專題01平面向量及其應(yīng)用題型1平面向量的線性運(yùn)算1平面向量的運(yùn)算符合平行四邊形法則和三角形法則；2平面向量的線性運(yùn)算，用基底表示任一向量，方法有：首位相接法、構(gòu)造平行四邊形等，同時注意方法的綜合運(yùn)用；3在運(yùn)算過程中，靈活運(yùn)用一些小結(jié)論，比如三角形的中線；4掌握平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，利用建系的方法也可以。【注意】在平行向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用中，用到基本定理，要注意基底的選擇。1（2024·河北·模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，AE與BD交于點F，則AF=（

A．34AB+14AD B．1【答案】B【分析】利用相似三角形的性質(zhì)以及向量的加法運(yùn)算來表示AF即可.【詳解】因為在平行四邊形ABCD中，AB//CD，所以因為E是CD的中點，所以DFBF=DEAB=根據(jù)向量的加法法則，AF=故選：B.2（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）如圖所示，在矩形ABCD中，E為邊BC的中點，F(xiàn)為邊CD上靠近點D的三等分點，G為EF的中點，記AG=λAB+μAD，則A．1712 B．1312 C．712【答案】A【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算可得AG→【詳解】由題意可得AF→=1因為G為EF的中點，所以AG→則λ=23,μ=故選：A3（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，BM=2MC,N為線段AM上一點，且AN=(1?λ)ABA．34 B．25 C．56【答案】D【分析】先利用基底AB，AC表示AM，再設(shè)AN=t【詳解】因BM=2MC，則故AM=因A,N,M三點共線，故設(shè)AN=tAM，則因AN=(1?λ)AB+λ3故選：D．題型2平面向量的共線定理1兩個向量共線共線定理非零向量a與向量b共線?有且只有一個實數(shù)λ，使得b當(dāng)λ>0時,λa的方向與a當(dāng)λ<0時，λa的方向與a當(dāng)λ=0時，λa2設(shè)a=(x11（2023·北京海淀·二模）已知a、b是平面內(nèi)兩個非零向量，那么“a∥b”是“存在λ≠0，使得A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)向量的模長關(guān)系以及共線，即可結(jié)合必要不充分條件進(jìn)行判斷.【詳解】若a∥b，則存在唯一的實數(shù)μ≠0，使得故|a而|a存在λ≠0使得|μ+λ|=|μ|+|λ|成立，所以“a∥b”是“存在λ≠0，使得若λ≠0且|a+λb|=|a故此時a∥b，所以“a∥b”是“存在存在故“a∥b”是“存在λ≠0，使得故選：C.2（23-24高一下·廣東江門·階段練習(xí)）設(shè)a,b是非零向量，則aa=bA．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】結(jié)合共線向量，單位向量，以及充分，必要條件的概念判斷即可.【詳解】對于非零向量a,由aa=bb可知向量由a=2b，可知向量a,所以設(shè)a,b是非零向量，則aa故選：C.3（2025·山東·模擬預(yù)測）已知平面向量a=?2,3，b=1,2，AB=a?3b，BC=λa+A．?23 B．?13 【答案】B【分析】利用坐標(biāo)表示向量共線可得.【詳解】AB=a?3因為A，B，C三點共線，所以設(shè)AB=μ即?5=?2λμ+μ?3=3λμ+2μ故選：B4（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知0<θ<π，向量a=sinθ,2cos2θ2，【答案】π【分析】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】因為a∥b，所以所以4sin因為0<θ<π，cos所以sin2因為0<θ<π，所以θ2=故答案為：π2題型3平面向量的垂直問題1若a⊥b，則2若

