第13頁(yè)（共13頁(yè)）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版期中必刷?？碱}之指數(shù)冪的拓展一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）2﹣（2k+1）﹣2﹣（2k﹣1）+2﹣2k化簡(jiǎn)后等于（）A．2﹣2k B．2﹣（2k﹣1） C．﹣2﹣（2k+1） D．22．（2024秋?常州期末）某廠去年的產(chǎn)值記為1，計(jì)劃從今年起，每年的產(chǎn)值比上年增長(zhǎng)8%，則從今年起到第十年，這個(gè)廠這十年的總產(chǎn)值為（）A．1.089 B．1.0810 C．1.08(1-1.08D．1-1.03．（2024秋?沈陽(yáng)期末）若1＜a＜2，則3(A．1 B．﹣1 C．3﹣2a D．2a﹣34．（2024秋?青山湖區(qū)校級(jí)月考）若實(shí)數(shù)a，b滿足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，則b-A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．12或﹣5．（2024秋?湘西州月考）估計(jì)2×(2A．9和10之間 B．8和9之間 C．7和8之間 D．6和7之間二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?哈爾濱校級(jí)期中）下列各式錯(cuò)誤的是（）A．6y2=y13 B．a(chǎn)3+C．x-13=-（多選）7．（2024秋?番禺區(qū)校級(jí)期中）下列計(jì)算正確的是（）A．8-23=14 B．（﹣a2C．8a8=a（多選）8．（2024秋?昆明校級(jí)期中）x，y，z為正實(shí)數(shù)，若(1A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．5z＞4y＞3x D．3x＞4y＞5z三．填空題（共5小題）9．（2025春?寧鄉(xiāng)市期末）1x2y2(x10．（2025?封丘縣校級(jí)開學(xué)）53xx×311．（2024秋?金山區(qū)期末）將a?4a3化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為12．（2024秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）若m≠n，且m2﹣5m+1＝0，n2﹣5n+1＝0，則m2+n2的值為．13．（2024秋?婁底期末）化4(3-π)4=四．解答題（共2小題）14．（2024秋?吉林校級(jí)期末）計(jì)算下列各式（1）0.001（2）已知x+x﹣1＝3，求下列各式的值：①x1②x315．（2024秋?鄲城縣校級(jí)期末）（1）已知2a＝4，求(4（2）已知a2+a﹣1＝0，求(a

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版（2019）期中必刷常考題之指數(shù)冪的拓展參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）題號(hào)12345答案CCBCC二．多選題（共3小題）題號(hào)678答案ABCADAC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）2﹣（2k+1）﹣2﹣（2k﹣1）+2﹣2k化簡(jiǎn)后等于（）A．2﹣2k B．2﹣（2k﹣1） C．﹣2﹣（2k+1） D．2【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】C【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則即可得出．【解答】解：2﹣（2k+1）﹣2﹣（2k﹣1）+2﹣2k＝2﹣2k（2﹣1﹣2+1）=-12×2-2k故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024秋?常州期末）某廠去年的產(chǎn)值記為1，計(jì)劃從今年起，每年的產(chǎn)值比上年增長(zhǎng)8%，則從今年起到第十年，這個(gè)廠這十年的總產(chǎn)值為（）A．1.089 B．1.0810 C．1.08(1-1.08D．1-1.0【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求出每年的產(chǎn)值構(gòu)成數(shù)列，從今年起到第十年，組成等比數(shù)列，利用求和公式，求出這個(gè)廠的總產(chǎn)值．【解答】解：由題意，第一年要比去年產(chǎn)值增加8%，那么第一年產(chǎn)值就是1+8%，即1.08，第二年又比第一年增加8%，所以第二年產(chǎn)值是（1+0.08）（1+0.08）＝（1+0.08）2，，…，依此類推，第十年的產(chǎn)值是（1+0.08）10，所以從今年起到第十年，這個(gè)廠的總產(chǎn)值為（1+0.08）+（1+0.08）2+…+（1+0.08）10=1.08(1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列模型的構(gòu)建與應(yīng)用問題，考查了數(shù)列求和的計(jì)算能力與邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題．3．（2024秋?沈陽(yáng)期末）若1＜a＜2，則3(A．1 B．﹣1 C．3﹣2a D．2a﹣3【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由已知結(jié)合根式的意義即可進(jìn)行化簡(jiǎn)．【解答】解：若1＜a＜2，則3(1-a)3-4(2-a)4=1﹣a﹣（2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根式的化簡(jiǎn)，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024秋?青山湖區(qū)校級(jí)月考）若實(shí)數(shù)a，b滿足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，則b-A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．12或﹣【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】計(jì)算題；分類討論；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b＝8且ab＝5，即可得出．【解答】解：①當(dāng)a＝b時(shí)，則原式＝1+1＝2，②當(dāng)a≠b時(shí)，∵實(shí)數(shù)a，b滿足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴實(shí)數(shù)a，b是方程x2﹣8x+5＝0的兩個(gè)根，∴a+b＝8且ab＝5，∴b-1綜上，b-1a-1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024秋?湘西州月考）估計(jì)2×(2A．9和10之間 B．8和9之間 C．7和8之間 D．6和7之間【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】先結(jié)合根式運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可判斷．【解答】解：2×(22+因?yàn)?＜10＜所以7＜4+10＜故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根式乘法的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?哈爾濱校級(jí)期中）下列各式錯(cuò)誤的是（）A．6y2=y13 B．a(chǎn)3+C．x-13=-【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】A選項(xiàng)，舉出反例；BCD選項(xiàng)，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和根式的運(yùn)算法則得到答案．【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)y＜0時(shí)，6y2=對(duì)于B，a＝1時(shí)顯然等式不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，x-13對(duì)于D，4aa=故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)指數(shù)冪以及根式的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（2024秋?番禺區(qū)校級(jí)期中）下列計(jì)算正確的是（）A．8-23=14 B．（﹣a2C．8a8=a【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】計(jì)算題；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AD【分析】根據(jù)冪指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解決此題．【解答】解：8-23（﹣a2）3＝﹣a6，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤．8a8=±a，a為負(fù)數(shù)時(shí)，結(jié)果為﹣a，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤．