專題七立體幾何立體幾何的知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一，它主要研究簡單空間幾何體的位置和數(shù)量關(guān)系．本專題內(nèi)容分為三部分：一是點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，二是簡單空間幾何體的結(jié)構(gòu)，三是空間向量與立體幾何．在本專題中，我們將首先復(fù)習(xí)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，特別是對(duì)特殊位置關(guān)系(平行與垂直)的研究；其后，我們復(fù)習(xí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)，主要是柱體、錐體、臺(tái)體和球等的性質(zhì)與運(yùn)算；最后，我們通過空間向量的工具證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些命題，并解決線線、線面、面面的夾角問題．§7－1點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【知識(shí)要點(diǎn)】1．空間直線和平面的位置關(guān)系：(1)空間兩條直線：①有公共點(diǎn)：相交，記作：a∩b＝A，其中特殊位置關(guān)系：兩直線垂直相交．②無公共點(diǎn)：平行或異面．平行，記作：a∥b．異面中特殊位置關(guān)系：異面垂直．(2)空間直線與平面：①有公共點(diǎn)：直線在平面內(nèi)或直線與平面相交．直線在平面內(nèi)，記作：a．直線與平面相交，記作：a∩＝A，其中特殊位置關(guān)系：直線與平面垂直相交．②無公共點(diǎn)：直線與平面平行，記作：a∥．(3)空間兩個(gè)平面：①有公共點(diǎn)：相交，記作：∩＝l，其中特殊位置關(guān)系：兩平面垂直相交．②無公共點(diǎn)：平行，記作：∥．2．空間作為推理依據(jù)的公理和定理：(1)四個(gè)公理與等角定理：公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)．公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．(2)空間中線面平行、垂直的性質(zhì)與判定定理：①判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行．如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行．如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直．如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．②性質(zhì)定理：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行．如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線相互平行．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直．(3)我們把上述判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行整理，得到下面的位置關(guān)系圖：【復(fù)習(xí)要求】1．了解四個(gè)公理與等角定理；2．理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；3．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題．【例題分析】例1如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)．求證：(Ⅰ)E、C、D1、F四點(diǎn)共面；(Ⅱ)CE、DA、D1F三線共點(diǎn)．【分析】對(duì)于(Ⅰ)中證明“E、C、D1、F四點(diǎn)共面”，可由這四點(diǎn)連接成兩條直線，證明它們平行或相交即可；對(duì)于(Ⅱ)中證明“CE、DA、D1F三線共點(diǎn)”，可證其中兩條相交直線的交點(diǎn)位于第三條直線上．證明：(Ⅰ)連接D1C、A1B、EF．∵E，F(xiàn)分另是AB，AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B，又A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴A1D1CB是平行四邊形．∴A1B∥D1C，EF∥D1C，∴E、C、D1、F四點(diǎn)共面．(Ⅱ)由(Ⅰ)得EF∥CD1，∴直線CE與直線D1F必相交，記CE∩D1F＝P，∵P∈D1F平面A1ADD1，P∈CE平面ABCD，∴點(diǎn)P是平面A1ADD1和平面ABCD的一個(gè)公共點(diǎn)．∵平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，∴P∈AD，∴CE、DA、D1F三線共點(diǎn)．【評(píng)述】1、證明多點(diǎn)共面、多點(diǎn)共線、多線共面的主要依據(jù)：(1)證明多點(diǎn)共面常用公理2及其推論；(2)證明多點(diǎn)共線常用公理3，即證明點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)，從而點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上；(3)證明多線共面，首先由其中兩直線確定平面，再證其余直線在此平面內(nèi)．2、證明a，b，c三線交于一點(diǎn)的主要依據(jù)：(1)證明a與b相交，c與b相交，再證明兩交點(diǎn)重合；(2)先證明a與b相交于點(diǎn)P，再證明P∈c．例2在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，求證：MN∥平面PAD．【分析】要證明“線面平行”，可通過“線線平行”或“面面平行”進(jìn)行轉(zhuǎn)化；題目中出現(xiàn)了中點(diǎn)的條件，因此可考慮構(gòu)造(添加)中位線輔助證明．證明：方法一，取PD中點(diǎn)E，連接AE，NE．∵底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，∴MA∥CD，∵E是PD的中點(diǎn)，∴NE∥CD，∴MA∥NE，且MA＝NE，∴AENM是平行四邊形，∴MN∥AE．又AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．方法二取CD中點(diǎn)F，連接MF，NF．∵M(jìn)F∥AD，NF∥PD，∴平面MNF∥平面PAD，∴MN∥平面PAD．