第36頁（共36頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版期中必刷?？碱}之向量在立體幾何中的應(yīng)用一．選擇題（共6小題）1．（2024秋?普定縣校級期末）已知u→=（﹣2，0，k）是直線l的方向向量，m→=（1，0，2）是平面α的法向量，若l⊥A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．42．（2024秋?普定縣校級期末）設(shè)α，β是不重合的兩個平面，α，β的法向量分別為n→1，n→2，l和m是不重合的兩條直線，l，m的方向向量分別為A．l?α，m?β，且e→1⊥B．l?α，m?β，且e→C．e→1∥n→D．e→1⊥n3．（2025?河北開學(xué)）若直線l的方向向量和平面α的法向量夾角的余弦值為13，則直線l與平面αA．13 B．223 C．224．（2024秋?涪城區(qū)校級期末）如圖，在大小為45°的二面角A﹣EF﹣D中，四邊形ABFE與CDEF都是邊長為1的正方形，則B與D兩點間的距離是（）A．3 B．2 C．1 D．3-5．（2024秋?靈武市校級期末）已知點A（1，1，﹣1）在平面α內(nèi)，點P（0，2，﹣1）在α外，且α的一個法向量n→=(1，-2A．66 B．62 C．32 6．（2025?宣威市學(xué)業(yè)考試）棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB、CC1的中點，則點B到平面B1EF的距離為（）A．21919 B．42121 C．4二．多選題（共3小題）（多選）7．（2025秋?江蘇月考）已知四面體ABCD滿足AB=A．直線AB與CD垂直 B．二面角C﹣AB﹣D平面角的余弦值為45C．向量AC→在向量BD→上的投影為D．四面體ABCD的體積為2（多選）8．（2025?孝感開學(xué)）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為a，E是棱CD上的動點，且DE→A．EB1⊥AD1 B．點E到直線A1B1的距離為2aC．直線AE與B1D1所成角的范圍為(πD．二面角E﹣A1B1﹣A的大小為π（多選）9．（2024秋?邢臺期末）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝6，E，F(xiàn)分別是棱AD，AA1的中點，點G在棱DD1上，則下列說法正確的是（）A．存在點G，使得EF⊥BG B．點B到平面CEF的距離是2461C．存在點G，使得BG⊥平面CEF D．過CF作該長方體外接球的截面，所得截面面積的最小值是625三．填空題（共3小題）10．（2024秋?新余期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝2AC＝2，沿AC將△ACD折起到△PAC的位置，使得點P到點B的距離為13，則二面角P﹣AC﹣B的大小為．11．（2025?湖南模擬）如圖1，已知球O的半徑R=3，在球O的內(nèi)接三棱錐D﹣ABC中，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=2BC，BD=6．P，Q分別為線段AC，BC的中點，G為線段BD上一點（不與點B重合），如圖2．則平面OBC與平面GPQ12．（2025?湖南學(xué)業(yè)考試）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2BC，E、F分別是AB、CD的中點，現(xiàn)在沿EF把這個矩形折成一個直二面角A﹣EF﹣C（如圖2），則在圖2中直線AF與平面EBCF所成的角的大小為．四．解答題（共3小題）13．（2025?揚州開學(xué)）已知四邊形QBCD為直角梯形，其中CD∥QB，BC⊥CD，BC＝CD，DA⊥QB，A為垂足（如圖1）．將△QAD沿AD折起，使點Q移至點P的位置，得到四棱錐P﹣ABCD（如圖2），且滿足PA⊥AB，點E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點．（1）證明：平面PAC⊥平面AEF；（2）若PC⊥平面AEF，試問：棱CD上是否存在一點M，使得直線PM與平面AEF所成角的正弦值為223，若存在，求出14．（2025秋?太和縣校級月考）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面A1ACC1為菱形，∠A1AC＝60°，底面ABC為等邊三角形，平面A1ACC1⊥平面ABC，點D，E分別是A1B1，A1C1的中點．（1）證明：平面DEC⊥平面ABC；（2）若AB＝2，點F在直線CC1上，且平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值為1717，求線段CF15．（2025春?臨夏州期末）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AD＝DC＝1，BC=（1）證明：BC⊥平面PAC；（2）若直線PC與平面PAB所成角的正弦值為66①求線段PA的長；②求平面PBC與平面PAD所成角的余弦值．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版（2019）期中必刷?？碱}之向量在立體幾何中的應(yīng)用參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號123456答案ACDDBB二．多選題（共3小題）題號789答案ADABDABD一．選擇題（共6小題）1．（2024秋?普定縣校級期末）已知u→=（﹣2，0，k）是直線l的方向向量，m→=（1，0，2）是平面α的法向量，若l⊥A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考點】空間向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系；空間直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù)方程；平面的法向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】A【分析】直接根據(jù)向量共線，建立方程，即可求解．