專題01一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。02盤(pán)·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。【知能解讀01】導(dǎo)數(shù)的概念【知能解讀02】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【知能解讀03】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性【知能解讀04】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值03破·重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。【重難點(diǎn)突破01】過(guò)定點(diǎn)的多切線問(wèn)題【重難點(diǎn)突破02】含參函數(shù)的單調(diào)性討論【重難點(diǎn)突破03】單變量不等式恒成立問(wèn)題【重難點(diǎn)突破04】雙變量不等式恒成立問(wèn)題【重難點(diǎn)突破05】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題【重難點(diǎn)突破06】函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題【重難點(diǎn)突破07】極值點(diǎn)偏移問(wèn)題04辨·易混易錯(cuò)：辨析易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)?！疽谆煲族e(cuò)01】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)“漏層”或“錯(cuò)層”致錯(cuò)【易混易錯(cuò)02】誤解“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”的關(guān)系致錯(cuò)【易混易錯(cuò)03】誤解“導(dǎo)數(shù)符號(hào)”與“函數(shù)單調(diào)性”關(guān)系致錯(cuò)【易混易錯(cuò)04】對(duì)導(dǎo)數(shù)正負(fù)與函數(shù)圖象升降關(guān)系理解不準(zhǔn)確致錯(cuò)05點(diǎn)·方法技巧：點(diǎn)撥解題方法，練一題通一類【方法技巧01】導(dǎo)數(shù)定義在極限中的計(jì)算【方法技巧02】曲線“在”某點(diǎn)處的切線問(wèn)題【方法技巧03】曲線“過(guò)”某點(diǎn)的切線問(wèn)題【方法技巧04】?jī)汕€的公切線問(wèn)題【方法技巧05】已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)【方法技巧06】導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法解函數(shù)不等式【方法技巧07】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)【方法技巧08】已知函數(shù)的極值求參數(shù)【方法技巧09】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值01導(dǎo)數(shù)的概念1、函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)定義一般地，稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3、函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)：稱函數(shù)f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．【真題實(shí)戰(zhàn)】（2025·甘肅白銀·三模）如果質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律（距離單位：m，時(shí)間單位：s）運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)在2s末的瞬時(shí)速度為（

）A．8m/s B．7m/s C．6m/s D．5m/s【答案】B【解析】，則質(zhì)點(diǎn)在2s末的瞬時(shí)速度為7m/s.故選：B02導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝eq\f(1,x)2、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）復(fù)合函數(shù)的概念：一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)和，如果通過(guò)中間變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為和的復(fù)合函數(shù)，記作．（2）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：一般地，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．規(guī)律：從內(nèi)到外層層求導(dǎo)，乘法連接．【真題實(shí)戰(zhàn)】（2025·湖北·一模）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A．(a為常數(shù)) B．C． D．【答案】B【解析】A：因?yàn)閍為常數(shù)，所以，故A錯(cuò)誤；B：，故B正確；C：，故C錯(cuò)誤；D：，故D錯(cuò)誤.故選：B03導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．【注意】（1）在某區(qū)間內(nèi)（）是函數(shù)在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充分不必要條件；（2）可導(dǎo)函數(shù)在上是增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)?x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．2、導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．【真題實(shí)戰(zhàn)】（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析【解析】（1）定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），且時(shí)，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調(diào)遞增，故，問(wèn)題得證04導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1、函數(shù)的極值（1）函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．（2）函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．2、函數(shù)的最值（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．（2）若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．