專題03向量線性運算與性質培優(yōu)歸類題型1向量夾角：坐標型求平面向量夾角的方法（坐標型）：坐標法：若非零向量、，則.1．（24-25高三·上?！るA段練習）函數(shù)的圖象（隨著的增大）（

）A．先上升后下降 B．先下降后上升C．先上升后下降再上升 D．先下降后上升再下降2．（23-24高三上·山東德州·階段練習）已知向量，，則（

）A．30° B．150° C．60° D．120°3．（2024·陜西·模擬預測）若向量，與的夾角為鈍角，則實數(shù)λ的取值范圍是（）A． B．C． D．4．（24-25高三上·河北張家口·階段練習）圓：與軸正半軸交點為，圓上的點，分別位于第一、二象限，并且，若點的坐標為，則點的坐標為A． B． C． D．題型2向量夾角：模與數(shù)量積型求平面向量夾角的方法模長型）：定義法：利用向量數(shù)量積的定義得，其中兩向量的取值范圍是；1．（21-22高一下·全國·單元測試）若兩個非零向量滿足，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·吉林松原·期末）設向量的夾角為，定義：.若平面內互不相等的兩個非零向量滿足：，與的夾角為，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．3．（21-22高三·河南南陽·階段練習）直角三角形ABC中，斜邊BC長為a，A是線段PE的中點，PE長為2a，當最大時，與的夾角是（

）A． B． C． D．4．（2025·四川廣安·模擬預測）已知，，，，則函數(shù)的值域是（

）A． B．C． D．題型3線性運算：“中點型”“中點”型，也是“特殊定比分點型”，是向量線性運算基礎：

若D點在BC線段上，且滿足,則有1．（25-26高二上·浙江·開學考試）在中，，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·河北秦皇島·期末）如圖，在梯形中，點在線段上，．若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（24-25高三·海南·階段練習）如圖，在中，是的中點，點滿足，若，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高三·湖北孝感·期末）如圖是古希臘數(shù)學家特埃特圖斯用來構造無理數(shù)的圖形，圖中四邊形ABCD的對角線相交于點O，若，則（

）

A．1 B． C． D．5題型4線性運算：“定比分點型”線段定比分點坐標公式的向量形式：若直線上三點、、，且滿足()，在直線外任取一點，設，，可得.重要結論：若直線上三點、、，為直線外任一點，則.證明：，則，則.1．（23-24高三·廣東廣州·模擬）如圖，在中，，點是的中點.設，，則為（

）A． B． C． D．2．（24-25高三·山西臨汾·模擬）如圖，在中，為BC的中點，是線段AD上的一點，若，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高三·四川成都·模擬）如圖，在中，是的中點，為上的點，且，若，，則用表示為（

）A． B．C． D．4．（24-25高三·河南鄭州·階段練習）如圖，在△ABC中，E是AD的中點，則（

）A．B．C．D．題型5線性運算：內線交點型向量共線定理(兩個向量之間的關系)：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得.變形形式：已知直線上三點、、，為直線外任一點，有且只有一個實數(shù)，使得：.特別提醒：共線向量定理應用時的注意點：向量共線的充要條件中要注意“”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個.證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合.1．（24-25高三·江蘇蘇州·階段練習）如圖，在中，點分別是邊的中點，與相交于點，設，則（

）A． B． C． D．2．（22-23高一下·四川廣安·期中）如圖，已知在中，，，和交于點E，若，則以為基底表示正確的是（

）A． B．C． D．3．（24-25高三廣東惠州·階段練習）如圖，在中，點D是的中點，點E在邊上，且滿足，交于點F，設，則（

）A． B． C． D．14．（24-25高一下·四川南充·階段練習）如圖，點D、E分別在的邊BC、AC上.且，，BE與AD交于點M，若，則（

）A． B．C． D．題型6線性運算：面積比值型．1．（21-22高三上·河南平頂山·階段練習）已知點為正所在平面上一點，且滿足，若的面積與的面積比值為，則的值為（

