淮安市中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)和幾何綜合專題一、二次函數(shù)壓軸題1．某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整．（1）自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，與的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下：????其中，．（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫(huà)出了函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)畫(huà)出該函數(shù)圖象的另一部分．（3）觀察函數(shù)圖象，寫(xiě)出兩條函數(shù)的性質(zhì)．（4）直線經(jīng)過(guò)，若關(guān)于的方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為．2．小明對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究.已知當(dāng)自變量的值為或時(shí)，函數(shù)值都為；當(dāng)自變量的值為或時(shí)，函數(shù)值都為．探究過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整．（1）這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為；（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象并寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的--條性質(zhì)：；（3）進(jìn)一步探究函數(shù)圖象并解決問(wèn)題：①直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，則；②已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫(huà)的函數(shù)圖象，寫(xiě)出不等式的解集：．3．在正方形ABCD中，AB＝4cm，AC為對(duì)角線，AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，M是AB邊的中點(diǎn)，連接PM、PB，設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為xcm，PM＋PB長(zhǎng)度為ycm.小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.下面是小東的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）通過(guò)取點(diǎn)、畫(huà)圖、測(cè)量，得到了x與y的幾組值，如表：x/cm012345y/cm6.04.84.56.07.4（說(shuō)明：補(bǔ)全表格時(shí)相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù)）（2）建立平面直角坐標(biāo)系，描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象.（3）結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：PM＋PB的長(zhǎng)度最小值約為_(kāi)_____cm.4．綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，且與軸交于另一點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)）．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，則______；（3）若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線平行軸交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．求長(zhǎng)的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下：當(dāng)取得最大值時(shí)，在軸上是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過(guò)程如下．（1）自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，與的幾組對(duì)應(yīng)值如下：…-3-2-10123……3-10-103…其中，______．（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫(huà)出了函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)你畫(huà)出該函數(shù)圖象的另一部分．（3）進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①方程有______個(gè)實(shí)數(shù)根；②關(guān)于的方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，的取值范圍是______．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，1）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AD，BC交于點(diǎn)E，求的最大值；（3）如圖2，連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)O作直線l∥BC，點(diǎn)P，Q分別為直線l和拋物線上的點(diǎn)．試探究：在第四象限內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)P，使△BPQ∽△CAB．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．已知拋物線y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)為P，與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B．（1）如圖1，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），①試確定拋物線的解析式；②若當(dāng)m≤x≤3時(shí)，y＝x2+bx+c的最小值為2，最大值為6，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，若M點(diǎn)是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，且S△ABM≥3，求M點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）如圖2，若點(diǎn)P在第一象限，且PA＝PO，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，將拋物線y＝x2+bx+c平移，平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，試探究四邊形OABC的形狀，并說(shuō)明理由．