第24頁（共24頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版期中必刷?？碱}之基本不等式一．選擇題（共6小題）1．（2025秋?長子縣校級月考）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足m+n＝1，則下列說法不正確的是（）A．1m+1n的最小值是4 B．m2+nC．m+n的最大值是2 D．mn2．（2025秋?黃岡月考）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x+y＝1，則x+9A．12 B．16 C．18 D．203．（2025秋?如東縣月考）已知a，b＞0，且ab＝a+b+3，則a+4b的最小值是（）A．6 B．9 C．13 D．7+44．（2025春?泉州期末）若a＞0，b＞0，且a+b＝4，則下列不等式恒成立的是（）A．a(chǎn)2+b2≤8 B．1ab≤14 C．a(chǎn)5．（2025?揚(yáng)州開學(xué)）a＞0，b＞0，1a+3b=1A．12 B．13 C．16 D．186．（2024秋?六盤水校級期末）已知3a2+b2＝1，則1aA．6 B．12 C．18 D．24二．多選題（共2小題）（多選）7．（2025春?丹東期末）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y＝1，則（）A．xy有最大值為12B．x2+y2有最小值為12C．4yx+D．x+1+（多選）8．（2025春?晉安區(qū)校級月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，則下列不等式正確的是（）A．a(chǎn)b≤14 BC．1a+1b三．填空題（共4小題）9．（2024秋?衡陽校級期末）關(guān)于x的不等式mx2﹣x+1＜0的解集為{x|a＜x＜b}，則1a-1+4b-10．（2024秋?澄江市校級期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y＝1，則1x+xy的最小值為11．（2025秋?韓城市校級月考）已知x＞13，則3x+412．（2025?武清區(qū)校級開學(xué)）已知a，b＞0，a+b＝1，則2a+1b+1四．解答題（共3小題）13．（2025?江城區(qū)校級開學(xué)）（1）已知x＞0，y＞0，且2x+3y＝6，求xy的最大值；（2）已知x＞0，y＞0，1x+9y=1（3）已知k＞16，若對任意正數(shù)x，y，不等式(3k14．（2025秋?臨河區(qū)校級月考）如圖，某農(nóng)戶計(jì)劃用20m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻足夠長）的矩形菜地．設(shè)該矩形菜地與墻平行的邊長為xm，與墻垂直的邊長為ym．（1）當(dāng)x為何值時(shí)，面積取得最大值？最大面積為多少？（2）求3x15．（2025春?仁壽縣校級期末）求最值：（1）已知x＞0，y＞0，且滿足xy＝4，求9x+y的最小值；（2）已知x＜1，求y=（3）已知x＞0，y＞0，且滿足2x+y＝xy，求x+8y的最小值．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷?？碱}之基本不等式參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號123456答案BBCCCB二．多選題（共2小題）題號78答案BCABC一．選擇題（共6小題）1．（2025秋?長子縣校級月考）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足m+n＝1，則下列說法不正確的是（）A．1m+1n的最小值是4 B．m2+nC．m+n的最大值是2 D．mn【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值．【專題】整體思想；綜合法；不等式；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)題意利用基本不等式以及常用不等式逐項(xiàng)分析判斷．【解答】解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)m，n滿足m+n＝1，對于A：因?yàn)?m+1即m=n=對于B：因?yàn)閙2+n2≥對于C：因?yàn)?m+n當(dāng)且僅當(dāng)m=n=對于D：因?yàn)閙n≤m+n2故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式求解最值，屬于中檔題．2．（2025秋?黃岡月考）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x+y＝1，則x+9A．12 B．16 C．18 D．20【考點(diǎn)】運(yùn)用“1”的代換構(gòu)造基本不等式．【專題】整體思想；綜合法；不等式；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由題可得x+9【解答】解：因?yàn)閤＞0，y＞0，x+9當(dāng)且僅當(dāng)9yx=xy，即x故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025秋?如東縣月考）已知a，b＞0，且ab＝a+b+3，則a+4b的最小值是（）A．6 B．9 C．13 D．7+4【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值．【專題】整體思想；綜合法；不等式；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】由a，b＞0，結(jié)合ab＝a+b+3，可得a，b＞1．隨后注意到由ab＝a+b+3可得（a﹣1）（b﹣1）＝4，最后將a+4b化為a﹣1+4（b﹣1）+5，再利用基本不等式可得答案．【解答】解：ab＝a+b+3?a（b﹣1）＝b+3，故（a﹣1）（b﹣1）＝4，所以a＞1，b＞1，從而a+4當(dāng)且僅當(dāng)a﹣1＝4（b﹣1），即b＝2，a＝5時(shí)取等號．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025春?泉州期末）若a＞0，b＞0，且a+b＝4，則下列不等式恒成立的是（）A．a(chǎn)2+b2≤8 B．1ab≤14 C．a(chǎn)【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用重要不等式的合理變形可得2（a2+b2）≥（a+b）2，即可知A錯(cuò)誤；由基本不等式和不等式性質(zhì)即可計(jì)算B錯(cuò)誤；由2(a+b)≥(a+b)【解答】解：對于A，由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥a2+b2+2ab＝（a+b）2，又a+b＝4，所以2（a2+b2）≥（a+b）2＝16，即a2+b2≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)等號成立，故A錯(cuò)誤；對于B，由a+b＝4可得a+b=4≥2ab，即0所以1ab≥14，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝對于C，由a+b≥2所以可得8≥(a+b)2，即a+b≤2對于D，易知1a+1當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)等號成立，可得D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．5．（2025?揚(yáng)州開學(xué)）a＞0，b＞0，1a+3b=1A．12 B．13 C．16 D．18【考點(diǎn)】運(yùn)用“1”的代換構(gòu)造基本不等式．