【評(píng)述】關(guān)于直線和平面平行的問題，可歸納如下方法：(1)證明線線平行：a∥c，b∥c，a∥α，aβα∥βa⊥α，b⊥αα∩β＝b∩α＝a，∩β＝ba∥ba∥ba∥ba∥b(2)證明線面平行：a∩α＝a∥bα∥βbα，aαaβa∥αa∥αa∥α(3)證明面面平行：α∩β＝a∥β，b∥βa⊥α，a⊥βα∥，β∥a，bα，a∩b＝Aα∥βα∥βα∥βα∥β例3在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC，AB⊥AC，求證：A1C⊥BC1．【分析】要證明“線線垂直”，可通過“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明A1C垂直于經(jīng)過BC1的平面即可．證明：連接AC1．∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AB⊥AA1．又AB⊥AC，∴AB⊥平面A1ACC1，∴A1C⊥AB．①又AA1＝AC，∴側(cè)面A1ACC1是正方形，∴A1C⊥AC1．②由①，②得A1C⊥平面ABC1，∴A1C⊥BC1．【評(píng)述】空間中直線和平面垂直關(guān)系的論證往往是以“線面垂直”為核心展開的．如本題已知條件中出現(xiàn)的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要將其向“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化．例4在三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求證：平面PAC⊥平面PBC．【分析】要證明“面面垂直”，可通過“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而“線面垂直”又可以通過“線線垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化．證明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴AP⊥BC．又AP⊥PB，∴AP⊥平面PBC，又AP平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC．【評(píng)述】關(guān)于直線和平面垂直的問題，可歸納如下方法：(1)證明線線垂直：a⊥c，b∥c，a⊥αbαa⊥ba⊥b(1)證明線面垂直：a⊥m，a⊥na∥b，b⊥αα∥β，a⊥βα⊥β，α∩β＝lm，nα，m∩n＝Aaβ，a⊥la⊥αa⊥αa⊥αa⊥α(1)證明面面垂直：a⊥β，aαα⊥β例5如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB＝60°，E，F(xiàn)分別是AB1，BC的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：直線EF∥平面A1ACC1；(Ⅱ)在線段AB上確定一點(diǎn)G，使平面EFG⊥平面ABC，并給出證明．證明：(Ⅰ)連接A1C，A1E．∵側(cè)面A1ABB1是菱形，E是AB1的中點(diǎn)，∴E也是A1B的中點(diǎn)，又F是BC的中點(diǎn)，∴EF∥A1C．∵A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，∴直線EF∥平面A1ACC1．(2)解：當(dāng)時(shí)，平面EFG⊥平面ABC，證明如下：連接EG，F(xiàn)G．∵側(cè)面A1ABB1是菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1AB是等邊三角形．∵E是A1B的中點(diǎn)，，∴EG⊥AB．∵平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，∴EG⊥平面ABC．又EG平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC．練習(xí)7－1一、選擇題：1．已知m，n是兩條不同直線，，，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是()(A)若m∥，n∥，則m∥n (B)若m⊥，n⊥，則m∥n(C)若⊥，⊥，則∥ (D)若m∥，m∥，則∥2．已知直線m，n和平面，，且m⊥n，m⊥，⊥，則()(A)n⊥ (B)n∥，或n(C)n⊥ (D)n∥，或n3．設(shè)a，b是兩條直線，、是兩個(gè)平面，則a⊥b的一個(gè)充分條件是()(A)a⊥，b∥，⊥ (B)a⊥，b⊥，∥(C)a，b⊥，∥ (D)a，b∥，⊥4．設(shè)直線m與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是()(A)在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直(B)過直線m有且只有一個(gè)平面與平面垂直(C)與直線m垂直的直線不可能與平面平行(D)與直線m平行的平面不可能與平面垂直二、填空題：5．在三棱錐P－ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC＝30°，則PC＝______．6．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌鍭BCD滿足條件______時(shí)，有A1C⊥B1D1．(只要求寫出一種條件即可)7．設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面，之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：①m⊥n②⊥③n⊥④m⊥以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出正確的一個(gè)命題______．8．已知平面⊥平面，∩＝l，點(diǎn)A∈，Al，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥，m∥，給出下列四種位置：①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥；④AC⊥，上述四種位置關(guān)系中，不一定成立的結(jié)論的序號(hào)是______．三、解答題：9．如圖，三棱錐P－ABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長是1的等邊三角形，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)．(Ⅰ)求MN的長；(Ⅱ)求證：PA⊥BC．10．如圖，在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)．求證：(Ⅰ)直線EF∥平面ACD；(Ⅱ)平面EFC⊥平面BCD．11．如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．(Ⅰ)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(Ⅱ)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面?為什么?(Ⅲ)設(shè)AB＝BE，證明：平面ADE⊥平面CDE．