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)D是拋物線上第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，連接CD，BD，BC，AC，當(dāng)△BCD的面積等于△AOC面積的2倍時(shí)，求m的值；（3）如圖2，若點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，探究拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)N，過(guò)A點(diǎn)的直線l：y=kx+n與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線y=﹣x2+bx+c的另一個(gè)交點(diǎn)為D，已知A(﹣1，0)，D(5，﹣6)，P點(diǎn)為拋物線y=﹣x2+bx+c上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合)．（1）直接寫(xiě)出拋物線和直線l的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上方的拋物線上時(shí)，連接PA、PD，①當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)是；②當(dāng)AB平分∠DAP時(shí)，求線段PA的長(zhǎng)．（3）設(shè)M為直線l上的點(diǎn)，探究是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)N、C，M、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．如圖，拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AC，BC．M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)P作，垂足為點(diǎn)N．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？（3）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．二、中考幾何壓軸題11．（1）問(wèn)題情境：如圖1，已知等腰直角中，，，是上的一點(diǎn)，且，過(guò)作于，取中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)______（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）小明采用如下的做法：延長(zhǎng)到，使，連接，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是的中位線……請(qǐng)你根據(jù)小明的思路完成上面填空；（2）遷移應(yīng)用：將圖1中的繞點(diǎn)作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，試探究、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．12．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE．填空：①則的值為_(kāi)_____；②∠EAD的度數(shù)為_(kāi)______．（2）類比探究如圖2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE．請(qǐng)求出的值及∠EAD的度數(shù)；（3）拓展延伸如圖3，在（2）的條件下，取線段DE的中點(diǎn)M，連接AM、BM，若BC=4，則當(dāng)△ABM是直角三角形時(shí)，求線段AD的長(zhǎng)．13．探究：如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，直接寫(xiě)出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，但滿足∠B+∠D＝180°，線段BE、DF和EF之間的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．點(diǎn)D、E均在邊BC邊上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的長(zhǎng)．14．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）解決問(wèn)題如圖3，在正方形ABCD中，CD＝，若點(diǎn)P滿足PD＝1，且∠BPD＝90°，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A到BP的距離．15．已知：，過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)分別向、、畫(huà)垂線，垂足分別為、、．（問(wèn)題引入）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，求證：．（類比探究）（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在射線上時(shí)，求證：．（2）當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在射線的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，在圖③中畫(huà)出示意圖，并直接寫(xiě)出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．（知識(shí)拓展）如圖④，、、是的三條弦，都經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，且．判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．16．在中，于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上任一點(diǎn)（點(diǎn)除外）連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，，得到，連接．（1）（觀察發(fā)現(xiàn)）如圖1，當(dāng)，且時(shí)，BP與的數(shù)量關(guān)系是___________，與的位置關(guān)系是___________．（2）（猜想證明）如圖2，當(dāng)，且時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（請(qǐng)選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說(shuō)理）（3）（拓展探究）在（2）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．17．（閱讀理解）定義：如果四邊形的某條對(duì)角線平分一組對(duì)角，那么把這條對(duì)角線叫“協(xié)和線”，該四邊形叫做“協(xié)和四邊形”．（深入探究）（1）如圖1，在四邊形中，，，請(qǐng)說(shuō)明：四邊形是“協(xié)和四邊形”．（嘗試應(yīng)用）（2）如圖2，四邊形是“協(xié)和四邊形”，為“協(xié)和線”，，，若點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，連接，，．求：①與的面積的比；②的正弦值．（拓展應(yīng)用）（3）如圖3，在菱形中，，，點(diǎn)、分別在邊和上，點(diǎn)、分別在邊和上，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，若四邊形，都是“協(xié)和四邊形”，“協(xié)和線”分別是、，求的最小值．18．隨著教育教學(xué)改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)如何改革和發(fā)展，如何從“重教輕學(xué)”向自主學(xué)習(xí)探索為主的方向發(fā)展，是一個(gè)值得思考的問(wèn)題．