高中高中2025北京西城高二（下）期末數(shù)學(xué)2025.7本試卷共6頁，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案寫在答題卡上，在試卷上作答無效.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.2.已知在等差數(shù)列中，，，則公差的值為（）A.2 B. C. D.33.小華設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)：袋中裝有大小相同的2個(gè)紅球、2個(gè)白球、3個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，若兩球的顏色相同為中獎(jiǎng)，則該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)率為（）A. B. C. D.4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈.”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，問塔的頂層燈的盞數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.45.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.6.已知等差數(shù)列滿足，且是和的等比中項(xiàng)，則（）A.6 B.8 C.6或8 D.107.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為優(yōu)良品、合格品、次品三個(gè)等級(jí)，其中優(yōu)良品率為，合格品率為，次品率為，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中任取三件，則三個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品恰好各取到1件的概率為（）A. B. C. D.8.若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，則的值為（）A.2 B. C. D.39.若數(shù)列是存在負(fù)數(shù)項(xiàng)的無窮等比數(shù)列，則“數(shù)列有最小項(xiàng)”是“數(shù)列有最大項(xiàng)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.若函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知函數(shù)，則的定義域是_____，_____.12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則_____.13.已知隨機(jī)變量的分布列如下：0123則_____；若，，成公比為3的等比數(shù)列，則_____.14.已知曲線，點(diǎn)A在曲線上，則在點(diǎn)A處切線斜率的最小值為_____；若點(diǎn)為軸的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且曲線上至少有兩條不同的切線經(jīng)過點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為_____.15.已知是首項(xiàng)為，公差為2的無窮等差數(shù)列，是首項(xiàng)為1，公比為2的無窮等比數(shù)列，記，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，有；②存在，使得的前2025項(xiàng)為單調(diào)遞增數(shù)列；③對(duì)于任意從第三項(xiàng)起均為單調(diào)遞減數(shù)列；④當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在，使得.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù)，，且.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)任意，都有恒成立，求的取值范圍.17.已知在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使?jié)M足條件的數(shù)列和存在，并解答下列問題.條件①：；條件②：成等差數(shù)列；條件③：成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值，以及此時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18.商品的價(jià)格指數(shù)是用于衡量該商品價(jià)格隨時(shí)間變化的相對(duì)指標(biāo)，它可以幫助分析該商品的通脹或通縮趨勢(shì)、市場(chǎng)供需變化和成本波動(dòng).下表是2024年某地區(qū)每個(gè)月蘋果的價(jià)格指數(shù)：月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月指數(shù)151152149146151147151154152151152153（1）若從2024年隨機(jī)抽取1個(gè)月，求該月蘋果的價(jià)格指數(shù)大于150的概率；（2）若從2024年1~6月隨機(jī)抽取3個(gè)月，從7~12月隨機(jī)抽取1個(gè)月，記為隨機(jī)抽取到蘋果的價(jià)格指數(shù)大于150的月份的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若從2024年1~4月、5~8月、9~12月各隨機(jī)抽取1個(gè)月，分別記、、為這個(gè)月蘋果的價(jià)格指數(shù)大于150的月份的個(gè)數(shù)，則、、中哪個(gè)最大?（結(jié)論不要求證明）19.甲、乙、丙三人投籃，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，丙每次投中的概率為，設(shè)每人每次投籃是否命中相互之間沒有影響.（1）甲、乙每人投3次，試比較甲恰好投中1次的概率與乙恰好投中1次的概率的大?。唬?）丙投籃3次，當(dāng)為何值時(shí)，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值.20.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，（ⅰ）求曲線在處的切線方程；（ⅱ）求函數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)的最大值為，求的值.21.已知數(shù)列滿足：①均為正整數(shù)且不全相等；②對(duì)任意正整數(shù)n，，，，．（1）若，，，，求；（2）是否存在正整數(shù)，使得，，，全為0？證明你的結(jié)論；（3）求證：存在正整數(shù)，使得，，，中有一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值大于2025．