a(x13在平面幾何中的垂直問題，可用平面向量處理。1（2025·甘肅白銀·三模）已知角α是銳角，若a=5sinα+2,1，b=sinα,?3A．2425 B．247 C．1225【答案】B【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得tanα=【詳解】因為a⊥b，所以a?所以sinα=35或sinα=?1（舍去），所以所以tan2α=故選：B.2（2025·浙江·二模）已知向量a=2,1，b=2,?1，則m=λa+b，A．存在唯一的實數(shù)對λ,μ，使得m//n B．存在唯一的實數(shù)對λ,μC．存在唯一的實數(shù)對λ,μ，使得m=n D．存在唯一的實數(shù)對λ,μ【答案】C【分析】由題意m=λa+【詳解】因為向量a=2,1，b=2,?1，則對于A，m//n當(dāng)且僅當(dāng)21+λ即λμ=1，由此可知存在無數(shù)組實數(shù)對λ,μ，使得m//對于B，m⊥n當(dāng)且僅當(dāng)即4λμ+λ+μ+1+λ?1?λμ+μ當(dāng)λ=?53時，該方程不成立，此時不存在實數(shù)對λ,μ，使得當(dāng)λ=?35時，此時μ=0，由此可知存在實數(shù)對?3當(dāng)λ≠?35且λ≠?53時，此時存在無數(shù)對實數(shù)對對于C，m=n當(dāng)且僅當(dāng)2λ+2=2+2μλ?1=1?μ對于D，m=即5λ2故當(dāng)λ=μ或者5λ+5μ+6=0時，此時有無數(shù)組實數(shù)對λ,μ，使得m=故選：C.3（2025·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知向量a=2,1，b=1,?2，若A．μ?λ=0 B．μ+λ=0 C．λμ+5=0 D．λμ?5=0【答案】B【分析】先求出a→+λb→與μa【詳解】由題知，a+λb=∵a+λb∴2+λ2μ+1+故選：B．4（24-25高三上·遼寧鞍山·期末）已知向量a=m+2,1,b=1,?3，若A．2 B．1 C．?1 D．?3【答案】B【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知條件得a?【詳解】將2a+b=2因為a?b=故選：B5（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知非零向量a,b滿足2a→=A．cosa→,b→=32【答案】B【分析】將已知條件平方，化簡可得a?【詳解】由于2a=b又由a+2b=即8a?b對于選項A，cosa,b對于選項B，由于a?b=?38所以3a+8b對于選項C，3a+8b對于選項D，8a+3b故選：B．6（2025·浙江·二模）已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分圖象如圖所示，y=fx的圖象與y軸交于點C，

A．4 B．25 C．10 D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得出ω,φ，再求出點的坐標(biāo)及數(shù)量積公式計算A，最后求出函數(shù)值.【詳解】由題干圖象可知T4=5?2=3，則T=12，所以ω=2πT由f5=Asin5π6+φ=0，得因為φ<π2，所以φ=又f0=Asinπ6=A2，則BC?CD=?10+所以fx=210故選：C題型4求平面向量的投影1向量b在向量a上的投影：|b|cosθ，它是一個實數(shù)，但不一定大于2向量b在向量a上的投影公式：a?3求投影或其坐標(biāo)，多結(jié)合圖形去思考?！咀⒁狻孔⒁馔队昂屯队跋蛄康膮^(qū)別，投影是個數(shù)，投影向量是個向量。1（2025·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知a+b=a?b，則A．b B．?b C．a(chǎn) D．【答案】A【分析】由a+b=a?b，利用向量的運(yùn)算律，求得【詳解】由a+b=a?可得a2+b2+2如圖所示，設(shè)AD=a,AB=則a+b在b上的投影向量為故選：A.

2（2025·湖南·模擬預(yù)測）在平行四邊形PQRS中，若PQPQ+PSPS=3PRA．12PQ B．PS C．32【答案】D【分析】先判斷平行四邊形PQRS是菱形，求出∠QPS，再根據(jù)投影向量的概念求解.【詳解】因為PQPQ+PSPS=3PR如圖：

