=(a+bi)(c圖示：通過乘以共軛復數(shù)實現(xiàn)分母實數(shù)化的過程示意（二）師生互動

教師提問：我們已經(jīng)知道，共軛復數(shù)在復數(shù)除法中起到了關(guān)鍵作用。那么，請思考一下，為什么一定要選擇c?di作為乘數(shù)？能否選擇其他的復數(shù)來使分母變成實數(shù)？

學生可能回答：因為(c+di)(c?di)=c2+d2是實數(shù)，而如果選其他復數(shù)，比如c+di本身，乘積就是模的平方再乘以原數(shù)，仍然不是實數(shù)。

教師追問：很好。那是否只有共軛復數(shù)才能實現(xiàn)這一目的？是否存在另一個不同于c?di的復數(shù)z，使得(c+di)?z也是實數(shù)？

引導分析：設(shè)z=x+yi，要求（三）設(shè)計意圖

通過引導學生理解復數(shù)除法中分母實數(shù)化的必要性和實現(xiàn)路徑，幫助學生掌握復數(shù)代數(shù)運算的基本技能，達成知識目標中對復數(shù)除法法則的理解與應(yīng)用；在推導過程中強調(diào)共軛復數(shù)的作用，培養(yǎng)學生從代數(shù)結(jié)構(gòu)出發(fā)進行邏輯推理的能力，促進其代數(shù)思維的發(fā)展；通過設(shè)置層層遞進的問題，鼓勵學生在已有知識基礎(chǔ)上主動探究、比較與辨析，形成以問題驅(qū)動為主的自主學習方式；同時，在討論“為何選擇共軛復數(shù)”這一問題時，滲透數(shù)學選擇中的簡潔性與合理性原則，引導學生體會數(shù)學運算中形式美與實用性的統(tǒng)一，增強對數(shù)學本質(zhì)的理解和價值認同。新知應(yīng)用無例題內(nèi)容提供，僅給出復數(shù)除法的定義與運算方法說明，未包含具體例題。根據(jù)任務(wù)規(guī)則，若教材中沒有例題，則不生成任何內(nèi)容。（不生成內(nèi)容）新知鞏固題目：第1題：已知復數(shù)z滿足(1?i)z=1+解答：我們從方程(1?i)zz為了化簡這個復數(shù)除法，我們將分子和分母同時乘以分母的共軛復數(shù)1+z先計算分母：(再計算分子：(所以：z因此，z接下來求z我們知道虛數(shù)單位i的冪具有周期性，周期為4：iiiii5計算指數(shù)除以4的余數(shù)：2026所以：i答案是：?總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查復數(shù)的除法運算、共軛復數(shù)的應(yīng)用、以及虛數(shù)單位i的冪的周期性。2.題目求解要點利用復數(shù)除法法則：分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，實現(xiàn)分母實數(shù)化。熟記i的四次循環(huán)規(guī)律：i,正確進行復數(shù)乘法與平方運算。3.同類型題目解題步驟將復數(shù)方程變形為z=a+分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)c?d展開并化簡，得到標準形式z=x若需計算zn，觀察是否為i或單位根形式，利用周期性簡化；計算指數(shù)模4的結(jié)果，對應(yīng)查表得出最終值。題目：第2題：已知復數(shù)z=3+i解答：我們要求復數(shù)z的模：∣根據(jù)復數(shù)模的性質(zhì)：∣所以：∣先計算分子：∣再計算分母中的復數(shù)模：∣所以分母為：∣因此：∣答案是：1總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查復數(shù)模的運算性質(zhì)，特別是商的模等于模的商，以及復數(shù)模的定義。2.題目求解要點掌握公式：∣z∣=a2理解∣z注意分母是平方形式，應(yīng)先求模再平方。3.同類型題目解題步驟若題目只需求模，優(yōu)先考慮使用模的運算性質(zhì)，避免復雜化簡；分別計算分子和分母的模；利用∣zn∣化簡分數(shù)即得結(jié)果。題目：第3題：復數(shù)z=(解答：先化簡z先算分子：(所以：z將分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)1?z所以z其共軛復數(shù)為：?答案是：?總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查復數(shù)的乘方、除法運算及共軛復數(shù)的概念。2.題目求解要點正確展開復數(shù)平方；使用共軛復數(shù)進行分母實數(shù)化；共軛復數(shù)是將虛部變號。3.同類型題目解題步驟先化簡原式，按順序計算冪、乘除；進行復數(shù)除法時，分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)；化為標準形式a+b取共軛復數(shù)：a?bi或題目：第4題：已知a∈R，i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=(3+i)解答：先展開z使用乘法分配律：z注意i2=?所以：z即：z已知z為純虛數(shù)，說明實部為0：6代入虛部：?所以z其共軛復數(shù)z則模為：∣答案是：20總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查復數(shù)乘法、純虛數(shù)的定義（實部為0）、共軛復數(shù)與模的計算。2.題目求解要點正確展開兩個復數(shù)的乘積；純虛數(shù)條件：實部為0，由此列方程求參數(shù)；共軛復數(shù)改變虛部符號，但模不變（∣z3.同類型題目解題步驟展開復數(shù)表達式，整理成a+bi根據(jù)“實部為0”或“虛部為0”等條件建立方程求參數(shù)；代入求出z，再求z或∣z∣注意∣z∣=∣題目：第5題：已知復數(shù)z1，z2滿足解答：已知條件：∣這是一個關(guān)于復數(shù)模的等式。我們嘗試通過構(gòu)造或代入選項來分析?？紤]使用復數(shù)模的平方來去掉絕對值（更易處理）：兩邊平方：∣利用公式：∣左邊：∣右邊：∣令左右兩邊相等：∣兩邊都有?z∣移項：∣令x=∣z1∣2，則：x變形：x所以：x=1或即：∣z1∣2=1或∣z答案是：∣z1∣=總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查復數(shù)模的性質(zhì)、共軛運算、模的平方展開以及代數(shù)恒等變形能力。2.題目求解要點利用∣z∣注意z1通過代數(shù)化簡得到關(guān)于模長的關(guān)系式；最終轉(zhuǎn)化為邏輯“或”的關(guān)系。3.同類型題目解題步驟遇到復數(shù)模的等式，優(yōu)先考慮兩邊平方；使用∣z∣2利用共軛運算法則化簡表達式；整理成關(guān)于∣z1∣、∣因式分解或配方，得出模長關(guān)系（如等于1）。板書設(shè)計復數(shù)的乘法與除法運算