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】A【分析】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.2.【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】∵，，∴.故選：B.3.【答案】B【分析】求出從袋子中隨機(jī)摸出兩個(gè)球的情況數(shù)和兩球的顏色相同的情況數(shù)，相除得到答案.【詳解】袋子中共有7個(gè)球，隨機(jī)摸出兩個(gè)球，共有種情況，其中兩球的顏色相同的情況為2紅，2白或2黑，共有種情況，故該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)率為.故選：B4.【答案】C【分析】可知每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)即可求出.【詳解】解：設(shè)頂層的燈數(shù)是，則每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列，所以，由題可得，解得，所以，塔的頂層的燈數(shù)是3.故選：C.5.【答案】C【分析】利用奇函數(shù)的定義分別判斷函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)是否為是奇函數(shù)，且是否在上單調(diào)遞增判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)是奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，不合題意；選項(xiàng)B：函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)不是奇函數(shù)，不合題意；選項(xiàng)C：函數(shù)定義域?yàn)?是奇函數(shù)，因?yàn)椋?，函?shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；選項(xiàng)D：定義域?yàn)?，不是奇函?shù)，不合題意.故選：C.6.【答案】A【分析】設(shè)出公差，借助等比中項(xiàng)的性質(zhì)與等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)數(shù)列公差為，則，故，，即，解得，則.故選：A.7.【答案】D【分析】根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式及排列數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】從該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中任取三件，則三個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品恰好各取到1件的概率為.故選：D8.【答案】C【分析】對(duì)求導(dǎo)得.由是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，分析可知：是方程的兩個(gè)根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及完全平方式即可求解.【詳解】∵，∴.∵是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，∴，∴，即是方程的兩個(gè)根，∴，，∴，∴.故選：C.9.【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，按公比的取值情況，結(jié)合單調(diào)性探討等價(jià)條件，再利用充要條件的定義判斷.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由數(shù)列存在負(fù)數(shù)項(xiàng)，得或，數(shù)列有最小項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，若，則單調(diào)遞增，隨著的增大，無限增大，趨近于正無窮大，無最小項(xiàng)；若，，數(shù)列是常數(shù)列，有最小項(xiàng)；若，則單調(diào)遞減，隨著的增大，正數(shù)無限減小，有最小項(xiàng)，因此；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)正負(fù)相間，若，則單調(diào)遞增，隨著的增大，無限增大，趨近于正無窮大，無最小項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，數(shù)列有最小項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，隨著的增大，正數(shù)無限減小，有最小項(xiàng)或，因此，于是數(shù)列有最小項(xiàng)等價(jià)于；數(shù)列有最大項(xiàng)：，數(shù)列是等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，無最大項(xiàng)，數(shù)列無最大項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，數(shù)列有最大項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，隨著的增大，正數(shù)無限減小，數(shù)列有最大項(xiàng)，因此數(shù)列有最大項(xiàng)等價(jià)于，所以“數(shù)列有最小項(xiàng)”是“數(shù)列有最大項(xiàng)”的充分必要條件.故選：C10.【答案】B【分析】由題意可得在時(shí)恒成立，在時(shí)恒成立，且在時(shí)的值小于在時(shí)的最小值，從而計(jì)算即可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)恒成立，則與共零點(diǎn)，故，解得，即，當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)恒成立，則，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，綜上可得.故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】①.②.【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，且分母不為0即可求出函數(shù)的定義域；利用導(dǎo)數(shù)的除法法則，對(duì)求導(dǎo)得到，再將代入即可求出.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，即，∴的定義域是.∵，∴.故答案為：；.12.【答案】【分析】借助等差數(shù)列求和公式與等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】.故答案為：.13.【答案】①.②.【分析】空一：借助概率之和為計(jì)算即可得；空二：借助等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合空一所得計(jì)算即可得.【詳解】；若，，成公比為3的等比數(shù)列，則有，則，，則.