專題03向量線性運(yùn)算與性質(zhì)培優(yōu)歸類題型1向量夾角：坐標(biāo)型求平面向量夾角的方法（坐標(biāo)型）：坐標(biāo)法：若非零向量、，則.1．（24-25高三·上?！るA段練習(xí)）函數(shù)的圖象（隨著的增大）（

）A．先上升后下降 B．先下降后上升C．先上升后下降再上升 D．先下降后上升再下降2．（23-24高三上·山東德州·階段練習(xí)）已知向量，，則（

）A．30° B．150° C．60° D．120°3．（2024·陜西·模擬預(yù)測）若向量，與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（）A． B．C． D．4．（24-25高三上·河北張家口·階段練習(xí)）圓：與軸正半軸交點(diǎn)為，圓上的點(diǎn)，分別位于第一、二象限，并且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．題型2向量夾角：模與數(shù)量積型求平面向量夾角的方法模長型）：定義法：利用向量數(shù)量積的定義得，其中兩向量的取值范圍是；1．（21-22高一下·全國·單元測試）若兩個(gè)非零向量滿足，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·吉林松原·期末）設(shè)向量的夾角為，定義：.若平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量滿足：，與的夾角為，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．3．（21-22高三·河南南陽·階段練習(xí)）直角三角形ABC中，斜邊BC長為a，A是線段PE的中點(diǎn)，PE長為2a，當(dāng)最大時(shí)，與的夾角是（

）A． B． C． D．4．（2025·四川廣安·模擬預(yù)測）已知，，，，則函數(shù)的值域是（

）A． B．C． D．題型3線性運(yùn)算：“中點(diǎn)型”“中點(diǎn)”型，也是“特殊定比分點(diǎn)型”，是向量線性運(yùn)算基礎(chǔ)：

若D點(diǎn)在BC線段上，且滿足,則有1．（25-26高二上·浙江·開學(xué)考試）在中，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·河北秦皇島·期末）如圖，在梯形中，點(diǎn)在線段上，．若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（24-25高三·海南·階段練習(xí)）如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高三·湖北孝感·期末）如圖是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來構(gòu)造無理數(shù)的圖形，圖中四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，若，則（

）

A．1 B． C． D．5題型4線性運(yùn)算：“定比分點(diǎn)型”線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：若直線上三點(diǎn)、、，且滿足()，在直線外任取一點(diǎn)，設(shè)，，可得.重要結(jié)論：若直線上三點(diǎn)、、，為直線外任一點(diǎn)，則.證明：，則，則.1．（23-24高三·廣東廣州·模擬）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).設(shè)，，則為（

）A． B． C． D．2．（24-25高三·山西臨汾·模擬）如圖，在中，為BC的中點(diǎn)，是線段AD上的一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高三·四川成都·模擬）如圖，在中，是的中點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且，若，，則用表示為（

）A． B．C． D．4．（24-25高三·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，E是AD的中點(diǎn)，則（

）A．B．C．D．題型5線性運(yùn)算：內(nèi)線交點(diǎn)型向量共線定理(兩個(gè)向量之間的關(guān)系)：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得.變形形式：已知直線上三點(diǎn)、、，為直線外任一點(diǎn)，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得：.特別提醒：共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)：向量共線的充要條件中要注意“”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè).證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合.1．（24-25高三·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，設(shè)，則（

）A． B． C． D．2．（22-23高一下·四川廣安·期中）如圖，已知在中，，，和交于點(diǎn)E，若，則以為基底表示正確的是（

）A． B．C． D．3．（24-25高三廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，且滿足，交于點(diǎn)F，設(shè)，則（

）A． B． C． D．14．（24-25高一下·四川南充·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D、E分別在的邊BC、AC上.且，，BE與AD交于點(diǎn)M，若，則（

）A． B．C． D．題型6線性運(yùn)算：面積比值型．1．（21-22高三上·河南平頂山·階段練習(xí)）已知點(diǎn)為正所在平面上一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積比值為，則的值為（

