第一章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CLinearAlgebra行列式線性代數(shù)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第五節(jié)克萊姆法則本節(jié)主要探討n元線性方程組：（1.7）第五節(jié)克萊姆法則將方程組的個系數(shù)按下列形式構(gòu)成的階行列式,記作,

,

稱作元線性方程組（1.7）的系數(shù)行列式,其第行元素即為（1.7）中第個方程的系數(shù);第列元素即為第個未知量前的系數(shù)．

第五節(jié)克萊姆法則

如果元線性方程組（1.7）的系數(shù)行列式,則方程組（1.7）的解存在、唯一;并且解為,(1.15)

其中,是用替換中第列元素所構(gòu)成的階行列式,即

.定理1.4（Cramer法則）第五節(jié)克萊姆法則證明

證明分兩步:

1）證明（1.15）是方程組（1.7）的解.這只要把代入到方程組（1.7）的左端第個方程,驗證左端等于右端即可,

.

2）

對于方程組（1.7）的任意一組解,都成立,

這便說明解是唯一的．

第五節(jié)克萊姆法則我們先證1）.首先注意到,把按第列展開,有

其中是系數(shù)行列式中關(guān)于元素的代數(shù)余子式,把代入1.7（）左端第個方程,得.第五節(jié)克萊姆法則根據(jù)展開定理及其推論,只有當時,括號中的和等于;而當時,.

因此外面一個和號中,所有項中只剩第項,于是,即是方程組（1.7）的解．第五節(jié)克萊姆法則下面證明2）,

即方程組（1.7）的解是唯一的.設(shè)是方程組（1.7）的任意一組解,則下式成立

,

在上面?zhèn)€等式的兩端分別乘,然后再把個等式的兩端相加，

第五節(jié)克萊姆法則

由展開定理及其推論,上式左端只有的系數(shù)=,其余項的系數(shù)都為零,而右端,于是成立

.

因為,故

,即方程組的解唯一．

.得第五節(jié)克萊姆法則例18

利用Cramer法則,求下列方程組的解,

.

解

系數(shù)行列式

,

第五節(jié)克萊姆法則

由Cramer法則,方程組的解存在唯一．又

于是方程組的解為

.

第五節(jié)克萊姆法則齊次線性方程組

在方程組

(1.7

)中,若右端項都為零,即

,(1.16)

稱方程組

(1.16)為元齊次線性方程組;若右端項不全為零,則稱（1.7）為元非齊次線性方程組．

顯然,方程組

(1.16)的解無條件地存在,因為滿足方程組

(1.16),稱其為方程組

(1.16)的零解．

第五節(jié)克萊姆法則

根據(jù)Cramer法則,可得到下列結(jié)論:

定理1.5

若方程組（1.16）有非零解,則系數(shù)行列式.

等價地說,若齊次方程組（1.16）的系數(shù)行列式,

則齊次方程組只有零解.那么如果系數(shù)行列式,則齊次線性方程組是否一定有非零解呢?答案是肯定的,詳見第四章的討論．

現(xiàn)在感興趣的是方程組(1.16)是否存在非零解?第五節(jié)克萊姆法則

例19

判斷齊次線性方程組

是否僅有零解．

解

系數(shù)行列式

故方程組僅有零解．

第五節(jié)克萊姆法則例20

已知下列齊次方程組有非零解,則參數(shù)應(yīng)取何值,

.

解

系數(shù)行列式

,

因為方程組有非零解,由定理1.5,成立,因此,或,或.

e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8D