7.3.1復數(shù)的三角表示式課程：高中數(shù)學教材：高中數(shù)學人教A版必修第二冊章節(jié)：7.3.1復數(shù)的三角表示式教材分析本節(jié)課通過復數(shù)與復平面內(nèi)向量的對應關(guān)系，引導學生從幾何角度出發(fā)，利用向量的模r和方向角θ表示復數(shù)，從而引出復數(shù)的三角形式r(cosθ學情分析針對本節(jié)知識內(nèi)容和學生認知水平而言，學生已掌握復數(shù)的代數(shù)形式及其幾何意義，理解復數(shù)與復平面內(nèi)點、平面向量的一一對應關(guān)系，并熟悉向量的模與坐標運算，具備三角函數(shù)的基本知識如cosθ、sinθ的定義及單位圓中的應用，這為從向量的模和方向引入復數(shù)的三角表示奠定了基礎；高中生正處于邏輯思維迅速發(fā)展的階段，具備一定的抽象概括能力和數(shù)形結(jié)合意識，但對輻角概念的多值性及主值規(guī)定的理解仍可能存在困惑；本節(jié)課要求學生能由復數(shù)的幾何表示出發(fā)，借助向量的模r和輻角θ推導出復數(shù)的三角形式教學目標理解復數(shù)三角表示式的概念，能夠解釋復數(shù)模和輻角的幾何意義，達到數(shù)學抽象核心素養(yǎng)水平一的要求。掌握復數(shù)代數(shù)形式與三角形式的互化方法，能夠根據(jù)運算需求進行形式轉(zhuǎn)換，達到數(shù)學運算核心素養(yǎng)水平二的要求。能夠通過復數(shù)的幾何表示，理解復數(shù)與向量的對應關(guān)系，達到直觀想象核心素養(yǎng)水平一的要求。理解輻角主值的定義，能夠計算非零復數(shù)的輻角主值，達到邏輯推理核心素養(yǎng)水平一的要求。能夠運用復數(shù)相等的條件，判斷兩個非零復數(shù)是否相等，達到邏輯推理核心素養(yǎng)水平二的要求。重點難點教學重點：復數(shù)的三角形式定義，即z=r(cosθ+isinθ課堂導入同學們，之前我們學習了復數(shù)的代數(shù)形式a+bi，它與復平面內(nèi)的點及向量緊密相關(guān)?，F(xiàn)在思考這樣一個問題，假如我們在航海中，要描述船只的位置，用方向和距離是不是更方便呢？同樣的道理，復數(shù)作為數(shù)學中的“特殊量復數(shù)的三角表示式探究新知（一）知識精講

我們知道，復數(shù)z=a+bi（其中a,b∈R）在復平面上可以對應一個點如圖所示，向量OZ不僅可以用坐標(a,b)來刻畫，還可以通過它的模和方向來唯一確定。向量的模即為復數(shù)的模，記作：

r=∣OZ∣=∣a+bi∣=a2+b2.

而向量的方向，可以通過以由三角函數(shù)的定義，在直角三角形中可得：

{a=rcosθ,b=rsinθ.

將上述兩式代入復數(shù)的代數(shù)形式z=一般地，任何一個復數(shù)z=a+bi都可以寫成r(cosθ+isinθ)的形式，其中r=a2+b2≥0是復數(shù)z的模，θ是復數(shù)z需要注意的是，任何一個不等于零的復數(shù)都有無窮多個輻角，它們之間相差2π的整數(shù)倍。例如，若θ0是一個輻角，則所有輻角可表示為θ0+2kπ（k∈Z）。為了統(tǒng)一表示，我們規(guī)定在區(qū)間[0,2π)每一個非零復數(shù)由其模和輻角主值唯一確定。因此，兩個非零復數(shù)相等，當且僅當它們的模相等且輻角的主值相等。（二）師生互動

師：剛才我們看到，復數(shù)不僅可以像a+bi這樣用代數(shù)形式表示，還能用模和輻角寫成三角形式。那么請大家思考：如果已知一個復數(shù)的三角形式z=r(cosθ+isinθ)，我們能否還原出它的實部和虛部？

生：可以，根據(jù)公式a=rcosθ，b=rsinθ，就能求出實部和虛部。

師：很好！那反過來，如果我們有一個代數(shù)形式的復數(shù)，比如z=?1+3i，你能嘗試把它化為三角形式嗎？關(guān)鍵是要找什么？

（三）設計意圖

通過引導學生回顧復數(shù)與向量之間的對應關(guān)系，借助幾何直觀建立復數(shù)模與輻角的概念，使學生理解復數(shù)除了代數(shù)表達外還可以用三角形式表示，達成對復數(shù)本質(zhì)的多角度認識。在推導過程中保留完整的代數(shù)變換邏輯，強化學生對公式來源的理解，避免機械記憶。通過設置層層遞進的問題鏈，促進學生在已有三角函數(shù)和向量知識的基礎上進行遷移與整合，提升其數(shù)學抽象和邏輯推理能力。采用“問題驅(qū)動—觀察分析—歸納總結(jié)”的學習路徑，鼓勵學生主動參與概念建構(gòu)過程，體會數(shù)形結(jié)合的思想價值。整個設計注重基礎知識的嚴謹表述，同時滲透數(shù)學表達形式多樣化的觀念，幫助學生形成結(jié)構(gòu)化的知識體系，并為后續(xù)學習復數(shù)的乘除運算及棣莫弗定理奠定認知基礎。新知應用例1題目：畫出下列復數(shù)對應的向量，并把這些復數(shù)表示成三角形式：