【專題】整體思想；綜合法；不等式；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式中“1”的應(yīng)用直接計(jì)算即可求得結(jié)果．【解答】解：因?yàn)?a+3b=1，a＞0則a+3當(dāng)且僅當(dāng)3ab=3ba時(shí)，即故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024秋?六盤水校級期末）已知3a2+b2＝1，則1aA．6 B．12 C．18 D．24【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】對等式變形1a【解答】解：由題意得1a當(dāng)且僅當(dāng)b2a2=9故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共2小題）（多選）7．（2025春?丹東期末）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y＝1，則（）A．xy有最大值為12B．x2+y2有最小值為12C．4yx+D．x+1+【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值．【專題】整體思想；綜合法；不等式；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】利用基本不等式判斷ABC，設(shè)S=x+1+y+2，S2=4+2(x+1)(y+2)，則S取最大值時(shí)，即（x+1）（y+2【解答】解：因?yàn)閤，y＞0，且x+y＝1，所以xy≤(x+y因?yàn)椋▁+y）2＝x2+y2+2xy＝1，xy≤14可得x2+由x+y＝1可得4y當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy，即x設(shè)S=x+1當(dāng)S取最大值時(shí)，即（x+1）（y+2）最大，將x＝1﹣y代入得（x+1）（y+2）＝（2﹣y）（y+2）＝4﹣y2，因?yàn)閤，y＞0，所以0＜y＜1，（x+1）（y+2）＝4﹣y2＜4，所以S2＜4+2所以x+1+y+2的最大值取不到故選：BC．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式求解最值，屬于中檔題．（多選）8．（2025春?晉安區(qū)校級月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，則下列不等式正確的是（）A．a(chǎn)b≤14 BC．1a+1b【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值．【專題】整體思想；綜合法；不等式；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】由條件結(jié)合基本不等式證明ab≤14，由此可判斷ABD，由條件1【解答】解：因?yàn)閍＞0，b＞0，所以1=a所以ab≤14，當(dāng)且僅當(dāng)a所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1﹣2ab≥1-2×14=12（a+b）2＝a+b+2ab=1+2ab≤1+2×所以a+b≤因?yàn)閍＞0，b＞0，所以0＜a＜1，0＜b＜1，故0＜ab所以1a+1故選：ABC．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式組最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?衡陽校級期末）關(guān)于x的不等式mx2﹣x+1＜0的解集為{x|a＜x＜b}，則1a-1+4b-【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值；解一元二次不等式．【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；不等式；運(yùn)算求解．【答案】4【分析】由題意可得m＞0且方程mx2﹣x+1＝0的解為a，b，再根據(jù)韋達(dá)定理得出a，b的關(guān)系，再根據(jù)基本不等式即可得解．【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式mx2﹣x+1＜0的解集為{x|a＜x＜b}，所以m＞0且方程mx2﹣x+1＝0的解為a，b，則a+因?yàn)閙＞0，所以a＞0，b＞0，所以a+b＝ab，則1a所以b=aa-1，所以a﹣則1a當(dāng)且僅當(dāng)1a-1故答案為：4．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，還考查了二次不等式與二次方程轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024秋?澄江市校級期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y＝1，則1x+xy的最小值為1+2【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；不等式；運(yùn)算求解．【答案】1+22．【分析】由已知結(jié)合乘1法，結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足x+2y＝1，則1x+xy=當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即y＝1-22，x故答案為：1+22．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．（2025秋?韓城市校級月考）已知x＞13，則3x+4【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；運(yùn)算求解．【答案】5．【分析】直接利用基本不等式求解即可．【解答】解：由x＞13，則3x﹣1所以3x+43x-1=3x﹣1+43當(dāng)且僅當(dāng)3x﹣1=43x-1，即（3x﹣1）2＝4，而x＞則3x+4故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（2025?武清區(qū)校級開學(xué)）已知a，b＞0，a+b＝1，則2a+1b+1【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值；運(yùn)用“1”的代換構(gòu)造基本不等式．【專題】對應(yīng)思想；構(gòu)造法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】26【分析】化2a+1【解答】解：因?yàn)閍+b＝1，所以2a所以3a當(dāng)且僅當(dāng)a+b=1故2a+1故答案為：26【點(diǎn)評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用“1”的代換是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2025?江城區(qū)校級開學(xué)）（1）已知x＞0，y＞0，且2x+3y＝6，求xy的最大值；（2）已知x＞0，y＞0，1x+9y=1（3）已知k＞16，若對任意正數(shù)x，y，不等式(3k【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；運(yùn)算求解．