2025年10月考期最新版考生須知：1、參考教材：《線性代數(shù)（經(jīng)管類）》，北京大學出版社，劉吉佑、劉志學

主編，2023年版。2、特殊標記含義：P10代表教材頁碼第10頁；“【

】”等標注的代表此處為重點關(guān)鍵詞（得分點）。

說明：AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩?？荚囶}型及分值：①單項選擇題：共5小題，每小題2分，共10分。②填空題：共10小題，每小題2分，共20分。③計算題：共7小題，每小題9分，共63分。④證明題：1題，7分。

1、二階行列式（P29-30）例1-1：解析：

2、三階行列式（P30-31）(1)用對角線法來記憶三階行列式中每一項前面的正、負號的確定方法.如下圖所示，其中各實線聯(lián)結(jié)的三個元素的乘積前面帶“+”號，各虛線聯(lián)結(jié)的三個元素的乘積前面帶“-”號.(2)二階行列式和三階行列式的關(guān)系：例2-3：當x取何值時，解析：由于

解不等式-x2+9x=-x（x-9）＞0，得0＜x＜9.故當0＜x＜9時，所給行列式的值大于零.

3、上、下三角行列式（P34-35）上三角行列式：下三角行列式：（空白的地方都表示該處元素值為零，*號表示在這些位置上的元素可以任意取值，它們不影響行列式的值）例3-1：解析：根據(jù)三角行列式的計算公式，行列式D=1×5×9=45.

4、余子式、代數(shù)余子式、行列式的展開（P33-35）(1)在n階行列式D中劃去元素aij所在第i行和第j列后剩下的n-1行和n-1列元素，按原來的相對順序組成一個n-1階行列式，記為Mij，即

稱Mij為元素aij的余子式.令A(yù)ij=（-1）i+jMij，稱Aij為元素aij的代數(shù)余子式（i，j=1，2，…，n）.(2)（行列式展開定理）n階行列式D=|aij|n等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即：其中，Aij是元素aij在D中的代數(shù)余子式.根據(jù)定理知道，凡是含零行(某行中元素全為零)或零列(某列中元素全為零)的行列式，其值必為零.例4-1：設(shè)三階行列式D3的第2列元素分別為1，-2，3，對應(yīng)的代數(shù)余子式分別為-3，2，1，則D3=（

）解析：D3=a21A21+a22A22+a23A23=1×（-3）+（-2）×2+3×1=-4.例4-2：計算行列式：解析：行列式的第二列只含一個非零元素a22=-1，其他元素均為0，按第二列展開，得

例4-3：已知行列式求A11+2A21+A41的值.其中Aij是aij（i,j=1,2,3,4）的代數(shù)余子式.解析：

A11，A21，A31，A41是D中第一列元素的代數(shù)余子式.當保持D的第二，三，四列元素不變時，不論第一列元素如何改變，A11，A21，A31，A41的值都保持不變.令

則D與`D第一列對應(yīng)元素的代數(shù)余子式相等.`D按第一列展開,得`D=A11+2A21+A41，另一方面，`D按第四列展開，得

5、行列式的性質(zhì)（P38-44）(1)性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=DT或

例5-1：(2)性質(zhì)2：用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD.這也就是說，行列式可以按行或按列提出公因數(shù)（注意，必須按行或按列逐次提出公因數(shù)）：

例5-2：(3)性質(zhì)3：互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號.即對于如下兩個行列式,有D=-D1.

(4)推論：如果行列式中有兩行（列）相同，則此行列式的值等于零.(5)性質(zhì)4：如果行列式中某兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零.(6)性質(zhì)5：若行列式的某一行（列）的元素是兩個數(shù)之和，例如第i行的元素都是兩個數(shù)之和，則這個行列式可以拆成兩個行列式之和，即：例5-3：已知二階行列式解析：(7)性質(zhì)6：把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一個數(shù)以后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D.(8)定理：n階行列式D=|aij|n的任意一行（列）各元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.例5-4：已知行列式，其代數(shù)余子式為Aij（i，j=1，2，3，4），則3A11+6A12-7A13+8A14=（）解析：3A11+6A12-7A13+8A14即為行列式D的第三行各元素與第一行對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和，所以3A11+6A12-7A13+8A14=0.

例5-5：計算行列式解析：

6、行列式的計算（P44）行列式的計算主要采用以下兩種基本方法：(1)利用行列式的性質(zhì)，把原行列式化為容易求值的行列式.常用的方法是把原行列式化為上三角(或下三角)行列式再求值.此時要注意的是，在互換兩行或兩列時，必須在新的行列式的前面乘上-1.在按行或按列提取公因子k時，必須在新的行列式前面乘上k.例6-1：計算行列式解析：由于上三角行列式的值等于其主對角線上元素的乘積，所以我們只要設(shè)法利用行列式的性質(zhì)將行列式化為上三角行列式，即可求出行列式的值.(2)把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值.通常是先利用性質(zhì)6在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個“0”元素，再按包含0最多的行或列展開.例6-2：計算行列式解析：在計算含文字的行列式的值時，切忌用文字作分母，因為文字可能取0值.例6-3：計算行列式解析：這個行列式有特殊的形狀，其特點是它的每一行元素之和為6.我們可以采用簡易方法求其值.先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因數(shù)6，再將后三行都減去第一行：