由PQPQ+PSPS=所以∠QPS=π3，所以PQ在PS上的投影向量為故選：D3（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知向量a=3,m，b=2,?3，若a⊥b，則A．5,?1 B．3,2 C．52,?1【答案】C【分析】由已知條件可得出a?b=0，可得出m【詳解】由a⊥b，得a?所以，a=3,2，則所以，a在a+b=a故選：C.5（2025·遼寧大連·模擬預(yù)測）已知向量a，b滿足|a|=1，b=(1,2)，|a?b|=A．110,15 B．15,【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的模與數(shù)量積的關(guān)系結(jié)合向量模長的坐標(biāo)運(yùn)算可得a?【詳解】因為|a|=1，b=(1,2)所以a2?2a所以向量a在向量b上的投影向量坐標(biāo)為a?故選：A6（2025·海南·模擬預(yù)測）已知平面向量a，b滿足|a|=3,|b|≤2，且|3a【答案】43/【分析】由3a?2b≤11兩邊平方可得3a?【詳解】因為3a?2b≤11又a=3，所以因為向量a在向量b方向上的投影為acos當(dāng)且僅當(dāng)a=故向量a在向量b方向上的投影的最小值為43故答案為：43題型5求平面向量的數(shù)量積1如果兩個非零向量

a,b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量a|b|cosθ叫做a與2設(shè)a=(x3求平面向量的數(shù)量積，主要有定義法(利用a?b【注意】求數(shù)量積時，要注意的解題方法的選擇。1（2025·廣東佛山·三模）如圖，已知矩形ABCD的邊長滿足AB=2AD=4，以A為圓心的圓與BD相切于P，則AP?AC＝A．325 B．C．8 D．4【答案】A【分析】由AP⊥BD，根據(jù)等面積可得AP=45【詳解】由已知條件可知，AP⊥BD，因此AP=故AP?故選：A2（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）在△ABC中，BD=2DC，AB+AD=AB?A．2 B．22 C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)AB+AD=AB?AD得出【詳解】因為AB+AD=即AB2所以4AB?AD因為BD=2DC，則則AC=所以AC?故選：C.3（2025高三·全國·專題練習(xí)）在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，P為平面ABCD內(nèi)的任意一點，則PA?PC?A．2 B．0 C．?2 D．4【答案】C【分析】法一，連接AC,BD交于點O，連接PO，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)化簡求解即可；法二，以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，過點A且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解數(shù)量積即可.【詳解】解法一