【解答】解：∵u→=（﹣2，0，k）是直線l的方向向量，m→=（1，0，2）是平面α的法向量，又∴-21=k2，故選：A．【點評】本題考查空間中線面關(guān)系，向量法的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．2．（2024秋?普定縣校級期末）設(shè)α，β是不重合的兩個平面，α，β的法向量分別為n→1，n→2，l和m是不重合的兩條直線，l，m的方向向量分別為A．l?α，m?β，且e→1⊥B．l?α，m?β，且e→C．e→1∥n→D．e→1⊥n【考點】平面的法向量；平面與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維．【答案】C【分析】對于A，α與β相交或平行；對于B，α與β相交或平行；對于C，由面面平行的判定定理得α∥β；對于D，α與β相交或平行．【解答】解：設(shè)α，β是不重合的兩個平面，α，β的法向量分別為n→1，n→2，l和m是不重合的兩條直線，對于A，l?α，m?β，且e→1⊥n→1，e→對于B，l?α，m?β，且e→1∥e→2，則對于C，e→1∥n→1，e→2∥對于D，e→1⊥n→1，e→2⊥故選：C．【點評】本題考查面面平行的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．（2025?河北開學(xué)）若直線l的方向向量和平面α的法向量夾角的余弦值為13，則直線l與平面αA．13 B．223 C．22【考點】空間向量法求解直線與平面所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；運算求解．【答案】D【分析】應(yīng)用向量法得線面角的正弦值，進(jìn)而求正切值．【解答】解：因為直線l的方向向量和平面α的法向量夾角的余弦值為13所以設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，則sinθ=由于0＜θ≤所以tanθ=故選：D．【點評】本題考查向量求解線面角問題，屬基礎(chǔ)題．4．（2024秋?涪城區(qū)校級期末）如圖，在大小為45°的二面角A﹣EF﹣D中，四邊形ABFE與CDEF都是邊長為1的正方形，則B與D兩點間的距離是（）A．3 B．2 C．1 D．3-【考點】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；空間角；空間向量及應(yīng)用．【答案】D【分析】由DB→【解答】解：∵四邊形ABFE與CDEF都是邊長為1的正方形，∴DE→?又大小為45°的二面角A﹣EF﹣D中，∴DE→?FB→=1×1×cos（180°﹣45°∵DB→∴DB→2=∴|DB故選：D．【點評】本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、向量的多邊形法則、空間角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5．（2024秋?靈武市校級期末）已知點A（1，1，﹣1）在平面α內(nèi)，點P（0，2，﹣1）在α外，且α的一個法向量n→=(1，-2A．66 B．62 C．32 【考點】平面的法向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】B【分析】由點到平面的距離的向量法公式直接計算求解即可．【解答】解：點A（1，1，﹣1）在平面α內(nèi)，點P（0，2，﹣1）在α外，且α的一個法向量n→可得AP→所以點P到平面α的距離為|AP故選：B．【點評】本題主要考查點到面的距離計算，屬于基礎(chǔ)題．6．（2025?宣威市學(xué)業(yè)考試）棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB、CC1的中點，則點B到平面B1EF的距離為（）A．21919 B．42121 C．4【考點】空間中點到平面的距離．【專題】對應(yīng)思想；等體積法；空間位置關(guān)系與距離；運算求解．【答案】B【分析】應(yīng)用三棱錐體積公式結(jié)合等體積法計算求解．【解答】解：如圖，設(shè)點B到平面B1EF的距離為h，∵E，F(xiàn)分別是AB、CC1的中點，∴B1F=B故S△因此VB故選：B．【點評】本題考查空間中點到平面距離的求法，訓(xùn)練了等體積法的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）7．（2025秋?江蘇月考）已知四面體ABCD滿足AB=A．直線AB與CD垂直 B．二面角C﹣AB﹣D平面角的余弦值為45C．向量AC→在向量BD→上的投影為D．四面體ABCD的體積為2【考點】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；棱錐的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運算求解．【答案】AD【分析】構(gòu)造長方體，由長方體的特征可判定A項，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量可判定B、C項，利用割補(bǔ)法計算體積可判定D項．【解答】解：如圖，構(gòu)造長方體AHBG﹣ECFD，因AB=則可得DE=EC=1建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1對于A，由長方體的特征可知AB∥EF，又底面ECFD為正方形，即EF⊥CD，所以AB⊥CD，故A正確；對于B，易知AB→設(shè)平面ABC和平面ABD的法向量分別為m→則m→⊥AB故可取m→則AB→⊥n故可取n→設(shè)銳二面角C﹣AB﹣D的平面角為α，則cosα=|cos?