第31頁（共31頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版期中必刷?？碱}之橢圓一．選擇題（共5小題）1．（2025?河北三模）已知焦點在x軸上的橢圓x29+y2b2=1，其焦點F與上頂點A和左頂點BA．13 B．23 C．12 2．（2025?9月份開學(xué)）與圓x2+y2＝1外切，同時與圓x2+y2﹣6x﹣27＝0內(nèi)切的圓的圓心在（）A．橢圓上 B．雙曲線的一支上 C．拋物線上 D．圓上3．（2025?南寧模擬）已知A，B分別是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右頂點，直線x=a2c（A．x23+y2C．x24+y4．（2025?蘭州模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點（異于M、N），△AF1B的周長為4A．y23+x2C．x23+y5．（2025?廊坊校級模擬）已知F是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別是A．5-12 B．5-22 C二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025秋?重慶月考）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率e=1A．C的長軸長與短軸長之比為43B．0≤∠FC．當(dāng)∠PF1F2=πD．若|PF1|＝2|QF1|，則sin（多選）7．（2024秋?南寧期末）橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線A．△ABF2的周長為8 B．橢圓C的離心率為32C．BF2的長為125 D．△BF1F2的面積為（多選）8．（2025?宿遷一模）月光石不能頻繁遇水，因為其主要成分是鉀鈉硅酸鹽．一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系，半圓的圓心在坐標(biāo)原點，半圓所在的圓過橢圓的右焦點F（3，0），橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線y＝t（t＞0）與半圓交于點A，與半橢圓交于點B，則下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓的離心率是22B．線段AB長度的取值范圍是(0，C．△ABF面積的最大值是94D．△OAB的周長存在最大值三．填空題（共4小題）9．（2025?寶山區(qū)校級開學(xué)）記橢圓x24+y23=1的右焦點為F，直線l過點F交橢圓于P、Q兩點，其中P在第二象限．若Q關(guān)于x軸的對稱點為Q′，且FQ′⊥PQ，則直線10．（2025?道縣校級開學(xué)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，設(shè)F1是C的左焦點，P(0，11．（2025?河北開學(xué)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與y軸交于點M12．（2025?青山湖區(qū)校級模擬）已知P是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，PF1→?PF2→=0，點Q在∠F1PF2四．解答題（共3小題）13．（2025?河南開學(xué)）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距為2，短軸長為23（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點D(14，0)（3）證明：△OBC的面積不小于2314．（2024秋?簡陽市校級期末）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右頂點為A（3，0），離心率為（1）求橢圓的方程；（2）若C的上頂點為B，直線BM，BN的斜率分別為k1，k2，求證：1k15．（2025秋?邯鄲月考）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b（1）求C的方程；（2）若C上存在不關(guān)于x軸對稱的兩點M，N，使得∠MTN恰好被x軸平分，求△MTN面積的取值范圍；（3）過T的直線l′與C交于不同的兩點A，B，C在A，B兩點處的切線相交于P，Q為線段AB的中點，證明：O，P，Q三點共線．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之橢圓參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）題號12345答案BABDA二．多選題（共3小題）題號678答案BCDADABC一．選擇題（共5小題）1．（2025?河北三模）已知焦點在x軸上的橢圓x29+y2b2=1，其焦點F與上頂點A和左頂點BA．13 B．23 C．12 【考點】橢圓的離心率．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】B【分析】結(jié)合圖形表示出|AF|，|AB|，借助于三角形的面積公式列方程求出b2＝7，利用離心率公式計算即可．【解答】解：焦點在x軸上的橢圓x29+y2b2=1，其焦點F與上頂點A和左頂點B由x29+y2b2=1可得a＝3，由圖知，|AF又∠BAF＝60°，則△BAF的面積為12解得b2＝7，則c=9-b故選：B．【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題．2．（2025?9月份開學(xué)）與圓x2+y2＝1外切，同時與圓x2+y2﹣6x﹣27＝0內(nèi)切的圓的圓心在（）A．