第01講三角函數(shù)的概念與誘導公式

目錄

01考情解碼?命題預警.....................................................................................................2

03體系構建·思維可視.......................................................................................................3

03核心突破?靶向攻堅.....................................................................................................3

知能解碼......................................................................................................................3

知識點1任意角........................................................................................................................3

知識點2弧度制........................................................................................................................4

知識點3扇形的弧長公式及面積公式..................................................................................5

知識點4三角函數(shù)的概念.......................................................................................................5

知識點5同角三角函數(shù)的基本關系式..................................................................................6

知識點6三角函數(shù)的誘導公式..............................................................................................7

題型破譯......................................................................................................................7

題型1任意角與弧度制...........................................................................................................7

題型2扇形的弧長與面積.......................................................................................................8

題型3扇形中的最值問題.......................................................................................................9

【方法技巧】最值問題的處理

題型4三角函數(shù)的定義........................................................................................................10

【易錯分析】終邊在直線上時需討論

題型5三角函數(shù)值的符號判定............................................................................................11

題型6同角三角函數(shù)的已知條件等式求值................................................................11

【易錯分析】求解時忽略角的范圍

題型7求sinx,cosx齊次式的值..........................................................................................12

【方法技巧】齊次式的處理

題型8sinxcosx,sinxcosx知一求二..............................................................................13

題型9誘導公式的簡單運用................................................................................................13

題型10互余型、互補型互化求值..............................................................................14

題型11同角三角函數(shù)與誘導公式的綜合..................................................................15

04真題溯源?考向感知..................................................................................................16

05課本典例·高考素材....................................................................................................17

考點要求考察形式2025年2024年2023年

（1）三角函數(shù)的基本概

念

單選題全國甲卷（理）T8（5分）

（2）任意角的三角函數(shù)全國二卷T8（5分）全國甲卷（理）T7（5分）

多選題全國甲卷（文）T9（5分）

（3）同角三角函數(shù)的基填空題北京卷T13（5分）全國乙卷（文）T14（5分）

北京卷T12（5分）

本關系解答題

（4）誘導公式

考情分析：

新高考卷中該專題為高頻內(nèi)容，考察的時候保持“重基礎，強綜合”的基調，注重公式的變形能力及跨模塊融合，

一般會考察三角函數(shù)化簡求值或特殊值求三家函數(shù)值，且考察較為靈活，需加強復習備考，熟練運用公式

復習目標：

1.了解任意角的概念和弧度制的概念；

2.能進行弧度與角度的互化；

3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義；

4.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2xcos2x1，sinxcosxtanx；

5.能利用單位圓中的對稱性推導出,的正弦、余弦、正切的誘導公式.

2

知識點1任意角

1.任意角

（1）角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置________到另一個位置所成的圖形．

（2）角的表示

如圖，射線的端點是圓心O，它從起始位置OA按逆時針方向旋轉到終止位置OP，形成一個角，射線

OA，OP分別是角的________和終邊．

“角”或“”可以簡記成“”．

（3）角的分類

正角：一條射線繞其端點按________旋轉形成的角

負角:一條射線繞其端點按順時針方向旋轉形成的角

零角：如果一條射線沒有作任何旋轉，就稱它形成了一個零角

（4）相等角與相反角

①設角由射線OA繞端點O旋轉而成，角由射線OA繞端點O旋轉而成．如果它們的旋轉方向

________且旋轉量________，那么就稱.

②我們把射線OA繞端點O按________方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角的相反角記

為.

③設，是任意兩個角．我們規(guī)定，把角的終邊旋轉角，這時終邊所對應的角是.

④角的減法可以轉化為角的加法．

2．象限角

把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊

在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在________上，就認為這個角不屬于任何一個象限．

3．終邊相同的角

所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構成一個集合S________，即任一與角終邊相同的角，

都可以表示成角與整數(shù)個周角的和．

溫馨提示：（1）為任意角，“kZ”這一條件不能漏；

（2）k·360與中間用“”連接，如k·360可理解成k·360()．

自主檢測下列與30角終邊相同的角是（）

A．600B．60C．330D．750

知識點2弧度制

1．角的單位制

1

（1）角度制：規(guī)定1度的角等于周角的，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制．

360

（2）弧度制：長度等于________的圓弧所對的圓心角叫做1弧度(radian)的角，弧度單位用符號rad表示，

讀作弧度．

2．角度與弧度的換算

角度化弧度弧度化角度

180radrad180

180

________弧度數(shù)度數(shù)

自主檢測（多選）下列轉化結果正確的是（）

3π10π

A．6730化成弧度是B．化成角度是600

83

7ππ

C．150化成弧度是D．化成角度是25

612

知識點3扇形的弧長公式及面積公式

弧長公式面積公式

nrnr2

角度制lS

180360

11

弧度制________Slr||r2

22

溫馨提示：（1）運用弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式明顯比角度制下的公式簡單得多，但要注意它