7、克拉默法則（P52-55）含有n個方程的n元線性方程組一般形式為：稱為方程組(1.1)的系數(shù)行列式.(1)(克拉默法則)如果n個方程的n元線性方程組的系數(shù)行列式D=|aij|n≠0，則方程組必有唯一解：xj=Dj/D，j=1，2，…，n，其中，是將系數(shù)行列式D中第j列元素a1j，a2j，…，anj對應(yīng)地換為方程組的常數(shù)項b1，b2，…，bn得到的行列式.(2)如果n元線性方程組的常數(shù)項b1，b2，…，bn均為零，即：則稱之為齊次線性方程組.如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D≠0，則它只有零解：x1=x2=…=xn=0.例7-1：用克拉默法則解方程組解析：例7-2：

8、矩陣的概念（P61-62）(1)由m×n個數(shù)aij,i=1，2，…，m；j=1，2，…，n排成的一個m行n列的數(shù)表

稱為一個m行n列矩陣.矩陣的含義是，這m×n個數(shù)排成一個矩形陣列.其中aij稱為矩陣的第i行第j列元素(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n),而i稱為行標，j稱為列標.第i行與第j列的交叉位置記為(i,j).(2)當m=n時，稱

A=(aij)n×n為n階矩陣，或者稱為n階方陣.(3)元素全為零的矩陣稱為零矩陣.用Om×n或者O表示.(4)形如

的矩陣，稱為對角矩陣，對角矩陣必須是方陣.(5)當對角矩陣的主對角線上的元素都相同時，稱它為數(shù)量矩陣.n階數(shù)量矩陣有如下形式：

特別地，當a=1時，稱它為n階單位矩陣.n階單位矩陣記為En或In，即

在不會引起混淆時，也可以用E或I表示單位矩陣.(6)形如

的矩陣分別稱為上三角矩陣和下三角矩陣.上三角矩陣和下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣，三角矩陣必須是方陣.一個方陣是對角矩陣當且僅當它既是上三角矩陣，又是下三角矩陣.

9、矩陣運算（P62-75）(1)矩陣加法：設(shè)A=（aij）m×n和B=（bij）m×n是兩個m×n矩陣，由A與B的對應(yīng)元素相加所得到的一個m×n矩陣，稱為A與B的和，記為A+B，即A+B=（aij+bij）m×n.當兩個矩陣A與B的行數(shù)和列數(shù)分別相等時，稱它們是同型矩陣.只有當兩個矩陣是同型矩陣時，它們才可以相加.①交換律

A+B=B+A.②結(jié)合律

（A+B）+C=A+（B+C）.③A+O=O+A=A.④消去率

A+C=B+C?A=B.例9-1：(2)矩陣減法：A-B=A+(-B).例9-2：(3)數(shù)乘運算：對于任意一個矩陣A=（aij）m×n和任意一個數(shù)k，規(guī)定k與A的乘積為：kA=（kaij）m×n.①結(jié)合律

（kl）A=k（lA）=klA（k和l為任意實數(shù)）.②分配率

k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA（k和l為任意實數(shù)）例9-3：(4)乘法運算：設(shè)矩陣A=（aij）m×k，B=（bij）k×n，令C=（cij）m×n是由下面的m×n個元素cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aikbkj，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n構(gòu)成的m行n列矩陣.稱矩陣C為矩陣A與矩陣B的乘積，記為C=AB.由此定義可以知道，兩個矩陣A=（aij）和B=（bij）可以相乘當且僅當A的列數(shù)與B的行數(shù)相等.當C=AB時，C的行數(shù)=A的行數(shù)，C的列數(shù)=B的列數(shù).C的第i行第j列元素等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對應(yīng)元素的乘積之和.例9-4：解析：(5)矩陣乘法運算律：（Em，En分別為m階和n階單位矩陣，O表示元素全為零的矩陣）①矩陣乘法結(jié)合律：（AB）C=A（BC）.②矩陣乘法分配律：（A+B）C=AC+BC，D（A+B）=DA+DB.③兩種乘法的結(jié)合律：k（AB）=（kA）B=A（kB），k為任意實數(shù).④EmAm×n=Am×n，Am×nEn=Am×n.*在一般情形下，矩陣的乘法不滿足交換律，即AB≠BA*矩陣乘法不滿足消去律：當AB=O時，一般不能推出A=O或B=O.(6)方陣的方冪：(7)矩陣轉(zhuǎn)置運算律：①（AT）T=A.②（A+B）T=AT+BT.③（kA）T=kAT，k為實數(shù).④（AB）T=BTAT，（A1A2…Ak）T=AkTAk-1T…A1T.(8)方陣的行列式：性質(zhì)：設(shè)A，B為n階方陣，k為實數(shù)，則：①|(zhì)AT|=|A|；②|kA|=kn|A|；③|AB|=|A|·|B|.注意：矩陣是一個數(shù)表，行列式是一個數(shù).當且僅當A=(aij)為n階方陣時，才可取行列式D=|A|=|aij|n.對于不是方陣的矩陣不可以取行列式例9-6：設(shè)A為三階方陣，B為四階方陣，且|A|=1，|B|=-2，則行列式||B|A|之值為（

）解析：||B|A|=|-2A|=（-2）3|A|=-8.例9-8：設(shè)矩陣A=（1，-1，2）T，B=（1，3，2）T，且C=ABT，求C和C10.解析：

10、可逆矩陣（P77-80）(1)設(shè)A是一個n階矩陣，若存在一個n階矩陣B，使得AB=BA=E，則稱A是可逆矩陣（或非奇異矩陣），并稱矩陣B為A的逆矩陣，記為A-1，即A-1=B.(2)n階矩陣A為可逆矩陣?|A|≠0.(3)設(shè)A=（aij）n×n，Aij為|A|的元素aij的代數(shù)余子式，i，j=1，2，…，n，則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為A*.(4)求逆矩陣的公式：A-1=（1/|A|）A*.