5(-π)故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．（2024秋?昆明校級(jí)期中）x，y，z為正實(shí)數(shù)，若(1A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．5z＞4y＞3x D．3x＞4y＞5z【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】將(13)x=(14)y=(15)z變形得到3x＝4y＝5z即可得x、y、z間的大小關(guān)系，再分別構(gòu)造出（3x）12＝（4y）12、（4y）【解答】解：由(1即有3x＝4y＝5z，由3＜4＜5，則x＞y＞z，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?x＝4y，故（3x）12＝312x＝（34）3x＝813x＝（4y）12＝412y＝（43）4y＝644y，因?yàn)?1＞64，故3x＜4y，同理，因?yàn)?y＝5z故（4y）20＝420y＝（45）4y＝10244y＝（5z）20＝520z＝（54）5z＝6255z，因?yàn)?024＞625，故4y＜5z，即有5z＞4y＞3x，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查指數(shù)冪的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共5小題）9．（2025春?寧鄉(xiāng)市期末）1x2y2(x【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；運(yùn)算求解．【答案】70．【分析】利用二項(xiàng)式定理寫出(x【解答】解：(x-y)8的展開式通項(xiàng)為Tr+1=C8r當(dāng)r＝4時(shí)，T5=C84故答案為：70．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（2025?封丘縣校級(jí)開學(xué)）53xx×3【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】1．【分析】結(jié)合根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化即可求解．【解答】解：53xx×3故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)冪與根式的轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．（2024秋?金山區(qū)期末）將a?4a3化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪與根式的互化．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】a7【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算法則，即可求解．【解答】解：a?故答案為：a7【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查指數(shù)冪的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）若m≠n，且m2﹣5m+1＝0，n2﹣5n+1＝0，則m2+n2的值為23．【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】23．【分析】由題意，利用韋達(dá)定理，求得m2+n2＝（m+n）2﹣2mn的值．【解答】解：∵m≠n，且m2﹣5m+1＝0，n2﹣5n+1＝0，∴m、n是方程x2﹣5x+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m+n＝5，m?n＝1，則m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝25﹣2＝23，故答案為：23．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．（2024秋?婁底期末）化4(3-π)4=π【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】計(jì)算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用nan=【解答】解：∵nan=∴4(3-π)4故答案為：π﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根式的性質(zhì)，運(yùn)算，屬于計(jì)算題，難度不大．四．解答題（共2小題）14．（2024秋?吉林校級(jí)期末）計(jì)算下列各式（1）0.001（2）已知x+x﹣1＝3，求下列各式的值：①x1②x3【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）89；（2）①5；②25【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)冪與根式的互化，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解；（2）①根據(jù)完全平方和公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得(x12②根據(jù)公式x32+【解答】解：（1）原式=(（2）①∵(x∴x1又由x+x﹣1＝3得x＞0，∴x1所以x1②（法一）x3（法二）(x而x3+x﹣3＝（x+x﹣1）（x2+x﹣2﹣1）＝（x+x﹣1）[（x+x﹣1）2﹣3]＝3×（32﹣3）＝18，∴(x又由x+x﹣1＝3＞0得x＞0，∴x3所以x3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查實(shí)數(shù)指數(shù)冪，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024秋?鄲城縣校級(jí)期末）（1）已知2a＝4，求(4（2）已知a2+a﹣1＝0，求(a【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）-22；（2）【分析】（1）由已知先求出a，然后把所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，把a(bǔ)的值代入即可求解；（2）由已知可得a2+a＝1，a2＝1﹣a，對(duì)a2＝1﹣a兩邊平方可得a4＝2﹣3a，代入到所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．【解答】解：（1）因?yàn)?a＝4，所以a＝2，(4a2-a3)÷4（2）因?yàn)閍2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，a2＝1﹣a，所以a4＝（1﹣a）2＝a2﹣2a+1＝2﹣3a，則(a【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．有理數(shù)指數(shù)冪及根式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：amn=nam（a＞0，m，n∈Na-mn=1amn=1nam（a＞0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義有理數(shù)指數(shù)冪（1）冪的有關(guān)概念：①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：amn=nam（a＞0，m，n∈N②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a-mn=1amn=1nam（a＞③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義．（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解題方法點(diǎn)撥】例1：下列計(jì)算正確的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、aa=aC、4(-3)4=3D、(ax)2a2分析：直接由有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，然后逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正確；∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a?{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}{{a}^{3}}$，∴B不正確；∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正確；∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正確．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，考查了有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．例1：若a＞0，且m，n為整數(shù)，則下列各式中正確的是（）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$B、am?an＝am?nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，先分別判斷四個(gè)備選取答案，從中選取出正確答案．解：A中，am÷an