從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程來(lái)看分析，不外乎就是三個(gè)環(huán)節(jié)：（觀察猜想）-（探究證明）-（拓展延伸）．下面同學(xué)們從這三個(gè)方面試看解決下列問(wèn)題：已知：如圖1所示將一塊等腰三角板放置與正方形的重含，連接、，E是的中點(diǎn)，連接．（觀察猜想）（1）與的數(shù)量關(guān)系是________，與的位置關(guān)系是___________；（探究證明）（2）如圖2所示，把三角板繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段與的關(guān)系是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（拓展延伸）（3）若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．19．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．求證：；（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，若，，求的長(zhǎng)．20．在中，，點(diǎn)D?E分別是的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度，連接．觀察猜想（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，填空：①______________；②直線所夾銳角為_(kāi)___________；類比探究（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，試判斷的值及直線所夾銳角的度數(shù)，并說(shuō)明理由；拓展應(yīng)用（3）在（2）的條件下，若，將繞著點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在射線AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、二次函數(shù)壓軸題1．（1）-6；（2）答案見(jiàn)解析；（3）①該函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；②該函數(shù)的圖象有最高點(diǎn)；（4）．【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱可得m=-6；（2）用平滑的曲線連接各點(diǎn)即可畫(huà)出圖形；（3）認(rèn)真觀察圖象，總結(jié)出2條性質(zhì)即可；（4）畫(huà)出兩函數(shù)圖象即可得到結(jié)論．【詳解】（1）由表格可知：圖象的對(duì)稱軸是y軸，∴m=-6，故答案為：-6；如圖所示該函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱該函數(shù)的圖象有最高點(diǎn)；（4）由圖象可知：關(guān)于的方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，即y=kx+b時(shí)，與圖象有4個(gè)交點(diǎn)，所以，由圖象可以得出，當(dāng)時(shí)，直線與圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題和一元二次方程的根的情況，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想，理解一元二次方程與拋物線的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．2．（1）；（2）如圖所示，見(jiàn)解析；性質(zhì)：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；或：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有最小值；（3）①；②或．【分析】（1）將，；，；，代入，得到：，，，即可求解析式為；（2）描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖象，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱；（3）①?gòu)膱D象可知：當(dāng)時(shí)，，時(shí)直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)；②與的交點(diǎn)為或，結(jié)合圖象，的解集為．【詳解】解：（1）將，；，；，代入，得到：，解得，故答案為．（2）如圖：函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，（3）①當(dāng)時(shí)，，時(shí)直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，故答案為1；②與的交點(diǎn)為或或x=3，結(jié)合圖象，的解集為或，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題類比函數(shù)探究過(guò)程探究絕對(duì)值函數(shù)與不等式組關(guān)系；能夠準(zhǔn)確的畫(huà)出函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象中獲取信息，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．3．H解析：（1）5.0；（2）見(jiàn)解析；（3）x＝2時(shí)，函數(shù)有最小值y＝4.5【分析】（1）通過(guò)作輔助線，應(yīng)用三角函數(shù)可求得HM+HN的值即為x=2時(shí)，y的值；（2）可在網(wǎng)格圖中直接畫(huà)出函數(shù)圖象；（3）由函數(shù)圖象可知函數(shù)的最小值．【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H時(shí)，AH=3，作HN⊥AB于點(diǎn)N．∵在正方形ABCD中，AB=4cm，AC為對(duì)角線，AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，M是AB邊的中點(diǎn)，∴∠HAN=45°，∴AN=HN=AH?sin45°=3，∴HM，HB，∴HM+HN==≈≈2.125+2.834≈5.0．故答案為：5.0；（2）（3）根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最小值y=4.5．故答案為：4.5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．A解析：（1），；（2）3；（3）的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（4）存在，；；；【分析】（1）由直線y=-3x-3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，得A（-1，0）、C（0，-3），將A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x2+bx+c，列方程組求b、c的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交BC于點(diǎn)F，求直線BC的解析式及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，推導(dǎo)出S△BCH=FH?OB，可求出△BCH的面積；（3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x，用含x的代數(shù)式表示點(diǎn)E、點(diǎn)M的坐標(biāo)及線段ME的長(zhǎng)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出線段ME的最大值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（4）在x軸上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)M、B、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．