2025年大學(xué)《信息與計(jì)算科學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)院活動(dòng)通知考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題紙上對(duì)應(yīng)位置）1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（-∞，+∞）上連續(xù)的是（）。A.\(f(x)=\frac{1}{x^2}\)B.\(f(x)=\begin{cases}1&x\geq0\\-1&x<0\end{cases}\)C.\(f(x)=\sqrt{x}\)D.\(f(x)=\frac{1}{\sinx}\)2.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+2\)，則方程\(f(x)=0\)在區(qū)間（1，2）內(nèi)的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）。A.0B.1C.2D.33.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣\(A^{-1}\)為（）。A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}-1&2\\3&-4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)4.設(shè)向量組\(\alpha_1=(1,0,1),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(1,1,1)\)，則該向量組的秩為（）。A.1B.2C.3D.05.已知事件\(A\)和\(B\)互斥（即\(A\capB=\emptyset\)），且\(P(A)=0.3\)，\(P(B)=0.5\)，則\(P(A\cupB)\)為（）。A.0.2B.0.8C.0.15D.0.85二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題紙上對(duì)應(yīng)位置）1.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}\)的值為_(kāi)_______。2.曲線(xiàn)\(y=x^3-3x^2+2\)的拐點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______。3.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\)的行列式\(|A|\)的值為_(kāi)_______。4.設(shè)\(A\)是\(3\times3\)矩陣，且\(|A|=2\)，則\(|3A|\)的值為_(kāi)_______。5.若事件\(A\)的概率\(P(A)=0.7\)，事件\(B\)的概率\(P(B)=0.5\)，且\(P(A\cupB)=0.9\)，則事件\(A\)和\(B\)的聯(lián)合概率\(P(A\capB)\)為_(kāi)_______。三、計(jì)算題（每小題6分，共18分）1.計(jì)算\(\int(3x^2-2x+1)\,dx\)。2.求函數(shù)\(f(x)=x^2\lnx\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)\)。3.解方程\(\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\)。四、證明題（每小題7分，共14分）1.證明不等式\(\forallx>0,\ln(1+x)>\frac{x}{1+x}\)。2.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，證明\(A^*\)（即\(A\)的伴隨矩陣）也是可逆矩陣，并求\((A^*)^{-1}\)。五、綜合應(yīng)用題（共13分）已知向量\(\alpha=(1,2,-1),\beta=(2,-3,1)\)，求：1.向量\(\alpha\)與\(\beta\)的數(shù)量積\(\alpha\cdot\beta\)；2.向量\(\alpha\)與\(\beta\)的向量積\(\alpha\times\beta\)；3.以\(\alpha\)和\(\beta\)為鄰邊的平行四邊形的面積。六、編程題（共14分）編寫(xiě)一個(gè)函數(shù)（或程序段），用于計(jì)算一個(gè)非負(fù)整數(shù)\(n\)的階乘\(n!\)。要求不使用遞歸方法，并處理\(n=0\)的情況。請(qǐng)將你的代碼（使用C/C++/Python等語(yǔ)言）寫(xiě)在答題紙上對(duì)應(yīng)位置。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.A4.C5.B二、填空題1.22.(1,0)3.14.545.0.2三、計(jì)算題1.解：\(\int(3x^2-2x+1)\,dx=\int3x^2\,dx-\int2x\,dx+\int1\,dx\)\(=x^3-x^2+x+C\)，其中\(zhòng)(C\)為積分常數(shù)。2.解：\(f(x)=x^2\lnx\)，使用乘積法則求導(dǎo)。\(f'(x)=(x^2)'\lnx+x^2(\lnx)'=2x\lnx+x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\lnx+x=x(2\lnx+1)\)。3.解：方程兩邊同乘\((x-1)(x+1)\)，得\(x(x+1)+(x-1)=(x-1)(x+1)\)。\(x^2+x+x-1=x^2-1\)。\(2x-1=x^2-1\)。\(x^2-2x=0\)。\(x(x-2)=0\)。解得\(x=0\)或\(x=2\)。檢驗(yàn)：當(dāng)\(x=0\)時(shí)，分母\(x-1=-1\neq0\)，有效；當(dāng)\(x=2\)時(shí)，分母\(x-1=1\neq0\)，有效。故方程的解為\(x=0\)和\(x=2\)。四、證明題1.證明：設(shè)\(f(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}\)，則\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上有定義。\(f'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1\cdot(1+x)-x\cdot1}{(1+x)^2}=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{1+x-1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}\)。當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，說(shuō)明\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增。又因?yàn)閈(f(0)=\ln(1+0)-\frac{0}{1+0}=0\)。所以，當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(f(x)>f(0)=0\)。即\(\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}>0\)，亦即\(\ln(1+x)>\frac{x}{1+x}\)。2.證明：設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，則\(|A|\neq0\)，且\(A^{-1}\)存在。\((A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A\)（根據(jù)伴隨矩陣性質(zhì)）。因?yàn)閈(|A|\neq0\)，所以\(\frac{1}{|A|}A\)是一個(gè)\(n\)階矩陣。\(\left(\frac{1}{|A|}A\right)^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{|A|}}A^{-1}=|A|A^{-1}=A\)（因?yàn)閈(|A|A^{-1}A=|A|I\)）。這說(shuō)明\(\frac{1}{|A|}A\)可逆，且其逆矩陣為\(A\)。由可逆矩陣的定義，\(A^*\)可逆，且\((A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A\)。五、綜合應(yīng)用題解：1.向量\(\alpha\cdot\beta=(1,2,-1)\cdot(2,-3,1)=1\cdot2+2\cdot(-3)+(-1)\cdot1=2-6-1=-5\)。2.向量\(\alpha\times\beta=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&2&-1\\2&-3&1\end{vmatrix}=\mathbf{i}(2\cdot1-(-1)\cdot(-3))-\mathbf{j}(1\cdot1-(-1)\cdot2)+\mathbf{k}(1\cdot(-3)-2\cdot2)\)\(=\mathbf{i}(2-3)-\mathbf{j}(1+2)+\mathbf{k}(-3-4)\)\(=-\mathbf{i}-3\mathbf{j}-7\mathbf{k}\)\(=(-1,-3,-7)\)。3.以\(\alpha\)和\(\beta\)為鄰邊的平行四邊形的面積為\(|\alpha\times\beta|\)。\(|\alpha\times\beta|=\sqrt{(-1)^2+(-3