中考數(shù)學三角函數(shù)應用專項訓練卷三角函數(shù)是初中數(shù)學的重要組成部分，也是解決實際問題的有力工具。在中考中，三角函數(shù)的應用題型往往與生活實際緊密聯(lián)系，著重考查同學們運用數(shù)學知識分析和解決問題的能力。本專項訓練卷旨在幫助同學們梳理三角函數(shù)應用的常見題型，掌握解題思路與技巧，提升應試能力。一、核心知識回顧在開始專項訓練之前，我們先來回顧一下解決三角函數(shù)應用問題所必需的核心知識：1.三角函數(shù)的定義：在直角三角形中，銳角α的正弦、余弦、正切分別為：*sinα=對邊/斜邊*cosα=鄰邊/斜邊*tanα=對邊/鄰邊（注：這些定義是解決一切三角函數(shù)應用問題的基礎，必須熟練掌握。）2.特殊角的三角函數(shù)值：30°、45°、60°角的三角函數(shù)值是計算的常客，務必牢記。3.解直角三角形：由直角三角形中已知的邊和角，計算出未知的邊和角的過程，叫做解直角三角形。4.“數(shù)形結合”思想：將實際問題抽象為幾何圖形（尤其是直角三角形），是解決應用問題的關鍵步驟。5.構造直角三角形：對于非直角三角形的問題，往往需要通過作高（垂線）等輔助線，將其轉化為直角三角形問題來解決。二、典型例題精析題型一：測量高度（仰角與俯角問題）例題1：如圖，某數(shù)學興趣小組為測量一座古塔的高度，他們在離古塔底部水平距離為若干米的A處，用測角儀測得古塔頂端的仰角為α。已知測角儀的高度為h米，求古塔的高度。（請用含α和h的代數(shù)式表示，可引入適當輔助未知數(shù)）分析：這類問題的關鍵在于理解“仰角”的概念，并將其轉化為直角三角形中的銳角。我們可以構造一個以古塔高度、水平距離和觀測視線為邊的直角三角形。*步驟1：畫出示意圖，明確已知條件和所求量。設古塔底部為點B，頂端為點C，測角儀頂端為點D。則AD為水平距離（設為x米，題目中未給出具體數(shù)值，可用字母表示或在具體題目中會給出），∠CDE為仰角α（E為過D點作BC垂線的垂足），DE=AB=x米，BE=AD=h米，CE為塔高減去測角儀高度，即CE=BC-h。*步驟2：在Rt△CDE中，tanα=對邊/鄰邊=CE/DE=CE/x，所以CE=x·tanα。*步驟3：因此，古塔的高度BC=CE+BE=x·tanα+h。解題關鍵：將實際場景中的“高度差”和“水平距離”與直角三角形的邊對應起來，準確識別仰角（視線在水平線上方的角）或俯角（視線在水平線下方的角）。題型二：測量距離（方位角與方向角問題）例題2：一艘漁船在A處測得北偏東某方向有一個小島C，已知A到小島C的距離為d海里。漁船沿北偏西某方向航行一段時間后到達B處，此時測得小島C在其北偏東另一方向。若漁船航行的速度為v海里/小時，航行時間為t小時，求B處到小島C的距離。（此題為框架性描述，具體數(shù)值和角度在實際題目中會給出，解題思路類似）分析：方位角問題的核心是準確理解和繪制方向角，通常需要在觀測點建立方向坐標系（上北下南左西右東），然后根據(jù)題意構造包含所求距離的直角三角形。*步驟1：根據(jù)題意，以A點為原點建立方向坐標系，確定小島C的初始方位。*步驟2：根據(jù)漁船航行的方向（北偏西）、速度v和時間t，計算出AB的距離（AB=v·t），并在坐標系中確定B點的位置。*步驟3：在B點建立新的方向坐標系，確定小島C相對于B點的方位角。*步驟4：通過作輔助線（如過C作AB的垂線，或過B作某方向的垂線），構造一個或多個直角三角形，將已知角度和邊長轉化到直角三角形中。*步驟5：利用三角函數(shù)（正弦、余弦）求解直角三角形，得出B到C的距離。解題關鍵：準確繪制方位圖，理解不同觀測點下同一目標物方位角的變化，靈活運用三角函數(shù)關系。注意“北偏東”、“南偏西”等術語的準確含義。