由（3）得D（，0），M（，-），由勾股定理求出OM=BM=，由等腰三角形PBM的腰長(zhǎng)為或求出OP的長(zhǎng)即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵直線y=-3x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，∴∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C，∴∴∴拋物線的解析式是：當(dāng)時(shí)，解得：∴（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G．設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3，則3k-3=0，解得k=1，∴y=x-3；∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴拋物線的頂點(diǎn)H（1，-4），當(dāng)x=1時(shí)，y=1-3=-2，∴F（1，-2），∴FH=-2-（-4）=2，∴．故答案為：3．（3）由（1）知，直線的解析式是：設(shè)，則∴當(dāng)時(shí)，的最大值∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（4）存在，如圖3，由（2）得，當(dāng)ME最大時(shí)，則D（，0），M（，?），∴DO=DB=DM=；∵∠BDM=90°，∴OM=BM=．點(diǎn)P1、P2、P3、P4在x軸上，當(dāng)點(diǎn)P1與原點(diǎn)O重合時(shí)，則P1M=BM=，P1（0，0）；當(dāng)BP2=BM=時(shí)，則OP2=，∴P2（，0）；當(dāng)點(diǎn)P3與點(diǎn)D重合時(shí)，則P3M=P3B=，∴P3（，0）；當(dāng)BP4=BM=時(shí)，則OP4=，∴P4．

綜上所述，．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰三角形的判定、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及勾股定理、二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)和方法，解最后一題時(shí)要注意分類討論，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．5．（1）0；（2）圖見(jiàn)解析；（3）①3；②【分析】（1）那x=-2代入解析式，即可求得m的值；（2）利用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象即可；（3）①觀察圖象找出圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解；②觀察圖象，找出圖象與平行于x軸直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)時(shí)對(duì)應(yīng)y的取值范圍即可．【詳解】（1）x=-2時(shí)，m=（-2）2-=0；故答案為：0；（）如圖所示（）①觀察圖象，可知與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，所以有三個(gè)根，分別是、、；即答案為3；②∵關(guān)于的方程有四個(gè)根，∴函數(shù)的圖象與y=a有四個(gè)交點(diǎn)，由函數(shù)圖象知：的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程，其中觀察函數(shù)圖像的能力是解答本題的關(guān)鍵．6．A解析：（1）；（2）的最大值為；（3）或【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）構(gòu)造出△AGE∽△DEH，可得，而DE和AG都可以用含自變量的式子表示，最后用二次函數(shù)最大值的方法求值．（3）先發(fā)現(xiàn)△ABC是兩直角邊比為2：1的直角三角形，由△BPQ∽△CAB，構(gòu)造出△BPQ，表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求解即可．【詳解】解：（1）分別將C（0，1）、A（﹣，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+c中得，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）過(guò)A作AG∥y軸交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DH∥y軸交BC于點(diǎn)H，∵B（2，0）C（0，1），∴直線BC：y＝x+1，∵A（-，0），∴G（-，），設(shè)D（），則H（），∴DH＝（）﹣（），＝﹣m2+2m，∴AG=，∵AG∥DH，∴，∴當(dāng)m＝1時(shí)，的最大值為．（3）符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（）或（）．∵l∥BC，∴直線l的解析式為：y＝-x，設(shè)P（n，-n），∵A（-，0），B（2，0），C（0，1），∴AC2＝，BC2＝5，AB2＝．∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．∵△BPQ∽△CAB，∴，分兩種情況說(shuō)明：①如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥x軸于M．∵∠PNB＝∠BMQ＝90°，∠NBP+∠MBQ＝90°，∠MQB+∠MBQ＝90°，∴∠NBP＝∠MQB．∴△NBP∽△MQB，∴，∵，∴，∴BN＝2﹣n，∴BM＝2PN＝n，QM＝2BN＝4﹣2n，∴OM＝OB+BM＝2+n，∴Q（2+n，2n﹣4），將Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，2n2+9n﹣8＝0，解得：∴P()．②如圖4，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥x軸于M．∵△PNB∽△BMQ，又∵△BPQ∽△CAB，∴，∵，∴Q（2﹣n，4﹣2n），將Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，化簡(jiǎn)得：2n2﹣9n+8＝0，解得：，∴P()．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，平行線分線段成比例，利用二次函數(shù)求線段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定與性質(zhì)，拋物線與一元二次方程，掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，平行線分線段成比例，利用二次函數(shù)求線段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定與性質(zhì)，拋物線與一元二次方程的關(guān)系是解題關(guān)鍵．7．A解析：（1）①，②；（2）；（3）四邊形OABC是矩形，證明見(jiàn)詳解．