如圖，連接AC,BD交于點O，連接PO，因為AB=2，∠DAB=60°，所以O(shè)A=3，OB=1所以PA=PO故選：C.解法二

以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，過點A且垂直于AB的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則根據(jù)題意可得A0,0，B2,0，C3,設(shè)Px,y，則PA=?x,?y，PB=2?x,?y則PA=?3x+x故選：C.4（2025·浙江·三模）已知A，B，C是函數(shù)fx=2?log3x圖象上的三點，A在x軸上，且BC//x軸，若A．0 B．－1 C．－107 D．82【答案】C【分析】先根據(jù)A在x軸，令函數(shù)值為0求出A坐標(biāo).設(shè)B、C坐標(biāo)，再根據(jù)BC長度列出方程，得到x1與x2的關(guān)系.寫出AB與AC坐標(biāo)，進(jìn)而算出求出x1、x2具體值，得到y(tǒng)0【詳解】令|2?log3x|=0，即2?log3設(shè)B(x1,y0)，C(x又x1<x2，且y=log根據(jù)運(yùn)算法則得log3(x已知BC=24，則x2AB=(x1?9,y展開(x由(x把x2?x1=24因為x1>0,則(x由x2+x1=30，x1xy0=|2?log所以AB?故選：C.題型6平面向量的夾角問題1由數(shù)量積的定義可知cos<a2設(shè)a=(x13求夾角要清楚求的是哪兩個向量的夾角。1（2023·四川內(nèi)江·一模）設(shè)x∈R，向量a=(x,1)，b=(1,?2)，且a⊥bA．210 B．22 C．510【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，得出x=2，從而可得出a+【詳解】因為a=(x,1)，b=(1,?2)，又a⊥b，所以所以a=(2,1)，得到a所以cosa故選：B.2（2025·江西南昌·模擬預(yù)測）已知平面向量a，b滿足a=b=3，且a在b上的投影向量為?32b，則向量A．π3 B．2π3 C．3【答案】D【分析】根據(jù)投影向量的求法及已知得a?b|【詳解】由題設(shè)a?b|b|所以cosa,b=?3故選：D3（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知非零向量a,b滿足a?b⊥A．33 B．22 C．13【答案】C【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合向量垂直得到向量夾角的余弦值，再利用基本不等式和同角的三角函數(shù)關(guān)系可得.【詳解】由題意，得a?因為a>0,b>0，所以cos又由同角的平方和為1，所以sina故選：C．4（2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）在△AOB中，記OA=a、OB=b，向量a、b滿足a=3，b=2，A．352 B．353 C．155【答案】A【分析】應(yīng)用向量夾角公式計算求出余弦值，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系得出是，最后結(jié)合面積公式計算求解.【詳解】∵在△AOB中，OA=a、∵a·又a=3，b=2，解得進(jìn)而由向量夾角公式得cosa于是sinaS△AOB故選：A.5（2025·河南·三模）在△ABC中，向量AB=x,1，BC=?3,2?x，若∠ABC為銳角，則實數(shù)A．12,3∪C．12,+∞【答案】A【分析】根據(jù)題意BA??BC?>0【詳解】因為∠ABC為銳角，則BA??BC?>0由AB=x,1得BA=則BA?BC=若BA與BC共線，則?x2?x=?1解得x=?1或x=3，所以x>12且x≠3，即x的取值范圍是故選：A題型7平面向量的最值問題1平面向量的最值是多樣的，最常見的是求數(shù)量積的最值，方法有（1）定義法(利用a?b（2）基底法（定義法不好使時，而題中有兩個向量的模和夾角已知或易求，它們又較容易表示其他向量，此時利用基底法好使），把數(shù)量積掌握為某個變量的式子，再用函數(shù)的方法求最值；（3）建系法（當(dāng)題中有垂直的相關(guān)信息，比如等腰三角形、零下、正方形等，建系把數(shù)量積問題用坐標(biāo)表示易求），把數(shù)量積掌握為某個變量的式子，再用函數(shù)的方法求最值；（4）極化恒等式①平行四邊形模式：在平行四邊形ABCD中，AB?即向量的數(shù)量積等于對應(yīng)平行四邊形的對角線的平方差的14②三角形模式：AB?2利用平面向量的等和線，可以處理類似求AO=λAB3其他的一些最值問題，主要思路也是幾何法或代數(shù)法。幾何法強(qiáng)調(diào)對圖形的觀察，能夠辨識出幾何模型；代數(shù)法，主要是如何引入?yún)?shù)表示所求，再利用函數(shù)方法求解，引入哪個變量是難點?！咀⒁狻坎扇〈鷶?shù)法求解最值，要注意引入的變量的取值范圍。1（2025·河南·一模）如圖梯形ABCD，AB∥CD且AB=5，AD=2DC=4，E在線段BC上，AC?BD=0A．1513 B．9513 C．15 【答案】B【分析】先建系解得D,C坐標(biāo)，再設(shè)E坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積列函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)D(m,n),C(m+2,n),(m>0,n>0)，因此{(lán)m因此BC:y=23所以AE=(x,?2當(dāng)x=5513∈[4,5]時，AE【點睛】以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.2（2025·安徽滁州·二模）已知A,B,C三點在單位圓上運(yùn)動，且AB=3，則BC?A．?12,32 B．?3【答案】A【分析】設(shè)AB的中點為E，得|OE|=12，∠AOB=120°，將BC?【詳解】設(shè)AB的中點為E，因為|OA|=|OB|=1，AB|=3，所以|OE|=12AC==1×1×=?12+1?2×1×因為?1≤cos∠COE≤1，所以

故選：A3（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測）邊長為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，MN是內(nèi)切圓的一條弦，點P為正方形四條邊上的動點，當(dāng)弦MN的長度最大時，則PM?PN的最大值是（A．?14 B．0 C．14【答案】C【分析】設(shè)正方形ABCD的內(nèi)切圓圓心為O，由題可得MN為圓O的一條直徑時，弦MN的長度最大，PM?PN【詳解】如下圖所示：設(shè)正方形ABCD的內(nèi)切圓圓心為O，當(dāng)弦MN的長度最大時，MN為圓O的一條直徑，則PM=PO當(dāng)P與正方形ABCD的頂點重合時，OPmax因此，PM?故選：C4（2025·北京豐臺·一模）在平行四邊形ABCD中，E為邊BC上的動點，O為△ABD外接圓的圓心，2DO=DA+DB，且DOA．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)題意確定△ABD為直角三角形并求出線段DB的長，然后以DA,DB為基底去計算【詳解】由2DO=DA+DB可知O為AB所以△ABD為直角三角形，DA⊥DB，所以DA·又因為DO=DA=2所以AB又因為E為邊BC上的動點，所以BEDO==1因為λ∈0,1，所以?2λ∈?2,0所以DO·DE故選：C5（2025·甘肅·一模）已知梯形ABCD中，AB//CD,AB=2BC=2CD=2AD=4，點M為邊CD上的動點，若∠AMB=α，則cosα的范圍是（