【答案】（1）32（2）16；（3）12【分析】（1）兩數(shù)之和與兩數(shù)乘積的關(guān)系問題，借助基本不等式a+（2）利用(x+y（3）直接利用基本不等式a+b2≥【解答】解：（1）因?yàn)閤＞0，y＞0，2x+3y＝6，可得6≥22x?3y當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y，即x=32，y＝1時(shí)，xy（2）因?yàn)?x+9y=1，又因?yàn)閤＞0所以x+y=(x+y當(dāng)且僅當(dāng)yx=9xy，即由y=3x1x+9y=1，即當(dāng)x＝4，y＝（3）因?yàn)閤＞0，y＞0，所以(3k-12)又k＞16，所以(3從而2k(3k-1所以kmin【點(diǎn)評】本題考查基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．（2025秋?臨河區(qū)校級月考）如圖，某農(nóng)戶計(jì)劃用20m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻足夠長）的矩形菜地．設(shè)該矩形菜地與墻平行的邊長為xm，與墻垂直的邊長為ym．（1）當(dāng)x為何值時(shí)，面積取得最大值？最大面積為多少？（2）求3x【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問題；根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型．【專題】轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）當(dāng)x＝10時(shí)，面積取得最大值，最大面積為50m2．（2）910【分析】（1）根據(jù)題意可得x+2y＝20，從而可得該菜地的面積為S＝xy，進(jìn)而利用基本不等式即可求解；（2）利用x+2y＝20，根據(jù)“1”的代換利用基本不等式可求最小值．【解答】解：（1）由題意得x+2y＝20，x，y都為正數(shù)，則該菜地的面積為S=當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝10時(shí)，等號成立，所以當(dāng)x＝10時(shí)，面積取得最大值，最大面積為50m2．（2）由x+2y＝20，x，y都為正數(shù)，則120所以3=1當(dāng)且僅當(dāng)4xy=所以3x+20xy【點(diǎn)評】本題考查基本不等式的性質(zhì)與應(yīng)用，屬于中檔題．15．（2025春?仁壽縣校級期末）求最值：（1）已知x＞0，y＞0，且滿足xy＝4，求9x+y的最小值；（2）已知x＜1，求y=（3）已知x＞0，y＞0，且滿足2x+y＝xy，求x+8y的最小值．【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值．【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）12；（2）﹣3；（3）25．【分析】（1）利用基本不等式9x（2）利用基本不等式求1-x+4（3）先化簡得2y+1【解答】解：（1）因?yàn)閤＞0，y＞0，所以9x當(dāng)且僅當(dāng)9x＝y(tǒng)，即x=所以當(dāng)x=23，y=6時(shí)，9（2）由x＜1，得1﹣x＞0，所以1-x當(dāng)且僅當(dāng)1-x=41-x所以y＝x+4x-1=x﹣1+4x-1+1＝﹣（1所以當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y=x+（3）由2x+y＝xy，得2y又x＞0，y＞0，所以x+8y＝（x+8y）（2y+1x）=2x當(dāng)且僅當(dāng)2xy=8yx，即x＝2y，即故當(dāng)x=54，y=52時(shí)，x+8【點(diǎn)評】本題主要考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生歸納推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．基本不等式及其應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）實(shí)例解析例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負(fù)數(shù)，則2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項(xiàng)中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負(fù)值．故選：C．A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；B分子其實(shí)可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個(gè)例題告訴我們對于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？當(dāng)0＜x解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，當(dāng)x≠0時(shí)，y=用基本不等式若x＞0時(shí)，0＜y≤2若x＜0時(shí)，-24≤y綜上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項(xiàng)點(diǎn)評：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時(shí)，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個(gè)系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x?（8﹣2x）]≤12（2當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時(shí)取等號，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y=x解：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項(xiàng)，再將其分離．y=x2+7x+10x+1當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時(shí)，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝技巧四：換元對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+a技巧六：整體代換點(diǎn)評：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯(cuò)．技巧七：取平方點(diǎn)評：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．2．運(yùn)用基本不等式求最值【知識點(diǎn)的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）【解題方法點(diǎn)撥】在運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)，可以將代數(shù)式分解成可以應(yīng)用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達(dá)式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設(shè)計(jì)等．例如，求解一個(gè)代數(shù)式的最小值，或設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用均值不等式進(jìn)行最值求解，并能正確代入和計(jì)算．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則a+1+b解：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1當(dāng)且僅當(dāng)a＝b=1故答案為：6．