3、函數(shù)極值與最值的關(guān)系（1）函數(shù)的最大值和最小值是比較整個(gè)定義域區(qū)間上的函數(shù)值得到的，是一個(gè)整體的概念，與函數(shù)的極大（小）值不同，函數(shù)的最大（小）值若有，則只有一個(gè)．（2）開(kāi)區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，若有唯一的極值，則這個(gè)極值是函數(shù)的最值．【真題實(shí)戰(zhàn)】（2025·全國(guó)二卷·高考真題）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則【答案】【解析】由題意有，所以，因?yàn)槭呛瘮?shù)極值點(diǎn)，所以，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意；所以.【真題實(shí)戰(zhàn)】（2025·湖北黃岡·三模）已知函數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題的一個(gè)周期為，故只需考慮在上的值域，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此的極小值為，極大值為，又易知，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，結(jié)合函數(shù)的最小正周期為，所以函數(shù)的值域?yàn)樗缘淖钚≈禐?，故選：B01過(guò)定點(diǎn)的多切線問(wèn)題已知，過(guò)點(diǎn)，可作曲線的（）條切線問(wèn)題第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.第四步：將代入切線方程，得：，整理成關(guān)于得分方程；第五步：題意已知能作幾條切線，關(guān)于的方程就有幾個(gè)實(shí)數(shù)解．【典例1】（24-25高三下·云南普洱·三模）過(guò)點(diǎn)可以作曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)為曲線上的一點(diǎn)，則，又由，所以，即切線的斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，可得，即，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，取得極大值，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，且時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線在上有3個(gè)交點(diǎn)，即過(guò)點(diǎn)的切線有3條，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【典例2】（24-25高三下·河南焦作·月考）過(guò)點(diǎn)可作兩條直線與的圖象相切，則b的值不可能是（

）A． B．0 C．e D．2e【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，整理得，設(shè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，令，解得或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，且時(shí)，時(shí)，，所以或，故選：D.02含參函數(shù)的單調(diào)性討論（1）導(dǎo)函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)討論（或零點(diǎn)有無(wú)意義）；（2）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；（3）導(dǎo)函數(shù)多個(gè)零點(diǎn)時(shí)大小的討論．【典例1】（25-26高三上·河北衡水·月考）設(shè)函數(shù)，．(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)?，則，解得，故，所以，所以，此時(shí)，曲線在處的切線方程為，即.（2）因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，則，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，沒(méi)有單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得.此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【典例2】（24-25高三下·陜西西安·月考）設(shè)，函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）由，，則，令，得或，當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，，令，得；令，或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，令，得或；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，，令，得或；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為.03單變量不等式恒成立問(wèn)題一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】（2025·山東煙臺(tái)·三模）若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，即，令，則恒成立，則恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故a的取值范圍為.故選：C.【典例2】（24-25高三上·天津·月考）已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】可變形為，，注意，令，則，所以在上單調(diào)遞增，不等式可化為，所以，所以，因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，故選：A.04雙變量不等式恒成立問(wèn)題一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故．【典例1】（24-25高三上·河北唐山·月考）函數(shù)，，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，因?yàn)?，，所以，故在上單調(diào)遞增，所以.又，所以在上也是單調(diào)遞增，所以.因?yàn)閷?duì)任意的，總存在，使成立，等價(jià)于，所以，解得，故實(shí)數(shù)a的范圍是.故選：D.【典例2】（2025·江西萍鄉(xiāng)·一模）設(shè)函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意，，當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以.所以對(duì)，即，即.令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因此.05導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法1、圖象法：根據(jù)題目要求畫(huà)出函數(shù)的圖象，標(biāo)明函數(shù)極（最）值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題（畫(huà)草圖時(shí)注意有時(shí)候需要使用極限）；2、利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【典例1】（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)；而，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有一個(gè)零點(diǎn).