對于C，易知BD→則AC→在BD→上的投影為cos?對于D，由圖易知四面體ABCD的體積等于長方體的體積減去四個大小相同的小三棱錐的體積，即VA-BCD故選：AD．【點評】本題考查向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）8．（2025?孝感開學(xué)）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為a，E是棱CD上的動點，且DE→A．EB1⊥AD1 B．點E到直線A1B1的距離為2aC．直線AE與B1D1所成角的范圍為(πD．二面角E﹣A1B1﹣A的大小為π【考點】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；空間中點到直線的距離及兩平行直線間的距離；異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；立體幾何；運算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)已知構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法證明線性垂直、求異面直線所成角判斷A、C；根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征及二面角的定義判斷B、D．【解答】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（a，0，0），E（0，m，0），0≤m≤a，B1（a，a，a），D1（0，0，a），A1（a，0，a），對于A：AD因為EB所以EB1→⊥AD1→，即對于B：由正方體的結(jié)構(gòu)特征知，CD∥A1B1且四邊形CDA1B1為矩形，所以E到A1B1的距離為B1C=對于C：B1設(shè)直線AE與B1D1所成角為θ，則cosθ=|顯然在m∈[0，a]中，cosθ隨m的變大而變小，當(dāng)m＝a時，cosθ最小等于0，此時θ最大為π2當(dāng)m＝0時，cosθ最大等于22，此時θ最小為π所以θ∈[π4，π2]，即直線AE與B1對于D：二面角E﹣A1B1﹣A，即二面角D﹣A1B1﹣A，AA1⊥A1B1，DA1⊥A1B1，DA1?平面EA1B1，AA1?平面AA1B1，所以∠DA1A即為二面角E﹣A1B1﹣A的平面角，在正方形ADD1A1中∠DA1A=π4，則二面角E﹣A1B1故選：ABD．【點評】本題考查向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）9．（2024秋?邢臺期末）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝6，E，F(xiàn)分別是棱AD，AA1的中點，點G在棱DD1上，則下列說法正確的是（）A．存在點G，使得EF⊥BG B．點B到平面CEF的距離是2461C．存在點G，使得BG⊥平面CEF D．過CF作該長方體外接球的截面，所得截面面積的最小值是625【考點】空間中點到平面的距離；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間位置關(guān)系與距離；運算求解；空間想象．【答案】ABD【分析】以D1為原點建系，利用向量法處理線線垂直可判斷選項A；利用向量法求點到面的距離可判斷選項B；利用向量法處理線面垂直可判斷選項C；求得向量CO→在CF【解答】解：以D1為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E（2，0，6），F(xiàn)（4，0，3），B（4，4，6），C（0，4，6），設(shè)G（0，0，t），t∈[0，6]，選項A，EF→=（2，0，﹣3），BG→=（﹣4，﹣4，若EF⊥BG，則EF→?BG→=-8﹣3（t﹣6）＝0，解得所以存在點G，使得EF⊥BG，故選項A正確；選項B，EF→=（2，0，﹣3），EC→=（﹣2，4，0），CB→=（設(shè)平面CEF的法向量為n→=（x，y，z），則取y＝3，則x＝6，z＝4，所以n→=（6，3，所以點B到平面CEF的距離是|CB→?選項C，由上可知，平面CEF的法向量為n→=（6，3，4），BG→=（﹣4，﹣4，若BG⊥平面CEF，則BG→∥n→，即-4選項D，設(shè)長方體外接球球心為O，則O是D1B的中點，即O（2，2，3），所以CO→=（2，﹣2，﹣3），CF→=（4，﹣易知所求的截面是一個圓，當(dāng)所求的截面圓與平面OCF垂直時，截面圓的半徑最小，為|CO因此所得截面面積的最小值是π?(2541)故選：ABD．【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握利用向量法判斷線線垂直、線面垂直，以及求點到面的距離是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．三．填空題（共3小題）10．（2024秋?新余期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝2AC＝2，沿AC將△ACD折起到△PAC的位置，使得點P到點B的距離為13，則二面角P﹣AC﹣B的大小為2π3【考點】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；運算求解．【答案】2π【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積運算律求解即得．【解答】解：由翻折的性質(zhì)可得PC⊥AC，AC⊥AB，則PC→?CA→=設(shè)P﹣AC﹣B的大小為α，則α與?PC→，則PB→2=于是13=4+1+4+2×2×2cos?PC因此cosα＝cos（π-?PC→，又θ∈[0，π]，所以α=故答案為：2π【點評】本題主要考查二面角的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．