2025年高中數(shù)學(xué)《函數(shù)專題》突破訓(xùn)練試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.設(shè)集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B?A,則實(shí)數(shù)a的取值集合為（A）{1,1/2}（B）{1/2}（C）{1}（D）{1/2,1}2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（A）(0,1)（B）(1,+∞)（C）(0,1)∪(1,+∞)（D）[1,+∞)3.若函數(shù)g(x)=3^x+1是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的值為（A）-1（B）0（C）1（D）24.函數(shù)h(x)=sin(2x+π/3)的圖像關(guān)于直線x=π/6對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（A）h(π/3)=0（B）h(π/3)=1（C）h(π/6)=0（D）h(π/6)=15.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)+2,且f(0)=1,則f(2025)的值為（A）2025（B）2027（C）2029（D）20316.設(shè)函數(shù)F(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1處取得極值，且導(dǎo)函數(shù)F'(x)在x=1處的切線方程為y=3x-2,則a+b的值為（A）3（B）4（C）5（D）6二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）7.已知函數(shù)f(x)=x^2-mx+2在區(qū)間(-∞,1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.8.若函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為k，則k+1的值為___________.9.設(shè)函數(shù)g(x)=2cos^2(x)-sin(2x)+1,則函數(shù)g(x)的最小正周期為___________.10.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)>0(x>0),且f(1)=1,對(duì)任意x>0,都有f(x)+f(x+1)=2f(x+1),則f(2025)的值為___________.三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）11.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=e^x-ax^2+bx,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)若f(x)在x=0處取得極值，求a,b的值；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.12.(本小題滿分12分)已知函數(shù)g(x)=x^3-3x^2+2.(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：對(duì)于任意x1,x2∈R,且x1≠x2,都有|g(x1)-g(x2)|<(x1-x2)^2.13.(本小題滿分12分)已知函數(shù)F(x)=log_a(x+1)-ax+1,其中a>0且a≠1.(1)求函數(shù)F(x)的定義域；(2)討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性；(3)若函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.14.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=sin(x+α)+cos(x-α),其中α是一個(gè)常數(shù).(1)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=π/4對(duì)稱，求α的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-sin(2x),求函數(shù)g(x)的最小正周期和最大值.15.(本小題滿分12分)已知函數(shù)h(x)=|x-1|+|x-a|,其中a是一個(gè)實(shí)數(shù).(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)h(x)的最小值；(2)討論函數(shù)h(x)的最小值與a的關(guān)系.16.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=x^3-px^2+qx,其中p,q是實(shí)數(shù).(1)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，且圖象過(guò)點(diǎn)(2,3),求函數(shù)f(x)的解析式；(2)在(1)的條件下，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求其最小值.試卷答案一、選擇題1.C2.B3.A4.B5.C6.D二、填空題7.m≥28.39.π10.1三、解答題11.解：(1)f'(x)=e^x-2ax+b因?yàn)閒(x)在x=0處取得極值，所以f'(0)=0，即1+b=0，得b=-1.所以f'(x)=e^x-2ax-1.令f'(x)=0，得e^x-2ax-1=0.因?yàn)閤=0是極值點(diǎn)，所以e^0-2a*0-1=0，得a=1/2.故a=1/2,b=-1.(2)f'(x)=e^x-x-1.令h(x)=f'(x)=e^x-x-1，則h'(x)=e^x-1.當(dāng)x<0時(shí)，h'(x)<0，所以h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，h'(x)>0，所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又因?yàn)閔(0)=0，所以當(dāng)x<0時(shí)，h(x)<0，即f'(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，h(x)>0，即f'(x)>0.故函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增.12.解：(1)g'(x)=3x^2-6x.令g'(x)=0，得x=0或x=2.當(dāng)x<0時(shí)，g'(x)>0，函數(shù)g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<2時(shí)，g'(x)<0，函數(shù)g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，g'(x)>0，函數(shù)g(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增.g(0)=2，g(2)=-2.故函數(shù)g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增；極小值為g(2)=-2，無(wú)極大值.(2)證明：由(1)知，函數(shù)g(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增，且g(2)=-2.所以對(duì)于任意x1,x2∈R,且x1≠x2,且x1,x2>2，都有|g(x1)-g(x2)|<g(x2)-g(2)=x1^2-x2^2=(x1-x2)(x1+x2).因?yàn)閤1,x2>2，所以x1+x2>4，即(x1-x2)(x1+x2)>(x1-x2)*4.所以|g(x1)-g(x2)|<(x1-x2)(x1+x2)<4(x1-x2).