專題01三角函數(shù)的概念與三角恒等變換目錄目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。02盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。【知能解讀01】任意角與弧度制【知能解讀02】三角函數(shù)的概念【知能解讀03】誘導(dǎo)公式【知能解讀04】三角恒等變換公式03破·重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分?！局仉y點(diǎn)突破01】sinα，cosα齊次式中“切弦互化”的技巧【重難點(diǎn)突破02】sinα±cosα與sinαcosα關(guān)系的應(yīng)用【重難點(diǎn)突破03】三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則【重難點(diǎn)突破04】尋找角的關(guān)系【重難點(diǎn)突破05】積化和差與和差化積公式04辨·易混易錯(cuò)：辨析易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)?！疽谆煲族e(cuò)01】忽略角的度量單位的一致性【易混易錯(cuò)02】忽略終邊相同角的公式中π的系數(shù)的要求，不能分類討論【易混易錯(cuò)03】應(yīng)用三角函數(shù)的定義求值時(shí)遺漏終邊的位置【易混易錯(cuò)04】應(yīng)用三角函數(shù)的定義求參數(shù)時(shí)【易混易錯(cuò)05】忽略參數(shù)的取值范圍忽略題目隱含范圍致錯(cuò)【易混易錯(cuò)06】不能精確確定角的取值范圍導(dǎo)致錯(cuò)解05點(diǎn)·方法技巧：點(diǎn)撥解05點(diǎn)·方法技巧：點(diǎn)撥解題方法，練一題通一類【方法技巧01】確定角終邊所在象限的方法【方法技巧02】扇形的弧長(zhǎng)與面積應(yīng)用【方法技巧03】三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決辦法【方法技巧04】對(duì)sina，cosa，tana的知一求二問題【方法技巧05】利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟【方法技巧06】給值求值問題的求解策略【方法技巧07】給值求角問題的求解策略01任意角與弧度制1.角的相關(guān)概念（1）角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.（2）角的表示：如圖，射線OA為始邊，射線OB為終邊，點(diǎn)為角的頂點(diǎn).“角”或““可簡(jiǎn)記為“”．（3）角的分類名稱定義圖形正角一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角這樣,我們就把角的概念推廣到了任意角，（4）相等的角：設(shè)角由射線OA繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成，角由射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成。如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱．（5）角的加、減法①角的加法：設(shè)是任意兩個(gè)角，把角的終邊旋轉(zhuǎn)角，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是．②相反角：把射線OA繞端點(diǎn)按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角.角的相反角記為.③角的減法：像實(shí)數(shù)減法的＂減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)＂一樣，我們有．這樣，角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法．2.終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和．如圖，角、角和角都是以射線OB為終邊的角，它們是終邊相同的角．3.象限角與軸線角（1）象限角、軸線角的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，便稱此角為第幾象限角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，稱這個(gè)角為軸線角．（2）象限角的集合①第一象限角：．【銳角是第一象限角，反之不成立.】②第二象限角：．【鈍角是第二象限角,反之不成立.】③第三象限角：．④第四象限角：．（3）軸線角的集合角終邊的位置角的集合特點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上集合中角之間的差都為360°的整數(shù)倍在軸的非負(fù)半軸上在軸的非負(fù)半軸上在軸的非正半軸上在軸上集合中角之間的差都為180°的整數(shù)倍在軸上在坐標(biāo)軸上集合中角之間的差為90°的整數(shù)倍象限角的注意事項(xiàng)1．象限角必須具備兩個(gè)條件：（1）角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合；（2）角的始邊與軸非負(fù)半軸重合．如圖所示，為第二象限角，為第一象限角，不能確定是第幾象限角，因?yàn)槭歼厸]有與軸的非負(fù)半軸重合。2．象限角只能反映角的終邊所在的象限，不能反映角的大小，不能說第二象限角大于第一象限角．終邊在軸上的角的集合的推導(dǎo)過程角的終邊在軸的非負(fù)半軸上的角的集合記為，則．角的終邊在軸的非正半軸上的角的集合記為，則.角的終邊在x軸上的角的集合記為, 【真題實(shí)戰(zhàn)】（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4.角度制、弧度制的概念（1）角度制：用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制．規(guī)定1度的角等于周角的．（2）弧度制定義把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算;.弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2角的表示的書寫規(guī)范角度制與弧度制是兩種不同的度量制度，在表示角時(shí)不能混用，如，的寫法都是不規(guī)范的，應(yīng)寫為.5.角度與弧度的互化（1）角度與弧度的互化角度化弧度角度數(shù)弧度數(shù)弧度化角度（2）一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表度弧度（3）用弧度表示終邊相同的角：用弧度表示與角終邊相同的角的一般形式為。這些角所組成的集合為.在弧度制下，第一象限角的集合為；第二象限角的集合為；第三象限角的集合為；第四象限角的集合為．在弧度制下，軸線角的集合在軸的非負(fù)半軸上的角的集合為；在軸的非正半軸上的角的集合為；在軸的非負(fù)半軸上的角的集合為；在軸的非正半軸上的角的集合為．6.扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，圓心角為（為其圓心角的弧度數(shù)，且），則角度制弧度制弧長(zhǎng)公式面積公式對(duì)扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式的理解（1）在公式中，已知中的兩個(gè)量可以求出另外兩個(gè)量．（2）運(yùn)用弧度制下的公式時(shí)要注意前提：為弧度數(shù)。（3）在運(yùn)用公式時(shí)，還應(yīng)熟練掌握這兩個(gè)公式的相關(guān)變形：【真題實(shí)戰(zhàn)1】（2025·山西·三模）如圖所示，被動(dòng)輪和主動(dòng)輪的兩個(gè)齒輪相互嚙合，被動(dòng)輪隨主動(dòng)輪的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)．主動(dòng)輪有20齒，被動(dòng)輪有48齒，主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為（轉(zhuǎn)/分），被動(dòng)輪的半徑為，則被動(dòng)輪周上一點(diǎn)每轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)是．【真題實(shí)戰(zhàn)2】（2025·甘肅白銀·二模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的圖形為圖中陰影區(qū)域，其外邊界為一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)邊界由四個(gè)直徑相同且均與正方形一邊相切的圓的四段圓弧組成，如圖所示，則該陰影區(qū)域的面積為（