§7－2空間幾何體的結(jié)構(gòu)【知識(shí)要點(diǎn)】1．簡單空間幾何體的基本概念：(1)(2)特殊的四棱柱：(3)其他空間幾何體的基本概念：幾何體基本概念正棱錐底面是正多面形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心正棱臺(tái)正棱錐被平行于底面的平面所截，截面與底面間的幾何體是正棱臺(tái)圓柱以矩形的一邊所在的直線為軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體圓錐以直角三角形的一邊所在的直線為軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體圓臺(tái)以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體球面半圓以它的直徑為軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)而成的曲面球球面所圍成的幾何體2．簡單空間幾何體的基本性質(zhì)：幾何體性質(zhì)補(bǔ)充說明棱柱(1)側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形(2)兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形(3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面(對(duì)角面)是平行四邊形(1)直棱柱的側(cè)棱長與高相等，側(cè)面及對(duì)角面都是矩形(2)長方體一條對(duì)角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長的平方和正棱錐(1)側(cè)棱都相等，側(cè)面是全等的等腰三角形(2)棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影組成一個(gè)直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影也組成一個(gè)直角三角形球(1)球心和球的截面圓心的連線垂直于截面(2)球心到截面的距離d，球的半徑R，截面圓的半徑r滿足(1)過球心的截面叫球的大圓，不過球心的截面叫球的小圓(2)在球面上，兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度(兩點(diǎn)的球面距離)3．簡單幾何體的三視圖與直觀圖：(1)平行投影：①概念：如圖，已知圖形F，直線l與平面相交，過F上任意一點(diǎn)M作直線MM1平行于l，交平面于點(diǎn)M1，則點(diǎn)M1叫做點(diǎn)M在平面內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影．如果圖形F上的所有點(diǎn)在平面內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影構(gòu)成圖形F1，則F1叫圖形F在內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影．平面叫投射面，直線l叫投射線．②平行投影的性質(zhì)：性質(zhì)1．直線或線段的平行投影仍是直線或線段；性質(zhì)2．平行直線的平行投影是平行或重合的直線；性質(zhì)3．平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；性質(zhì)4．與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等；性質(zhì)5．在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比．(2)直觀圖：斜二側(cè)畫法畫簡單空間圖形的直觀圖．(3)三視圖：①正投影：在平行投影中，如果投射線與投射面垂直，這樣的平行投影叫做正投影．②三視圖：選取三個(gè)兩兩垂直的平面作為投射面．若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做俯視圖；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做主視圖；和直立、水平兩個(gè)投射面都垂直的投射面叫做側(cè)立投射面，投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做左視圖．將空間圖形向這三個(gè)平面做正投影，然后把三個(gè)投影按右圖所示的布局放在一個(gè)水平面內(nèi)，這樣構(gòu)成的圖形叫空間圖形的三視圖．③畫三視圖的基本原則是“主左一樣高，主俯一樣長，俯左一樣寬”．4．簡單幾何體的表面積與體積：(1)柱體、錐體、臺(tái)體和球的表面積：①S直棱柱側(cè)面積＝ch，其中c為底面多邊形的周長，h為直棱柱的高．②，其中c為底面多邊形的周長，h＇為正棱錐的斜高．③，其中c＇，c分別是棱臺(tái)的上、下底面周長，h＇為正棱臺(tái)的斜高．④S圓柱側(cè)面積＝2Rh，其中R是圓柱的底面半徑，h是圓柱的高．⑤S圓錐側(cè)面積＝Rl，其中R是圓錐的底面半徑，l是圓錐的母線長．⑥S球＝4R2，其中R是球的半徑．(2)柱體、錐體、臺(tái)體和球的體積：①V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．②，其中S是錐體的底面積，h是錐體的高．③，其中S＇，S分別是臺(tái)體的上、下底面的面積，h為臺(tái)體的高．④，其中R是球的半徑．

【復(fù)習(xí)要求】1．了解柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征；2．會(huì)畫出簡單幾何體的三視圖，會(huì)用斜二側(cè)法畫簡單空間圖形的直觀圖；3．理解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積與體積的計(jì)算公式．【例題分析】例1如圖，正三棱錐P－ABC的底面邊長為a，側(cè)棱長為b．(Ⅰ)證明：PA⊥BC；(Ⅱ)求三棱錐P－ABC的表面積；(Ⅲ)求三棱錐P－ABC的體積．【分析】對(duì)于(Ⅰ)只要證明BC(PA)垂直于經(jīng)過PA(BC)的平面即可；對(duì)于(Ⅱ)則要根據(jù)正三棱錐的基本性質(zhì)進(jìn)行求解．證明：(Ⅰ)取BC中點(diǎn)D，連接AD，PD．∵P－ABC是正三棱錐，∴△ABC是正三角形，三個(gè)側(cè)面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形．∵D是BC的中點(diǎn)，∴BC⊥AD，且BC⊥PD，∴BC⊥平面PAD，∴PA⊥BC．(Ⅱ)解：在Rt△PBD中，∴∵三個(gè)側(cè)面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形，∴三棱錐P－ABC的側(cè)面積是∴△ABC是邊長為a的正三角形，∴三棱錐P－ABC的底面積是∴三棱錐P－ABC的表面積為(Ⅲ)解：過點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是正△ABC的中心，∴在Rt△POD中，∴三棱錐P－ABC的體積為【評(píng)述】1、解決此問題要求同學(xué)們熟悉正棱錐中的幾個(gè)直角三角形，如本題中的Rt△POD，其中含有棱錐的高PO；如Rt△PBD，其中含有側(cè)面三角形的高PD，即正棱錐的斜高；如果連接OC，則在Rt△POC中含有側(cè)棱．