對(duì)于x1,x2∈R,且x1≠x2，且x1≤2或x2≤2，不妨設(shè)x1<x2，且x1≤2≤x2.則|g(x1)-g(x2)|≤g(x2)-g(2)=x2^3-2^3=x2^3-8=(x2-2)(x2^2+2x2+4).因?yàn)閤2>2，所以x2-2>0，x2^2+2x2+4>0.所以|g(x1)-g(x2)|=(x2-2)(x2^2+2x2+4)<(x2-2)(x2^3)=(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2).因?yàn)閤2>2>x1，所以x2-x1>0，x2^2+x1x2+x1^2>0.所以|g(x1)-g(x2)|<(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2)=(x2-x1)(x1+x2)^2.綜上所述，對(duì)于任意x1,x2∈R,且x1≠x2,都有|g(x1)-g(x2)|<(x1-x2)(x1+x2).13.解：(1)因?yàn)閘og_a(x+1)有意義，所以x+1>0，即x>-1.故函數(shù)F(x)的定義域?yàn)?-1,+∞).(2)F'(x)=1/(x+1)*log_a(e)-a.令F'(x)=0，得1/(x+1)*log_a(e)=a，即x+1=log_a(e/a).因?yàn)閘og_a(e/a)=log_a(e)-log_a(a)=1-1=0，所以x+1=0，得x=-1.當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí)，x+1∈(0,+∞)，所以F'(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減.又因?yàn)镕'(-1+)=-a<0(a>1),F'(1+)=(1/2)log_a(e)-a<0(a>e^(1/2)),F'(1+)=(1/2)log_a(e)-a>0(a<e^(1/2)).所以當(dāng)a>e^(1/2)時(shí)，F(xiàn)'(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減，且F'(x)<0，故F(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<e^(1/2)時(shí)，F(xiàn)'(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減，且F'(x)>0，故F(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a=e^(1/2)時(shí)，F(xiàn)'(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減，且F'(x)≤0，故F(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)a≥e^(1/2)時(shí)，函數(shù)F(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<e^(1/2)時(shí)，函數(shù)F(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增.(3)因?yàn)镕(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在零點(diǎn)，所以關(guān)于x的方程log_a(x+1)-ax+1=0在(0,+∞)上有解.令h(x)=log_a(x+1)-ax+1，x∈(0,+∞).當(dāng)a>1時(shí)，h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，且h(0)=0，所以h(x)<0，方程無(wú)解；當(dāng)0<a<1時(shí)，h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且h(0)=0，所以存在x0∈(0,+∞)，使得h(x0)=0.故當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在零點(diǎn).綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1).14.解：(1)f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)=sin(x+α)+cosαcos(x)+sinαsin(x)=(cosα+1)sin(x)+sinαcos(x).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=π/4對(duì)稱，所以f(π/4+t)=f(π/4-t)對(duì)任意t∈R恒成立.即(cosα+1)sin(π/4+t)+sinαcos(π/4+t)=(cosα+1)sin(π/4-t)+sinαcos(π/4-t).即(cosα+1)(√2/2)cost+(sinα)(√2/2)sint+sinα(√2/2)cost-(cosα+1)(√2/2)sint=(cosα+1)(√2/2)sint-(sinα)(√2/2)cost+sinα(√2/2)cost+(cosα+1)(√2/2)sint.整理得-√2(cosα+1)sint=√2(1-cosα)sint.所以-cosα-1=1-cosα，得cosα=-1.故α=π+2kπ,k∈Z.(2)g(x)=f(x)-sin(2x)=(cosα+1)sin(x)+sinαcos(x)-(2sinxcosx)=(cosα-1)sin(x)+sinαcos(x).當(dāng)α=π+2kπ,k∈Z時(shí)，g(x)=-2sin(x)cos(x)+sin(α+x)=-sin(2x)+sin(π+2kπ+x)=-sin(2x)-sin(x)=-sin(x)(2cosx+1).g(x)的最小正周期為2π.令g'(x)=-cos(x)(2cosx+1)-sin(x)(-2sinx)=-2cos^2(x)-cos(x)+2sin^2(x)=-2cos^2(x)-cos(x)+2(1-cos^2(x))=-4cos^2(x)-cos(x)+2=0.解得cosx=-1/2，或cosx=1/2.當(dāng)cosx=-1/2時(shí)，sin(x)(2cosx+1)=1*0=0，g(x)取得最大值0；當(dāng)cosx=1/2時(shí)，sin(x)(2cosx+1)=√3/2*1=√3/2，g(x)取得最小值-√3/2.故函數(shù)g(x)的最小正周期為2π，最大值為0.15.解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，h(x)=|x-1|+|x-2|.當(dāng)x<1時(shí)，h(x)=(1-x)+(2-x)=-2x+3；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，h(x)=(x-1)+(2-x)=1；當(dāng)x>2時(shí)，h(x)=(x-1)+(x-2)=2x-3.所以函數(shù)h(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增，在(2,+∞)上單調(diào)遞增；最小值為1.故函數(shù)h(x)的最小值為1.(2)當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)h(x)的圖像是兩條射線，最小值為a+1；當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)h(x)的圖像是兩條射線，最小值為2；當(dāng)1<a<2時(shí)，函數(shù)h(x)的圖像是“V”形，最小值為a-1；當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)h(x)的圖像是“V”形，最小值為1；當(dāng)a>2時(shí)，函數(shù)h(x)的圖像是“V”形，最小值為a-1.綜上所述，函數(shù)h(x)的最小值與a的關(guān)系為：當(dāng)a<1時(shí)，最小值為a+1；當(dāng)a=1時(shí)，最小值為2；當(dāng)1