）

A． B． C． D．弧度制下扇形面積公式的記憶技巧扇形的面積公式可類比三角形的面積公式記憶，把扇形看成曲邊三角形，弧長(zhǎng)看成三角形的底，半徑看成三角形的高，面積等于底乘高除以2，即扇形的面積．02三角函數(shù)的概念1.三角函數(shù)的概念（1）利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，那么：把點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù)，記作，即；把點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做的余弦函數(shù)，記作，即；把點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切，記作，即，以此比值為函數(shù)值的函數(shù)稱為正切函數(shù)．我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)；余弦函數(shù)；正切函數(shù)，．（1）在三角函數(shù)的概念中，應(yīng)該明確是一個(gè)任意角.（2）要明確是一個(gè)整體，不是與的乘積，它是＂正弦函數(shù)＂的一個(gè)記號(hào)，就如表示自變量為的函數(shù)一樣，單獨(dú)的＂＂＂＂＂＂是沒有意義的.（3）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)．（4）三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和在終邊上的位置無關(guān)，只與角的終邊位置有關(guān)，對(duì)于確定的角，其終邊的位置也隨之確定.（2）利用角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)①如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，是它終邊上任意一點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是，那么：a.比值叫做的正弦函數(shù)，記作，即；b.比值叫做的余弦函數(shù)，記作，即；C.比值叫做的正切函數(shù)，記作，即．直角三角形中的三角函數(shù)

在RtΔABC中，C=90°,A的對(duì)邊與斜邊的比值叫做A的正弦函數(shù)，即sinA=對(duì)邊斜邊=BCAB;A的鄰直角邊與斜邊的比值叫做②一些特殊角的三角函數(shù)值0010-110-1001—-10—三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和在終邊上的位置無關(guān)，只與角的終邊位置有關(guān)，對(duì)于確定的角，其終邊的位置也隨之確定.