熟練運(yùn)用這幾個(gè)直角三角形，對(duì)解決正棱錐的有關(guān)問題很有幫助．2、正n(n＝3，4，6)邊形中的相關(guān)數(shù)據(jù)：正三角形正方形正六邊形邊長aaa對(duì)角線長長：2a；短：邊心距面積a2外接圓半徑a例2如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：平面BEC1⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求證：AB1∥平面BEC1．【分析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對(duì)空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線幫助思考．證明：(Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴BE⊥AA1．∵△ABC是正三角形，E是AC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC1A1，又BE平面BEC1，∴平面BEC1⊥平面ACC1A1．(Ⅱ)證明：連接B1C，設(shè)BC1∩B1C＝D．∵BCC1B1是矩形，D是B1C的中點(diǎn)，∴DE∥AB1．又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，∴AB1∥平面BEC1．例3在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝8，．(Ⅰ)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD⊥平面PAD；(Ⅱ)求四棱錐P－ABCD的體積．【分析】本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從M是PC上的動(dòng)點(diǎn)分析知，MB，MD隨點(diǎn)M的變動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此可考慮平面MBD內(nèi)“不動(dòng)”的直線BD是否垂直平面PAD．證明：(Ⅰ)在△ABD中，由于AD＝4，BD＝8，，所以AD2＋BD2＝AB2．故AD⊥BD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD．(Ⅱ)解：過P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因此PO為四棱錐P－ABCD的高，又△PAD是邊長為4的等邊三角形．因此在底面四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，所以四邊形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為，即為梯形ABCD的高，所以四邊形ABCD的面積為故例4如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖．它的主視圖和左視圖在下面畫出(單位：cm)(Ⅰ)畫出該多面體的俯視圖；(Ⅱ)按照給出的尺寸，求該多面體的體積；(Ⅲ)在所給直觀圖中連結(jié)BC＇，證明：BC＇∥平面EFG．【分析】畫三視圖的基本原則是“主左一樣高，主俯一樣長，俯左一樣寬”，根據(jù)此原則及相關(guān)數(shù)據(jù)可以畫出三視圖．證明：(Ⅰ)該幾何體三視圖如下圖：(Ⅱ)所求多面體體積(Ⅲ)證明：在長方體ABCD－A'B'C'D'中，連結(jié)AD'，則AD'∥BC'．因?yàn)镋，G分別為AA'，A'D'中點(diǎn)，所以AD'∥EG，從而EG∥BC'．又BC'平面EFG，所以BC'∥平面EFG．例5有兩個(gè)相同的直三棱柱，底面三角形的三邊長分別是3a，4a，5a，高為，其中a＞0．用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的一個(gè)是四棱柱，求a的取值范圍．解：直三棱柱ABC－A1B1C1的三個(gè)側(cè)面的面積分別是6，8，10，底面積是6a2，因此每個(gè)三棱柱的表面積均是2×6a2＋6＋8＋10＝12a2＋24．情形①：將兩個(gè)直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面積為：2×(12a2＋24)－2×6a2＝12a2＋48．情形②：將兩個(gè)直三棱柱的側(cè)面ABB1A1重合拼在一起，結(jié)果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面積一定是：2×(12a2＋24)－2×8＝24a2＋32．情形③：將兩個(gè)直三棱柱的側(cè)面ACC1A1重合拼在一起，結(jié)果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面積一定是：2×(12a2＋24)－2×6＝24a2＋36．情形④：將兩個(gè)直三棱柱的側(cè)面BCC1B1重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面積為：2×(12a2＋24)－2×10＝24a2＋28在以上四種情形中，②、③的結(jié)果都比④大，所以表面積最小的情形只能在①、④中產(chǎn)生．依題意“表面積最小的一個(gè)是四棱柱”，得24a2＋28＜12a2＋48，解得所以a的取值范圍是例6在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)，求三棱錐F－A1ED1的體積．【分析】計(jì)算三棱錐F－A1ED1的體積時(shí)，需要確定錐體的高，即點(diǎn)F到平面A1ED1的距離，直接求解比較困難．利用等積的方法，調(diào)換頂點(diǎn)與底面的方式，如，也不易計(jì)算，因此可以考慮使用等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法求解．解法1：取AB中點(diǎn)G，連接FG，EG，A1G．∵GF∥AD∥A1D1，∴GF∥平面A1ED1，∴F到平面A1ED1的距離等于點(diǎn)G到平面A1ED1的距離．∴解法2：取CC1中點(diǎn)H，連接FA1，F(xiàn)D1，F(xiàn)H，F(xiàn)C1，D1H，并記FC1∩D1H＝K．∵A1D1∥EH，A1D1＝EH，∴A1，D1，H，E四點(diǎn)共面．∵A1D1⊥平面C1CDD1，∴FC⊥A1D1．又由平面幾何知識(shí)可得FC1⊥D1H，∴FC⊥平面A1D1HE．∴FK的長度是點(diǎn)F到平面A1D1HE(A1ED1)的距離．容易求得練習(xí)7－2一、選擇題：1．