【分析】（1）利用頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)求出b=-2,然后把b=-2和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出拋物線的解析式；（2）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后得出直線AB的解析式，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2-2x+3），根據(jù)S△ABM=3列出方程，并解方程，從而得出M點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)S△ABM≥3求出M橫坐標(biāo)的范圍即可；（3）根據(jù)拋物線的圖象可求出A、P、D的坐標(biāo)，利用拋物線與直線相交求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平移后拋物線的解析式，然后求出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出BC的長(zhǎng)度，從而得出四邊形OABC是平行四邊形，再根據(jù)∠AOC=90得出四邊形OABC是矩形.【詳解】解：（1）①依題意,,解得b=-2，將b=-2及點(diǎn)B(3,6)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得，解c=3，所以拋物線的解析式為，②當(dāng)，解得，當(dāng)m≤x≤3時(shí)，y＝x2+bx+c的最小值為2，最大值為6，∴；（2）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A，∴A(0,3)，∵B(3,6)，可得直線AB的解析式為，設(shè)直線AB下方拋物線上的點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，），過(guò)M點(diǎn)作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)N,則N(x,x+3).(如圖)，∴，∴，解得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)或(2,3)，∵S△ABM≥3，；（3）結(jié)論是：四邊形OABC是矩形，理由如下：如圖，由PA=PO,OA=c,可得，∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，∴拋物線，A（0，），P（，）,D（，0），∴直線OP的解析式為，∵點(diǎn)B是拋物線與直線的圖象的交點(diǎn)，令，解得，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-b，），由平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,可設(shè)平移后的拋物線解析式為，將點(diǎn)D(，0)的坐標(biāo)代入，得，∴平移后的拋物線解析式為，令y=0,即，解得，依題意,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-b，0），∴BC=，∴BC=OA，又BC∥OA，∴四邊形OABC是平行四邊形，∵∠AOC=90，∴四邊形OABC是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并與幾何圖形相結(jié)合的綜合題，難度較高，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法，并注重點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)的互相轉(zhuǎn)化．8．A解析：（1）；（2）1或2；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或【分析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)D作y軸平行線交BC于點(diǎn)E，由題意易得C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），然后可得直線BC的解析式，然后可表示點(diǎn)E坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)鉛垂法進(jìn)行表示△BCD的面積，最后問(wèn)題可進(jìn)行求解；（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，y），點(diǎn)N（1，s），點(diǎn)B（3，0）、C（0，2），根據(jù)題意易得當(dāng)以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，可分①當(dāng)BC是平行四邊形的邊時(shí)，②當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求解．【詳解】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，∴拋物線解析式為；（2）過(guò)點(diǎn)D作y軸平行線交BC于點(diǎn)E，把x＝0代入中，得：y＝2，∴C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），又∵B（3，0），∴直線BC的解析式為y＝x+2，∵點(diǎn)D（m，），∴E（m，m+2），∴DE＝（）﹣（m+2）＝m2+2m，由S△BCD＝2S△AOC得：×DE×OB＝2××OA×OC，∴（m2+2m）×3＝2××1×2，整理得：m2﹣3m+2＝0解得：m1＝1，m2＝2∵0＜m＜3∴m的值為1或2；（3）存在，理由：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，y），y＝，則有點(diǎn)N（1，s），點(diǎn)B（3，0）、C（0，2），①當(dāng)BC是平行四邊形的邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到B，同樣點(diǎn)M（N）向右平移3個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位N（M），故：x+3＝1，y﹣2＝s或x﹣3＝1，y+2＝s，解得：x＝﹣2或4，故點(diǎn)M坐標(biāo)為：（﹣2，）或（4，）；②當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：x+1＝3，y+s＝2，解得：x＝2，故點(diǎn)M（2，2）；綜上，M的坐標(biāo)為：（2，2）或（﹣2，）或（4，）．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到函數(shù)解析式，然后利用平行四邊形的存在性問(wèn)題可進(jìn)行分析．9．A解析：（1）y=﹣x﹣1，y=﹣x2+3x+4；（2）①(2，6)；②PA=4；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(2+，﹣3﹣)或(2﹣，﹣3+)或(4，﹣5)或(﹣4，3．【分析】（1）將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別代入直線表達(dá)式、拋物線的表達(dá)式，即可求解；（2）①當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，P點(diǎn)到直線AD的距離就最大．即當(dāng)直線y=-x+m與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足條件，△=42+4（m-4）=0，解得m=8，解方程可求出答案；②過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，證明△PEA是等腰直角三角形，得出PE=EA，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），由題意得，m+1=-m2+3m+4，求出m=3，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（3）分NC是平行四邊形的一條邊、NC是平行四邊形的對(duì)角線，兩種情況分別求解即可．