A．0,17 B．?17,1 【答案】D【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量的夾角公式計算最后結(jié)合值域求解.【詳解】如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，則A?2,0,B2,0,C設(shè)Mx,3?1≤x≤1，則AMcosα=令x2?1=t，則cosα=可得cosα∈故選:D.6（2024·河北保定·二模）如圖，圓O1和圓O2外切于點P，A，B分別為圓O1和圓O2上的動點，已知圓O1和圓O2的半徑都為1，且A．2 B．4 C．22 D．【答案】D【分析】由PA?PB=PO1+【詳解】PA=?1+P所以O(shè)1所以O(shè)1A?解得?1?3PA=2+2O故選：D7（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知非零向量a,b,c滿足a?2c?A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】通過向量的幾何意義，將a、【詳解】根據(jù)題意，作出相關(guān)圖形，設(shè)OA=a，OB=b，以AB為直徑作圓，設(shè)2c有a?2由于a?2即a?2c⊥b?2c，即所以2c因為a+λ≤a有a+b+故選：D.8（2025·河北廊坊·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=30°，點P在以BC為直徑的半圓（△ABC外）內(nèi)及邊界上運(yùn)動，若AP=λAB+μ【答案】72/【分析】設(shè)E、O分別為AB、BC的中點，則AP=λAB+μAC=2λAE+μAC，由三點共線可得2λ+μ=1，此時點P與點C重合，2λ+μ最小，做直線l與CE平行，且與半圓相切，由三點共線知點P在直線l上時，2λ+μ最大，設(shè)直線l與【詳解】設(shè)E為AB的中點，連接CE，設(shè)O為BC的中點，即點O為以BC為直徑的半圓的圓心，則AP=λ當(dāng)點P在CE上時，由三點共線可得2λ+μ=1，此時點P與點C重合，2λ+μ最小，即n=1，做直線l與CE平行，且與半圓相切，連接點A與切點P，此時2λ+μ最大，即由三點共線知點P在直線l上時，2λ+μ最大，設(shè)直線l與AB的延長線相交于點M，連接OP，則OP⊥l，延長AC與l相交于點N，因為AC⊥BC，所以AC為半圓的一條切線，所以NC=NP，由CE=AE=EB，∠CAE=60可得△AMN為等邊三角形，AN=MN，所以AC=PM，由NCAN=NPMN得PC//所以PC=EM，設(shè)CE=1，則AE=1,BC=3由∠CPB=90°,∠ECB=30可得AM=AE+EM=52，所以AP=λ因為N,P,M三點共線，所以2λ×25+μ×所以2λ+μ的最大值為m=5則m+n=1+5故答案為：729（2025·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，A，B是單位圓（圓心為O）上兩動點，C是劣弧AB（含端點）上的動點．記OC=λOA+μOB（

(1)若O到弦AB的距離是12，求λ+μ(2)若3OA?OB≤52，向量2OA【答案】(1)[1,2](2)39【分析】（1）由題意確定∠AOB=2π3，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求得則OC?OA=λ?（2）將3OA?OB≤52平方可得cosα∈58【詳解】（1）由題意知O到弦AB的距離是12，則∠ABO=∠BAO=故∠AOB=2π3，且記劣弧AB的中點為D，