故選：B【典例2】（2025·湖南益陽(yáng)·三模）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，令，在只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，，所以在只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，又時(shí)，，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，設(shè)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，所以，故選：C．06函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求時(shí)的應(yīng)對(duì)策略：1、“特值試探”法：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求時(shí)，可嘗試?yán)锰厥庵翟囂?，此時(shí)特殊值的選取應(yīng)遵循以下原則：①在含有的函數(shù)中，通常選取，特別地，選當(dāng)時(shí)，來(lái)試探；②在含有的函數(shù)中，通常選取，特別地，選取當(dāng)時(shí)，來(lái)試探，在探得導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)后，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，確定導(dǎo)函數(shù)在零點(diǎn)左右的符號(hào)，進(jìn)而確定原函數(shù)的單調(diào)性和極值，使問(wèn)題得到解決．2、“虛設(shè)和代換”法：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)無(wú)法求出顯性的表達(dá)式時(shí)，我們可以先證明零點(diǎn)存在，再虛設(shè)為，接下來(lái)通常有兩個(gè)方向：①由得到一個(gè)關(guān)于的方程，再將這個(gè)關(guān)于的方程的整體或局部代入，從而求得，然后解決相關(guān)的問(wèn)題；②根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得出兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，使問(wèn)題得解．【典例1】（24-25高三下·安徽安慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，由可得，即在上恒成?設(shè)，則，設(shè)，顯然在上單調(diào)遞增，因，故存在，使得，則，即.當(dāng)時(shí)，，則在上遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上遞減.故當(dāng)時(shí)，，故有，即得，故正數(shù)a的取值范圍是.【典例2】（2025·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求；(2)若，求的最大值．【答案】(1)；(2)4．【解析】（1）的定義域?yàn)?，則．，則．所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．依題意，將點(diǎn)代入切線方程，解得．（2）當(dāng)時(shí)，，且，所以，設(shè)，易知在上單調(diào)遞減，且，故存在，使得，即，所以，即，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，所以，故的最大值為4．07極值點(diǎn)偏移問(wèn)題極值點(diǎn)偏移的本質(zhì)是函數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)的不對(duì)稱（如二次函數(shù)對(duì)稱、三次函數(shù)可能偏移）；如何將上邊了不等式轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題是解題的難點(diǎn)。證明極值點(diǎn)偏移問(wèn)題常用思路：利用分析法，將所證不等式中的變量分到不等式的兩邊，構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)，注意將和化到同一區(qū)間，再利用導(dǎo)數(shù)據(jù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求極值值等手段證得不等式．【典例1】（24-25高三下·青海海東·月考）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍，并證明.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)，證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，因?yàn)樵谏?，，在上，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，由（1）得，且，解得，即a的取值范圍是.由，，可得，即，所以.要證，需證，令，即證.設(shè)，則，即在上單調(diào)遞減，所以，即得.【典例2】（24-25高三上·四川成都·月考）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有兩個(gè)不同的根．（i）求的取值范圍；（ii）證明：．【答案】(1)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由題意得，，則，由，解得．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；綜上，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（2）（i）由，得，設(shè)，由（1）得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的根，即方程有兩個(gè)不同的根，故的取值范圍是．（ii）不妨設(shè)，則，且．法一：當(dāng)時(shí)，結(jié)合（i）知，即；當(dāng)時(shí)，．設(shè)則所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，所以又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，又，所以，故，所以，得證．法二：設(shè)，，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以，即．又，所以，又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．所以，即，又，所以，得證．01復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)“漏層”或“錯(cuò)層”致錯(cuò)辨析：多層復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)容易遺漏中間變量的導(dǎo)數(shù)、抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)符號(hào)錯(cuò)誤，求導(dǎo)前先拆分復(fù)合層次按“由外及內(nèi)，逐層求導(dǎo)，乘積相連”的鏈?zhǔn)椒▌t分步書(shū)寫(xiě)．【典例1】（24-25高三下·山東泰安·月考）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】因?yàn)?，令，則，又因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，所以，所以；因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以，所以．故選：D【典例2】（24-25高三上·山西·模擬測(cè)試）已知函數(shù)，的定義域?yàn)椋?，且滿足，，則（