【詳解】（1）將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得：，解得：，故直線l的表達(dá)式為：y=﹣x﹣1，將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，同理可得拋物線的表達(dá)式為：y=﹣x2+3x+4；（2）①當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，P點(diǎn)到直線AD的距離就最大，所以P點(diǎn)在與直線AD平行并且與拋物線相切的直線上，即P點(diǎn)是這兩個(gè)圖像的唯一交點(diǎn)．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，依題意有：，∴x2-4x+m-4=0∵直線y=-x+m與拋物線相切，即只有一個(gè)交點(diǎn)，∴42+4(m-4)=0∴m=8，∴x2-4x+4=0，∴x1=x2=2∴y=6由此得P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，6)②過(guò)P作PE⊥x軸于E點(diǎn)，由直線AC的解析式y(tǒng)=﹣x﹣1，可得A(-1，0)C(0，-1)，∴OA=OC∵∠AOC=90°∴∠DAB=45°，∴當(dāng)AB平分∠DAP時(shí)，∠BAP=∠DAB，則∠BAP=45°，∴△PEA是等腰直角三角形，∴PE=EA設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，依題意有m+1=﹣m2+3m+4，∴m1=3，m2=-1(舍去)，∴PE=EA=4，∴PA=4（3）NC=5，①當(dāng)NC是平行四邊形的一條邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，﹣x2+3x+4)、則點(diǎn)M(x，﹣x﹣1)，由題意得：|yM﹣yP|=5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|=5，解得：x=2或0或4(舍去0)，則點(diǎn)M坐標(biāo)為(2+，﹣3﹣)或(2﹣，﹣3+)或(4，﹣5)；②當(dāng)NC是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，則NC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣，2)，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(m，﹣m2+3m+4)、則點(diǎn)M(n，﹣n﹣1)，N、C，M、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則NC的中點(diǎn)即為PM中點(diǎn)，即：，2=，解得：m=0或﹣4(舍去0)，故點(diǎn)M(﹣4，3)；故點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(2+，﹣3﹣)或(2﹣，﹣3+)或(4，﹣5)或(﹣4，3)【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．A解析：（1）；（2），當(dāng)時(shí)，PN有最大值，最大值為．（3）滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為：，．【分析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，然后用m表示出PN，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）分三種情況：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分別求解即可．【詳解】解：（1）將，代入，得，解之，得．所以，拋物線的表達(dá)式為．（2）由，得．將點(diǎn)、代入，得，解之，得．所以，直線BC的表達(dá)式為：．由，得，．∴∵，∴．∴．∴．．∵∴當(dāng)時(shí)，PN有最大值，最大值為．（3）存在，理由如下：由點(diǎn)，，知．①當(dāng)時(shí)，過(guò)Q作軸于點(diǎn)E，易得，由，得，（舍）此時(shí)，點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，則．在中，由勾股定理，得．解之，得或（舍）此時(shí)，點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，由，得（舍）．綜上知所述，可知滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為：，．【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，找出相關(guān)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法確定解題思路，對(duì)相關(guān)信息進(jìn)行推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)算．二、中考幾何壓軸題11．（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，過(guò)作于，在中，利用勾股定理求得EH的長(zhǎng)，再利用三角形中位線定理即可求解；（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，利用解析：（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，過(guò)作于，在中，利用勾股定理求得EH的長(zhǎng)，再利用三角形中位線定理即可求解；（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理即可求解；（3）分點(diǎn)D在線段AC上和在AC延長(zhǎng)線上兩種情況討論，仿照（1）的方法即可求解．【詳解】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，過(guò)作于，∵，，∴四邊形BDEG是矩形，∵等腰直角三角形，，∴∠C=∠A=45，∵，∴等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵在中，，∴；（2）當(dāng)時(shí)，分成兩種情況：如圖在上方，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，∵∠BAC=45，∴是等腰直角三角形，且B為AH的中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，∴，∴；如圖，在下方，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，同理是等腰直角三角形，為中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，∴，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，延長(zhǎng)到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，過(guò)作于，∠ACB+∠DCE=90，∠ABC=90，∴四邊形BCEG是矩形，∴GE=BC=6，BG=CE=2，∴GH=2+6=8，∴EH=，∴；當(dāng)點(diǎn)D在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，過(guò)作于，同理四邊形BCEG是矩形，∴GE=BC=6，BG=CE=2，∴GH=6-2=4，∴EH=，∴；【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．