10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算課程：高中數(shù)學(xué)教材：高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)章節(jié)：10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算教材分析本節(jié)課通過(guò)擲骰子試驗(yàn)中的具體事件，引導(dǎo)學(xué)生用集合表示隨機(jī)事件，借助集合的關(guān)系與運(yùn)算探究事件之間的包含、并、交、互斥與對(duì)立關(guān)系，從而建立事件運(yùn)算的數(shù)學(xué)模型。教學(xué)過(guò)程以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，通過(guò)實(shí)例分析、歸納總結(jié)，幫助學(xué)生從直觀感知上升到理論認(rèn)識(shí)。該內(nèi)容承接了樣本空間與隨機(jī)事件的概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)概率的加法公式及古典概型的概率計(jì)算奠定了基礎(chǔ)。通過(guò)對(duì)事件關(guān)系與運(yùn)算的理解，學(xué)生能夠提升抽象思維與邏輯推理能力，增強(qiáng)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的刻畫(huà)能力，并為系統(tǒng)學(xué)習(xí)概率論相關(guān)知識(shí)提供必要的工具支持。學(xué)情分析針對(duì)本節(jié)知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知水平而言，學(xué)生已在初中階段學(xué)習(xí)了集合的基本概念、子集、交集、并集、補(bǔ)集等運(yùn)算，并在前期概率學(xué)習(xí)中掌握了隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、基本事件與隨機(jī)事件的定義，具備用集合表示事件的初步能力，高中階段對(duì)抽象符號(hào)的理解和邏輯推理能力逐步提升，能夠接受事件之間的包含、并、交、互斥與對(duì)立等關(guān)系的集合化表達(dá)，但對(duì)事件運(yùn)算的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性仍需加強(qiáng)，本節(jié)課通過(guò)擲骰子等具體實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生將事件關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合運(yùn)算，幫助學(xué)生建立事件運(yùn)算的直觀模型，提升邏輯思維能力和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率公式和運(yùn)算法則奠定基礎(chǔ)。教學(xué)目標(biāo)理解事件包含關(guān)系的概念，能夠用集合語(yǔ)言描述事件間的包含關(guān)系，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)水平一的要求。掌握并事件和交事件的定義，能夠通過(guò)具體實(shí)例分析事件間的運(yùn)算關(guān)系，達(dá)到邏輯推理核心素養(yǎng)水平二的要求。理解互斥事件和對(duì)立事件的概念，能夠區(qū)分兩者的異同，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng)水平二的要求。能夠運(yùn)用集合運(yùn)算分析復(fù)雜事件的關(guān)系，建立概率計(jì)算的基礎(chǔ)，達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平一的要求。通過(guò)具體實(shí)例理解多個(gè)事件的和事件與積事件，能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的概率推理，達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)水平二的要求。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：事件的包含、并、交、互斥與對(duì)立關(guān)系及其集合表示，利用集合運(yùn)算研究事件關(guān)系。

教學(xué)難點(diǎn)：事件的并、交運(yùn)算的理解，對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別與聯(lián)系。課堂導(dǎo)入同學(xué)們，在生活中我們經(jīng)常會(huì)遇到各種隨機(jī)情況，比如抽獎(jiǎng)。假設(shè)一個(gè)抽獎(jiǎng)箱里有編號(hào)1-10的十個(gè)球，從中隨機(jī)抽取一個(gè)。設(shè)事件A為“抽到編號(hào)小于5的球”，事件B為“抽到編號(hào)為偶數(shù)的球”。大家思考下，如果抽到了2號(hào)球，這兩個(gè)事件如何體現(xiàn)？若用集合表示，A={1,2,3,4}，B=事件的關(guān)系和運(yùn)算探究新知（一）知識(shí)精講