）A． B．C．2 D．32．（22-23高一上·遼寧沈陽·期中）點P是所在平面上一點，若，則與的面積之比是（

）A． B．3 C． D．3．（22-23高一下·安徽六安·階段練習）所在平面上一點，滿足且，若的面積為4，則的面積為（

）A．6 B．8 C．12 D．164．（22-23高一下·江蘇鹽城·期中）已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，點P滿足，則與面積比為（

）A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2題型7線性運算：勾股弦圖型1．（24-25高三·江西贛州·階段練習）勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”，“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學家大會的會徽.如圖，某同學繪制的趙爽弦圖，在正方形和中，，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影數(shù)量為2．（2025高三·全國·專題練習）趙爽是我國古代數(shù)學家，大約在222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）類比“趙爽弦圖”，可構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設，若，則可以推出（

）A． B． C．0 D．2．（21-22高一上·青海海南·期末）我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，則（

）A． B．C． D．3．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）我國古代數(shù)學家趙爽在《周髀算經》一書中利用“趙爽弦圖”巧妙的證明了勾股定理，該圖形是以弦為邊長得到的正方形由個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成．類比“趙爽弦圖”，可構造如圖所示的圖形，它是由個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，若，，則，則（

）．

A． B． C． D．題型8投影向量a在b方向上的投影向量為：1、．（2022·上海金山·一模）已知向量與的夾角為，且，向量滿足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為x?y.現(xiàn)有兩個結論：①若，則；②的最大值為.則正確的判斷是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立2．（24-25高三·河南信陽·階段練習）已知非零向量，的夾角為銳角，為在方向上的投影向量，且，設與的夾角為，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2025·安徽·模擬預測）向量與在上的投影向量均為，，當最大時，則（

）A． B．6 C．12 D．164．（2025·廣東茂名·一模）向量與在單位向量上的投影向量均為，且，當與的夾角最大時，（

）A．8 B．5 C． D．題型9基底幾何意義1.（2010高三·浙江溫州·階段練習）在平面直角坐標系中，為坐標原點，設向量，，若且，則點所有可能的位置所構成的區(qū)域面積是．2．（23-24高三·上海·階段練習）如圖，點P是線段OB及AB的延長線、AO的延長線所圍成的陰影區(qū)域內（含邊界）的任意一點，且，則x的取值范圍是．

3.（20-21高一上·江西宜春·期末）如圖，B是的中點，，P是平行四邊形內（含邊界）的一點，且，則下列結論正確的個數(shù)為（

）①當時，②當P是線段的中點時，，③若為定值1，則在平面直角坐標系中，點P的軌跡是一條線段④的最大值為A．1 B．2 C．3 D．44.（23-24高三上·河北衡水·階段練習）如圖，在中，分別是的中點，若，且點落在四邊形內（含邊界），則的取值范圍是A． B． C． D．題型10模最值型向量求模運算公式：1.|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))2.1．（2025高三·全國·專題練習）已知是的重心，，那么；若，，則的最小值是.2．（24-25高三·四川成都·專題練習）已知向量，，的模長分別為2，1，1，記向量與的夾角為θ，，則的最大值為．3．（24-25高三·河北·階段練習）已知平面直角坐標系中兩點關于軸對稱，且．若存在，使得與垂直，且，則的最小值為．4．（2025高三全國·專題練習）如圖，在中，為上一點，且滿足，若，則的最小值是.題型11數(shù)量積型范圍最值平面向量數(shù)量積公式有兩種形式：a?a?主要應用以下幾個方面:（1）求向量的夾角，cosθ=a·（2）求投影，a在b上的投影是a?（3）a,b向量垂直，則a?b=01．（24-25高一下·上海寶山·期末）如圖，以邊長為1的正方形的各邊為基準向外作正三角形，構成八邊形.若點、在八邊形的內部（含邊界），則的最小值為.2．（24-25高三上海·階段練習）在中，是所在平面內任意一點，則的最小值是．3．（24-25高一下·北京·期中）梯形中，已（1）（2）若點分別是邊上的動點，則的最大值是.4．（24-25高三·山東青島·階段練習）已知中，，，的最小值是，若M為邊AB上任意一點，N為邊BC的中點，則的最小值是.題型12范圍最值型：向量建系法1．（24-25高三·山西臨汾·階段練習）已知的內角，，的對邊分別為，，，且，，則；的