將棱長為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的表面積為()(A)2 (B)4 (C)8 (D)162．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是()(A)9 (B)10 (C)11 (D)123．有一種圓柱體形狀的筆筒，底面半徑為4cm，高為12cm．現(xiàn)要為100個(gè)這種相同規(guī)格的筆筒涂色(筆筒內(nèi)外均要涂色，筆筒厚度忽略不計(jì))．如果所用涂料每0.5kg可以涂1m2，那么為這批筆筒涂色約需涂料()(A)1.23kg (B)1.76kg (C)2.46kg (D)3.52kg4．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a＋b的最大值為()(A) (B) (C)4 (D)二、填空題：5．如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的每條棱長均為2，E、F分別是BC、A1C1的中點(diǎn)，則EF的長等于______．6．將邊長為1的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得BD＝1，則三棱錐D－ABC的體積是______．7．一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，則這個(gè)球的體積為______．8．平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：充要條件①：_______________________________________________________________；充要條件②：_______________________________________________________________．(寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件)三、解答題：9．如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：BD1∥平面ACE；(Ⅱ)求證：平面ACE⊥平面B1BDD1．10．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長為6、高為4的等腰三角形．(Ⅰ)求該幾何體的體積V；(Ⅱ)求該幾何體的側(cè)面積S．11．如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，且AE＝FC1＝1．(Ⅰ)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面；(Ⅱ)若點(diǎn)G在BC上，，點(diǎn)M在BB1上，GM⊥BF，求證：EM⊥面BCC1B1．§7－3空間向量與立體幾何【知識(shí)要點(diǎn)】1．空間向量及其運(yùn)算：(1)空間向量的線性運(yùn)算：①空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量運(yùn)算：平面向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則拓廣到空間依然成立．②空間向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律：加法交換律：a＋b＝b＋a；加法結(jié)合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；分配律：(＋)a＝a＋a；(a＋b)＝a＋b．(2)空間向量的基本定理：①共線(平行)向量定理：對(duì)空間兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得a∥b．②共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，則向量c與向量a，b共面的充要條件是存在惟一一對(duì)實(shí)數(shù)，，使得c＝a＋b．③空間向量分解定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組1，2，3，使得p＝1a＋2b＋3c．(3)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算：①空間向量的數(shù)量積的定義：a·b＝|a｜|b｜c(diǎn)os〈a，b〉；②空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)：a·e＝|a｜c(diǎn)os＜a，e＞；a⊥ba·b＝0；|a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜．③空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(a)·b＝(a·b)；交換律：a·b＝b·a；分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．(4)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示：①空間向量的正交分解：建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引單位向量i，j，k，則這三個(gè)互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底{i，j，k｝，由空間向量分解定理，對(duì)于空間任一向量a，存在惟一數(shù)組(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，那么有序數(shù)組(a1，a2，a3)就叫做空間向量a的坐標(biāo)，即a＝(a1，a2，a3)．②空間向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示：設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；a＝(a1，a2，a3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．③空間向量平行和垂直的條件：a∥b(b≠0)a＝ba1＝b1，a2＝b2，a3＝b3(∈R)；a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．④向量的夾角與向量長度的坐標(biāo)計(jì)算公式：設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，則A，B兩點(diǎn)間的距離是2．空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：(1)直線的方向向量與平面的法向量：①如圖，l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使得，其中向量a叫做直線的方向向量．由此可知，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量惟一確定．