同一個(gè)三角函數(shù)值對(duì)應(yīng)的角有無數(shù)個(gè)，如sinα=12，則α=2kπ+π【真題實(shí)戰(zhàn)1】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【真題實(shí)戰(zhàn)2】（2025·北京·三模）已知集合則集合M的元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4C．6 D．82.三角函數(shù)的定義域和值域三角函數(shù)定義域值域α正弦函數(shù)的值域已知角的終邊上除原點(diǎn)外的任一點(diǎn)，則，所以，即.3.三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么eq\a\vs4\al(y)叫做α的正弦，記作sinαeq\a\vs4\al(x)叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號(hào)Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線口訣記憶：上加下減；左減右加；左斜減，又斜加.【真題實(shí)戰(zhàn)1】（2025·上海普陀·二模）設(shè)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則角屬于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【真題實(shí)戰(zhàn)2】（2025·北京東城·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，其終邊落在第一象限，則下列三角函數(shù)值中一定大于零的是（

）A． B． C． D．4.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系①平方關(guān)系：②商數(shù)關(guān)系：（2）基本關(guān)系式的幾種變形=1\*GB3①.=2\*GB3②.=3\*GB3③與的區(qū)別是的簡(jiǎn)寫，讀作＂的平方＂，而是的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)別，并能正確書寫.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的推導(dǎo)如圖，設(shè)點(diǎn)是角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，過作軸的垂線，交軸于，則是直角三角形，而且．由勾股定理得，因此，，即．顯然，當(dāng)?shù)慕K邊與坐標(biāo)軸重合時(shí)，這個(gè)公式也成立．根據(jù)正切函數(shù)的定義，當(dāng)時(shí)，有.（3）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的常見變形①注意正負(fù)號(hào).②.對(duì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的理解（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系中的角都是＂同一個(gè)角＂，注意不一定成立。＂同角＂與角的表示形式無關(guān)，定成立，這里的角是指．（2）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系是針對(duì)使三角函數(shù)有意義的角而言的，對(duì)一切恒成立，而僅對(duì)成立．【真題實(shí)戰(zhàn)1】（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【真題實(shí)戰(zhàn)2】（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知，則．03誘導(dǎo)公式1.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式1公式2公式3公式4公式5公式6對(duì)誘導(dǎo)公式的說明1．正、余弦函數(shù)誘導(dǎo)公式中的角可以是任意角，但正切函數(shù)誘導(dǎo)公式中的角必須使公式中的角的正切值有意義。2．在判斷三角函數(shù)值的符號(hào)時(shí)，可以把看成銳角。3．誘導(dǎo)公式可以根據(jù)角的終邊的對(duì)稱性，結(jié)合三角函數(shù)的定義進(jìn)行推導(dǎo)或理解．2．誘導(dǎo)公式的理解與記憶誘導(dǎo)公式記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．誘導(dǎo)公式可以統(tǒng)一概括為＂＂的各三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)公式．（1）＂奇＂＂偶＂是對(duì)中的倍數(shù)來講的．（2）＂變＂與＂不變＂是針對(duì)三角函數(shù)名稱而言的．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變.（3）＂象限＂是指中，將看成銳角時(shí)，所在的象限，根據(jù)＂一全正，二正弦，三正切，四余弦＂的符號(hào)規(guī)律確定角對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào)．誘導(dǎo)公式的作用公式一：將任意角轉(zhuǎn)化為的角求值．公式二：將的角轉(zhuǎn)化為銳角求值。公式三：將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值。公式四：將的角轉(zhuǎn)化為的角求值．公式五和公式六：實(shí)現(xiàn)正弦與余弦的相互轉(zhuǎn)化．【真題實(shí)戰(zhàn)1】（2025·甘肅金昌·三模）已知，則.【真題實(shí)戰(zhàn)2】（2025·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【真題實(shí)戰(zhàn)3】（2025·河北邢臺(tái)·二模）已知，，且，則（