則OC?OC?兩式相加得OC?故λ+μ=2OC由于?OC,OD即λ+μ的取值范圍為[1,2]；（2）設(shè)∠AOB=α,α∈(0,π)由3OA?OB即10?6cosα≤254，結(jié)合故2OA而|2OA由于向量2OA+OB和向量OA故cos=9令fx=981?則f(x)即cos2θ得最小值為題型8平面向量在幾何的應(yīng)用1由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此平面幾何中的許多問題都可用向量運(yùn)算的方法加以解決.2用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.Eg點A、B、C、D不在同一直線上(1)證明直線平行或共線：AB//CD?(2)證明直線垂直：AB⊥CD?(3)求線段比值：ABCD=(4)證明線段相等：1（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知△ABC的三個頂點A,B,C及平面內(nèi)一點P滿足PA+PB+PC=0，則A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】C【分析】根據(jù)給定的向量等式，化簡得出AD=32AP，可得【詳解】在△ABC中，因PA+設(shè)D為BC的中點，而PB+PC=2PD=AP，AD=則P是△ABC的重心；故選：C.

2（2025高三·全國·專題練習(xí)）O為△ABC平面內(nèi)一定點，該平面內(nèi)一動點P滿足M={P|OP=OA+λ(|AB|sinA．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)正弦定理得出AB?sinB=AC?sinC【詳解】

△ABC中，根據(jù)正弦定理，ACsinB=設(shè)t=AB?sin所以O(shè)P=∵OP∴AP設(shè)D為BC中點，則AD=12所以A,P,D共線，∴點P的軌跡為射線AD（不含端點A）.∴△ABC的重心一定屬于集合M.故選：A.3（2024·四川內(nèi)江·三模）已知點A、B、C在圓x2+y2=1上運(yùn)動，且AB⊥BC，若點P的坐標(biāo)為(0,2)A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】由題意可得AC為直徑，且|PA+PB【詳解】因為AB⊥BC，所以AC為直徑且過原點，AC的中點為原點O，所以由平行四邊形法則可得：PA+所以|PA所以當(dāng)PO,PB共線且方向相同時模長最長，即當(dāng)B運(yùn)動到|PA+PB故選：C.4（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知在△ABC中，BC=6,G,O分別為△ABC的重心和外心，且OG?BC=6，則△ABCA．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．上述三種情況都有可能【答案】C【分析】作△ABC的邊BC上的中線AD，過點G作GE⊥BC于點E，過點A作AH⊥BC于點H，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得DE=1，結(jié)合重心性質(zhì)可得點H,C重合，從而得解.【詳解】作△ABC的邊BC上的中線AD，因為O為△ABC的外心，所以O(shè)D⊥BC．因為G為△ABC的重心，所以DG=1過點G作GE⊥BC于點E，過點A作AH⊥BC于點H．由OG?BC=6及BC=6，由于DE為OG由數(shù)量積的幾何意義，得DE=1．

由GE//AH及DG=13DA所以點H,C重合，故AC⊥BC．故選：C．5（2025·廣東廣州·二模）在平面四邊形ABCD中，AC=AD=4,∠CAD=60°,∠ABC=90°，若△ABD的面積是△BCD的面積的2倍，則BD的長度為.【答案】2【分析】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AC，BD交點為E，由△ABD的面積是△BCD的面積的2倍可得E坐標(biāo)，然后由B，E，D三點共線結(jié)合AC=4可得B點坐標(biāo)，即可得答案.【詳解】如圖，以D點為原點，取AC中點為F，以DF所在直線為x軸，以過D點，垂直于DF直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.又AC=AD=4則D0,0過C，A兩點作DB垂線，垂足為G，H，則S△ABD又注意到△AHE～△CGE，則AEEC=2.設(shè)Ex則x1注意到B，E，D三點共線，則DE//DB，則又AC=?則y=1或y=27，又由圖可得x>23則DB=27+1故答案為：2