在隨機(jī)試驗(yàn)中，每一個(gè)隨機(jī)事件都可以看作樣本空間的一個(gè)子集。通過(guò)將事件表示為集合，我們可以借助集合之間的關(guān)系與運(yùn)算來(lái)研究事件之間的聯(lián)系，從而為概率的計(jì)算和性質(zhì)分析提供有力工具。首先，考慮兩個(gè)事件之間的包含關(guān)系。例如，在擲骰子試驗(yàn)中，事件C1=“點(diǎn)數(shù)為1”對(duì)應(yīng)的集合是{1}，事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”對(duì)應(yīng)的集合是{1,3,5}。顯然，當(dāng)點(diǎn)數(shù)為1時(shí)，這個(gè)結(jié)果也屬于奇數(shù)，因此如果事件C1發(fā)生，那么事件G一定發(fā)生。這種關(guān)系用集合語(yǔ)言表達(dá)就是{1}?{1,3,5}，即C1?G。一般地，若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A其次，考慮事件的并（或和）運(yùn)算。以事件E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”，對(duì)應(yīng)集合{1,2}，事件E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”，對(duì)應(yīng)集合{2,3}，它們的并集{1,2}∪{2,3}={1,2,3}正好對(duì)應(yīng)事件D1=“點(diǎn)數(shù)不大于3”。這說(shuō)明：只要E1或E2中至少有一個(gè)發(fā)生，就等價(jià)于D1再來(lái)看事件的交（或積）運(yùn)算。仍以E1={1,2}和E2={2,3}為例，它們的交集{1,2}∩{2,3}={2}，恰好對(duì)應(yīng)事件C2=“點(diǎn)數(shù)為2”。這意味著只有當(dāng)E1和E2同時(shí)發(fā)生時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為2的結(jié)果。我們稱這樣的事件為事件E進(jìn)一步地，有些事件之間具有互不相容的特性。例如，事件C3=“點(diǎn)數(shù)為3”對(duì)應(yīng)集合{3}，事件C4=“點(diǎn)數(shù)為4”對(duì)應(yīng)集合{4}，顯然這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，因?yàn)橐淮螖S骰子只能出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)數(shù)。從集合角度看，{3}∩{4}=?，即C3∩C4最后，還有一類(lèi)特殊的互斥關(guān)系——對(duì)立事件。例如，事件F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”對(duì)應(yīng)集合{2,4,6}，事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”對(duì)應(yīng)集合{1,3,5}。觀察可知，每次試驗(yàn)中，點(diǎn)數(shù)要么是偶數(shù)，要么是奇數(shù)，二者必居其一，且不能同時(shí)成立。從集合角度看，F(xiàn)∪G={1,2,3,4,5,6}=Ω，且綜上所述，事件之間的基本關(guān)系和運(yùn)算包括：包含、相等、并（和）、交（積）、互斥與對(duì)立，這些都可以通過(guò)集合的語(yǔ)言精確刻畫(huà)，并借助韋恩圖直觀表示。（二）師生互動(dòng)

師：我們已經(jīng)知道，事件可以用集合表示，那么請(qǐng)大家思考：如果事件A?B，是否意味著事件B發(fā)生時(shí)，事件A也一定發(fā)生？為什么？

生：不一定。比如C1={1}?G={1,3,5}，當(dāng)點(diǎn)數(shù)為3時(shí)，G發(fā)生了，但師：很好！那再想一想，如果有三個(gè)事件A,B,C，如何理解A∪師：正確。那么A∩B∩C呢？

生：表示師：非常好?，F(xiàn)在我們來(lái)看一個(gè)問(wèn)題：事件F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”和事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”互為對(duì)立事件，那么是否所有的互斥事件都是對(duì)立事件？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

生：不是。比如C1=“點(diǎn)數(shù)為1”和C（三）設(shè)計(jì)意圖

通過(guò)將隨機(jī)事件表示為樣本空間的子集，引導(dǎo)學(xué)生利用集合的關(guān)系與運(yùn)算來(lái)理解事件之間的邏輯聯(lián)系，有助于實(shí)現(xiàn)從具體實(shí)例到抽象概念的過(guò)渡，達(dá)成對(duì)事件包含、并、交、互斥與對(duì)立等核心概念的本質(zhì)理解。在知識(shí)目標(biāo)上，強(qiáng)調(diào)定義的準(zhǔn)確性與符號(hào)表達(dá)的規(guī)范性，使學(xué)生掌握事件關(guān)系與運(yùn)算的基本語(yǔ)言體系；在能力培養(yǎng)上，通過(guò)對(duì)比分析與反例辨析，提升學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力；在學(xué)習(xí)方式上，采用由具體到抽象、由特殊到一般的認(rèn)知路徑，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與觀察、歸納與反思，促進(jìn)自主建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)；在價(jià)值導(dǎo)向上，突出數(shù)學(xué)模型的統(tǒng)一性與簡(jiǎn)潔性，讓學(xué)生體會(huì)集合思想在概率研究中的工具作用，增強(qiáng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)與信心。新知應(yīng)用例5題目：如圖10.1-9，由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正?；蚴?。設(shè)事件A="甲元件正常"，B="乙元件正常"。