11．（2025?湖南模擬）如圖1，已知球O的半徑R=3，在球O的內(nèi)接三棱錐D﹣ABC中，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=2BC，BD=6．P，Q分別為線段AC，BC的中點，G為線段BD上一點（不與點B重合），如圖2．則平面OBC與平面GPQ【考點】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；球內(nèi)接多面體；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間角；運算求解；空間想象．【答案】155【分析】先證AC⊥平面BCD，可得AC⊥CD，進(jìn)而確定AD是球O的直徑，再以點C為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BG＝t，t∈(0，6【解答】解：因為DB⊥平面ABC，AC，AB?平面ABC，所以DB⊥AC，DB⊥AB，因為AC⊥BC，BD∩BC＝B，所以AC⊥平面BCD，又CD?平面BCD，所以AC⊥CD，在Rt△ACD和Rt△ADB中，斜邊AD的中點到點A，B，C，D的距離相等，所以AD為球O的直徑，即AD＝23，設(shè)BC＝m（m＞0），因為AC⊥BC，AC=所以AC=2m，AB=3在Rt△ADB中，AD2＝AB2+BD2，即12＝3m2+6，解得m=2以點C為坐標(biāo)原點，CB，CA所在直線分別為x，y軸，過點C且與BD平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（0，2，0），B(2，0，0)，D(2，0，6)設(shè)BG＝t，t∈(0，6所以CO→=(22，設(shè)平面OBC的法向量為m→=（x，y，z），則取z＝﹣2，則m→設(shè)平面GPQ的法向量為n→=（a，b，c），則取a=2t，則n→=（2t，t設(shè)平面OBC與平面GPQ的夾角為θ，則cosθ＝|cos＜m→，n=5令s=26t+1，則s∈（1，13]，所以26當(dāng)且僅當(dāng)s＝3，即t=此時cosθ=55×1+2故答案為：155【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定與性質(zhì)定理，利用向量法求面面角，以及函數(shù)最值的求法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．12．（2025?湖南學(xué)業(yè)考試）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2BC，E、F分別是AB、CD的中點，現(xiàn)在沿EF把這個矩形折成一個直二面角A﹣EF﹣C（如圖2），則在圖2中直線AF與平面EBCF所成的角的大小為45°．【考點】直線與平面所成的角．【專題】綜合題；方程思想；演繹法；空間角．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直線AF與平面EBCF所成的角，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直線AF與平面EBCF所成的角，∵AE＝EF，∴∠AFE＝45°．故答案為45°．【點評】本題考查線面角，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．四．解答題（共3小題）13．（2025?揚州開學(xué)）已知四邊形QBCD為直角梯形，其中CD∥QB，BC⊥CD，BC＝CD，DA⊥QB，A為垂足（如圖1）．將△QAD沿AD折起，使點Q移至點P的位置，得到四棱錐P﹣ABCD（如圖2），且滿足PA⊥AB，點E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點．（1）證明：平面PAC⊥平面AEF；（2）若PC⊥平面AEF，試問：棱CD上是否存在一點M，使得直線PM與平面AEF所成角的正弦值為223，若存在，求出【考點】空間向量法求解直線與平面所成的角；平面與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）證明：由題知，QA⊥AD即PA⊥AD，且PA⊥AB，因為AB，AD?面ABCD，AB∩AD＝A，所以PA⊥面ABCD，因為BD?面ABCD，所以PA⊥BD，又由E，F(xiàn)是所在棱的中點，得EF∥BD，所以PA⊥EF；易知四邊形ABCD是正方形，可知BD⊥AC，所以AC⊥EF；又由PA∩AC＝A，且PA，AC?面PAC，所以EF⊥面PAC，因為EF?面AEF，所以面AEF⊥面PAC；（2）存在，25【分析】（1）根據(jù)折疊前后的線線垂直關(guān)系結(jié)合線面垂直判定定理可得PA⊥面ABCD，從而得PA⊥BD，PA⊥EF，再根據(jù)線面垂直的判定定理得EF⊥面PAC，從而得面AEF⊥面PAC；（2）分別以AB→，AD→，AP→作為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算求解平面AEF的法向量，設(shè)DM＝b【解答】解：（1）證明：由題知，QA⊥AD即PA⊥AD，且PA⊥AB，因為AB，AD?面ABCD，AB∩AD＝A，所以PA⊥面ABCD，因為BD?面ABCD，所以PA⊥BD，又由E，F(xiàn)是所在棱的中點，得EF∥BD，所以PA⊥EF；易知四邊形ABCD是正方形，可知BD⊥AC，所以AC⊥EF；又由PA∩AC＝A，且PA，AC?面PAC，所以EF⊥面PAC，因為EF?面AEF，所以面AEF⊥面PAC；（2）由PA⊥AD，PA⊥AB，AB⊥AD知，可以分別以AB→，AD→，AP→不妨記AB＝AD＝2，設(shè)PA＝2a，可得A（0，0，0），E（1，0，a），F(xiàn)（0，1，a），P（0，0，2a），C（2，2，0），則AE→因為PC?