橢圓上 B．雙曲線的一支上 C．拋物線上 D．圓上【考點】橢圓的定義；根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓半徑之和求解圓與圓的位置關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可得|O1P|+|O2P|＝7，再根據(jù)橢圓的定義可得動圓圓心的軌跡．【解答】解：設(shè)動圓的圓心為P，半徑為r，圓O1：x因為動圓與圓x2+y2＝1外切，同時與圓x2+y2﹣6x﹣27＝0內(nèi)切，則|O1P|＝r+1，|O2P|＝6﹣r，|O1O2|＝3．又|O1P|+|O2P|＝7＞|O1O2|，所以點P在以O(shè)1，O2為焦點的橢圓上．故選：A．【點評】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系，考查橢圓的定義，屬于中檔題．3．（2025?南寧模擬）已知A，B分別是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右頂點，直線x=a2c（A．x23+y2C．x24+y【考點】橢圓的幾何特征；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可求解|CB|＝|AB|得2c＝a，即可利用面積公式求解．【解答】解：如圖：∠ABC＝120°，故∠MBC＝60°，|BM|=a故|CB|=|AB|?2(a2由于S△故a＝2，c＝1，故b2＝a2﹣c2＝3，故橢圓方程為x2故選：B．【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025?蘭州模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點（異于M、N），△AF1B的周長為4A．y23+x2C．x23+y【考點】橢圓的幾何特征；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】D【分析】由題意及三角形的周長，可得a的值，且可知M，N的坐標(biāo)，設(shè)A的坐標(biāo)，可得A的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，求出直線AM，AN的斜率之積，由題意可得a，b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程．【解答】解：由題意可得△AF1B的周長為43，即4a＝43，可得a=由題意可得M（﹣a，0），N（a，0），設(shè)A（x1，y1），可得x12a2+y12b則kAM?kAN=y1x1+a?y1x1-a所以橢圓的方程為：x23故選：D．【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及直線斜率之積的求法，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025?廊坊校級模擬）已知F是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別是A．5-12 B．5-22 C【考點】求橢圓的離心率．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解．【答案】A【分析】由題設(shè)結(jié)合橢圓結(jié)構(gòu)性質(zhì)求出|OP|＝|OF|＝c，|OB|＝|AP|＝b，進(jìn)而求出點P，再代入橢圓方程結(jié)合離心率定義即可計算求解．【解答】解：如圖，由題意可得|OB|＝b，|OF|＝c，|OA|＝a，|BF|=|OB|2+|因為△OAP和△OBF是全等的三角形，所以∠OPA＝∠BOF，即OP⊥PA，又由橢圓結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知|OP|＞|OB|，所以|OP|＝|OF|＝c，|OB|＝|AP|＝b，所以|yP|=則(c2a)2a2+(bca)2令t＝e2∈（0，1），則t2+t﹣1＝0，解得t=5-所以C的離心率的平方為5-故選：A．【點評】本題主要考查求橢圓的離心率，屬于中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025秋?重慶月考）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率e=1A．C的長軸長與短軸長之比為43B．0≤∠FC．當(dāng)∠PF1F2=πD．若|PF1|＝2|QF1|，則sin【考點】橢圓的焦點三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，針對各個選項分別求解即可．【解答】解：對A選項，因為橢圓C：x2a2所以ca=12，所以a＝2c，所以所以b=32a，所以橢圓C的方程可化為：x2a2+y234a所以橢圓C的長軸長與短軸長之比為2a2b對B選項，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得∠F1PF2的最大角一半的正弦值為ca所以∠F1PF2的最大角為π3，又∠F1PF2的最小角為0，所以B對C選項，當(dāng)∠PF1F2=π3時，點P為上（或下）頂點，F(xiàn)不妨設(shè)點P在x軸上方，則直線PQ為y=3(x+a2)，設(shè)P（x1，y1），聯(lián)立y=3(所以5x2+4ax＝0，所以x1所以y1所以S△同理當(dāng)P在x軸下方時，也有S△PQF對D選項，根據(jù)題意可設(shè)直線PQ為x=聯(lián)立x=my-a23x則yP+y若|PF1|＝2|QF1|，則|yP|＝2|yQ|，即yP＝﹣2yQ，所以-yQ=所以(-3ma3所以直線PQ的斜率為±52，均有sin∠故選：BCD．