(1)寫(xiě)出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間；

(2)用集合的形式表示事件A、B以及它們的對(duì)立事件；

(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A解答：(1)寫(xiě)出樣本空間

我們考慮甲、乙兩個(gè)元件的工作狀態(tài)，每個(gè)元件有兩種可能：正常（記為1）或失效（記為0）。

因此，整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)可以用一個(gè)有序?qū)?x1x1表示甲元件的狀態(tài)（0或1）x2表示乙元件的狀態(tài)（0或1所有可能的狀態(tài)組合如下：(0,(0,(1,(1所以，樣本空間為：

Ω(2)用集合形式表示事件A、B及其對(duì)立事件

事件A=“甲元件正常”，即無(wú)論乙是否正常，只要甲是正常的。

滿足條件的是：(1,0)和(事件B=“乙元件正?！?，即乙為1，甲任意。

滿足條件的是：(0,1)和(對(duì)立事件是指原事件不發(fā)生的情況。

A表示“甲元件不正?！保醇资В?，對(duì)應(yīng)甲狀態(tài)為0的所有情況：

A同理，B表示“乙元件不正?！保匆沂В瑢?duì)應(yīng)乙狀態(tài)為0的情況：

B(3)求A∪B和A∩B，并說(shuō)明其含義與關(guān)系

先計(jì)算A∪B：

A∪B={(A∪B再計(jì)算A∩B：

A={(0,0),(0,1)A∩B進(jìn)一步分析兩者的關(guān)系：AA顯然，這兩個(gè)事件沒(méi)有公共樣本點(diǎn)，且它們的并集是全集Ω：

(A∪B)∪(A∩B)={(總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間構(gòu)建（特別是多因素組合情形）；

②用集合表示隨機(jī)事件；

③事件的并、交、補(bǔ)運(yùn)算及其實(shí)際意義；

④對(duì)立事件的判斷與識(shí)別。2.題目求解要點(diǎn)①正確列出所有可能結(jié)果構(gòu)成樣本空間，注意順序和完整性；

②明確事件定義中的關(guān)鍵詞（如“甲正?！敝患s束甲的狀態(tài)）；

③利用集合運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行并、交、補(bǔ)操作；

④結(jié)合實(shí)際背景解釋事件含義，并通過(guò)集合關(guān)系判斷是否對(duì)立。例6題目：一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)1和2），2個(gè)綠色球（標(biāo)號(hào)3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球。設(shè)事件：R1="R2="R="兩次都摸到紅球G="兩次都摸到綠球M="兩個(gè)球顏色相同N="兩個(gè)球顏色不同(1)用集合的形式分別寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件；

(2)事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關(guān)系？

(3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件R1與事件R2的交事件與事件R解答：(1)寫(xiě)出樣本空間及各事件的集合表示

由于是不放回地依次摸球，第一次有4種選擇，第二次有3種選擇，共4×3=12種可能結(jié)果。

用有序?qū)1：第一次摸到的球的標(biāo)號(hào)x2所有可能的結(jié)果如下：第一次摸1：可接2、3、4→(第一次摸2：可接1、3、4→(第一次摸3：可接1、2、4→(第一次摸4：可接1、2、3→(所以樣本空間為：