三、專項訓練題（以下題目均需畫出示意圖，運用三角函數(shù)知識求解）一、選擇題(每小題只有一個正確選項)1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=3/5，則cosB的值為（）A.3/5B.4/5C.3/4D.4/32.小明站在地面上，用測角儀測得對面樓頂?shù)难鼋菫?0°，已知測角儀高1米，小明與樓之間的水平距離為30米，則樓高約為（）（√3≈1.732）A.16.32米B.17.32米C.18.32米D.31米二、填空題3.若某人沿坡度i=1:√3的斜坡向上行走了100米，則他的垂直高度上升了______米。4.如圖，在離鐵塔底部15米的A處，用測角儀測得塔頂?shù)难鼋菫棣拢魷y角儀高為1.5米，鐵塔高為H米，則tanβ=______(用含H的代數(shù)式表示)。三、解答題5.如圖，某大樓頂部有一廣告牌CD，甲、乙兩人分別在相距10米的A、B兩處測得廣告牌頂部C的仰角分別為30°和45°，且A、B、E三點在一條直線上，若BE=20米，求廣告牌CD的高度。（結果保留根號）6.一艘輪船從港口A出發(fā)，沿北偏東60°方向航行40海里到達B處，然后再沿北偏西30°方向航行30海里到達C處。（1）求此時輪船與港口A的距離（結果保留根號）；（2）求此時輪船相對于港口A的方位角（精確到度）。7.某中學數(shù)學興趣小組的同學欲測量一座小山的高度。他們在山腳下的點A處測得山頂B的仰角為45°，沿著傾斜角為30°的斜坡AD向上走了若干米后到達點D，在D處測得山頂B的仰角為60°。若AD的長度為m米，求小山的高度BC。（用含m的代數(shù)式表示）8.如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸岸邊每隔5米有一棵樹，在北岸岸邊有一根電線桿。某人在南岸離岸邊15米處看北岸，看到北岸的電線桿恰好被南岸兩棵樹遮住，并且這兩棵樹之間還有三棵樹。求河寬。四、參考答案與提示一、選擇題1.A(提示：∠A+∠B=90°，cosB=sinA)2.C(提示：樓高=30·tan30°+1=30*(√3/3)+1=10√3+1≈18.32米)二、填空題3.50(提示：坡度i=1:√3，即垂直高度:水平距離=1:√3，設垂直高度為x，則水平距離為√3x，由勾股定理得x2+(√3x)2=1002，解得x=50)4.(H-1.5)/15(提示：塔頂?shù)綔y角儀水平視線的垂直距離為H-1.5)三、解答題5.提示：設CD=x，CE=x+DE。在Rt△AEC和Rt△BEC中，分別用tan30°和tan45°表示出AE和BE，利用AE-BE=AB=10米列方程求解。答案：(15√3-15)米。6.提示：（1）過B作BD⊥正北方向于D，過C作CE⊥正北方向于E，構造直角三角形，分別計算AE和CE的長度，再用勾股定理求AC。答案：50海里；（2）利用tan∠CAE=CE/AE，求出∠CAE的度數(shù)。答案：北偏東約26°。7.提示：過D作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G。設BC=x，用含x的代數(shù)式表示出AC、DF、DG、BG，利用BG+GC=BC列方程。答案：((√3+1)/2)m米。8.提示：根據(jù)題意，兩棵樹之間的距離為5×4=20米。構造相似三角形或利用三角函數(shù)，設河寬為x米，根據(jù)三角形相似對應邊成比例或tanθ相等列方程。答案：30米。四、解題反思與總結通過本次專項訓練，希望同學們能夠：1.強化畫圖意識：解決三角函數(shù)應用問題，首要步驟是根據(jù)題意畫出清晰、準確的示意圖，將文字信息轉化為幾何圖形。2.善于構造直角三角形：許多問題并非直接給出直角三角形，需要通過作垂線（高）等輔助線構造直角三角形，這是解題的關鍵技巧。3.準確選用三角函數(shù)：在直角三角形中，根據(jù)已知條件和所求量，選擇合適的三角函數(shù)（正弦、