）A． B．1 C．2025 D．2026【答案】D【解析】由可得：，又因?yàn)?.，所以，即的對(duì)稱中心為；由可得：，即（常數(shù)），令，則，所以，即的對(duì)稱軸為；所以，，故，，所以，的周期.因?yàn)椋?；因?yàn)?，令代入，所以；根?jù)對(duì)稱性可知：，，，，所以.故選：D02誤解“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”的關(guān)系致錯(cuò)辨析：在使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時(shí)，很容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是求出使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)，而沒(méi)有對(duì)這些點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷，誤以為使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)。出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的原因就是對(duì)導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清?？蓪?dǎo)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為0只是這個(gè)函數(shù)在此點(diǎn)取到極值的必要條件，充要條件是兩側(cè)異號(hào)．【典例1】（24-25高三下·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A． B．C．有三個(gè)零點(diǎn) D．有三個(gè)極值點(diǎn)【答案】A【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像知道：正0非正0正增極大值減極小值增對(duì)于A，，單調(diào)遞減，則，則A正確；對(duì)于B，自變量在不同區(qū)間，都比小，但不能比較它們大小，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則D錯(cuò)誤.故選：A．【典例2】（24-25高三上·陜西咸陽(yáng)·月考）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處取得最大值，在處取得最小值B．的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減D．的增區(qū)間為和，減區(qū)間為【答案】C【解析】由圖可知，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤；所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，B錯(cuò)誤；又，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；所以，所以在處取不到最小值，A錯(cuò)誤.故選：C03誤解“導(dǎo)數(shù)符號(hào)”與“函數(shù)單調(diào)性”關(guān)系致錯(cuò)辨析：一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)增（減）的充要條件是這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒大（?。┯诘扔?，且導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為0。切記導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上恒大（?。┯?僅為該函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)增（減）的充分條件．【典例1】（24-25高三上·云南保山·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】法一：令，則在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，所以解得.法二：，則，則在區(qū)間上恒成立，則或，解之得.故選：A.【典例2】（25-26高三上·廣東深圳·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題意有在上恒成立，又，所以，即，所以只需在上恒成立即可，即在上恒成立，即，又在上單調(diào)遞減，所以.04對(duì)導(dǎo)數(shù)正負(fù)與函數(shù)圖象升降關(guān)系理解不準(zhǔn)確致錯(cuò)辨析：解答此類題的關(guān)鍵是抓?、賹?dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與原函數(shù)的極值點(diǎn)關(guān)系——極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0；②導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系——原函數(shù)看增減，導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)．【典例1】（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知函數(shù)的圖象如下圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題可得函數(shù)的圖象為單調(diào)遞增，則其導(dǎo)函數(shù)恒成立，排除A、D兩個(gè)選項(xiàng)，對(duì)于B，當(dāng)，，對(duì)應(yīng)的原函數(shù)此時(shí)斜率為零，該選項(xiàng)滿足題意；選項(xiàng)C不符合題意；故選：B.【典例2】（24-25高三上·安徽黃山·期中）已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)法正確的是（

）A．在單調(diào)遞減 B．在單調(diào)遞減C．在單調(diào)遞減 D．在單調(diào)遞減【答案】B【解析】從圖象可以看出過(guò)點(diǎn)的為的圖象，過(guò)點(diǎn)的為導(dǎo)函數(shù)的圖象，，當(dāng)時(shí)，，故，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故，在上單調(diào)遞增，ACD錯(cuò)誤，B正確，故選：B01導(dǎo)數(shù)定義在極限中的計(jì)算瞬時(shí)變化率的變形形式lim?x→0【典例1】（2025·江蘇鹽城·三模）若，則（