Ω接下來(lái)逐個(gè)寫(xiě)出各事件：R1=“第一次摸到紅球”→紅球標(biāo)號(hào)為1或2→x1=1或2

包含結(jié)果：R2=“第二次摸到紅球”→x2=1或2

包含結(jié)果：R=“兩次都摸到紅球”→第一次和第二次都是紅球（即1或2）

可能情況：(1,2)G=“兩次都摸到綠球”→兩次都是3或4

可能情況：(3,4M=“兩個(gè)球顏色相同”→同紅或同綠

即R∪G=N=“兩個(gè)球顏色不同”→一紅一綠

剩下的所有其他結(jié)果：

(1,3(2)分析事件之間的關(guān)系

①R與R1的關(guān)系

觀察：R={(1,2),(2,1)}，R1={(1,2)②R與G的關(guān)系

R={(1,2),(2,1)}，G=③M與N的關(guān)系

M={(1,M∪NM∩N=?（無(wú)交集）

所以：

M∪N=(3)進(jìn)一步分析復(fù)合事件的關(guān)系

①事件R與事件G的并事件與事件M的關(guān)系

R∪G=事件M是事件R與事件G的并事件，即M②事件R1與事件R2的交事件與事件R的關(guān)系

先求RRR2={(2,1),(3,1),(4,1)總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①不放回抽樣的樣本空間構(gòu)建；

②多個(gè)事件的集合表示方法；

③事件間的包含、互斥、對(duì)立關(guān)系判斷；

④并事件、交事件的實(shí)際意義與集合表達(dá)。2.題目求解要點(diǎn)①準(zhǔn)確列出所有有序結(jié)果作為樣本空間，注意“不放回”導(dǎo)致不可重復(fù)；

②根據(jù)事件描述提取符合條件的樣本點(diǎn)，注意區(qū)分“第一次”“第二次”；

③利用集合的子集、交集為空、并集為全集等判斷事件關(guān)系；

④理解“顏色相同”是由“同紅”和“同綠”構(gòu)成的并事件，“兩次都紅”是“第一次紅”和“第二次紅”的交事件，體現(xiàn)復(fù)雜事件由簡(jiǎn)單事件組合而成的思想。新知鞏固題目：第1題：先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件A=“第一枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件B=“第二枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，則（??）

A．A與B互斥

B．A與B對(duì)立

C．A與B相互獨(dú)立

D．A與B解答：我們來(lái)逐項(xiàng)分析每個(gè)選項(xiàng)。首先明確試驗(yàn)背景：先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，每枚骰子的點(diǎn)數(shù)為1到6，且各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性相等。

樣本空間Ω包含6×6=36個(gè)基本結(jié)果，形如(i定義事件：A=“第一枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”→第一枚為2、4、6，即i∈{2,4,6}，j任意。B=“第二枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”→第二枚為1、3、5，即j∈{1,3,5}，i現(xiàn)在分析選項(xiàng)：A．A與B互斥？

互斥是指兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即A∩B=?。

但我們可以舉出一個(gè)例子：第一枚是2（偶數(shù)），第二枚是1（奇數(shù)），對(duì)應(yīng)結(jié)果(2,1)既屬于A也屬于B。

B．A與B對(duì)立？

對(duì)立事件要求：A∪B=Ω且A∩B=?。

但我們已經(jīng)知道A∩B≠?，而且A∪B也不等于整個(gè)樣本空間（例如(1,2)不屬于A也不屬于B嗎？不對(duì)：(C．A與B相互獨(dú)立？

兩個(gè)事件獨(dú)立的定義是：P(A∩B)=P(A)?P(B)。

先計(jì)算A∩B：第一枚為偶數(shù)，第二枚為奇數(shù)。

滿足條件的有：i∈{2,D．A與B相等？

相等意味著A=B，即兩個(gè)事件包含完全相同的樣本點(diǎn)。

顯然不是：比如(2,1)∈A且(2,1)∈B，但(綜上，正確選項(xiàng)是C?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查隨機(jī)事件之間的關(guān)系，包括互斥、對(duì)立、相等和相互獨(dú)立的概念，重點(diǎn)在于理解這些關(guān)系的定義及其在具體情境中的判斷方法。2.題目求解要點(diǎn)明確事件的含義，并用集合語(yǔ)言描述其包含的樣本點(diǎn)。判斷互斥：看是否有共同樣本點(diǎn)（即交集是否為空）。判斷對(duì)立：需同時(shí)滿足A∪B=Ω判斷相等：兩個(gè)事件必須包含完全相同的樣本點(diǎn)。判斷獨(dú)立：使用概率公式驗(yàn)證P(A注意：獨(dú)立≠互斥，二者完全不同。獨(dú)立強(qiáng)調(diào)概率乘積關(guān)系，互斥強(qiáng)調(diào)不能同時(shí)發(fā)生。3.同類(lèi)型題目解題步驟寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間及各事件對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)集合。計(jì)算或列出各事件的概率（必要時(shí)）。分析選項(xiàng)涉及的關(guān)系：若判斷互斥：檢查A∩B若判斷對(duì)立：檢查A∪B=Ω若判斷相等：檢查A?B且B若判斷獨(dú)立：計(jì)算P(A)、P(B結(jié)合實(shí)際例子排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，選出正確答案。題目：第2題：對(duì)空中移動(dòng)的目標(biāo)連續(xù)射擊兩次，設(shè)A={兩次都擊中目標(biāo)}B={兩次都沒(méi)擊中目標(biāo)}C={恰有一次擊中目標(biāo)}D={至少有一次擊中目標(biāo)下列關(guān)系不正確的是（??）