【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓與直線的位置關(guān)系，屬難題．（多選）7．（2024秋?南寧期末）橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線A．△ABF2的周長為8 B．橢圓C的離心率為32C．BF2的長為125 D．△BF1F2的面積為【考點】直線與橢圓的綜合；橢圓的定義；求橢圓的離心率．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；邏輯思維．【答案】AD【分析】利用△F1AF2的面積計算出a，b，c的值，進(jìn)而計算△ABF2的周長和離心率，即可判斷A和B；利用余弦定理解△BF1F2，進(jìn)而計算面積，即可判斷C和D．【解答】解：如圖，因為三角形F1AF2是面積為3的正三角形，所以SΔF1AF2=3所以三角形ABF2的周長為4a＝8，所以選項A正確；離心率e=ca設(shè)|BF1|＝x，那么|BF2|＝4﹣x，根據(jù)∠AF1根據(jù)余弦定理：(4-x)2=4+xS△F1故選：AD．【點評】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）8．（2025?宿遷一模）月光石不能頻繁遇水，因為其主要成分是鉀鈉硅酸鹽．一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系，半圓的圓心在坐標(biāo)原點，半圓所在的圓過橢圓的右焦點F（3，0），橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線y＝t（t＞0）與半圓交于點A，與半橢圓交于點B，則下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓的離心率是22B．線段AB長度的取值范圍是(0，C．△ABF面積的最大值是94D．△OAB的周長存在最大值【考點】橢圓的幾何特征．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】ABC【分析】先求出半圓和半橢圓的方程，計算得到橢圓的離心率是22，可判斷A正確；數(shù)形結(jié)合得到線段AB長度的取值范圍是（0，3+32），可判斷B正確；由題得△ABF面積S=12×|AB|t，所以S=12（9-t2+18-2t2）t≤94（2+1），可判斷C正確；△OAB的周長＝不能取零，所以△OAB的周長沒有最大值，從而判斷D錯誤．【解答】解：由題意得半圓的方程為x2+y2＝9（x≤0），設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1（所以b=3c=3，所以a2所以橢圓的方程為x218+y9對于A，橢圓的離心率為e=ca=對于B，當(dāng)t→0時，|AB|→3+32，當(dāng)t→3時，|AB|→0，所以線段AB長度的取值范圍是（0，3+32），故B正確；對于C，由題意得△ABF面積S=12×|AB|t，設(shè)A（x1，t），所以x12+t2＝9，所以x1=-9-t2（設(shè)B（x2，t），所以x2218+t29=1，所以所以S=12×（9-t2+18-2t2）t=2+129-t對于D，△OAB的周長＝|AO|+|OB|+|AB|＝3+（2+1）9-所以當(dāng)t＝0時，△OAB的周長最大，但是t不能取零，所以△OAB的周長沒有最大值，故D錯誤．故選：ABC．【點評】本題主要考查橢圓與圓的綜合，考查橢圓的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2025?寶山區(qū)校級開學(xué)）記橢圓x24+y23=1的右焦點為F，直線l過點F交橢圓于P、Q兩點，其中P在第二象限．若Q關(guān)于x軸的對稱點為Q′，且FQ′⊥PQ，則直線l的方程為x+y【考點】橢圓的幾何特征；直線與橢圓的位置關(guān)系及公共點個數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】x+y﹣1＝0．【分析】求出橢圓的右焦點坐標(biāo)，利用已知條件求出直線的斜率，然后求解直線方程．【解答】解：橢圓的右焦點為F（1，0），直線l經(jīng)過橢圓右焦點F，交橢圓C于P、Q兩點（點P在第二象限），若點Q關(guān)于x軸對稱點為Q′，且滿足PQ⊥FQ′，可知直線FQ′的斜率為1，故直線l的斜率為﹣1，所以直線l的方程是：y＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0．故答案為：x+y﹣1＝0．【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與直線的對稱關(guān)系的應(yīng)用，直線方程的求法，是基本知識的考查．10．（2025?道縣校級開學(xué)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，設(shè)F1是C的左焦點，P(0，【考點】求橢圓的離心率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】13+1【分析】作出圖形，計算出∠OF1P的大小，可得出|QF1|，利用余弦定理求出|QF2|，然后利用雙曲線的定義可得出關(guān)于a、c的等式，即可解得該雙曲線離心率的值．【解答】解：根據(jù)題意可知，F(xiàn)1是C的左焦點，如下圖所示：P2設(shè)c=a2+b2，則|OF1則tan∠OF1P=|∵QO⊥PF1，則|Q根據(jù)余弦定理可得|Q∴，|QF2|=132c，根據(jù)雙曲線的定義可得|QF2|﹣|即132c-故答案為：13+1【點評】本題考查了雙曲線的離心率，屬于基礎(chǔ)題．