②如果直線l⊥平面，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量．由此可知，給定一點(diǎn)A及一個(gè)向量a，那么經(jīng)過點(diǎn)A以向量a為法向量的平面惟一確定．(2)用空間向量刻畫空間中平行與垂直的位置關(guān)系：設(shè)直線l，m的方向向量分別是a，b，平面，的法向量分別是u，v，則①l∥ma∥ba＝kb，k∈R；②l⊥ma⊥ba·b＝0；③l∥a⊥ua·u＝0；④l⊥a∥ua＝ku，k∈R；⑤∥u∥vu＝kv，k∈R；⑥⊥u⊥vu·v＝0．(3)用空間向量解決線線、線面、面面的夾角問題：，則a′與b′所夾的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角．設(shè)異面直線a與b的方向向量分別是v1，v2，a與b的夾角為，顯然則②直線和平面所成的角：直線和平面所成的角是指直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角．設(shè)直線a的方向向量是u，平面的法向量是v，直線a與平面的夾角為，顯然，則③二面角及其度量：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．記作－l－在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作射線OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB叫做二面角－l－的平面角．利用向量求二面角的平面角有兩種方法：方法一：如圖，若AB，CD分別是二面角－l－的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角－l－的大小就是向量的夾角的大?。椒ǘ喝鐖D，m1，m2分別是二面角的兩個(gè)半平面，的法向量，則〈m1，m2〉與該二面角的大小相等或互補(bǔ)．(4)根據(jù)題目特點(diǎn)，同學(xué)們可以靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題．【復(fù)習(xí)要求】1．了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．2．掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示．3．掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．4．理解直線的方向向量與平面的法向量．5．能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系．6．能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題．【例題分析】例1如圖，在長方體OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，點(diǎn)P在棱AA1上，且AP＝2PA1，點(diǎn)S在棱BB1上，且B1S＝2SB，點(diǎn)Q，R分別是O1B1，AE的中點(diǎn)，求證：PQ∥RS．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)法證明存在實(shí)數(shù)k，使得解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)．∵AP＝2PA1，∴∴同理可得：Q(0，2，2)，R(3，2，0)，，又RPQ，∴PQ∥RS．【評(píng)述】1、證明線線平行的步驟：(1)證明兩向量共線；(2)證明其中一個(gè)向量所在直線上一點(diǎn)不在另一個(gè)向量所在的直線上即可．2、本體還可采用綜合法證明，連接PR，QS，證明PQRS是平行四邊形即可，請(qǐng)完成這個(gè)證明．例2已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點(diǎn)，求證：平面AMN∥平面EFBD．【分析】要證明面面平行，可以通過線線平行來證明，也可以證明這兩個(gè)平面的法向量平行．解法一：設(shè)正方體的棱長為4，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(xiàn)(2，4，4)．取MN的中點(diǎn)K，EF的中點(diǎn)G，BD的中點(diǎn)O，則O(2，2，0)，K(3，1，4)，G(1，3，4)．＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，1，4)，∴∥，，∴MN//EF，AK//OG，∴MN∥平面EFBD，AK∥平面EFBD，∴平面AMN∥平面EFBD．解法二：設(shè)平面AMN的法向量是a＝(a1，a2，a3)，平面EFBD的法向量是b＝(b1，b2，b3)．由得取a3＝1，得a＝(2，－2，1)．由得取b3＝1，得b＝(2，－2，1)．∵a∥b，∴平面AMN∥平面EFBD．注：本題還可以不建立空間直角坐標(biāo)系，通過綜合法加以證明，請(qǐng)?jiān)囈辉嚕?在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N是棱A1B1，B1B的中點(diǎn)，求異面直線AM和CN所成角的余弦值．解法一：設(shè)正方體的棱長為2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(2，1，2)，C(0，2，0)，N(2，2，1)．設(shè)和所成的角為，則∴異面直線AM和CN所成角的余弦值是解法二：取AB的中點(diǎn)P，CC1的中點(diǎn)Q，連接B1P，B1Q，PQ，PC．易證明：B1P∥MA，B1Q∥NC，∴∠PB1Q是異面直線AM和CN所成的角．設(shè)正方體的棱長為2，易知∴∴異面直線AM和CN所成角的余弦值是【評(píng)述】空間兩條直線所成的角是不超過90°的角，因此按向量的夾角公式計(jì)算時(shí)，分子的數(shù)量積如果是負(fù)數(shù)，則應(yīng)取其絕對(duì)值，使之成為正數(shù)，這樣才能得到異面直線所成的角(銳角)．例4如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為a，側(cè)棱長為，求直線AC1與平面ABB1A1所成角的大?。痉治觥坷谜庵男再|(zhì)，適當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．求角時(shí)有兩種思路：一是由定義找出線面角，再用向量方法計(jì)算；二是利用平面ABB1A1的法向量求解．解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(0，a，0)，取A1B1的中點(diǎn)D，則，連接AD，C1D．則∴DC1⊥平面ABB1A1，∴∠C1AD是直線AC1與平面ABB1A1所或的角．，∴直線AC1與平面ABB1A1所成角的大小是30°．解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，)，，從而設(shè)平面ABB1A1的法向量是a＝(p，q，r)，由得取p＝1，得a＝(1，0，0)．