（|A|≠0）(5)AA*=A*A=|A|E(6)設(shè)A，B均為n階矩陣，并且滿足AB=E，則A，B都可逆，且A-1=B,B-1=A.驗證一個矩陣是另一個矩陣的逆矩陣時，只需要證明一個等式AB=E或BA=E成立即可，而用不著按定義同時驗證兩個等式.(7)可逆矩陣的基本性質(zhì)：設(shè)A，B為n階的可逆矩陣，常數(shù)k≠0，則：①A-1為可逆矩陣，且（A-1）-1=A.②AB為可逆矩陣，且（AB）-1=B-1A-1.③kA為可逆矩陣，且（kA）-1=（1/k）A-1.④AT為可逆矩陣，且（AT）-1=（A-1）T.⑤可逆矩陣可以從矩陣等式的同側(cè)消去.即當P為可逆矩陣時，有PA=PB?A=B；AP=BP?A=B.⑥若A是n階可逆矩陣.我們記A0=E，并定義A-k=（A-1）k，其中k是任意正整數(shù).則有：AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl，這里，k和l為任意整數(shù)（包括負整數(shù)、零和正整數(shù)）.⑦|A-1|=|A|-1.注意：①由PA=BP不能推出A=B，由AP=PB不能推出A=B；②不允許用表示AB-1或B-1A.矩陣不能做分母

例10-1：若A為三階方陣且|A-1|=2，則|2A|=（）解析：由|A-1|=2，得|A|=1/2，所以|2A|=23×（1/2）=4.

例10-3：判斷矩陣是否可逆，若可逆，求出它的逆矩陣.解析：由于例10-4：設(shè)而X滿足AX+E=A2+X，求X.解析：例10-5：解析：例10-6：設(shè)A為4階矩陣，若A2=2E+3A，證明A-3E是可逆矩陣并求它的逆矩陣解析：A2=2E+3A可化為A（A-3E）=2E,則,可得A-3E是可逆矩陣，且它的逆矩陣為.

11、初等變換、初等矩陣（P93-97）(1)定義1：對一個矩陣A=（aij）m×n施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換：①交換A的某兩行（列）；②用一個非零的數(shù)k乘A的某一行（列）；③把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.(2)定義2：若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換變成B，則稱A與B等價.記為A≌B.注意區(qū)分：用“→”連接初等變換前后的矩陣，計算行列式用“=”連接.例11-1：設(shè)A為3階矩陣，將A的第2列與第3列互換得到矩陣B，再將B的第1列的（-2）倍加到第3列得到單位矩陣E，則A-1=（）解析：由題意知：

12、初等矩陣（P94-97）(1)定義：由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣(2)定理：①Pij左（右）乘A就是互換A的第i行（列）和第j行（列）.②Di（k）左（右）乘A就是用非零數(shù)k乘A的第i行（列）.③Tij（k）左乘A就是把A中第j行的k倍加到第i行上.Tij（k）右乘A就是把A中第i列的k倍加到第j列上.例12-1：下列矩陣中不是初等矩陣的為（

）

解析：答案選A.A選項是交換單位矩陣的第1行（列）和第3行（列），并將第1行的（-2）倍加到第2行，共進行兩次初等變換，所以A選項不是初等矩陣；B選項是交換單位矩陣的第1行（列）和第3行（列），是初等矩陣；C選項是用2乘單位矩陣的第2行（列），是初等矩陣；D選項將單位矩陣的第3行的（-2）倍加到第2行上（或?qū)⒌?列的（-2）倍加到第3列上），是初等矩陣.

13、求可逆矩陣的逆矩陣（P78-80；P98）方法1：用伴隨矩陣求逆矩陣方法2：用初等變換求逆矩陣（A，E）→（E，A-1）例13-1：解析：

14、矩陣的秩（P102-107）(1)在m×n矩陣A中，非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記為r（A）.有時也可用秩（A）表示A的秩.(2)對矩陣施行初等變換，不改變矩陣的秩.(3)對于任意一個非零矩陣，都可以通過初等行變換把它化成階梯形矩陣.(4)設(shè)A為m×n矩陣，P和Q分別為m階和n階可逆矩陣，則：r(PA)=r(A).r(AQ)=r(A).(5)求矩陣的秩：用初等變換把任意矩陣A化成階梯形矩陣T，就可以求出它的秩：r（A）=r（T）=“T中非零行的行數(shù)”(6)關(guān)于矩陣的秩，有以下結(jié)論：①設(shè)A=（aij）m×n，則r（A）≤min{m，n}.②r（AT）=r（A）.③n階方陣A為可逆矩陣?|A|≠0?r（A）=n.④r（A）=0?A=O.例14-1：求矩陣的秩.解析：容易計算出二階行列式

A是一個三行四列的矩陣，把A的三行全部取出，再從其四列中任取三列就可得到一個三階子式，共有四個三階子式，我們算出A的所有三階子式如下：

顯然A不存在四階子式，所以A的不等于零的最高階子式的階數(shù)為2，因此r(A)=2.例14-2：設(shè)A為5×4矩陣，若秩（A）=4，則秩（5AT）為（

）解析：r（5AT）=r（AT）=r（A）=4.例14-3：試確定k為何值時，的秩為2.解析：用初等行變換把A化成階梯形矩陣.