11．（2025?河北開學(xué)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與y軸交于點M【考點】橢圓的離心率．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】3-【分析】利用橢圓的定義以及勾股定理，求解橢圓的離心率即可．【解答】解：橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，若MF2→=F2N→，F(xiàn)1M→?F1N→=0，可得F1M＝MF2＝可得23c+2c＝2a，e=2故答案為：3-【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題．12．（2025?青山湖區(qū)校級模擬）已知P是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，PF1→?PF2→=0，點Q在∠F1PF2【考點】橢圓與平面向量；求橢圓的離心率．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】306【分析】設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，由題意得出△QAP是等腰直角三角形，列方程組得到含a，c的齊次方程求解離心率即可．【解答】解：已知P是橢圓C：x2a2+y2b2=1(設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，延長OQ交PF2于A，已知OQ∥PF1，又O為F1F2的中點，故A為PF2中點，又PF即PF1⊥PF2，則∠F又點Q在∠F1PF2的平分線上，則∠QPA故△QAP是等腰直角三角形，因此|AQ則|OA則m﹣n＝4b，又|PF1|+|PF2|＝2a，則m+n＝2a，因此可得m=又在Rt△PF1F2中，|P則m2+n2＝4c2，將m=a+2bn=a-2b代入得（a+2b）2+（a﹣2b）2＝4c2，即a2+4b2＝2c2，由b2＝a2﹣c2，所以5a2＝6c2，所以e2即e=故答案為：306【點評】本題考查了橢圓的定義，重點考查了橢圓離心率的求法，屬中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2025?河南開學(xué)）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距為2，短軸長為23，（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點D(14，0)（3）證明：△OBC的面積不小于23【考點】直線與橢圓的綜合．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；運算求解．【答案】（1）x2（2）35（3）證明：在第一象限，由橢圓方程可得y=3?設(shè)A（x0，y0），則在A處的切線斜率為：y'=-34則y023=1-x則切線方程為：y=-令x＝0，得y=3x令y＝0，得x=3x又由（2），設(shè)A(2cosθ，3sinθ)，則S△OBC=12|OC||OB|=從而0＜|sin2θ|≤1，則S△OBC=23|【分析】（1）由題可得c＝1，b=3，據(jù)此可得a＝（2）設(shè)A(2cosθ，3sinθ（3）設(shè)A（x0，y0），由導(dǎo)數(shù)知識可得切線方程為：y=-34?x0y0(【解答】解：（1）設(shè)橢圓E的半焦距為c，則由題可得2c＝2，所以c＝1，又2b=23，所以b=3，所以a2＝b2+c2所以橢圓E的方程為：x2（2）因為點A為橢圓E在第一象限上的點，則設(shè)A(2cosθ，3sinθ所以|AD當(dāng)且僅當(dāng)cosθ=12，即θ=π3時取等號，即（3）證明：在第一象限，由橢圓方程可得y=3?設(shè)A（x0，y0），則在A處的切線斜率為：y'=-34則y023=1-x則切線方程為：y=-令x＝0，得y=3x令y＝0，得x=3x又由（2），設(shè)A(2cosθ，3sinθ)，則S△OBC=12|OC||OB|=從而0＜|sin2θ|≤1，則S△OBC=23|【點評】本題考查了直線與橢圓的綜合，考查了方程思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．14．（2024秋?簡陽市校級期末）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右頂點為A（3，0），離心率為（1）求橢圓的方程；（2）若C的上頂點為B，直線BM，BN的斜率分別為k1，k2，求證：1k【考點】橢圓的定點及定值問題；根據(jù)abc及其關(guān)系式求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】（1）x2（2）證明：顯然直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為：y＝k（x﹣3）+2，聯(lián)立x29+y24=1y=k(x-3)+2，消去y得（4+9k2）x2+18k（2Δ＝[18k（2﹣3k）]2﹣4（4+9k2）（81k2﹣108k）＞0，化簡得k＞0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），所以x1易得B（0，2），所以k1所以1=2=2?(81所以1k【分析】（1）根據(jù)頂點和離心率，列方程即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，即可根據(jù)兩點斜率公式，結(jié)合韋達(dá)定理，代入化簡即可求解．