12．（1）1，；（2），∠EAD=90°；（3）線段AD的長(zhǎng)為（2+6）．【分析】（1）由題意可得Rt△ABC和Rt△DBE均為等腰直角三角形，通過(guò)證明△ABD≌△BCE，可得AD=EC，∠DAB=解析：（1）1，；（2），∠EAD=90°；（3）線段AD的長(zhǎng)為（2+6）．【分析】（1）由題意可得Rt△ABC和Rt△DBE均為等腰直角三角形，通過(guò)證明△ABD≌△BCE，可得AD=EC，∠DAB=∠BCE=45°，從而可得到結(jié)論；（2）通過(guò)證明△ABD∽△BCE，可得的值，∠BAD=∠ACB=60°，即可求∠EAD的度數(shù)；（3）由直角三角形的性質(zhì)可證AM=BM=DE，即可求DE=4，由勾股定理可求CE的長(zhǎng)，從而可求出AD的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵∠ABC=∠DBE=90°,∠ACB=∠BED=45°，∴∠CBE=∠ABD,∠CAB=45°∴AB=BC，BE=DE，∴△BCE≌△BAD∴AD=CE，∠BAD=∠BCE=45°∴=1，∠EAD=∠CAB+∠BAD=90°故答案為：1，（2），∠EAD=90°理由如下：∵∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°∴∠ABD=∠EBC，∠BAC=∠BDE=30°∴在Rt△ABC中，tan∠ACB==tan60°=在Rt△DBE中，tan∠BED==tan60°=∴=又∵∠ABD=∠EBC∴△ABD∽△BCE∴==，∠BAD=∠ACB=60°∵∠BAC=30°∴∠EAD=∠BAD+∠BAC=60°+30°=90°，（3）如圖，由（2）知：==，∠EAD=90°∴AD=CE，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=4，∴AC=8，AB=4，∵∠EAD=∠EBD=90°，且點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，∴AM=BM=DE，∵△ABM為直角三角形，∴AM2+BM2=AB2=（4）2=48，∴AM=BM=2，∴DE=4，設(shè)EC=x，則AD=x，AE=8-xRt△ADE中，AE2+AD2=DE2∴(8-x)2+(x)2=(4)2，解之得：x=2+2（負(fù)值舍去），∴EC=2+2，∴AD=CE=2+6，∴線段AD的長(zhǎng)為（2+6），【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí).13．（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見(jiàn)解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF解析：（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見(jiàn)解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；（2）如圖3，同理作旋轉(zhuǎn)三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】解：（1）∵把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝90°∴F、D、G共線，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，故答案為：EF＝BE+DF；②成立，理由：如圖2，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G在一條直線上，與①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝BE+DF；（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC＝＝4，如圖3，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF，則AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，即DE＝．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，此題是開(kāi)放性試題，運(yùn)用類比的思想；首先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對(duì)學(xué)生的分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力要求比較高．14．（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，證明見(jiàn)解析；（3），【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一解析：（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，證明見(jiàn)解析；（3），【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．（3）由PD=1可得：點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．顯然，點(diǎn)P是這兩個(gè)圓的交點(diǎn)，由于兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)，接下來(lái)需對(duì)兩個(gè)位置分別進(jìn)行討論．然后，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，借助于（2）中的結(jié)論即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）①如圖1．∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案為：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案為：AD=BE．（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如圖2．∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）點(diǎn)A到BP的距離為或．理由如下：∵PD=1，∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上．∵∠BPD=90°，∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上，∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)P在如圖3①所示位置時(shí)，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交BP于點(diǎn)E，如圖3①．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°，∴BD=2．∵DP=1，∴BP=．∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，∴∠APB=∠ADB=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，點(diǎn)B、E、P共線，AH⊥BP，∴由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD，∴=2AH+1，∴AH=．