由A的階梯形矩陣知道，當k=-3時，A的秩為2.例14-4：解析：

15、向量、向量的線性運算、向量組的概念（P114-116）(1)向量的定義：由n個數(shù)a1，a2，...，an組成的有序數(shù)組（a1，a2，...，an）稱為一個n維向量，數(shù)ai稱為該向量的第i個分量（i=1,2,...,n）.(2)向量的線性運算：設(shè)有n維向量α=（a1，a2，...，an）、n維向量β=（b1，b2，...，bn）、數(shù)k，①向量的加法：α+β=（a1+b1，a2+b2，

...，an+bn）.②向量的減法：α-β=（a1-b1，a2-b2，

...，an-bn）.③數(shù)乘向量：kα=（ka1，ka2，...，kan）.(3)向量組的概念：若干個同維數(shù)的向量所組成的集合為向量組，m個向量α1，α2，...，αm組成的向量組可以記為R：α1，α2，...，αm或R={α1，α2，...，αm}.

16、向量的線性組合、線性相關(guān)（P116-127）(1)若一個n維向量β可以表示成β=k1α1+k2α2+…+kmαm，則稱β是α1，α2，…，αm的線性組合，或稱β可用α1，α2，…，αm線性表出.(2)設(shè)α1，α2，…，αm是m個n維向量.如果存在m個不全為零的數(shù)k1，k2，…，km，使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0，則稱向量組α1，α2，…，αm線性相關(guān)，稱k1，k2，…，km為相關(guān)系數(shù).(3)結(jié)論及定理：①任意一個含零向量的向量組必為線性相關(guān)組；②單個向量α線性相關(guān)?α=0；③向量組中存在兩向量的對應(yīng)分量成比例，則向量組為線性相關(guān)組；④n個n維列向量α1，α2，…，αn線性相關(guān)?矩陣A=（α1，α2，…，αn）的行列式|A|=|α1，α2，…，αn|=0；⑤當m>n時，m個n維列向量α1，α2，…，αm一定線性相關(guān)；⑥m個n維向量α1，α2，…，αm（m≥2）線性相關(guān)?至少存在某個αi是其余向量的線性組合；⑦相關(guān)組的擴充向量組必為相關(guān)組（部分相關(guān)，整體必相關(guān)）；⑧相關(guān)組的截短向量組必為相關(guān)組.例16-1：設(shè)β可由α1=（1，0，0），α2=（0，0，1）線性表出，則下列向量中β只能是（

）A.（2，1，1）

B.（-3，0，2）

C.（1，1，2）

D.（0，-1，0）解析：β=k1α1+k2α2=（k1，0，k2）.答案為B.例16-2：已知向量組α1=(1,2,-3)T,α2=(k,4,-6)T線性相關(guān)，則數(shù)k=（）.解析：向量組中存在兩向量的對應(yīng)分量成比例，則向量組為線性相關(guān)組，即α2=2α1，則k=2.例16-3：對于向量組α1=（a11，a21）T，α2=（a12，a22）T與向量組β1=（a11，a21，a31）T，β2=（a12，a22，a32）T，下列結(jié)論中正確的是（）.A.若α1，α2線性相關(guān)，則β1，β2線性無關(guān)B.若α1，α2線性相關(guān)，則β1，β2線性相關(guān)C.若β1，β2線性相關(guān)，則α1，α2線性無關(guān)D.若β1，β2線性相關(guān)，則α1，α2線性相關(guān)解析：根據(jù)相關(guān)組的截短向量組必為相關(guān)組，可知β1，β2線性相關(guān)，則α1，α2線性相關(guān)，故選D例16-4：設(shè)向量組（1，1，1）T，（a，1，0）T，（1，b，0）T線性相關(guān)，則數(shù)a，b可取值為（）.A.a=0，b=0B.a=0，b=1C.a=1，b=0D.a=1，b=1