面AEF，EF?面AEF，所以PC⊥EF，故PC→?AE→=2-2a2=0，解得AE→記平面AEF的法向量為n→x1+z1=0y1+z1假設(shè)棱CD上是否存在一點M，使得直線PM與平面AEF所成角的正弦值為22設(shè)DM＝b（0≤b≤2），則M(由題知22解得b=45或4（舍去），即MD【點評】本題主要考查面面垂直的判定，直線與平面所成角的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．14．（2025秋?太和縣校級月考）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面A1ACC1為菱形，∠A1AC＝60°，底面ABC為等邊三角形，平面A1ACC1⊥平面ABC，點D，E分別是A1B1，A1C1的中點．（1）證明：平面DEC⊥平面ABC；（2）若AB＝2，點F在直線CC1上，且平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值為1717，求線段CF【考點】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；平面與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運算求解．【答案】（1）證明：如圖，取AC的中點O，連接A1O，因為側(cè)面A1ACC1為菱形，∠A1AC＝60°，所以A1O⊥AC．又因為平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1O?平面A1ACC1，所以A1O⊥平面ABC．又因為E是A1C1的中點，所以四邊形A1OCE為平行四邊形，所以A1O∥CE，所以CE⊥平面ABC．又CE?平面DEC，所以平面DEC⊥平面ABC；（2）23或【分析】（1）取AC的中點O，連接A1O，證明CE⊥平面ABC，再利用面面垂直的判定定理得到答案；（2）建系，設(shè)CF→=λCC→1，借助于空間向量表示平面【解答】解：（1）證明：如圖，取AC的中點O，連接A1O，因為側(cè)面A1ACC1為菱形，∠A1AC＝60°，所以A1O⊥AC．又因為平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1O?平面A1ACC1，所以A1O⊥平面ABC．又因為E是A1C1的中點，所以四邊形A1OCE為平行四邊形，所以A1O∥CE，所以CE⊥平面ABC．又CE?平面DEC，所以平面DEC⊥平面ABC．（2）連接OB，因為△ABC為等邊三角形，則OB⊥OC，所以O(shè)B，OC，OA1兩兩垂直．則以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因為AB＝2，所以O(shè)B=故O(0A1設(shè)CF→=λ即F(0，1+又DE設(shè)平面DEF的一個法向量為m→則m→⊥DE→m取z＝λ，則y=3-3λ，x故平面DEF的一個法向量為m→又由（1）可知平面ABC的一個法向量為n→由題意可得|cos即|m解得λ=13所以線段CF的長為23或【點評】本題考查面面垂直的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．15．（2025春?臨夏州期末）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AD＝DC＝1，BC=（1）證明：BC⊥平面PAC；（2）若直線PC與平面PAB所成角的正弦值為66①求線段PA的長；②求平面PBC與平面PAD所成角的余弦值．【考點】空間向量法求解直線與平面所成的角；空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運算求解．【答案】（1）證明見解析；（2）①PA＝2；②33【分析】（1）先由題設(shè)依次求出AC⊥BC、PA⊥BC，再由線面垂直判定定理即可得證；（2）①取AB中點O，連接CO、PO，求證CO⊥平面PAB得到∠CPO為直線PC與平面PAB所成角，接著由正弦函數(shù)定義求出PO即可求解；②建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC與平面PAD的法向量即可由空間角的向量法公式計算求解．【解答】解：（1）證明：因為AB⊥AD，AB∥CD，所以AD⊥DC，又AD＝DC＝1，所以∠DAC＝∠ACD＝45°，AC=所以∠CAB＝90°﹣∠DAC＝45°，AC＝BC，所以∠ACB＝∠CAB＝45°，則∠ACB＝90°，即AC⊥BC，因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA、AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC；（2）①取AB中點O，連接CO、PO，則由（1）得CO⊥AB，且AB=因為PA⊥平面ABCD，CO?平面ABCD，所以PA⊥CO，又PA∩AB＝A，PA、AB?平面PAB，所以CO⊥平面PAB，所以∠CPO為直線PC與平面PAB所成角，所以sin∠②由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則A（0，0，0），P（0，0，2），B（0，2，0），C（1，0，1），所以AB→顯然AB→=(0，設(shè)平面PBC的一個法向量為m→所以m→取z＝1，則m→所以cos?所以平面PBC與平面PAD所成角的余弦值為33【點評】本題考查線面位置關(guān)系的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點卡片1．