(1)12+3解答：(1)復數(shù)z=12+32i對應的點為Z(12,32)，在復平面上位于第一象限。

我們先求其模：

r=∣z∣=(12)2+(32)(2)復數(shù)z=1?i對應的點為Z(1,?1)，位于第四象限。

計算模：

r=∣z∣=12+(?1)2=2

求輻角：

cos總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①復數(shù)的代數(shù)形式向三角形式的轉(zhuǎn)化；

②復數(shù)的模與輻角的計算；

③輻角主值的概念及其在不同象限的確定方法；

④復數(shù)與復平面向量的幾何對應關(guān)系。2.題目求解要點①先計算復數(shù)的模r=a2+b2；

②利用cosθ=ar,sinθ=br確定角度；

③例2題目：分別指出下列復數(shù)的模和一個幅角，畫出它們對應的向量，并把這些復數(shù)表示成代數(shù)形式：

(1)cosπ+i解答：(1)給定復數(shù)為cosπ+isinπ。

直接讀出：模r=1，一個輻角θ=π。

利用三角函數(shù)值：

cosπ=(2)給定復數(shù)為6(cos11π6+isin11π6)。

模r=6，一個輻角θ=11π6總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①復數(shù)三角形式向代數(shù)形式的轉(zhuǎn)化；

②特殊角的三角函數(shù)值的應用；

③復數(shù)模與輻角的識別；

④三角表示式與幾何向量的對應關(guān)系。2.題目求解要點①從三角形式中直接提取模r和輻角θ；

②分別計算rcosθ和rsinθ得到實部與虛部；

③熟記常見角度（如π6,π4,π3,11新知鞏固題目：復數(shù)?i的一個立方根是i，它的另外兩個立方根是（）

A．32±12i

B．?32解答：已知復數(shù)?i的一個立方根是i，即：

i3=i2?i=(?我們要求的是方程：

z3=我們可以將?i首先，復數(shù)?i對應的點在復平面上為(模：r輻角：終邊在負虛軸上，主值為θ所以：

?利用棣莫弗定理，三次方程z3=?i分別代入：當k=0：

z當k=1：

z1=cos(當k=2：

z2=cos(因此，另外兩個立方根是：

32?12對應選項D。總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查復數(shù)的三角表示式及其運算，重點是利用復數(shù)的三角形式結(jié)合棣莫弗定理求解復數(shù)的立方根。2.題目求解要點將復數(shù)?i化為三角形式：模為1，輻角主值為3利用公式zk=cos(θ+正確計算三角函數(shù)值，注意角度化簡與象限判斷；驗證已知根并找出其余兩個根。3.同類型題目解題步驟將目標復數(shù)z化為三角形式：z=r(cosθ+i使用n次方根公式：

z分別代入k值，計算每個根的三角函數(shù)值；化簡得到代數(shù)形式；根據(jù)題目條件選擇或排除特定根。題目：已知復數(shù)z滿足：∣z∣=1，且1+z+z2+z3為純虛數(shù)，則這樣的復數(shù)z共有（）個。

A．1解答：已知∣z∣=1，說明z在單位圓上，可設：

考慮表達式：

S=1+z+z2+z當z≠1時，可用等比求和公式：

S令：

S=1+(cosθ+i題目要求S為純虛數(shù)，即實部為0：

1使用三角恒等變換簡化。先回憶倍角公式：coscos但我們也可以嘗試用和差化積或其他技巧。觀察發(fā)現(xiàn)，可以分組：

(利用公式：1cos所以：

Re又因為cos2θ=令x=cosθ，則：

Re(S)解得：x或2所以：xxx即cosθ=0、接下來逐個分析這些情況，并驗證對應的S是否為純虛數(shù)（實部為0已滿足，只需確認虛部存在即可，但要注意不能遺漏或重復）。情況一：cos則θ=π2,3若θ=π2，則z=i

S=若θ=3π2，則z兩個都成立。情況二：cos則θθ=π計算實部我們已經(jīng)保證為0，只需確認不是實數(shù)即可（但題目只要求純虛數(shù)，包括0）但我們要驗證是否真的滿足原式實部為0——實際上我們是從方程推導出的解，所以應滿足。不過為了嚴謹，快速驗證：cos實部：

1+1虛部：

sinπ3=32θ=5cos實部仍為0。虛部：

sin5π3=?這兩個也成立。情況三：cos則θ=π計算：

S=1綜上，滿足條件的θ有：π3π5π共5個角度？不對！但我們之前解的是cosθcosθ=cosθ=cosθ=?1總共5個？但答案選項最多到4。問題出在哪？我們需注意：雖然代數(shù)解出了三個cosθ值，但必須確保這些解確實使原始實部為0，且z但我們再檢查一下：是否所有解都滿足？前面計算顯示都滿足實部為0，且S為純虛數(shù)。但讓我們重新審視：我們是從：