17、線性無關(guān)（P122-135）(1)設(shè)α1，α2，…，αm是一個n維向量組.若k1α1+k2α2+…+kmαm=0僅當k1=k2=…=km=0時成立，則稱向量組α1，α2，…，αm線性無關(guān).(2)結(jié)論及定理：①單個向量α線性無關(guān)?α≠0；②n個n維列向量α1，α2，…，αn線性無關(guān)?矩陣A=（α1，α2，…，αn）的行列式|A|=|α1，α2，…，αn|≠0；③m個n維向量α1，α2，…，αm（m≥2）線性無關(guān)?任意一個αi都不能表示為其余向量的線性組合；④無關(guān)組的子向量組必為無關(guān)組（整體無關(guān)，部分必無關(guān)）；⑤無關(guān)組的接長向量組必為無關(guān)組.向量組的線性相關(guān)和無關(guān)的總結(jié)：(1)當向量個數(shù)大于向量維數(shù)時，則此向量組必是線性相關(guān)組.(2)當向量個數(shù)等于向量維數(shù)時，把它們拼成一個行列式，①此向量組為線性相關(guān)組?行列式為0，②此向量組為線性無關(guān)組?行列式不為0.(3)當向量個數(shù)小于向量維數(shù)時，把他們拼成一個矩陣，再用初等行變換把此矩陣化為階梯形矩陣B，求得向量組的秩為B中非零行的行數(shù)，①當向量組的秩等于向量個數(shù)時，它就是線性無關(guān)組;②當向量組的秩小于向量個數(shù)時，它就是線性相關(guān)組.向量組的秩是不可能大于向量個數(shù)和向量維數(shù)的.例17-1：當t為何值時，向量組α1=(1,2,-1)T,α2=(2,2,0)T,α3=(3,1,t)T(1)線性無關(guān)；(2)線性相關(guān)，并在此時求一組不全為零的數(shù)k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0.解析：設(shè)x1α1+x2α2+x3α3=0.此即線性方程組其系數(shù)行列式為

(1)當t≠2時，方程組只有零解，此時向量組α1，α2，α3線性無關(guān).(2)當t=2時，向量組線性相關(guān).

同解方程組為

令x3=2，得方程組的一個非零解x1=4,x2=-5,x3=2.于是只要取k1=4,k2=-5,k3=2,則有k1α1+k2α2+k3α3=0.例17-2：已知向量組α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，又β1=α2+α3，β2=α1+α2，β3=α4-α1，β4=α3+α4，證明：β1，β2，β3，β4線性無關(guān).證明：設(shè)k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0，則k1（α2+α3）+k2（α1+α2）+k3（α4-α1）+k4（α3+α4）=0，即（k2-k3）α1+（k1+k2）α2+（k1+k4）α3+（k3+k4）α4=0，由于α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，所以據(jù)此可得k1=k2=k3=k4=0，所以β1，β2，β3，β4線性無關(guān).例17-3：設(shè)向量組α1=（1，0，0）T，α2=（0，2，4）T，α3=（-1，3，t）T線性無關(guān)，則數(shù)t的取值應(yīng)滿足（）解析：例17-4：設(shè)A是n階矩陣，n維列向量α滿足Aα≠0，A2α=0，證明向量組α，Aα線性無關(guān).證明：設(shè)存在常數(shù)k1，k2，使得k1α+k2Aα=0

①兩邊左乘A，得k1Aα+k2A2α=0.由于A2α=0，上式化為k1Aα=0，又Aα≠0，故k1=0.①式化為k2Aα=0，而Aα≠0，故k2=0.所以向量組α，Aα線性無關(guān).例17-5：設(shè)有向量組α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3線性無關(guān)，則（

）A.α1，α3線性無關(guān)

B.α1，α2，α3，α4線性無關(guān)

C.α1，α2，α3，α4線性相關(guān)

D.α2，α3，α4線性相關(guān)解析：整體無關(guān)，部分必無關(guān)，故答案選A.

18、極大線性無關(guān)組、向量組的秩（P129-135）(1)設(shè)T是由若干個（有限或無限多個）n維向量組成的向量組.若存在T的一個部分組α1，α2，…，αr滿足以下條件：①α1，α2，…，αr線性無關(guān)；②對于任意一個向量β∈T，向量組β，α1，α2，…，αr都線性相關(guān).則稱α1，α2，…，αr為T的一個極大線性無關(guān)向量組，簡稱為極大無關(guān)組.(2)向量組T的任意一個極大無關(guān)組中所含向量的個數(shù)r稱為T的秩，記為r（T）=r，或者秩（T）.(3)若向量組R={α1，α2，…，αr}是線性無關(guān)的，則它的極大無關(guān)組只有它本身一個，所以秩(R)=r.(4)如果向量組S可由向量組T線性表出，其秩分別為r（S）=s，r（T）=t，則s≤t.(5)等價的向量組必有相同的秩.(6)對矩陣施行初等變換，不改變它的行秩和列秩.(7)設(shè)A為m×n矩陣，則r（A）=A的行秩=A的列秩.(8)設(shè)A為m×n矩陣，B為m×k矩陣，則r（A，B）≤r（A）+r（B）.(9)求向量組的秩的方法：①設(shè)β1，β2，...，βm是m個n維列向量，構(gòu)造n×m矩陣A=（β1，β2，...，βm），則有r{β1，β2，...，βm}=r（A）.②設(shè)α1，α2，...，αm是m個n維行向量，構(gòu)造n×m矩陣A=（α1T，α2T，...，αmT），則有r{α1T，α2T，...，αmT}=r（A）.將求向量組的秩的問題化為求矩陣的秩的問題，可以用初等變換求秩.例18-1：已知向量組α1=（1，1，-2）T，α2=（1，-2，1）T，α3=（t，1，1）T的秩為2，則數(shù)t=（）解析：例18-2：求出下列向量組的秩和一個極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表出：α1=（1，1，-2，7），α2=（-1，-2，2，-9），α3=（-1，1，-6，6），α4=（2，4，4，3），α5=（2，1，4，3）.解析：把所有的行向量都轉(zhuǎn)置成列向量形成4×5矩陣以后，再用初等變換把它化為簡化行階梯形矩陣，即可求出向量組的秩和它的極大無關(guān)組.并且可將其余向量用極大無關(guān)組線性表出.（注意