）A． B． C． D．04三角恒等變換公式1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβS(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβS(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβT(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；變形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；變形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即保證tanα，tanβ，tan(α±β)都有意義．利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)誘導(dǎo)公式2..3..2.二倍角公式（1）二倍角公式S2αsin2α＝2sinαcosα；C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)（2）倍角公式的逆用及變形①，.②．③．（3）配方變形.（4）因式分解變形 （5）升冪公式 （6）降冪公式 3.輔助角公式一般地，函數(shù)f(α)＝asinα＋bcosα(a，b為常數(shù))可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ).常見輔助角結(jié)論①②③④⑤⑥【真題實(shí)戰(zhàn)1】（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知，則.【真題實(shí)戰(zhàn)2】（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）式子化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．24.半角公式（1）半角公式的無理形式 （2）半角正切公式的有理形式．【真題實(shí)戰(zhàn)】（2025·甘肅蘭州·模擬預(yù)測(cè)）若，且，則等于（

）A． B． C． D．5.萬能公式【真題實(shí)戰(zhàn)】（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C．3 D．6.積化和差與和差化積公式（1）積化和差公式 積化和差公式的記憶口訣前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正負(fù)半余弦差。和差化積公式 和差化積公式的記憶口訣正加正，正在前；余加余，余并肩；正減正，余在前；余減余，負(fù)正弦．應(yīng)用和差化積與積化和差公式化簡(jiǎn)的關(guān)鍵點(diǎn)利用和差化積與積化和差公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式是將同名稱的正弦與余弦進(jìn)行恰當(dāng)組合，組合時(shí)遵循原則：（1）盡量使兩角的和（差）出現(xiàn)特殊角；（2）對(duì)于特殊角的三角函數(shù)應(yīng)求出其值．【真題實(shí)戰(zhàn)】（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則.01sinα，cosα齊次式中“切弦互化”的技巧1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為“切”的表達(dá)式，進(jìn)行求值．常見的結(jié)構(gòu)有：（1）sinα，cosα的二次齊次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的問題常采用“切”代換法求解；（2）sinα，cosα的齊次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))的問題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形．2、切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的切化成弦．一般單獨(dú)出現(xiàn)正切的時(shí)候，采用此技巧．【典例1】（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）若，則．【典例2】（2025·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）若，，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2025·湖南岳陽(yáng)·三模）已知，，則（

）A．2 B．1 C． D．02sinα±cosα與sinαcosα關(guān)系的應(yīng)用對(duì)于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個(gè)式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)])，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負(fù)號(hào))，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．【典例1】（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2025·四川成都·三模）已知，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2025·山東菏澤·一模）已知，則（

）A． B． C． D．03三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則【注意】化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的常見方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪與升冪等．【典例1】（2025·江西·一模）化簡(jiǎn)（

）A． B． C．1 D．【典例2】（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）化簡(jiǎn)：（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）式子化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．204尋找角的關(guān)系1.計(jì)算與化簡(jiǎn)題中的角的關(guān)系：對(duì)于計(jì)算與化簡(jiǎn)題，我們先要尋找式子中是不是有兩個(gè)角滿足其和或差為特殊角，，或者存在2倍的關(guān)系，然后利用這些關(guān)系，并結(jié)合誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍角公式以及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而解決問題．2．“已知若干解或若干角的三角函數(shù)值，求目標(biāo)解或目標(biāo)解的三解函數(shù)值”問題中的解的關(guān)系：處理“已知若干角或若干角的三角函數(shù)值，求目標(biāo)角或目標(biāo)角的三角函數(shù)值”之類的問題時(shí)，一定要牢記目標(biāo)角是若干個(gè)已知角的線性組合，即，其中常數(shù)一般只在集合中取值，這樣我們就可以運(yùn)用誘導(dǎo)公式、和差角公式以及倍角公式進(jìn)行目標(biāo)角的值或目標(biāo)角的三角函數(shù)值的求解．【典例1】（2025·江西·一模）化簡(jiǎn)（