故答案為：；.14.【答案】①.-1②.8【分析】設(shè)，求導(dǎo)，得到在點(diǎn)A處切線斜率為，得到最小值；將代入切線方程，整理得到至少有兩個(gè)根，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和極值情況，得到，求出軌跡長(zhǎng)度.【詳解】設(shè)，，故在點(diǎn)A處切線斜率為，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故在點(diǎn)A處切線斜率的最小值為-1，點(diǎn)為軸的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為，在處的切線方程為，將代入切線方程得，整理得，曲線上至少有兩條不同的切線經(jīng)過點(diǎn)，故至少有兩個(gè)根，令，則，令得，令得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極小值為，極大值為，故時(shí)，至少兩個(gè)根，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故答案為：-1，815.【答案】①②③【分析】根據(jù)條件求出，求出作差比大小來判斷①；假設(shè)命題成立，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立求參來判斷②；求出，通過研究函數(shù)的單調(diào)性即可判斷③；舉反例來判斷④.【詳解】由題意可知，，，則，則，若，則，即，故①正確；假設(shè)存在，使得的前2025項(xiàng)為單調(diào)遞增數(shù)列，則對(duì)，恒成立，即對(duì)，恒成立，當(dāng)時(shí)，上式顯然成立，則對(duì)，恒成立，因，結(jié)合的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)有最大值，則，則，故假設(shè)成立，則②正確；由②可知，，令，其開口朝下，對(duì)稱軸為，若，則對(duì)稱軸，則當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，故對(duì)于任意從第三項(xiàng)起均為單調(diào)遞減數(shù)列，故③正確；當(dāng)時(shí)，，，故④錯(cuò)誤故答案為：①②③三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（3）【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，利用，解方程即可求得的值；（2）求出導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，對(duì)該點(diǎn)的左右區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)為正，函數(shù)單增，導(dǎo)數(shù)為負(fù)，函數(shù)單減進(jìn)行判斷即可；（3）求出的最小值，將恒成立轉(zhuǎn)化為其最小值大于等于1，解不等式即可.【小問1詳解】，，因?yàn)椋?，解?【小問2詳解】函數(shù)的定義域是，由（1）得，，，令，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞減，綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問3詳解】由（2）得，，對(duì)任意，都有恒成立，即，，解得，故的取值范圍是.17.【答案】（1），.（2）數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值為，此時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和的值為【分析】（1）選擇條件①：設(shè)的公差為，的公比為，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程組即可求解；選擇條件②：設(shè)的公差為，的公比為，由題可得：，根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程組即可求解；選擇條件③：設(shè)的公差為，的公比為，由題可得：，根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程組求解可知選擇條件③時(shí)，不存在滿足條件的數(shù)列和.（2）由（1）知.設(shè)的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】選擇條件①：設(shè)的公差為，的公比為，，∴，∴，即，解得或（舍去），所以，.選擇條件②：設(shè)的公差為，的公比為，由題可得：，∴則，即，即，解得或（舍去），所以，.選擇條件③：設(shè)的公差為，的公比為，由題可得：，∴則，即，解得（舍去）或（舍去），故選擇條件③時(shí)，不存在滿足條件的數(shù)列和.【小問2詳解】由（1）知.設(shè)的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，則，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，的最小值為，數(shù)列的前8項(xiàng)和為.18.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【分析】（1）從表中找出所有月份中蘋果價(jià)格指數(shù)大于150的事件個(gè)數(shù)即可得；（2）得到隨機(jī)變量的所有可能取值后計(jì)算相應(yīng)概率，即可得其分布列，再借助期望公式計(jì)算即可得其數(shù)學(xué)期望；（3）結(jié)合兩點(diǎn)分布的方差公式與方差定義可得、、，即可得解.【小問1詳解】設(shè)“2024年隨機(jī)抽取1個(gè)月，且該月蘋果價(jià)格指數(shù)大于150”為事件，由表可知，2024年12個(gè)月中，有9個(gè)月的蘋果價(jià)格指數(shù)大于150，所以；【小問2詳解】隨機(jī)變量的所有可能取值為1，2，3，4，，，，；所以的分布列為：1234所以的數(shù)學(xué)期望為；【小問3詳解】2024年1~4月中有兩個(gè)月蘋果的價(jià)格指數(shù)大于150，則服從兩點(diǎn)分布，故；2024年5~8月中有三個(gè)月蘋果的價(jià)格指數(shù)大于150，則服從兩點(diǎn)分布，故；2024年9~12月中四個(gè)月蘋果的價(jià)格指數(shù)都大于150，則，故，即、、中最大.19.【答案】（1）甲恰好投中1次的概率大.（2），最大值為.【分析】（1）分別求出甲乙各命中1次的概率，即可求解.（2）求出丙恰好投中1次的概率為，再令，然后利用導(dǎo)數(shù)求出最值，即可求解.【小問1詳解】甲恰好投中1次的概率為，乙恰好投中1次的概率為，所以甲恰好投中1次的概率大.【小問2詳解】丙恰好投中1次的概率為.令.求導(dǎo)得：.由，解得，故在上單調(diào)遞增：由，解得，故在上單調(diào)遞減，所以.所以當(dāng)時(shí)，丙恰好投中1次的概率最大，最大值為.20.【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）