這個方法只能用初等行變換）其中B是A的簡化行階梯形矩陣，易見B的秩為4，從而A的秩為4.另外，B的列向量組的一個極大無關(guān)組為{β1，β2，β3，β4}.因而A的一個極大無關(guān)組為{α1，α2，α3，α4}，從B容易看出β5=0β1+（-1）β2+（-1）β3+0β4=-β2-β3，因此有α5=-α2-α3.

19、基、維數(shù)、坐標（P140-141）向量空間V的一個基，實際上就是向量集合V中的一個極大線性無關(guān)組，V的維數(shù)就是極大線性無關(guān)組中所含向量的個數(shù)，即V的秩.設(shè)S：α1，α2，...，αr是向量空間V的一個基，則V中的任意一個向量α都可以用α1，α2，...，αr唯一地線性表出：α=k1α1+k2α2+...+krαr，則向量α在此基S下的坐標為（k1,k2,...,kr）.例19-1：求R4中由向量組α1=（1，2，-2，0）T，α2=（0，-1，3，1）T，α3=（1，1，-2，5）T，α4=（2，1，-4，15）T，生成的子空間的一組基、維數(shù).解析：向量組α1，α2，α3，α4的一個極大無關(guān)組就是其生成子空間的一個基，α1，α2，α3，α4的秩就是生成空間的維數(shù).因此α1，α2，α3是生成子空間的一個基，生成子空間的維數(shù)為3.

20、齊次線性方程組（P145-147）(1)若ξ1，ξ2是齊次線性方程組Ax=0的解，則ξ1+ξ2也是Ax=0的解.(2)若ξ是齊次線性方程組Ax=0的解，k是任意實數(shù)，則kξ也是Ax=0的解.(3)設(shè){ξ1，ξ2，…，ξs}為齊次線性方程組Ax=0的一個解向量集.如果它滿足以下兩個條件：①ξ1，ξ2，…，ξs是線性無關(guān)的向量組；②Ax=0的任意一個解ξ都可表示為ξ1，ξ2，…，ξs的線性組合，即ξ=k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs，k1，k2，…，ks是常數(shù)，則稱{ξ1，ξ2，…，ξs}是Ax=0的一個基礎(chǔ)解系.(4)設(shè)A是m×n矩陣，r（A）=r，則：①Ax=0的基礎(chǔ)解系中的解向量個數(shù)為n-r；②Ax=0的任意n-r個線性無關(guān)的解向量都是它的基礎(chǔ)解系.(5)設(shè)A是m×n矩陣，則：①Ax=0只有零解?r（A）=n；此時，Ax=0沒有基礎(chǔ)解系.②Ax=0有非零解?r（A）＜n；此時，Ax=0有無窮多個基礎(chǔ)解系.當m＜n時，Ax=0必有非零解，因此必有無窮多個基礎(chǔ)解系.(6)當A是n階方陣時，Ax=0只有零解?|A|≠0；Ax=0有非零解?|A|=0.(7)基礎(chǔ)解系有三個“必須”：向量個數(shù)必須是n-r，它們必須都是Ax=0的解，而且它們必須是線性無關(guān)的向量組.這三個條件缺一不可！例20-3：設(shè)α1，α2，α3是某個齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，證明：β1=α2+α3，β2=α1+α3，β3=α1+α2，一定是Ax=0的基礎(chǔ)解系.解析：首先，它們的個數(shù)與已給的基礎(chǔ)解系α1，α2，α3的個數(shù)相同，都為3，即n-r=3.其次，顯然有：Aβ1=A（α2+α3）=0，Aβ2=A（α1+α3）=0，Aβ3=A（α1+α2）=0.最后，根據(jù)題設(shè)條件可以寫出矩陣等式：

P是可逆矩陣，所以，r（B）=r（A）=3，這說明β1，β2，β3必線性無關(guān)，所以，β1，β2，β3必是Ax=0的基礎(chǔ)解系.例20-4：當λ為何值時，線性方程組有非零解？并在有非零解時，求出其通解.解析：方程組的系數(shù)行列式為

21、非齊次線性方程組（P152-155）(1)Ax=b有解?r（A，b）=r（A）.(2)如果η1，η2是非齊次線性方程組Ax=b的解，則ξ=η1-η2是它的導(dǎo)出組Ax=0的解.(3)如果η是非齊次線性方程組Ax=b的解，ξ是它的導(dǎo)出組Ax=0的解，則ξ+η必是Ax=b的解.(4)設(shè)A是m×n矩陣，且r（A，b）=r（A）=r，r＜n，則Ax=b的一般解為η=η*+k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r，其中η*為Ax=b的任意一個解，{ξ1，ξ2，…，ξn-r}為Ax=0的任意一個基礎(chǔ)解系.(5)設(shè)A是m×n矩陣，且r（A，b）=r（A）=r，則有以下結(jié)論：①當r=n時，Ax=b有唯一解；②當r＜n時，Ax=b有無窮多個解.③因此，當r（A，b）=r（A）時，Ax=b的解是唯一的?r（A）=n.(6)設(shè)A是n階方陣，則有以下結(jié)論：①當|A|≠0時，Ax=b必有唯一解x=A-1b；②當|A|=0時，如果r（A，b）=r（A），則Ax=b有無窮多個解；如果r（A，b）=r（A）+1，則Ax=b無解.③因此，當A是n階方陣時，Ax=b有解且其解是唯一的?|A|≠0.