的前提是為弧度制．

（2）在運用公式時，還應熟練地掌握這兩個公式的變形運用：

ll12S

①l||r,||,r;(2)S||r2,||

r||2r2

ππ

自主檢測已知一個扇形的圓心角為，且所對應的弧長為，則該扇形的面積為（）

62

3ππ3π

A．πB．C．D．

422

知識點4三角函數(shù)的概念

1．任意角的三角函數(shù)的定義

如圖，設是一個任意角，R，它的終邊OP與________交于點P(x，y)

前

提

正弦點P的縱坐標y叫做的正弦，記作sin，即ysin

定余弦點P的橫坐標x叫做的正弦，記作cos，即xcos

義yy

正切把點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切，記作tan，即tanx0

xx

正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值

的函數(shù)，將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，記為

三角

正弦函數(shù)ysinx(xR)；余弦函數(shù)ycosx(xR)

函數(shù)

π

正切函數(shù)ytanx,x+kkZ

2

溫馨提示：（1）在任意角的三角函數(shù)的定義中，應該明確是一個任意角．

（2）三角函數(shù)值是比值，是一個實數(shù)，這個實數(shù)的大小和P(x，y)所在終邊上的位置無關，而由角的終

邊位置決定．

2．三角函數(shù)值的符號

如圖所示：

正弦：一二象限正，三四象限負；

余弦：一四象限正，二三象限負；

正切：一三象限正，二四象限負．

簡記口訣：________

自主檢測若點P3,1是角終邊上一點，則sin的值是.

知識點5同角三角函數(shù)的基本關系式

（1）平方關系:sin2cos21.

（2）商數(shù)關系:tan________k,kZ

2

這就是說,同一個角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切k,kZ.

2

溫馨提示:(1)注意“同角”,這里“同角”有兩層含義,一是“角相同”,二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提

下)都成立,即與角的表達形式無關,如sin23cos231成立,但是sin2cos21就不一定成立.

12π

自主檢測已知tanx,x,π，則cosx（）

52

512512

A．B．C．D．

13131313

知識點6三角函數(shù)的誘導公式

誘導公式一：sin(2k)sin，cos(2k)________，tan(2k)tan，其中kZ

誘導公式二：sin()sin，cos()cos，tan()________

誘導公式三：sin[((2k1)]________，cos[(2k1)]cos，tan[(2k1)]tan，其中kZ

誘導公式四：sincos，cossin，sin________，cossin

2222

知識點詮釋：（1）要化的角的形式為k90（k為常整數(shù)）；

（2）記憶方法：________；

（3）常見變形：sinxcosxcosx；cosxsinx．

44444

自主檢測已知角的終邊經(jīng)過點P(3,4)，則

（1）tan(6π)的值為；

（2）sin(4π)sin(2π)cos(2π)cos(6π)的值為．

題型1任意角與弧度制

例1-1（多選）下列結論錯誤的是（）

A．第一象限角是銳角B．鈍角是第二象限角

C．終邊相同的角一定相等D．不相等的角，它們終邊必不相同

例1-2已知角的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，則角的取值范圍是（）

A．∣3075或210285

B．∣7530或105210

C．∣k36030k360105,kZ

D．∣k18030k180105,kZ

【變式1-1】下列說法正確的是.

①兩個角的終邊相同，則它們的大小相等；

②若角為第二象限角，則是第三象限角；

③第一象限角都是銳角；

π

④終邊在直線yx上的角的集合是kπ,kZ.

4

【變式1-2】如圖所示，終邊落在陰影部分內(nèi)的角α的取值集合為.

【變式1-3】如圖所示，半徑為1的圓的圓心位于坐標原點，點P從A(1,0)出發(fā)，以逆時針方問等速沿單位

圓周旋轉，已知點P在1s內(nèi)轉過的角度為0180，經(jīng)過2s到達第三象限，經(jīng)過14s后又回到了出

發(fā)點A處，則．

題型2扇形的弧長與面積

例2-1已知某圓錐的高為2，其側面展開圖為半圓，則該圓錐底面圓的半徑為．

例2-2已知某圓錐的高為2，其側面展開圖為半圓，則該圓錐底面圓的半徑為.

