《提分練習2利用矩形的性質巧解折疊問題》典例剖析例如圖，紙片ABCD為平行四邊形.把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊上的E處，折痕為AF.已知AB=10，AD=8，DE=6.（1）求證：ABCD是矩形；（2）求BF的長；（3）求折痕AF的長.解題秘方：（1）根據(jù)折疊變換的對稱性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理的逆定理證明∠D=90°，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明ABCD是矩形即可；（2）設BF=x，在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可；（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可.（1）證明：∵把紙片ABCD折疊，點B恰好落在CD邊上的E處，∴AE=AB=10，即.又∵，∴.∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°.∴ABCD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）.（2）解：由題意易知EC=4.設BF=x，則EF=BF=x，F(xiàn)C=BC-BF=8-x.由（1）可知ABCD是矩形，∴∠C=90°.∴在Rt△EFC中，，即.解得x=5，故BF=5.（3）解：由（1）可知ABCD是矩形，∴∠B=90°.∴在Rt△ABF中，.∵AB=10，BF=5，∴.分類訓練技巧一利用矩形的性質巧求折疊中的角1.當身邊沒有量角器時，怎樣得到一些特定度數(shù)的角呢？動手操作有時可以解“燃眉之急”.如圖，已知矩形紙片ABCD（矩形紙片要足夠長），我們按如下步驟操作可以得到一個特定的角：（1）以點A所在直線為折痕，折疊紙片，使點B落在邊AD上，折痕與BC交于點E；（2）將紙片展平后，再次折疊紙片，以點E所在直線為折痕，使點A落在邊BC上，折痕交AD于點F.求∠AFE的度數(shù).技巧二利用矩形的性質巧求折疊中線段的和2.如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點的位置，與CD交于點E.（1）試找出一個與△AED全等的三角形，并加以證明；（2）若AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意點，PG⊥于點G，PH⊥DC于點H，試求PG+PH的值.技巧三利用矩形的性質巧求折疊中重疊的面積3.【中考·鄂州】如圖，將矩形ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點F處，F(xiàn)C交AD于E.（1）求證：△AFE≌△CDE；（2）若AB=4，BC=8，求圖中陰影部分的面積.技巧四利用矩形的性質巧求折疊中線段的比4.如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N.（1）求證：CM=CN；（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，求的值.技巧五利用矩形的性質巧證折疊中的平行線5.如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿AC折疊，點B落在點E處，AE與CD的交點為O，連接DE.求證：（1）△ADE≌△CED；（2）DE∥AC.

參考答案1.答案：解：設折疊后，點A的對應點為點，點B的對應點為點，如圖，由折疊的性質得∠AEF=∠，∠BEA=∠，∠B=∠.∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∠=∠B=90°.∴∠=90°.∴∠=90°.∴∠BEA=∠=45°.又∵∠BEA+∠AEF+∠=180°，∴∠=67.5°.∵AD∥BC，∴∠AFE=∠=67.5°.點撥：本題主要根據(jù)折疊的性質及矩形的性質，求出相關角的度數(shù).2.解析：（1）△AED≌△.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=DA，∠B=∠D.由折疊的性質，知BC=，∠B=∠，∴=DA，∠=∠D.在△AED和△中，∴△AED≌△.（2）如圖，延長HP交AB于點M.∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=8，CD∥AB.∴∠2=∠3.由折疊的性質可知∠1=∠2，∴∠1=∠3.∴AE=CE=8-3=5.在Rt△ADE中，DE=3，AE=5，∴.∵PH⊥CD，AB∥CD，∴PM⊥AB.又∵PG⊥，∴PM=PG.∵PH+PM=AD，∴PG+PH=AD=4.3.答案：（1）證明：由折疊的性質可得AF=AB，∠F=∠B.∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°.∴AF=CD，∠F=∠D=90°.又∵∠AEF=∠CED，∴△AFE≌△CDE（AAS）.（2）解：∵△AFE≌△CDE，∴AE=CE，EF=ED.根據(jù)折疊的性質可知FC=BC=8，AF=AB=4.在Rt△AFE中，，即.解得EF=3.∴EC=5.∴陰影部分的面積為.4.解析：（1）證明：由折疊的性質可得點A，C關于直線MN對稱，∴∠ANM=∠CNM.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠ANM=∠CMN.∴∠CMN=∠CNM.∴CM=CN.（2）解：過點N作NH⊥BC于點H，則四邊形NHCD是矩形，∴HC=DN，NH=DC.∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3:1，∴.∴MC=3DN=3HC.∴MH=2HC.設DN=x，則HC=x，MH=2x，CM=CN=3x.在Rt△CDN中，，∴NH=.在Rt△MNH中，.∴.點撥：（1）根據(jù)折疊的性質得∠ANM=∠CNM，再由AD∥BC得到∠ANM=∠CMN，最后根據(jù)等角對等邊得到CM=CN；（2）根據(jù)兩個等高的三角形的面積之比等于對應底邊長之比得到，再根據(jù)勾股定理求得MN的長，從而求得.5.解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD.由折疊的性質，得BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD.又∵DE=