A．A?D

B．A∪C=B∪D解答：我們先明確所有可能的結(jié)果。連續(xù)射擊兩次，每次有兩種結(jié)果：擊中（記為H）、未擊中（記為M）。

樣本空間為：

Ω對(duì)應(yīng)事件如下：A={(B={(C={(D={(H現(xiàn)在逐項(xiàng)分析選項(xiàng)：A．A?D？

A={(H,H)}，D={B．A∪C=B∪D？

先計(jì)算左邊：A∪C={(H,H)}∪注意題目問(wèn)的是“不正確的是”，所以B就是我們要找的答案。但我們繼續(xù)驗(yàn)證其他選項(xiàng)以確保無(wú)誤。C．A∪C=D？

前面已算出：D．B∩D=?？

B={因此，只有B選項(xiàng)的關(guān)系不成立。答案選B?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查事件之間的包含、并、交等運(yùn)算關(guān)系，以及通過(guò)集合表示法判斷事件間邏輯關(guān)系的能力，屬于事件關(guān)系與運(yùn)算的基礎(chǔ)應(yīng)用。2.題目求解要點(diǎn)將每個(gè)事件用樣本點(diǎn)集合明確寫(xiě)出。理解“至少”、“恰好”、“都”、“都不”等詞語(yǔ)對(duì)應(yīng)的集合含義。運(yùn)用集合運(yùn)算規(guī)則：并集（至少一個(gè)發(fā)生）、交集（同時(shí)發(fā)生）、子集（包含關(guān)系）、空集（互斥）。特別注意：A∪C表示“A發(fā)生或C發(fā)生”，即“兩次都中”或“恰一次中”，合起來(lái)就是“至少一次中”，即DB∪D包含了所有情況（因?yàn)锽是全不中，D是至少一中，二者互補(bǔ)），所以等于3.同類(lèi)型題目解題步驟明確試驗(yàn)的所有基本結(jié)果，列出樣本空間。將每個(gè)事件表示為樣本空間的子集。對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行集合運(yùn)算：包含關(guān)系：檢查一個(gè)集合是否全部包含于另一個(gè)。并事件：合并兩個(gè)集合的所有元素。交事件：找兩個(gè)集合的公共元素?？占袛啵航患欠駸o(wú)公共元素。比較運(yùn)算結(jié)果是否符合選項(xiàng)所述。找出不符合的那個(gè)選項(xiàng)（即“不正確”的關(guān)系）。板書(shū)設(shè)計(jì)事件的關(guān)系和運(yùn)算

├─事件的包含關(guān)系

│├─定義：若A發(fā)生則B一定發(fā)生，稱B包含A

│└─符號(hào)：A?B（或B?A）

├─事件的相等關(guān)系

│├─定義：A?B且B?A

│└─符號(hào)：A=B

├─并事件（和事件）

│├─定義：A與B至少一個(gè)發(fā)生

│├─集合表示：A∪B（或A+B）

│└─示例：E1∪E2=D1

├─交事件（積事件）

│├─定義：A與B同時(shí)發(fā)生

│├─集合表示：A∩B（或AB）

│└─示例：E1∩E2=C2

├─互斥事件（互不相容）

│├─定義：A與B不能同時(shí)發(fā)生教學(xué)反思本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)從擲骰子試驗(yàn)引入，引導(dǎo)學(xué)生用集合形式表示事件，進(jìn)而探究事件間關(guān)系與運(yùn)算，包括包含、并、交、互斥、對(duì)立等關(guān)