）A．0 B．2 C．－2 D．－4【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，則.故選：C.【典例2】（24-25高三上·上?！て谥校┤艉瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于，則的值為（

）A．0 B． C．a(chǎn) D．【答案】D【解析】.故選：D.02曲線“在”某點(diǎn)處的切線問(wèn)題求曲線“在”某點(diǎn)處的切線方程步驟第一步（求斜率）：求出曲線在點(diǎn)處切線的斜率第二步（寫(xiě)方程）：用點(diǎn)斜式第三步（變形式）：將點(diǎn)斜式變成一般式。【典例1】（25-26高三上·廣東江門(mén)·月考）已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為.【答案】【解析】由可得，∴.∵.所以曲線在處的切線方程為，即.【典例2】（24-25高三下·海南·月考）曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為【答案】【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，，當(dāng)時(shí)，，所以切線的斜率是2，切線與直線垂直，所以直線的斜率，解得：03曲線“過(guò)”某點(diǎn)的切線問(wèn)題求曲線“過(guò)”某點(diǎn)處的切線方程步驟第一步：設(shè)切點(diǎn)為；第二步：求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；第三步：利用Q在曲線上和，解出及；第四步：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為．【典例1】（25-26高三上·遼寧·月考）函數(shù)過(guò)原點(diǎn)的切線方程為．【答案】或【解析】設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，切線斜率為，由于切線過(guò)原點(diǎn)，則，整理得，即，解得，當(dāng)時(shí)，切線斜率為，此時(shí)切線方程為；當(dāng)時(shí)，切線斜率為，此時(shí)切線方程為.【典例2】（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則此切線的方程為．【答案】或【解析】因?yàn)椋?dāng)點(diǎn)P為切點(diǎn)時(shí)，則切線的斜率為，所以所求切線方程為，即；當(dāng)P點(diǎn)不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率為，則切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，且，所以，整理，得，解得或1（舍去），則，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率為，所以切線方程為，即，所以所求切線的方程為或或．04兩曲線的公切線問(wèn)題公切線問(wèn)題應(yīng)根據(jù)兩曲線在切點(diǎn)處切線的斜率相等，且切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過(guò)解方程組求解．或者分別求出兩曲線的切線，利用兩切線重合列方程組求解．【典例1】（24-25高三上·四川綿陽(yáng)·月考）若直線是曲線與的公切線，則直線的方程為.【答案】【解析】求導(dǎo)：導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù).設(shè)切點(diǎn)寫(xiě)切線方程：設(shè)與切點(diǎn)，切線方程.設(shè)與切點(diǎn)，切線方程.列方程組求解：由公切線性質(zhì)得.由得，代入另一式解得，.求直線方程：把代入，得.【典例2】（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則．【答案】【解析】因?yàn)椋?所以曲線在點(diǎn)的切線方程為：.因?yàn)?，設(shè)曲線與該切線的切點(diǎn)為.所以，所以，即.又，所以.05已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)（1）函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)增（單減）在區(qū)間D上恒成立；（2）函數(shù)在區(qū)間D上存在單調(diào)增（單減）區(qū)間在區(qū)間D上能成立；（3）已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)不存在變號(hào)零點(diǎn)（4）已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)不單調(diào)存在變號(hào)零點(diǎn)【典例1】（2025·福建泉州·二模）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】對(duì)于，則，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在恒成立，顯然，所以在恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，則或（舍去），所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【典例2】（2025·江蘇蘇州·三模）若在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由，可得，所以在上不單調(diào)，所以在上有解，即在有解，即存在，使得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.06導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法解函數(shù)不等式關(guān)系式為“加”型構(gòu)造：構(gòu)造（2）構(gòu)造（3）構(gòu)造（4）構(gòu)造（注意的符號(hào)）（5）構(gòu)造關(guān)系式為“減”型構(gòu)造：（6）構(gòu)造（7）構(gòu)造（8）構(gòu)造（9）構(gòu)造（注意的符號(hào)）（10）構(gòu)造【典例1】（2025·湖南·三模）已知是定義在上連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，因?yàn)椋瑒t，所以，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，由，得到，所以，解得，故選：D.【典例2】（24-25高三下·廣東梅州·月考）設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的，有，且在上．若，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為．【答案】【解析】令，由，得，函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，整理得，即，因此，即，解得，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為.07利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法步驟（1）求導(dǎo)數(shù)；（2）求方程的所有實(shí)數(shù)根；（3）觀察在每個(gè)根x0附近，從左到右導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)如何變化．①如果的符號(hào)由正變負(fù)，則是極大值；②如果由負(fù)變正，則是極小值．③如果在的根x＝x0的左右側(cè)的符號(hào)不變，則不是極值點(diǎn)．