├─乘法法則

│├─定義：(a+bi)(c+di)=(ac?bd)+(ad+bc)i

│├─運算步驟

││├─按多項式乘法展開

││└─將i2替換為?1，合并實部與虛部

│└─性質(zhì)

│├─交換律：z1z2=z2z1

│├─結(jié)合律：(z1z教學反思本教學設(shè)計圍繞復數(shù)的乘法與除法運算展開，先規(guī)定復數(shù)乘法法則，類比多項式相乘引導學生理解，再闡述乘法運算律，之后講解復數(shù)除法法則及運算方法。本課程基本完成教學任務(wù)，多數(shù)學生能掌握運算規(guī)則。成功之處在于通過類比多項式相乘幫助學生理解乘法運算，降低學習難度；且清晰呈現(xiàn)除法運算分母“實數(shù)化”的過程，便于學生掌握。不足之處在于，對復數(shù)乘法運算律的推導過程可能講解不夠深入，部分學生理解不透徹；且在除法運算練習環(huán)節(jié)，留給學生思考和自主探究的時間不足，不利于學生思維拓展。課堂練習第1題【題文】若z+iz=2A．3B．5C．5D．2【答案】B第2題【題文】已知復數(shù)z=3+4iA．4B．2C．2D．4【答案】B第3題【題文】若復數(shù)z滿足(1?i)zA．?B．1C．1D．?【答案】A課前任務(wù)1.知識回顧

上節(jié)課我們學習了復數(shù)的加減法：(a+bi)±(c2.預習教材

閱讀教材中關(guān)于復數(shù)乘除法的內(nèi)容。復數(shù)乘法遵循多項式乘法原則，再將i2替換為?1，如(a+b3.問題思考