設(shè)直線AC1與平面ABB1A1所成的角為【評(píng)述】充分利用幾何體的特征建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，再利用向量的知識(shí)求解線面角；解法二給出了一般的方法，即先求平面的法向量與斜線的夾角，再利用兩角互余轉(zhuǎn)換．例5如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，，求二面角A－PB－C的平面角的余弦值．解法一：取PB的中點(diǎn)D，連接CD，作AE⊥PB于E．∵PA＝AC＝1，PA⊥AC，∴PC＝BC＝，∴CD⊥PB．∵EA⊥PB，∴向量和夾角的大小就是二面角A－PB－C的大?。鐖D建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，P(1，0，1)，由D是PB的中點(diǎn)，得D由得E是PD的中點(diǎn)，從而即二面角A－PB－C的平面角的余弦值是解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，，C(0，1，0)，P(0，0，1)，設(shè)平面PAB的法向量是a＝(a1，a2，a3)，平面PBC的法向量是b＝(b1，b2，b3)．由得取a1＝1，得由得取b3＝1，得b＝(0，1，1)．∵二面角A－PB－C為銳二面角，∴二面角A－PB－C的平面角的余弦值是【評(píng)述】1、求二面角的大小，可以在兩個(gè)半平面內(nèi)作出垂直于棱的兩個(gè)向量，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)向量的夾角；應(yīng)注意兩個(gè)向量的始點(diǎn)應(yīng)在二面角的棱上．2、當(dāng)用法向量的方法求二面角時(shí)，有時(shí)不易判斷兩個(gè)平面法向量的夾角是二面角的平面角還是其補(bǔ)角，但我們可以借助觀察圖形而得到結(jié)論，這是因?yàn)槎娼鞘卿J二面角還是鈍二面角一般是明顯的．例6如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點(diǎn)D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC．(Ⅰ)求證：BC⊥平面PAC；(Ⅱ)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AD與平面PAC所成角的余弦值；(Ⅲ)試問在棱PC上是否存在點(diǎn)E，使得二面角A－DE－P為直二面角?若存在，求出PE∶EC的值；若不存在，說明理由．解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PA＝a，由已知可得A(0，0，0)，(Ⅰ)∵∴∴BC⊥AP．又∠BCA＝90°，∴BC⊥AC．∴BC⊥平面PAC．(Ⅱ)∵D為PB的中點(diǎn)，DE∥BC，∴E為PC的中點(diǎn)．∴由(Ⅰ)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，∴∠DAE是直線AD與平面PAC所成的角．∴∴即直線AD與平面PAC所成角的余弦值是(Ⅲ)由(Ⅱ)知，DE⊥平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP是二面角A－DE－P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AE⊥PC，這時(shí)，∠AEP＝90°，且故存在點(diǎn)E使得二面角A－DE－P是直二面角，此時(shí)PE∶EC＝4∶3．注：本題還可以不建立空間直角坐標(biāo)系，通過綜合法加以證明，請(qǐng)?jiān)囈辉嚕毩?xí)7-3一、選擇題：1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中點(diǎn)，則二面角E－A1D1－D的平面角的正切值是()(A) (B)2 (C) (D)2．正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AD1與平面A1ACC1所成角的大小是()(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°3．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于()(A) (B) (C) (D)4．如圖，⊥，∩＝l，A∈，B∈，A，B到l的距離分別是a和b，AB與，所成的角分別是和，AB在，內(nèi)的射影分別是m和n，若a＞b，則下列結(jié)論正確的是()(A)＞，m＞n (B)＞，m＜n(C)＜，m＜n (D)＜，m＞n二、填空題：5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成角的大小是______．6．已知正四棱柱的對(duì)角線的長為，且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于______．7．如圖，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為______．8．四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，，PA⊥底面ABCD，PD與底面ABCD所成的角是30°．設(shè)AE與CD所成的角為，則cos＝______．三、解答題：9．如圖，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，點(diǎn)E在CC1上，且C1E＝3EC．(Ⅰ)證明：A1C⊥平面BED；(Ⅱ)求二面角A1－DE－B平面角的余弦值．10．如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．(Ⅰ)證明：直線MN∥平面OCD；(Ⅱ)求異面直線AB與MD所成角的大小．11．如圖，已知直二面角－PQ－，A∈PQ，B∈，C∈，CA＝CB，∠BAP＝45°，直線CA和平面所成的角為30°．(Ⅰ)證明：BC⊥PQ；(Ⅱ)求二面角B－AC－P平面角的余弦值．習(xí)題7一、選擇題：1．關(guān)于空間兩條直線a、b和平面，下列命題正確的是()(A)若a∥b，b，則a∥ (B)若a∥，b，則a∥b(C)若a∥，b∥，則a∥b (D)若a⊥，b⊥，則a∥b2．正四棱錐的側(cè)棱長為2，底面邊長為2，則該棱錐的體積為()(A)8 (B) (C)6 (D)23．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則直線AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于()(A) (B) (C) (D)4．已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是()(A) (B)(C)2000cm3 (D)4000cm35．若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長為2的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，則該棱柱的體積等于()(A) (B) (C) (D)