【變式2-1】已知扇形的圓心角為3rad，面積為6，則該扇形的周長為.

2π

【變式2-2】若一個圓錐的側面展開圖是圓心角為，半徑為1的扇形，則這個圓錐的側面積與表面積的比

3

是．

【變式2-3】（多選）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個

圓面中剪下的扇形制作而成．如圖，設扇形的面積為S1，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為S2，當S1

51

與S2的比值為時，扇面為“美觀扇面”，下列結論正確的是（）

2

（參考數(shù)據(jù)：52.236）

S

A．1

S22π

S1

1

B．若，且扇形的半徑R3，則S12π

S22

C．若扇面為“美觀扇面”，則138

D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑R20，則此時的扇形面積為200(35)

題型3扇形中的最值問題

例3-1已知扇形的周長為20，則該扇形的面積S的最大值為（）

A．10B．15C．20D．25

π

例3-2如圖，A,B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，APB.圖中陰影區(qū)域的面積的最大

4

值為.

方法技巧最值問題的處理

求扇形面積、周長最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)或基本不等式的最值問題

【變式3-1】在面積為定值S的扇形中，扇形的周長最小時半徑是.

【變式3-2】小明準備用鋁合金材料制成如圖所示的窗架，窗架的下部是矩形，上部是半圓形，要求窗架圍

成的總面積為3平方米．設窗架的周長為L米，矩形下緣為x米．

(1)建立L關于x的函數(shù)表達式；

(2)現(xiàn)有10米的鋁合金材料是否夠用?（不計算損耗）

（參考數(shù)據(jù)：3,62.45,113.32，精確到0.1）

題型4三角函數(shù)的定義

例4-1若角的頂點是坐標原點O，始邊與x軸非負半軸重合，點P1,22在角的終邊上，則

sintan（）

8292

A．22B．C．32D．

34

例4-2已知角的終邊在直線yx(x0)上，則2sincos（）

222222

A．B．或C．D．或

222244

易錯分析終邊在直線上時需討論

若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意“在終邊上任取一點”應分兩種情況（點所在象限不同）進

行分析．

【變式4-1·變考法】如圖，單位圓被點A1,A2,,A12分為12等份，其中A1(1,0)．角的始邊與x軸的非負

半軸重合，若的終邊經(jīng)過點A5，則cos；若tan3，則角的終邊與單位圓交于點

（從A1,A2,,A12中選擇，寫出所有滿足要求的點）．

【變式4-2】已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A1,a，B2,b，

且3sin22cos，則ab

【變式4-3】已知角的終邊上的點P與Aa,b關于x軸對稱ab0，角的終邊上的點Q與A關于直線

sintan1

yx對稱，則的值為.

costancossin

題型5三角函數(shù)值的符號判定

sintan

例5-1若2，則的終邊位于（）

sintan

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

例5-2點A(cos2,tan2)在平面直角坐標系中位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【變式5-1】tan125cos3150（填“”或“<”）

【變式5-2】“sintan0”是“為第二或四象限角”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條

件

【變式5-3】若是第四象限角，則下列選項中能確定為負值的是（）

A．cos2B．cosC．tanD．sin

222

題型6同角三角函數(shù)的已知條件等式求值

1sin1

例6-1已知為第三象限角，且2，則cos的值為．

1sincos

例6-2已知是第二象限角，且滿足sin2cos0，則cos的值為（）

252555

A．B．C．D．

5555

易錯分析求解時忽略角的范圍

根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定未知角的范圍，并進行定號

2

【變式6-1】已知集合Asinα，cosα，1，Bsinα，sinαcosα，0，且A=B，則sin2023cos2023（）

A．－1B．0C．1D．±1

3sinx2cos

【變式6-2】若實數(shù)，滿足方程組，則的一個值可以是.（寫出滿足條

3cosx2sin1

件的一個值即可）

【變式6-3】已知A,B,C是三角形的內(nèi)角，3sinA,cosA是方程x2x2a0的兩根.

(1)求角A；

12sinBcosB

(2)若3，求tanB.

cos2Bsin2B

【變式6-4】如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點P，

過P作單位圓O的切線l，l與x軸和y軸分別交于P1x0,0，P20,y0兩點.

3

(1)若tan，求OPP的周長；

412

22

(2)若x04y09，求OP1P2的面積.