3．運(yùn)用“1”的代換構(gòu)造基本不等式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）【解題方法點(diǎn)撥】在一些復(fù)雜的代數(shù)式問題中，結(jié)合已知條件中的和或積為常熟，可以通過將“1”表示為兩個(gè)數(shù)的和或積，從而構(gòu)造均值不等式，簡化問題．【命題方向】運(yùn)用“1”的代換構(gòu)造均值不等式時(shí)，可以通過將“1”表示為兩個(gè)數(shù)的和或積，從而應(yīng)用均值不等式．已知實(shí)數(shù)x，y∈R+，且x+y＝4，求1x解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，∴1x+3y=∴1x+3故答案為：1+34．運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問題【知識點(diǎn)的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）【解題方法點(diǎn)撥】均值不等式在解決實(shí)際問題中有廣泛應(yīng)用．例如，在優(yōu)化設(shè)計(jì)、資源分配等問題中，可以通過均值不等式求解最優(yōu)解，從而解決實(shí)際問題．通過均值不等式，可以將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而進(jìn)行分析和求解．【命題方向】運(yùn)用均值不等式解決實(shí)際問題的命題方向包括優(yōu)化設(shè)計(jì)問題、資源分配問題等．例如，通過均值不等式求解最優(yōu)資源分配方案，或設(shè)計(jì)最優(yōu)幾何圖形．這類題型要求學(xué)生能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并能靈活運(yùn)用均值不等式進(jìn)行求解和分析．某單位準(zhǔn)備建造一間地面面積為12平方米，背面靠墻的矩形小房，房屋正面的造價(jià)為1200元/平方米，房屋側(cè)面的造價(jià)為800元/平方米，屋頂造價(jià)為5800元，房屋背面的費(fèi)用忽略不計(jì)．若墻高為3米，問怎樣設(shè)計(jì)房屋能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少？解：設(shè)房屋側(cè)面的長度為x米，房屋總造價(jià)為y，則y＝2x×3×800+12＝4800（x+9x）+5800（x＞∵x+9x≥29=6，當(dāng)且僅當(dāng)x=9∴y的最小值為4800×6+5800＝34600，則當(dāng)矩形小房地面的長度分別為3，4米時(shí)，總造價(jià)最低．最低總造價(jià)是34600元．5．解一元二次不等式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式．特征當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時(shí)．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個(gè)題的特點(diǎn)是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項(xiàng)寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個(gè)一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0﹣將不等式轉(zhuǎn)化為ax2+bx+c＝0形式，求出根．﹣根據(jù)根的位置，將數(shù)軸分為多個(gè)區(qū)間．﹣在各區(qū)間內(nèi)選擇測試點(diǎn)，確定不等式在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的取值情況．﹣綜合各區(qū)間的解，寫出最終解集．不等式x2﹣2x＞0的解集是（）解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，{x|x＜0或x＞2}6．根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．實(shí)際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用函數(shù)的觀點(diǎn)看實(shí)際問題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容．2．用函數(shù)模型解決實(shí)際問題（1）數(shù)據(jù)擬合：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．（2）常用到的五種函數(shù)模型：①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長特點(diǎn)是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過圖象可以直觀地認(rèn)識它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y=kx（k＞0）型，增長特點(diǎn)是y隨③指數(shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．④對數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時(shí)，要注意函數(shù)圖象的直觀運(yùn)用，分析圖象特點(diǎn)，分析變量x的范圍，同時(shí)還要與實(shí)際問題結(jié)合，如取整等．3．函數(shù)建模（1）定義：用數(shù)學(xué)思想、方法、知識解決實(shí)際問題的過程，叫作數(shù)學(xué)建模．（2）過程：如下圖所示．【解題方法點(diǎn)撥】用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的常見類型及解法：（1）解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題①確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f（x）；②討論x與y的對應(yīng)關(guān)系，針對具體的函數(shù)去討論與題目有關(guān)的問題；③給出實(shí)際問題的解，即根據(jù)在函數(shù)關(guān)系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．（2）解函數(shù)關(guān)系未知的應(yīng)用題①閱讀理解題意看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類型；②抽象函數(shù)模型在理解問題的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)模型；③研究函數(shù)模型的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)模型，結(jié)合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；④得出問題的結(jié)論根據(jù)函數(shù)模型的解，結(jié)合實(shí)際問題的實(shí)際意義和題目的要求，給出實(shí)際問題的解．【命題方向】典例1：某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元的利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增