）A． B．C．2 D．32．（22-23高一上·遼寧沈陽·期中）點(diǎn)P是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（

）A． B．3 C． D．3．（22-23高一下·安徽六安·階段練習(xí)）所在平面上一點(diǎn)，滿足且，若的面積為4，則的面積為（

）A．6 B．8 C．12 D．164．（22-23高一下·江蘇鹽城·期中）已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是△ABC的重心，點(diǎn)P滿足，則與面積比為（

）A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2題型7線性運(yùn)算：勾股弦圖型1．（24-25高三·江西贛州·階段練習(xí)）勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”，“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會徽.如圖，某同學(xué)繪制的趙爽弦圖，在正方形和中，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影數(shù)量為2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)，若，則可以推出（

）A． B． C．0 D．2．（21-22高一上·青海海南·期末）我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，則（

）A． B．C． D．3．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》一書中利用“趙爽弦圖”巧妙的證明了勾股定理，該圖形是以弦為邊長得到的正方形由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，若，，則，則（

）．

A． B． C． D．題型8投影向量a在b方向上的投影向量為：1、．（2022·上海金山·一模）已知向量與的夾角為，且，向量滿足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為x?y.現(xiàn)有兩個(gè)結(jié)論：①若，則；②的最大值為.則正確的判斷是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立2．（24-25高三·河南信陽·階段練習(xí)）已知非零向量，的夾角為銳角，為在方向上的投影向量，且，設(shè)與的夾角為，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2025·安徽·模擬預(yù)測）向量與在上的投影向量均為，，當(dāng)最大時(shí)，則（

）A． B．6 C．12 D．164．（2025·廣東茂名·一模）向量與在單位向量上的投影向量均為，且，當(dāng)與的夾角最大時(shí)，（

）A．8 B．5 C． D．題型9基底幾何意義1.（2010高三·浙江溫州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量，，若且，則點(diǎn)所有可能的位置所構(gòu)成的區(qū)域面積是．2．（23-24高三·上?！るA段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是線段OB及AB的延長線、AO的延長線所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的任意一點(diǎn)，且，則x的取值范圍是．

3.（20-21高一上·江西宜春·期末）如圖，B是的中點(diǎn)，，P是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，，③若為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線段④的最大值為A．1 B．2 C．3 D．44.（23-24高三上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，在中，分別是的中點(diǎn)，若，且點(diǎn)落在四邊形內(nèi)（含邊界），則的取值范圍是A． B． C． D．題型10模最值型向量求模運(yùn)算公式：1.|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))2.1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知是的重心，，那么；若，，則的最小值是.2．（24-25高三·四川成都·專題練習(xí)）已知向量，，的模長分別為2，1，1，記向量與的夾角為θ，，則的最大值為．3．（24-25高三·河北·階段練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，且．若存在，使得與垂直，且，則的最小值為．4．（2025高三全國·專題練習(xí)）如圖，在中，為上一點(diǎn)，且滿足，若，則的最小值是.題型11數(shù)量積型范圍最值平面向量數(shù)量積公式有兩種形式：a?a?主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:（1）求向量的夾角，cosθ=a·（2）求投影，a在b上的投影是a?（3）a,b向量垂直，則a?b=01．（24-25高一下·上海寶山·期末）如圖，以邊長為1的正方形的各邊為基準(zhǔn)向外作正三角形，構(gòu)成八邊形.若點(diǎn)、在八邊形的內(nèi)部（含邊界），則的最小值為.2．（24-25高三上海·階段練習(xí)）在中，是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值是．3．（24-25高一下·北京·期中）梯形中，已（1）（2）若點(diǎn)分別是邊上的動點(diǎn)，則的最大值是.4．（24-25高三·山東青島·階段練習(xí)）已知中，，，的最小值是，若M為邊AB上任意一點(diǎn)，N為邊BC的中點(diǎn)，則的最小值是.題型12范圍最值型：向量建系法1．（24-25高三·山西臨汾·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，則；的