直角三角形（知識講解）【學習目標】1．理角并掌握直角三角形的性質與判定；2．靈活運用直角三角形的性質與判定進行證明與計算.【要點梳理】要點一、直角三角形的定義三角形中，有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.特別說明：如果直角三角形中，有一個銳角是45°這樣的三角形是等腰直角三角形等，且兩銳角都等于45°.要點二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.特別說明：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.要點三、直角三角形的性質直角三角形中兩銳角互余.直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半.在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.要點四、直角三角形的判定有兩內角互余的三角形是直角三角形.在三角形中，若一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對的角是直角，這個三角形是直角三角形.如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形，第三邊為斜邊.【典型例題】類型一、直角三角形??兩銳角互余??證明??求解1．如圖，在中，平分，P為線段上的一個動點，交的延長線于點E．若，，求的度數(shù)；當P點在線段上運動時，猜想與，的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)(2)，理由見分析【分析】（1）根據三角形內角和定理，三角形外角的性質，直角三角形的兩個銳角互余計算即可．（2）根據三角形內角和定理，三角形外角的性質，直角三角形的兩個銳角互余計算即可．解：（1）因為，，∴，∵平分，∴，∴，∴．（2）．理由如下：，∵平分，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，直角三角形的兩個銳角，角的平分線的意義，熟練掌握三角形外角的性質，直角三角形的兩個銳角是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在中，，平分，，垂足為D，交于點E．求證：．【答案】證明見分析【分析】過點D作，交于點F，首先根據平行線的性質可得，，再根據等腰三角形的性質可證得，可得，根據角平分線的定義，可證得，可得，再根據，可得，，據此即可證得結論．解：證明：如圖，過點D作，交于點F．，，，，，．平分，，，．，．，，，．【點撥】本題主要考查了平行線的性質，等腰三角形的性質，角平分線的定義，作出輔助線是解決本題的關鍵．【變式2】在中，，，點D是邊上一動點，將沿直線翻折，使點A落在點E處，連接，交于點F．當是直角三角形時，求度數(shù)．【答案】或【分析】根據折疊的性質可得，，再由直角三角形兩銳角的關系可得，然后分兩種情況討論：當時，當時，結合三角形內角和定理，即可求解．解：由折疊的性質得：，，∵，，∴，當時，則，∴，∴，∴；當時，∵，∴，∴，∴，∴；綜上所述，度數(shù)為或．【點撥】本題主要考查了三角形內角和定理，圖形的折疊，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．類型二、直角三角形??全等性質??HL綜合證明??證明??求解2．如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC與BD交于O，AC=BD．求證：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．【分析】（1）根據AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC與△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根據HL得出△ABC≌△BAD，即可證出BC=AD．（2）根據△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，從而證出OA=OB，△OAB是等腰三角形．解：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC與△BAD是直角三角形，在△ABC和△BAD中，∵AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA=90°，∴△ABC≌△BAD（HL）∴BC=AD．（2）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB．∴△OAB是等腰三角形．【點撥】本題考查了全等三角形的判定及性質；用到的知識點是全等三角形的判定及性質、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重點，本題是道基礎題，是對全等三角形的判定的訓練．舉一反三：【變式1】如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF．求證：Rt△ABE≌Rt△CBF．若∠CAE＝22°，求∠ACF的度數(shù)．【答案】(1)見分析(2)68°【分析】（1）利用HL證明Rt△ABE≌Rt△CBF，即可；（2）根據等腰直角三角形的性質可得∠CAB=∠ACB=45°，從而得到∠BAE=23°，再根據全等三角形的性質可得∠BCF=∠BAE=23°，即可求解．解：（1）證明：證明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE=CF，AB=BC，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，∵∠CAE＝22°，∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-22°=23°，由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=23°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+23°=68°．【點撥】此題考查了全等三角形的判定與性質．此題難度不大，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．【變式2】如圖，為等腰直角三角形，，E是上一點，D是延長線上一點，連結．若．求證：．若，是等腰三角形，求的長．【答案】(1)見分析；(2)2或【分析】（1）根據證明，可得結論；（2）分兩種情形：①，②，分別求解即可．（1）證明：∵是等腰直角三角形，∴，，在和中，，∴，∴．（2）解：①當時，∵，∴．②當時，設，∵為等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，綜上所述，的長為2或．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理的應用等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．類型三、直角三角形??直角三角形的判定??網格問題??勾股數(shù)??網格上的點3．