【解答】解：（1）由題意知a=3ca所以C的方程為x2（2）證明：顯然直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為：y＝k（x﹣3）+2，聯(lián)立x29+y24=1y=k(x-3)+2，消去y得（4+9k2）x2+18k（2Δ＝[18k（2﹣3k）]2﹣4（4+9k2）（81k2﹣108k）＞0，化簡得k＞0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），所以x1易得B（0，2），所以k1所以1=2=2?(81所以1k【點評】本題考查了直線與橢圓的綜合，考查了方程思想，屬于中檔題．15．（2025秋?邯鄲月考）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b（1）求C的方程；（2）若C上存在不關(guān)于x軸對稱的兩點M，N，使得∠MTN恰好被x軸平分，求△MTN面積的取值范圍；（3）過T的直線l′與C交于不同的兩點A，B，C在A，B兩點處的切線相交于P，Q為線段AB的中點，證明：O，P，Q三點共線．【考點】直線與橢圓的綜合．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】（1）x2（2）（0，22（3）證明：依題意，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)A，B在x軸上方，于是x22+y2設(shè)直線AB的方程為x＝ny+2，A（xA，yA），B（xB，yB），則C在A，B兩點處的切線分別為y-yA整理可得C在A，B兩點處的切線分別為xAx2設(shè)P（x0，y0），則xAx0所以A，B兩點均在直線x0x2+y又直線AB的方程為x＝ny+2，即x2-ny2=1，所以x＝1則kOP?k聯(lián)立xA22即(yA+yB所以kOQ＝kOP，所以O(shè)，P，Q三點共線．【分析】（1）由條件可得到關(guān)于a，b的方程，解方程即可得答案；（2）直線MN的方程可設(shè)為x＝my+t（m≠0），聯(lián)立橢圓的方程，利用韋達(dá)定理可得到關(guān)于M，N點縱坐標(biāo)的關(guān)系式，再由∠MTN恰好被x軸平分，即∠MTO＝∠NTO，可知直線MT的斜率kMT與直線NT的斜率kNT存在且kMT+kNT＝0，即可得到關(guān)于m，t的關(guān)系式，再把△MTN的面積表示成關(guān)于m，t的函數(shù)，代入，求函數(shù)值域即可得答案；（3）利用導(dǎo)數(shù)求出A，B處的切線方程，同構(gòu)可得到直線AB的方程，再利用直線AB過點T，可得到P點坐標(biāo)，進(jìn)而可得到OP的斜率；再利用點差法可得到OQ的斜率，即可得到答案．【解答】解：（1）依題意可得a2解得a=2，b＝1，所以C的方程為（2）由題意可知，直線MN的方程可設(shè)為x＝my+t（m≠0），設(shè)M（my1+t，y1），N（my2+t，y2），聯(lián)立x=my+t，x22+y2=1，整理得（m2+2）y因為∠MTN恰好被x軸平分，即∠MTO＝∠NTO，易知直線MT的斜率kMT與直線NT的斜率kNT存在且kMT+kNT＝0，即y1整理得2my1y2+（t﹣2）（y1+y2）＝0，即2m（t2﹣2）﹣（t﹣2）?2mt＝0，即m（t﹣1）＝0，因為m≠0，所以t＝1時符合題意，即直線MN經(jīng)過定點（1，0），所以△MTN的面積SΔMTN當(dāng)且僅當(dāng)m2+1=1m因為m≠0，所以△MTN面積的取值范圍是(0，（3）證明：依題意，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)A，B在x軸上方，于是x22+y2設(shè)直線AB的方程為x＝ny+2，A（xA，yA），B（xB，yB），則C在A，B兩點處的切線分別為y-yA整理可得C在A，B兩點處的切線分別為xAx2設(shè)P（x0，y0），則xAx02所以A，B兩點均在直線x0x2+y又直線AB的方程為x＝ny+2，即x2-ny2=1，所以x＝1則kOP?k聯(lián)立xA22即(yA+yB所以kOQ＝kOP，所以O(shè)，P，Q三點共線．【點評】本題考查直線與橢圓的綜合，屬于難題．

考點卡片1．根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓半徑之和求解圓與圓的位置關(guān)系【知識點的認(rèn)識】﹣位置關(guān)系：兩圓的位置關(guān)系可以通過圓心距和半徑之和與半徑之差確定：﹣相交：圓心距小于兩半徑之和且大于半徑之差﹣外離：圓心距大于兩半徑之和﹣內(nèi)切：圓心距等于半徑之差﹣外切：圓心距等于兩半徑之和【解題方法點撥】﹣確定位置關(guān)系：1．計算圓心距．2．比較半徑和圓心距，確定圓與圓的位置關(guān)系．【命題方向】﹣圓與圓的位置關(guān)系：考查如何通過圓心距和半徑的比較確定圓與圓的位置關(guān)系，涉及幾何計算和代數(shù)比較．2．橢圓的定義【知識點的認(rèn)識】1．橢圓的第一定義平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a＞|F1F2|）的動點P的軌跡叫做橢圓，其中，這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離|F1F2|叫做焦距．2．橢圓的第二定義平面內(nèi)到一個定點的距離和到一條定直線的距離之比是常數(shù)e=ca（0＜e＜1，其中a是半長軸，c是半焦距）的點的軌跡叫做橢圓，定點是橢圓的焦點，定直線叫橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)3．注意要點橢圓第一定義中，橢圓動點P滿足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）當(dāng)2a＞|F1F2|時，動點P的軌跡是橢圓；（2）當(dāng)2a＝|F1F2|時，動點P的軌跡是線段F1F2；（3）當(dāng)2a＜|F1F2|時，動點P沒有運動軌跡．