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【知識點的認(rèn)識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b→（3）當(dāng)a→，b→方向相同時，a→?b→=|a→||b→|；當(dāng)a→特別地：a→?a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數(shù)量積的運算律（1）交換律：a→（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λa→）?b→=λ（a→?b（3）分配律：（a→?b→）?c平面向量數(shù)量積的運算平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=a→2-【解題方法點撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c→≠0，a④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“|a→?b→|＝|a⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（a→?b→）⑥“acbc=ab”類比得到a→?c→b解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“a→?即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a即③錯誤；∵|a→?b→|≠|(zhì)a∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“|a→?b→|＝|a即④錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（a→?b→）即⑤錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴acbc=ab即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“a→?b→=b→?a→”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）?c→=a→?c→+b→?c→”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a→?c→=b→?c→?a→=c→”；|a→?b→|≠|(zhì)a→|?|b→|【命題方向】本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個常考點，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．2．球內(nèi)接多面體【知識點的認(rèn)識】1、球內(nèi)接多面體的定義：多面體的頂點都在球面上，且球心到各頂點的距離都是半徑．球內(nèi)接多面體也叫做多面體外接球．球外切多面體的定義：球面和多面體的各個面都相切，球心到各面的距離都是球的半徑．球外切多面體也叫做多面體內(nèi)切球．2、研究球與多面體的接、切問題主要考慮以下幾個方面的問題：（1）球心與多面體中心的位置關(guān)系；（2）球的半徑與多面體的棱長的關(guān)系；（3）球自身的對稱性與多面體的對稱性；（4）能否做出軸截面．3、球與多面體的接、切中有關(guān)量的分析：（1）球內(nèi)接正方體：球和正方體都是中心對稱和軸對稱圖形，設(shè)球的半徑為r，正方體的棱長為a，則：①球心就是正方體的中心，球心在正方體的體對角線的中點處；②正方體的四個頂點都在球面上；③球半徑和正方體棱長的關(guān)系：r=32（2）球外切正方體：球和正方體都是中心對稱和軸對稱圖形，設(shè)球的半徑為r，正方體的棱長為a，則：①球心就是正方體的中心，球心在正方體的體對角線的中點處；②球與正方體每個面的切點都是每個面的中心點；③球半徑和正方體棱長的關(guān)系：r=123．棱錐的體積【知識點的認(rèn)識】棱錐的體積可以通過底面面積B和高度h計算，頂點到底面的垂直距離即為高度．【解題方法點撥】﹣計算公式：體積計算公式為V=﹣底面面積計算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計算．【命題方向】﹣棱錐的體積計算：考查如何根據(jù)底面面積和高度計算棱錐的體積．﹣實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用棱錐體積計算．4．異面直線及其所成的角【知識點的認(rèn)識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當(dāng)θ＝90°2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：5．直線與平面垂直【知識點的認(rèn)識】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．符號表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．6．平面與平面平行【知識點的認(rèn)識】兩個平面平行的判定：（1）兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．（2）垂直于同一直線的兩個平面平行．即a⊥α，且a⊥β，則α∥β．（3）平行于同一個平面的兩個平面平行．即α∥γ，β∥γ，則α∥β．平面與平面平行的性質(zhì)：性質(zhì)定理1：兩個平面平行，在一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個平面．性質(zhì)定理2：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．性質(zhì)定理3：一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面．7．