（2022·廣東·佛山市南海外國語學校八年級期中）一個直角三角形三邊長都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整數(shù)直角三角形”，這三個整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”老師給出了下表（其中m，n為正整數(shù)，且）：m23344…n11212…a…b468…c…(1)探究a，b，c與m，n之間的關系并用含m，n的代數(shù)式表示：______，______，______．(2)以a，b，c為邊長的三角形是否一定為直角三角形？請說明理由．【答案】(1)，，(2)以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形，理由見分析【分析】（1）根據給出的數(shù)據總結即可；（2）分別計算出、、，根據勾股定理逆定理進行判斷．（1）解：觀察可得，，，故答案為：，，；（2）以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形，理由如下：，，∴，∴以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形．【點撥】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理的逆定理，熟練掌握：如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形就是直角三角形是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】（2021·河南鄭州·八年級期末）如圖，網格中每個小正方形的邊長均為1，點A，B都在格點上，點A的坐標為（-1，4），點B的坐標為（-3，2），請按要求回答下列問題：（1）請你在網格中建立合適的平面直角坐標系；（2）在y軸左側找一格點C，使△ABC是以AB為腰的等腰直角三角形，則點C的坐標為____，△ABC的周長是；（3）在x軸上是否存在點P，使△ABP的周長最小?若存在，請求出點P的坐標;若不存在，請說明理由．【答案】（1）圖見分析；（2）(-1，0)，；（3）P．【分析】（1）根據AB坐標可知，A點向右1個單位，向下4個單位即是原點（0，0），由此即可建立平面直角坐標系；（2）由網格的特點易得點，再根據勾股定理可求AB邊長為，進而即可得出答案，（3）作點B關于x軸的對稱點B′，連接AB′，交x軸于點P，則點P即所求，再利用一次函數(shù)與直線交點求法求出交點P．解：（1）平面直角坐標系如圖所示；（2）如圖，當在y軸左側點C(-1，0)時，△ABC為等腰直角三角形，此時，故△ABC的周長為，故填：(-1，0)，；（3）如圖，作點關于x軸的對稱點，連接AB′，交x軸于點P，則點P即所求，設直線AB′的解析式為y=kx+b，將A(?1,4)，B′(?3,?2)代入得，解得，∴直線AB′的解析式為y=3x+7．將y=0代入得，，∴．【點撥】本題考查了一次函數(shù)應用，勾股定理，軸對稱與線段最小值等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．【變式2】（2022·全國·八年級專題練習）點在軸上，、，如果是直角三角形，求點的坐標．【答案】點的坐標為或【分析】本題考查的是兩點距離與勾股定理，根據A、B坐標構造直角三角形，運用勾股定理與兩點間距離公式，分類討論即可求出點P坐標解：設點的坐標為，分兩種情況：①當點為直角頂點時，點在軸正半軸，作軸于，軸于，軸于，如圖所示：由勾股定理，得，即，解得，∴點的坐標為．②當點為直角頂點時，點在軸負半軸，作軸于，軸于，如圖所示：由勾股定理，得，即，解得，∴點的坐標為．綜上所述，如果是直角三角形，那么點的坐標為或．【點撥】本題的關鍵是分類討論點P的情況，并靈活運用勾股定理和兩點間距離公式類型四、直角三角形??直角三角形的判定??勾股定理??勾股定理逆定理4．如圖，在筆直的公路旁有一座山，從山另一邊的處到公路上的?？空続的距離為，與公路上另一?？空镜木嚯x為，?？空続、之間的距離為，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路上的處開鑿隧道修通一條公路到處，且．求修建的公路的長；若公路修通后，一輛貨車從處經過點到處的路程是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）根據勾股定理的逆定理得，再根據三角形面積公式即可求解；（2）根據勾股定理求出的長，即可得出結論．（1）解：∵，，，，∴，∴是直角三角形，，∵，∴，∴，答：修建的公路的長是；（2）在中，，∴．答：一輛貨車從處經過點到處的路程是．【點撥】本題考查了勾股定理的應用、勾股定理的逆定理以及三角形面積等知識，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】（2022·河南平頂山·八年級期中）某氣象局監(jiān)測到一個沙塵暴中心沿東西方向有A向B移動，已知點C處為以城鎮(zhèn)，且點C與A、B兩點的距離，以沙塵暴中心為圓心，周圍以內都會受到沙塵暴影響．通過計算說明城鎮(zhèn)C是否會受到影響；若沙塵暴中心的移動速度為，則沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時間有多長？【答案】(1)會受到影響(2)小時【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，進而利用三角形面積得出的長，進而得出城鎮(zhèn)C是否會受到沙塵暴影響；（2）利用勾股定理得出以及的長，進而得出沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時間．（1）解：作于D，在三角形中，，∴是直角三角形，即，，，解得：千米，所以，城鎮(zhèn)C會受到影響．（2）解：設沙塵暴中心到點E處城鎮(zhèn)C開始受到影響，此時千米，到F處結束影響，此時千米，，千米，受影響的時間為（小時）【點撥】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【變式2】（2022·全國·八年級專題練習）課間，小明拿著王老師的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墻縫中．我們知道兩堵墻都是與地面垂直的，如圖．王老師沒有批評他，但要求他完成如下兩個問題：（1）試說明；（2）從三角板的刻度知AC＝25cm，算算一塊磚的厚度．（每塊磚的厚度均相等）小明先將問題所給條件做了如下整理：如圖，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．請你幫他完成上述問題．【答案】（1）證明見分析；（2）5cm【分析】（1）根據題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可．（2）利用（1）中全等三角形的性質進行解答．解：（1）如圖：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠1＝∠3，由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，∴△ADC≌△CEB；（2）設每塊磚厚度為xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，∵∠ADC＝90°，∴AD2+CD2＝AC2，即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去），∴每塊磚厚度為5cm．【點撥】此題主要考查了全等三角形的應用，關鍵是正確找