）A． B． C．1 D．【典例2】（24-25高三下·安徽安慶·階段練習(xí)）的值為（

）A． B． C． D．【典例3】（24-25高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【典例4】（2025·上海·模擬預(yù)測(cè)）若，且，求的值.05積化和差與和差化積公式積化和差與和差化積解題策略1．抓角的關(guān)系：分析角的和、差、倍或特殊角（如），明確轉(zhuǎn)化方向。2．配公式結(jié)構(gòu)：①積化和差：乘積轉(zhuǎn)和差，記系數(shù)與符號(hào)（同名積和差，異名積差和）；②和差化積：和差轉(zhuǎn)乘積，拆角為，記系數(shù)與符號(hào)（正余符號(hào)對(duì)應(yīng)）。3．聯(lián)用+驗(yàn)符號(hào)：結(jié)合誘導(dǎo)、和差角、倍角公式化簡(jiǎn)，通過角的范圍判斷三角函數(shù)符號(hào)，排除矛盾解．【典例1】（2025·湖南常德·一模）已知，則（

）A． B．7 C． D．【典例2】（2025·江西南昌·二模）已知、終邊不重合，，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2025·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【典例4】（2025·江西·二模）已知函數(shù)，是偶函數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．01忽略角的度量單位的一致性角的終邊相關(guān)集合問題三個(gè)核心規(guī)律1．單位必統(tǒng)一：角度制、弧度制不可混用，寫集合時(shí)，角度制用，弧度制用，保證單位一致。2．周期看場(chǎng)景：＂終邊重合（射線）＂，周期為（轉(zhuǎn)一圈重合）；＂終邊在直線上（雙向射線）＂，周期為（轉(zhuǎn)半圈仍在直線）。3．直線雙向性：終邊在直線上時(shí)，要考慮兩個(gè)相反方向射線，用含（弧度）或（角度）的形式，覆蓋雙向情況?！镜淅?】與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．【典例2】終邊在直線上的角的集合為．02忽略終邊相同角的公式中π的系數(shù)的要求，不能分類討論處理終邊相關(guān)集合問題時(shí)，需警惕忽略對(duì)分類討論這一關(guān)鍵易錯(cuò)點(diǎn).由于終邊相同角公式中，不同奇偶性或取值會(huì)讓集合范圍呈周期性變化，若不拆分（偶數(shù)）、（奇數(shù)）等情況，易導(dǎo)致范圍漏判；同時(shí)，未將含的集合轉(zhuǎn)化為更直觀的平移形式（清晰體現(xiàn)周期延伸），或化簡(jiǎn)角度／弧度系數(shù)時(shí)變形失誤，都會(huì)使集合關(guān)系（包含、交集等）判斷出錯(cuò).解題時(shí)，要通過分類取值拆分范圍、轉(zhuǎn)化周期形式直觀對(duì)比、精準(zhǔn)化簡(jiǎn)系數(shù)明確元素，以此避開漏解、誤判陷阱，準(zhǔn)確分析集合包含、交集等關(guān)系.【典例1】已知集合，，則（