二、填空題：6．已知正方體的內(nèi)切球的體積是，則這個(gè)正方體的體積是______．7．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD成60°角，則直線AB1和BC1所成角的余弦值是______．8．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是______．9．連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦．半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，則兩弦中點(diǎn)之間距離的最大值為______．10．已知AABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝a，AD是斜邊BC上的高，以AD為折痕使∠BDC成直角．在折起后形成的三棱錐A－BCD中，有如下三個(gè)結(jié)論：①直線AD⊥平面BCD；②側(cè)面ABC是等邊三角形；③三棱錐A－BCD的體積是其中正確結(jié)論的序號(hào)是____________．(寫出全部正確結(jié)論的序號(hào))三、解答題：11．如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，AB＝AA1．(Ⅰ)求證：AD⊥B1D；(Ⅱ)求證：A1C∥平面A1BD；(Ⅲ)求二面角B－AB1－D平面角的余弦值．12．如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA＝AC＝2，AB＝1，M為PC的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：平面PCB⊥平面MAB；(Ⅱ)求三棱錐P－ABC的表面積．13．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，M、N分別是A1C1、BC1的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：BC1⊥平面A1B1C；(Ⅱ)求證：MN∥平面A1ABB1；(Ⅲ)求三棱錐M－BC1B1的體積．14．在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，，DC＝SD＝2．點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，∠ABM＝60°．(Ⅰ)證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；(Ⅱ)求二面角S－AM－B的平面角的余弦值．專題七立體幾何參考答案練習(xí)7-1一、選擇題：1．B2．D3．C4．B二、填空題：5．6．AC⊥BD(或能得出此結(jié)論的其他條件)7．②、③、④①；或①、③、④②8．④三、解答題：9．(Ⅰ)解：連接MB，MC．∵三棱錐P－ABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長是1的等邊三角形，∴，且底面△ABC也是邊長為1的等邊三角形．∵N為BC的中點(diǎn)，∴MN⊥BC．在Rt△MNB中，(Ⅱ)證明：∵M(jìn)是PA的中點(diǎn)，∴PA⊥MB，同理PA⊥MC．∵M(jìn)B∩MC＝M，∴PA⊥平面MBC，又BC平面MBC，∴PA⊥BC．10．證明：(Ⅰ)∵E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥AD．又EF平面ACD，AD平面ACD，∴直線EF∥平面ACD．(Ⅱ)∵EF∥AD，AD⊥BD，∴EF⊥BD．∵CB＝CD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴CF⊥BD．∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面CEF．∵BD平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD．11．(Ⅰ)由題意知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD，∴GH∥AD，又BC∥AD，，∴GH∥BC，GH＝BC，∴四邊形BCHG是平行四邊形．(Ⅱ)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．理由如下：由BE∥AF，，G是FA的中點(diǎn)，得BE∥FG，且BE＝FG．∴EF∥BG．由(Ⅰ)知BG∥CH，∴EF∥CH，故EC，F(xiàn)H共面，又點(diǎn)D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．(Ⅲ)連結(jié)EG，由AB＝BE，BE∥AG，BE＝AG及∠BAG＝90°，知ABEG是正方形，故BG⊥EA．由題設(shè)知FA，AD，AB兩兩垂直，故AD⊥平面FABE，∴BG⊥AD．∴BG⊥平面EAD，∴BG⊥ED．又ED∩EA＝E，∴BG⊥平面ADF．由(Ⅰ)知CH∥BG，∴CH⊥平面ADE．由(Ⅱ)知F∈平面CDE，故CH平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE．練習(xí)7-2一、選擇題：1．B2．D3．D4．C二、填空題：5．6．7．8．答案不唯一，如“兩組相對(duì)側(cè)面分別平行”；“一組相對(duì)側(cè)面平行且全等”；“對(duì)角線交于一點(diǎn)”；“底面是平行四邊形”等．三、解答題：9．證明：(Ⅰ)設(shè)AC∩BD＝O，連結(jié)OE．∵E是DD1的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，∴OE∥BD1．又OE平面ACE，BD1平面ACE，∴BD1∥平面ACE．(Ⅱ)∵ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，∴底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又D1D⊥平面ABCD，∴AC⊥D1D，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC平面ACE，∴平面ACE⊥平面B1BDD1．10．解：由已知可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形，高為4，頂點(diǎn)在底面的射影是矩形中心的四棱錐P－ABCD．(Ⅰ)(Ⅱ)該四棱錐有兩個(gè)側(cè)面PAD、PBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高為：h1＝另兩個(gè)側(cè)面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高為因此11．(Ⅰ)證明：在DD1上取一點(diǎn)N使得DN