Re(S)=1+cosθ+但我們必須注意：這個多項式是基于恒等變換得到的，是否等價？讓我們代入θ=πcoscoscos3π=?θ=θ=θ=π2：cos=θ=3π2：cos所以五個角都滿足實部為0。但為什么答案是B（2個）？等等！我們忽略了什么？題目說：“1+z+z2+但再看：我們有5個解？但選項最大是4。矛盾。問題在于：我們解方程時假設了什么？關(guān)鍵：我們在化簡Re(S或者，我們犯了一個錯誤：在使用cosθ+但讓我們換一種方式驗證總數(shù)?？紤]z在單位圓上，∣z∣=則：

S當z=1時，所以z≠令S要使S為純虛數(shù)，即Re也可以考慮S但更簡單的方法是：設z=ei但我們回到實部條件：

1使用求和公式：

∑這里a=0,但這較復雜。我們回到數(shù)值驗證。列出所有可能的θ使得實部為0：從上面分析，我們有五個候選：θθθθθ但注意：當θ=π，z=但問題是：這些對應的z是否互不相同？是的。但答案給的是B（2個），說明我們哪里錯了。關(guān)鍵點：題目中“這樣的復數(shù)z”是指滿足兩個條件的：∣1+z但我們忽略了：當z=1但讓我們重新計算θ=π時：

z=?1，z但為何答案是2？或許我們誤解了“純虛數(shù)”的定義？有些教材定義純虛數(shù)為“實部為0且虛部不為0”，即不包括0。但數(shù)學上，0既是實數(shù)又是純虛數(shù)。但在此類題目中，有時默認純虛數(shù)指非零純虛數(shù)。我們查證：若允許S=z=iz=?z=?這三個都使S再加上：z=12±i所以共5個。但選項無5。說明我們的方程解多了。回頭檢查代數(shù)推導：我們有：

Re這是正確的。然后代入cos2θ=令為0：

2正確。但注意：當cosθ=當cosθ=當cosθ=共5個。但也許題目中的“純虛數(shù)”排除了0？即使如此，θ=π3,5π3而θ=π2,如果“純虛數(shù)”要求虛部非零，則只保留π3,5這正是選項B。因此，本題中“純虛數(shù)”應理解為“非零純虛數(shù)”或至少排除零的情況，盡管數(shù)學上0是純虛數(shù)，但在競賽或題設語境中常特指非零。所以最終答案為：2個?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查復數(shù)的三角表示、單位圓上的復數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)求和以及純虛數(shù)的判定，涉及代數(shù)與三角的綜合應用。2.題目求解要點設z=cosθ+分離實部與虛部，根據(jù)“純虛數(shù)”條件令實部為0；化簡實部表達式，解關(guān)于cosθ求出所有可能的θ，代入驗證；注意S=0是否被接受為純虛數(shù)3.同類型題目解題步驟利用∣z∣=1設將目標表達式展開，分離實部和虛部；根據(jù)條件（如實部為0）建立三角方程；使用三角恒等式化簡并求解；求出所有θ∈[0,2π驗證每個解是否滿足原條件，特別注意邊界情況（如z=1）和S=0是否符合“統(tǒng)計符合條件的復數(shù)個數(shù)。板書設計復數(shù)的三角表示式

├─幾何背景

│├─復數(shù)z=a+bi對應點Z(a,b)

│├─對應向量OZ=(a,b)

│└─由模和方向唯一確定

├─三角形式定義

│├─模：r=∣z∣=a2+b2

│├─輻角θ：以x軸非負半軸為始邊，OZ為終邊的角

│├─坐標關(guān)系：

││├─a=rcosθ

││└─b=rsinθ

│└─三角表示式：z=r(cosθ+isinθ)

├─相關(guān)概念

│├─輻角（argument）：θ，有無窮多個，相差2kπ（k∈Z）

│├─輻角主值：argz，規(guī)定教學反思本教學設計從復數(shù)的幾何意義出發(fā)，引導學生探究能否用向量的大小和方向表示復數(shù)，進而得出復數(shù)的三角表示式，包括模、輻角等概念，還提及代數(shù)形式與三角形式的互化及復數(shù)相等條件。通過教學，基本完成教學任務，多數(shù)學生能理解復數(shù)三角表示式的概念。成功之處在于借助向量知識引導探究，讓學生理解更順暢；不足之處在于對復數(shù)輻角概念的講解，可能部分學生理解不夠深入，且在復數(shù)兩種形式互化練習環(huán)節(jié)，留給學生思考時間不足，導致部分學生掌握不扎實。課堂練習第1題【題文】復數(shù)z=cosπ15+isA．3B．1C．?D．?【答案】D第2題【題文】已知復數(shù)z滿足：∣z∣=1，1+zA．1B．2C．3D．4【答案】B第3題【題文】若復數(shù)z1=1+i,zA．2B．2C．2D．3【答案】C課前任務1.知識