例21-1：設(shè)非齊次線性方程組Ax=b，其中A為m×n階矩陣，r（A）=r，則（）A.當r=n時，Ax=b有唯一解B.當r<n時，Ax=b有無窮多解C.當r=m時，Ax=b有解D.當m=n時，Ax=b有唯一解解析：答案選CA選項：當r（A）=r=n時，不能推出r（A，b）=r（A），因此方程組Ax=b未必有解；B選項：r（A）=r<n時，不能推出r（A，b）=r（A），因此方程組Ax=b未必有解；C選項：因為r（A）≤r（A，b）≤m，所以當r（A）=r=m時，r（A）=r（A，b）=m，推得方程組Ax=b有解；D選項：當m=n時，不能推出r（A，b）=r（A），因此方程組Ax=b未必有解.

例21-4：設(shè)線性方程組有無窮多解.求m，k的值，并求出方程組的通解.解析：方程組的增廣矩陣為

22、特征值與特征向量（P163-167）(1)定義：設(shè)A=（aij）為n階矩陣.如果存在某個數(shù)λ和某個n維非零列向量p滿足Ap=λp，則稱λ是A的一個特征值，稱p是A的屬于特征值λ的一個特征向量.(2)定理：①三角矩陣的特征值就是它的全體主對角元.②n階方陣A和它的轉(zhuǎn)置矩陣AT必有相同的特征值.③設(shè)λ1，λ2，…，λn是n階方陣A=（aij）n×n的全體特征值，則必有這里，tr（A）為A=（aij）n×n中的n個主對角元之和，稱為A的跡.|A|為A的行列式.④設(shè)A為n階方陣，f（x）=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0為m次多項式.f（A）=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0En為對應(yīng)的A的方陣多項式.如果Ap=λp，則必有f（A）p=f（λ）p，這說明f（λ）必是f（A）的特征值.特別地，當f（A）=O時，必有f（λ）=0，即當f（A）=O時，A的特征值必是對應(yīng)的m次多項式f（x）的根.(3)求特征值和特征向量的方法：對于給定的n階矩陣A=（aij），求它的特征值就是求它的特征多項式|λE-A|的n個根.對于任意取定的一個特征值λ0，A的屬于特征值λ0的特征向量，就是對應(yīng)的齊次線性方程組（λ0E-A）x=0的所有的非零解.例22-1：求出的特征值和全部特征向量.解析：先求出A的特征多項式例22-2：解析：因為上三角矩陣A的特征值就是它的對角元1和3，而由B=A2-2A+3E知道，對應(yīng)的多項式為f（x）=x2-2x+3，所以B的特征值就是f（1）=2，f（3）=6.例22-3：設(shè)n階矩陣A≠-E，如果r（A+E）+r（A-E）=n，證明：1是A的一個特征值.證明：因為A≠-E，所以A＋E≠O，即r（A+E）≥1，所以r（A+E）＝n-r（A-E）≥1，所以r（A-E）≤n-1，所以｜A-E｜＝0，即｜E-A｜＝0．所以1是A的特征值．例22-4：設(shè)α，β是n階方陣A的兩個特征向量，λ1，λ2是對應(yīng)的特征值，并且λ1≠λ2，證明：α+β不是A的特征向量.證明：假設(shè)α+β是A的對應(yīng)特征值μ的特征向量，則有A（α+β）=μ（α+β），所以Aα+Aβ＝μα+μβ，又Aα＝λ1α，Aβ=λ2β，所以λ1α+λ2β＝μα+μβ，所以λ1=μ，λ2=μ，得出λ1=λ2，這與λ1≠λ2矛盾，故α+β不是A的特征向量.例22-5：設(shè)三階矩陣A的3個特征值為1，-1，2.求|A2+3A-2E|，其中E是三階單位矩陣.解析：令f（x）=x2+3x-2，則f（A）=A2+3A-2E.于是A2+3A-2E的特征值為f（1）=12+3×1-2=2，f（-1）=（-1）2+3×（-1）-2=-4，f（2）=22+3×2-2=8.故|A2+3A-2E|=2×（-4）×8=-64.例22-6：設(shè)α=（1，1，-2）T是3階矩陣A屬于特征值λ=2的特征向量，則Aα=（）.解析：由特征值和特征向量的定義可得Aα=λα=2（1，1，-2）T=（2，2，-4）T.