②當(dāng)點(diǎn)P在如圖3②所示位置時(shí)，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖3②．同理可得：BP=2AH﹣PD，∴=2AH﹣1，∴AH=．綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查了運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題．而通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線從而能用（2）中的結(jié)論解決問(wèn)題是解決第（3）的關(guān)鍵．15．【問(wèn)題引入】見(jiàn)解析；【類比探究】（1）見(jiàn)解析；（2）圖見(jiàn)解析，；【知識(shí)拓展】，證明見(jiàn)解析【分析】[問(wèn)題引入]利用AAS證明△POE≌△POD，即可得出結(jié)論；[類比探究]（1）過(guò)點(diǎn)F作FN解析：【問(wèn)題引入】見(jiàn)解析；【類比探究】（1）見(jiàn)解析；（2）圖見(jiàn)解析，；【知識(shí)拓展】，證明見(jiàn)解析【分析】[問(wèn)題引入]利用AAS證明△POE≌△POD，即可得出結(jié)論；[類比探究]（1）過(guò)點(diǎn)F作FN⊥OB，F(xiàn)M⊥OA，垂足分別為N、M，F(xiàn)M與PE交于點(diǎn)Q，先證明△PFQ為等邊三角形，得出FG=PH，再運(yùn)用矩形性質(zhì)得出OM=OF，ON=OF，即可證得結(jié)論；（2）作FN⊥OB于點(diǎn)N，F(xiàn)M⊥OA于點(diǎn)M，射線FM交PE于點(diǎn)Q，作PH⊥FQ于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥PQ于點(diǎn)G，同（1）可證：NE=FG=PH=MD，ON=OM=OF，即可得出結(jié)論；[知識(shí)拓展]過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB，ON⊥EF，OQ⊥CD，垂足分別為M、N、Q，利用垂徑定理可得出PB-PA=2PM，PF-PE=2PN，PD-PC=2PQ，再運(yùn)用[類比探究]得：PM+PN=PQ，從而證得結(jié)論．【詳解】[問(wèn)題引入]證明：∵，，，∴．∵，∴．∴．[類比探究]（1）過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為、，與交于點(diǎn)．∵，，，則為等邊三角形，、邊上的高相等，即．在矩形、矩形中，有，，∴．∴．∵，，∴，同理，，∴，∴．（2）結(jié)論：．作于點(diǎn)，于點(diǎn)，射線與的交點(diǎn)為，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，同（1）可證，，∴．[知識(shí)拓展]數(shù)量關(guān)系：．理由如下：過(guò)點(diǎn)作，，，垂足分別為、、．由垂徑定理可得．∴．同理，，由[類比探究]得，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，矩形性質(zhì)，垂徑定理等，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)及垂徑定理等相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．16．（1），；（2）成立，不成立，與的關(guān)系為，見(jiàn)解析；（3）2或14【分析】（1）連接AE，證明△ABC、△APE為等邊三角形，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BP=CE，，再求得，即可得，所有．解析：（1），；（2）成立，不成立，與的關(guān)系為，見(jiàn)解析；（3）2或14【分析】（1）連接AE，證明△ABC、△APE為等邊三角形，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BP=CE，，再求得，即可得，所有．（2）成立，不成立，與的關(guān)系為．選圖2證明：連接，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由此可得，結(jié)論可證；選圖3證明，類比圖2的證明方法即可；（3）分圖2和圖3兩種情況求CE的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）如圖，連接AE，∵，且，∴△ABC為等邊三角形，∴，AB=AC，∵，且，∴△APE為等邊三角形，∴，AP=AE，∴，∴；在△BAP和△CAE中，，∴，∴BP=CE，，∵，，，∴∠ABP=30°，∴，∴，∴．故答案為：，．（2）成立，不成立，與的關(guān)系為．理由如下：選圖2證明：連接，由題意可知：、均為等腰直角三角形，∴，，∴，即；又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，．選圖3證明：理由如下：連接，由題意可知：、均為等腰直角三角形，∴，，∴，即，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，；（3）或14．如圖，∵，∴，∵，∴在中，，∴，由（2）知：，∴；如圖，同理可得，∴，∴．綜上：的長(zhǎng)為2或14．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②；（3）．【分析】（1）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義即可得證；（2）①先根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義、三角形全等的解析：（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②；（3）．【分析】（1）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義即可得證；（2）①先根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義、三角形全等的判定定理可得，從而可得，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，然后設(shè)，解直角三角形可得，從而可得，最后利用三角形的面積公式即可得；②如圖（見(jiàn)解析），設(shè)，先利用勾股定理可得，再利用三角形的面積公式可得，然后根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義即可得；（3）如圖（見(jiàn)解析），先解直角三角形可得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得．【詳解】證明：（1）如圖，連接，在和中，，，，平分和，四邊形是“協(xié)和四邊形”；（2）①如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)，為“協(xié)和線”，平分和，，在和中，，，，∵點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，，，是等邊三角形，，（等腰三角形的三線合一），設(shè)，則，∵在中，，，在中，，，，即與的面積的比為；②如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由（2）①知，垂直平分，，設(shè)，則，同（2）①可得：，，，，解得，則在中，；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，在中，，四邊形是菱形，，，同（2）①可證：垂直平分，，，，由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，在和中，，，，即，解得，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、解直角三角