題型9平面向量在物理的應(yīng)用1速度、力是向量，都可以轉(zhuǎn)化為向量問題；2力的合成與分解符合平行四邊形法則.1（2023·浙江溫州·二模）物理學(xué)中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：W=F?S（其中W是功，F(xiàn)是力，S是位移）一物體在力F1=2,4和F2A．25 B．5 C．?5 D．?25【答案】A【分析】利用條件，先求出兩個力的合力F1+F【詳解】因為F1=2,4，F(xiàn)2=?5,3，所以F1+F故選：A.2（2025·寧夏·一模）如圖所示，質(zhì)點P從點A出發(fā)，沿AB，BC，CD運(yùn)動至點D，已知AB//CD,AB=4,BC=2,CD=3，AB?BC=?2，則質(zhì)點PA．9 B．215 C．213 【答案】D【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算律，定義，結(jié)合模長計算可得.【詳解】由題意可得質(zhì)點P位移為AD=所以AD因為AB=4,BC=2,CD=3，AB?BC=?2設(shè)AB,BC的夾角為θ，所以因為AB//CD,所以BC?所以AD=故選：D3（多選）（2025·安徽黃山·二模）如圖，一條河兩岸平行，河的寬度d=500?m，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行，已知船的速度v1的大小為v1=10?km/h，水流速度v2的大小為v2A．當(dāng)船的航行時間最短時，θ=B．當(dāng)船的航行距離最短時，cosC．當(dāng)θ=πD．當(dāng)θ=2π【答案】AC【分析】利用向量的加法法則以及數(shù)量積的運(yùn)算律解決速度合成問題，根據(jù)船的航行時間t=dv（其中船垂直河岸方向的分速度v=v【詳解】對于A，將船的速度v1和水流速度v2進(jìn)行合成，船垂直河岸方向的分速度河寬d=500m=0.5km當(dāng)sinθ=1，即θ=π2，t對于B，當(dāng)船的航行距離最短時，合速度方向垂直河岸，如圖，則cosπ?θ=對于C，當(dāng)θ=π6時，船垂直河岸方向的分速度船的航行時間t=d對于D，將船的速度v1和水流速度v2進(jìn)行合成v0當(dāng)θ=2π3所以v0因為船垂直河岸方向的分速度v=v所以船的航行時間t=d所以船的航行距離為v0故選：AC.4（2025·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，無彈性細(xì)繩OA，OB一端分別固定在A，B處，在同樣的細(xì)繩OC的下端吊一重物，要保持此狀態(tài)，對細(xì)繩的耐力性要求最高的是(三條繩本身質(zhì)量忽略不計，橫線上填OA或OB或OC)．【答案】OA【分析】設(shè)OA,OB,OC三條繩受的力分別為a,b,c，則【詳解】設(shè)OA,OB,OC三條繩受的力分別為a,b,a,b合力為c'如圖，在平行四邊形A'∵OB∴OA即a>b,a>故答案為：OA題型10平面向量的新定義處理新定義問題，理解新定義的內(nèi)容是重點，多結(jié)合簡單的特例感性了解，再試圖尋找其中的共性，把理解升華到理性分析，力求明白其中的本質(zhì)。1（2025·吉林·模擬預(yù)測）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，定義余弦距離e(A,B)=1?cosA．2 B．1 C．1?22【答案】C【分析】分析可得M在半圓x2+y【詳解】∵M(jìn)1?t2,t，則∴M在半圓x2如圖，當(dāng)M在0,1時，∠MON取最小值，最小值為π4，cosOM,此時e(M,N)取最小值，最小值為1?2故選：C.2（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量OA=a=x1,y1,OB=b=x2,y2，若A．|λ+μ| B．|λμ| C．|λ|+|μ| D．|λμ|【答案】C【分析】首先根據(jù)條件設(shè)出向量OM和ON，以及向量OP的坐標(biāo)，代入條件中定義，即可求解.【詳解】依題意設(shè)OM=則OP=p=λm+μn=則S(m故選：C．3（2024·河北邯鄲·二模）對任意兩個非零的平面向量a和b，定義：a⊕b=a?ba2+b2，a⊙b=aA．1 B．32 C．1或74 【答案】D【分析】根據(jù)a>b>0，得到a2+【詳解】因為n4設(shè)向量a和b的夾角為θ，因為a>b>0得到a⊕又θ∈0,π，所以又a⊕b在集合n4|n∈Z,0<n≤4中，所以又因為a⊙b=a?所以a⊕b+故選：D.4（2025·四川·一模）如圖，設(shè)Ox、Oy是平而內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，