題型7求sinx,cosx齊次式的值

23sincos

例7-1若tan，則（）

3sincos

A．1B．1C．9D．9

17

例7-2已知tan,是關于x的方程x2kxk280的兩個實根，且3ππ，則

tan2

cossin.

方法技巧齊次式的處理

asinbcosa2sin2bsinacosccos2

（1）對于或的求值,將分子分母同除以cos或

csindcosdsin2esincosfcos2

cos2,化成關于tan的式子,從而達到求值的目的.

（2）對于asin2bsincoscos2的求值,可看成分母是1,利用1sin2cos2進行代替后分子

分母同時除以cos2,得到關于tan的式子,從而可以求值.

【變式7-1】已知角的終邊落在射線y2xx0上，則2sin2cos2（）

3773

A．-B．C．D．

5555

3cos20sin20

【變式7-2】（2025·安徽·模擬預測）計算：tan2013tan20（）

cos203sin20

323

A．

B．

3C．

D．1

33

2π

【變式7-3】已知關于x的二次方程2x4xtan0對xR恒成立.

4

(1)求tan的取值范圍；

(2)當tan取得最小值時，求cos23sincos1的值.

題型8sinxcosx,sinxcosx知一求二

1

例8-1（多選）已知在VABC中，sinAcosA，則下列命題中正確的是（）

5

47

A．tanAB．sinAcosA

35

43

C．sinAD．cosA

55

sincos

例8-2已知sin,cos是方程2x2mx10的兩根，則1.

11tan

tan

1

【變式8-1】若sincos，0π，則cos22sincossin2（）

3

817817817817

A．B．C．D．

9999

π

【變式8-3】設fsincossincos，則fsin的值為（）

6

3113

A．B．C．D．

8888

題型9誘導公式的簡單運用

sincos1

例9-1若，則tanπ（）

sincos2

11

A．3B．C．3D．

33

例9-2（2025·湖北武漢·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，設角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的

π5

非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P(t,1)，sin，則t（）

25

11

A．-2B．C．D．2

22

【變式9-1】2cos840（）

A．3B．3C．1D．1

【變式9-2】黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大，吸引力強，任何物體到了它那里都別想再出來，

數(shù)字中也有類似的“黑洞”，任意取一個數(shù)字串，長度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個數(shù)、奇數(shù)的個數(shù)

以及總的數(shù)字個數(shù)，把這三個數(shù)從左到右寫成一個新數(shù)字串；重復以上工作，最后會得到一個反復出現(xiàn)的

a

數(shù)字，我們稱它為“數(shù)字黑洞”，如果把這個數(shù)字設為a，則sin．

26

3π

sin(2π)tan(π)sin

2

【變式9-3】已知f().

π

sintan(3π)

2

(1)已知角的終邊過點P(5,12)，求f()的值；

3π1π3π

(2)若f()f，且,，求tan的值.

2522

題型10互余型、互補型互化求值

π15π

例10-1已知sin，則cos的值為（）

12312

112222

A．B．C．D．

3333

π5π

例10-2若sin,則cos．

454

π1π

【變式10-1】已知sin2x，則cos2x（）

633

112222

A．B．C．D．

3333

1513

sin3cos

877

【變式10-2】設tanm，則.（用m表示）.

72022

sincos

77

sin2πcosπtan2π

f

【變式10-3】已知函數(shù)9π．

sintanπ

2

(1)化簡f；

πππ12π5π

(2)若,,f，求cos2cos的值．

636336

題型11同角三角函數(shù)與誘導公式的綜合

例11-1已知角的終邊經(jīng)過點3,4，將角的終邊繞原點O順時針旋轉得到角的終邊，則

2

tan.

3

例11-2若3sinsin10，且，則sin.

2

【變式11-1】化簡求值：

cos361cos236

(1)；

12sin36cos36

12sin10cos10

(2)；

sin101sin210

12sin130cos130

(3)；

sin1301sin2130

12sin20cos20

(4)．

sin1601sin220

【變式11-2】如圖，在平面直角坐標系xOy中，以原點O為頂點，x軸非負半軸為始邊作角與

ππ3

(0)，它們的終邊分別與以O為圓心的單位圓相交于點M,N，且點M的坐標為,y，

225

3

單位圓與x軸的非負半軸交于點A，OAN的面積是△OAM面積的．

4

(1)求sin,cos的值；

sincosπ

(2)求5π3π的值．

cossin

22

1．（2023·全國甲卷·高考真題）設甲：sin2sin21，乙：sincos0，則（