23、方陣的相似變換（P171-178）(1)定義：設(shè)A和B是兩個n階矩陣.如果存在某個n階可逆矩陣P使得B=P-1AP，則稱A和B是相似的，記為A～B.(2)定理：①相似矩陣必有相同的特征多項式，因而必有相同的特征值、相同的跡和相同的行列式.②n階矩陣A相似于對角矩陣?A有n個線性無關(guān)的特征向量.③n階矩陣A相似于對角矩陣?對于每一個ri重特征值λi，均存在ri個線性無關(guān)的特征向量.④若對于矩陣A，存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ為對角矩陣，則稱對角矩陣Λ為A的相似標準形.⑤設(shè)p1和p2分別是n階矩陣A的屬于兩個不同特征值λ1和λ2的特征向量，則p1和p2必線性無關(guān).⑥設(shè)λ1，λ2，…，λk是n階矩陣A的兩兩不同的特征值，pi是屬于λi，1≤i≤k的特征向量，則p1，p2，…，pk線性無關(guān).例23-1：解析：相似矩陣有相同的跡，所以1+4=3+x，x=2.例23-2：設(shè)下述兩個矩陣相似：（1）求參數(shù)x與y的值.（2）求出可逆矩陣P，使得B=P-1AP.解析：（1）因為|A|=-1,|B|=-y，所以，根據(jù)|A|=|B|得到y(tǒng)=1.再根據(jù)tr（A）=tr（B），即1+x=y，得到x=0.（2）根據(jù)A與B相似而B為對角矩陣得知，A的特征值就是B的對角元1，1，-1.例23-3：解析：24、向量內(nèi)積和正交矩陣（P180-186）(1)兩個n維行向量α=（a1，a2，…，an），β=（b1，b2，…，bn）的內(nèi)積為(2)n維向量α=（a1，a2，…，an）的長度指的是實數(shù)當║α║=1時，稱α為單位向量.(3)任意一個非零向量α=（a1，a2，…，an）都可以單位化：即用α的長度去除α中的每一個分量.(4)設(shè)α=（a1，a2，…，an），β=（b1，b2，…，bn）∈Rn.如果（α，β）=0，則稱α與β正交，記為α⊥β.(5)如果一個向量組中不含零向量，且其中任意兩個向量都是正交的(簡稱為兩兩正交),則稱這個向量組為正交向量組.(6)若S={α1，α2，…，αm}，2≤m≤n是Rn中的一個正交向量組，且其中每個向量都是單位向量，則稱這個向量組為標準正交向量組.(7)施密特正交化方法：如果已經(jīng)給出含有m個向量的線性無關(guān)向量組S={α1，α2，...，αm}，那么一定可以按以下步驟得到正交向量組T={β1，β2，...,βm}:(8)如果n階實矩陣A滿足AAT=E,則稱A為正交矩陣.(9)設(shè)A是n階正交矩陣，則有以下結(jié)論：①|(zhì)A|=±1.②A-1=AT.③正交矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣和逆矩陣也是正交矩陣.④正交矩陣A的伴隨矩陣A*必是正交矩陣.⑤對于任意n維列向量α，β都有內(nèi)積等式（Aα，Aβ）=（α，β）.例24-1：求向量α=(-1,-3,-2,7)與β=(4,-2,1,0)的內(nèi)積.解析：(α,β)=(-1)×4+(-3)×(-2)+(-2)×1+7×0=0.例24-2：若向量α=（1，-2，1）與β=（2，3，t）正交，則t=（）A.-2

B.0

C.2

D.4解析：向量α與β正交，則有1×2+（-2）×3+1×t=0，得t=4.選D.例24-3：將α1=（0，1，1）T，α2=（0，-1，2）T，α3=（1，-1，-1）T標準正交化.解析：例24-4：若A為正交矩陣,則下列矩陣中不是正交矩陣的是（）A.

A-1

B.2A

C.A*

D.

AT解析：正交矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣也是正交矩陣，選B.例24-5：若矩陣A為正交矩陣，則|A2|=（）.解析：|A2|=|A|2，正交矩陣|A|=±1，所以|A|2=1，答案為1.

25、實對稱矩陣的相似標準形（P189-190）(1)定義：n階矩陣A=（aij）是對稱矩陣?AT=A，即(2)定理：①實對稱矩陣的特征值一定是實數(shù)，其特征向量一定是實向量.②實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量一定是正交向量.③對稱矩陣基本定理：對于任意一個n階實對稱矩陣A，一定存在n階正交矩陣P，使得對角矩陣中的n個對角元λ1，λ2，...，λn就是A的n個特征值.反之，凡是正交相似于對角矩陣的實矩陣一定是對稱矩陣.④兩個有相同特征值的同階對稱矩陣一定是正交相似矩陣.例25-1：

解析：易見tr（A）=|A|=6.先求出特征方程.

例25-2：解析：先簡化特征方程：

26、實二次型及其標準型（P198-204）(1)n元實二次型指的是含有n個未知量的x1，x2，…，xn的實系數(shù)二次齊次多項式(2)設(shè)x1，x2，…，xn；y1，y2，…，yn是兩組變量，下面一組關(guān)系式則上述線性變換可寫成x=Cy，其中矩陣C稱為線性變換的系數(shù)矩陣.如果C是可逆矩陣，就稱線性變換是可逆的或是非退化的.如果C是正交矩陣，則稱線性變換是正交的.(3)只有平方項xi2而沒有交叉項xixj，i≠j，i，j=1，2，…，n的二次型f（x1，