平面與平面垂直【知識點的認(rèn)識】平面與平面垂直的判定：判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．平面與平面垂直的性質(zhì)：性質(zhì)定理1：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．性質(zhì)定理2：如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)．性質(zhì)定理3：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面．性質(zhì)定理4：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．8．空間直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù)方程【知識點的認(rèn)識】1、直線的方向向量：空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個定點A以及一個定方向確定．直線l上的向量e→以及與e→共線的向量叫做直線①一條直線l有無窮多個方向向量，這些方向向量之間互相平行．②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量．2、方向向量的求法：可根據(jù)直線l上的任意兩點的坐標(biāo)寫出直線l的一個方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”．如果表示向量n→的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面，記作n→⊥α，如果n→⊥α，那么向量n①法向量一定是非零向量；②一個平面α有無窮多個法向量，這些法向量之間互相平行；③向量n→是平面的法向量，向量m→是與平面平行或在平面內(nèi)，則有n→?④一個平面α的法向量也是所有與平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）設(shè)：設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n→=（u，v，（2）列：根據(jù)a→?n→=（3）解：把u（或v或w）看作常數(shù)，用u（或v或w）表示另外兩個量（4）?。喝為任意一個數(shù)（當(dāng)然取得越特殊越好），則得到平面法向量n→1、空間直線的點向式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程：設(shè)直線L過點M0（x0，y0，z0），s→=（m，n，p）是直線L的方向向量．設(shè)M（x，y，z）是直線L上任意一點，則M0M→=（x﹣x0，y﹣y0，z﹣zx-改方程組稱為直線的點向式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程（當(dāng)m、n、p中有一個或兩個為零時，就理解為相應(yīng)的分子為零）．若直線L的方程為x-x0m=y-y0n=z-z0p，平面π的方程為Ax+By+Cz+D＝0，則直線L2、空間直線的參數(shù)方程：在直線方程x-x0x=x0這樣，空間直線上動點M的坐標(biāo)x、y、z就都表達(dá)為變量t的函數(shù)．當(dāng)t取遍所有實數(shù)值時，由所確定的點M（x，y，z）就描出來直線．形如（※）的方程稱為直線的參數(shù)方程，t為參數(shù)．9．平面的法向量【知識點的認(rèn)識】1、直線的方向向量：空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個定點A以及一個定方向確定．直線l上的向量e→以及與e→共線的向量叫做直線①一條直線l有無窮多個方向向量，這些方向向量之間互相平行．②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量．2、方向向量的求法：可根據(jù)直線l上的任意兩點的坐標(biāo)寫出直線l的一個方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”．如果表示向量n→的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面，記作n→⊥α，如果n→⊥α，那么向量n①法向量一定是非零向量；②一個平面α有無窮多個法向量，這些法向量之間互相平行；③向量n→是平面的法向量，向量m→是與平面平行或在平面內(nèi)，則有n→?④一個平面α的法向量也是所有與平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）設(shè)：設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n→=（u，v，（2）列：根據(jù)a→?n→=（3）解：把u（或v或w）看作常數(shù)，用u（或v或w）表示另外兩個量（4）?。喝為任意一個數(shù)（當(dāng)然取得越特殊越好），則得到平面法向量n→10．直線與平面所成的角【知識點的認(rèn)識】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，π2）；直線和平面所成的角的范圍為[0，π22、一條直線和一個平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣作出斜線與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問題．在求直線和平面所成的角時，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．3、斜線和平面所成角的最小性：斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選