【命題方向】利用定義判斷動點運動軌跡，需注意橢圓定義中的限制條件：只有當(dāng)平面內(nèi)動點P與兩個定點F1、F2的距離的和2a＞|F1F2|時，其軌跡才為橢圓．1．根據(jù)定義判斷動點軌跡例：如圖，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P的軌跡是（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓分析：根據(jù)CD是線段MF的垂直平分線．可推斷出|MP|＝|PF|，進(jìn)而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|結(jié)果為定值，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義推斷出點P的軌跡．解答：由題意知，CD是線段MF的垂直平分線．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又顯然|MO|＞|FO|，∴根據(jù)橢圓的定義可推斷出點P軌跡是以F、O兩點為焦點的橢圓．故選A點評：本題主要考查了橢圓的定義的應(yīng)用．考查了學(xué)生對橢圓基礎(chǔ)知識的理解和應(yīng)用．2．與定義有關(guān)的計算例：已知橢圓x24+y23=1A．25B．23C．5D．3分析：先由橢圓的第一定義求出點P到右焦點的距離，再用第二定義求出點P到右準(zhǔn)線的距離d．解答：由橢圓的第一定義得點P到右焦點的距離等于4-32=5再由橢圓的第二定義得52d=∴點P到右準(zhǔn)線的距離d＝5，故選C．點評：本題考查橢圓的第一定義和第二定義，以及橢圓的簡單性質(zhì)．3．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點的認(rèn)識】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），焦點在x軸上，焦點坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|（2）y2a2+x2b2=1（a＞b＞0），焦點在y軸上，焦點坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|兩種形式相同點：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點：位置不同；焦點坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b中心在原點，焦點在x軸上y2a2+x2b中心在原點，焦點在y軸上圖形頂點A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）對稱軸x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點在長軸長上x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點在長軸長上焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2離心率e=ca（0＜e＜e=ca（0＜e＜準(zhǔn)線x＝±ay＝±a4．根據(jù)abc及其關(guān)系式求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點的認(rèn)識】已知橢圓的方程中abc及其關(guān)系，可以直接代入標(biāo)準(zhǔn)方程中．關(guān)系式c2＝a2﹣b2可用于計算焦距．【解題方法點撥】1．確定a和b：從題目中給定的a和b得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．代入公式：標(biāo)準(zhǔn)方程形式為：x【命題方向】﹣給定a和b，直接求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．﹣利用a和b的關(guān)系確定標(biāo)準(zhǔn)方程．5．橢圓的幾何特征【知識點的認(rèn)識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．頂點坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比ca叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．6．橢圓的離心率【知識點的認(rèn)識】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），焦點在x軸上，焦點坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|（2）y2a2+x2b2=1（a＞b＞0），焦點在y軸上，焦點坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|兩種形式相同點：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點：位置不同；焦點坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b中心在原點，焦點在x軸上y2a2+x2b中心在原點，焦點在y軸上圖形離心率e=ca（0＜e＜e=ca（0＜e＜7．求橢圓的離心率【知識點的認(rèn)識】橢圓的離心率e由公式e=ca【解題方法點撥】1．計算離心率：使用公式e=【命題方向】﹣給定a和b，求橢圓的離心率．﹣計算橢圓