）A． B． C． D．【典例2】已知集合，則M，P之間的關(guān)系為（）A．M=P B．C． D．【典例3】已知集合，集合，則（

）A．， B．，C．， D．，03應(yīng)用三角函數(shù)的定義求值時(shí)遺漏終邊的位置終邊落在直線Ax+By=0上,即要確定終邊在哪些象限,需分類討論,利用三角函數(shù)的定義求值時(shí)必須明確終邊的條件,清楚其在坐標(biāo)系中的位置.簡(jiǎn)言之，遇直線型終邊，先定象限、再分類.【典例1】若角的終邊落在直線上，則的值等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．004應(yīng)用三角函數(shù)的定義求參數(shù)時(shí)忽略參數(shù)的取值范圍利用三角函數(shù)定義（終邊過點(diǎn)等）求參數(shù)時(shí)，易犯以下錯(cuò)誤：1．忽略坐標(biāo)符號(hào)關(guān)聯(lián)：終邊點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)由參數(shù)決定，會(huì)影響三角函數(shù)符號(hào)。需依據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)，判斷、的符號(hào)關(guān)系（如則），縮小參數(shù)范圍，避免增根。2．遺漏解的檢驗(yàn)：解方程得到參數(shù)值后，要代入原定義式，檢驗(yàn)坐標(biāo)符號(hào)是否符合三角函數(shù)值的符號(hào)邏輯，以及的有效性，排除不滿足＂終邊存在條件＂的增根。簡(jiǎn)言之，用定義求值時(shí)，先借符號(hào)定坐標(biāo)范圍，再驗(yàn)解保結(jié)果合理，規(guī)避增根與邏輯矛盾?！镜淅?】已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．－4和 B． C．－4 D．1【典例2】已知角以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．2 B． C． D．05忽略題目隱含范圍致錯(cuò)利用等關(guān)系求參數(shù)時(shí)，易忽略角的象限對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的約束，以及表達(dá)式隱含的定義域條件（如分母非零、根號(hào)有意義等）。解題需分兩步：先通過平方關(guān)系列方程求解，再結(jié)合角的象限符號(hào)特征、表達(dá)式自身限制（如分母），檢驗(yàn)解的合理性，排除不符合條件的增根。【典例1】已知，，若為第二象限角，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C．或 D．06不能精確確定角的取值范圍導(dǎo)致錯(cuò)解利用三角恒等式（如等）求解時(shí)，易忽略角的取值范圍（象限、區(qū)間）對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的約束，導(dǎo)致保留不符合符號(hào)規(guī)律的解。解題需緊扣角的區(qū)間／象限，分析該范圍內(nèi)三角函數(shù)的符號(hào)特征（正負(fù)、范圍），驗(yàn)證解的合理性，排除與符號(hào)矛盾的結(jié)果。【典例1】已知，，則的值為（

）．A． B． C．或 D．【典例2】已知，則的值為（

）A． B． C． D．一、確定角αnn∈（1）分類討論法：利用已知條件寫出的范圍（用表示），由此確定的范圍，在對(duì)進(jìn)行分類討論，從而確定所在象限。（2）幾何法：先把各象限分為等份，再?gòu)妮S的正方向的上方起，逆時(shí)針依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四……則原來是第幾象限的角，標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域即角終邊所在的區(qū)域?！镜淅?】（24-25高一下·上海·階段練習(xí)）已知為第三象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第三象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限【典例2】（24-25高一下·江西撫州·階段練習(xí)）已知是鈍角三角形中最大的角，則是（

）A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角【典例3】（23-24高三上·上海靜安·期末）設(shè)是第一象限的角，則所在的象限為（

）A．第一象限 B．第三象限C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限【典例4】（24-25高三·河北石家莊·期中）如果角的終邊在第三象限，則的終邊一定不在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限二、扇形的弧長(zhǎng)與面積應(yīng)用1.利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.2.求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.3.在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.【典例1】（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）如圖，圓的半徑為1，劣弧的長(zhǎng)為，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【典例2】（2025·浙江溫州·二模）扇形的半徑等于2，面積等于6，則它的圓心角等于（

）A．1 B． C．3 D．6【典例3】（2025·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知某扇形的圓心角為2rad，面積為25，則該扇形所對(duì)應(yīng)圓的面積為（

）A． B． C． D．三、三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決辦法1.已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求角的三角函數(shù)值方法：先求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解。2.已知角的一個(gè)三角函數(shù)值和終邊上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角有關(guān)的三角函數(shù)值方法：先求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離（帶參數(shù)），根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問題。3.已知角的終邊所在的直線方程（），求角的三角函數(shù)值方法：先設(shè)出終邊上一點(diǎn)，求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解，注意的符號(hào)，對(duì)進(jìn)行討論。若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的三角函數(shù)值。【典例1】（2025·北京模擬）角的終邊經(jīng)過的一點(diǎn)的坐標(biāo)是，則“”的充要條件是（

）A． B． C． D．【典例2】（2025·黑龍江哈爾濱·三模）已知點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則（

）A． B．1 C． D．【典例3】（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與直線位于第三象限的圖象重合，則（

）A． B． C． D．四、對(duì)sinα，cosα，tanα的知一求二問題1.知弦求弦：利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系求解.2.知弦求切：常通過平方關(guān)系，與對(duì)稱式建立聯(lián)系，注意的靈活應(yīng)用.3.知切求弦：先利用商數(shù)關(guān)系得出或然后利用平方關(guān)系求解.【典例1】（2025·河南信