必刷題《專題11角平分線常考模型》刷難關(guān)知識點一角平分線+平行線構(gòu)造等腰三角形1.[2020吉林白城期末]在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一點，BE=CD，EF∥AD交AB于點F，交CA的延長線于點P，CH∥AB交AD的延長線于點H.（1）試說明：△APF是等腰三角形.（2）猜想AB與PC的大小關(guān)系，證明你的猜想.知識點二角平分線遇垂直2.[2020陜西西安碑林區(qū)期末]如圖，在△ABC中，AB=BC，BE平分∠ABC，AD為BC邊上的高，且AD=BD.（1）∠1=∠2=°.（2）∠1與∠3相等嗎？為什么？（3）試判斷線段AB與BD，DH之間有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由.知識點三角平分線上的點向兩邊作垂線3.[2020重慶江北區(qū)期末]如圖，D是∠EAF平分線上的點，若∠ACD+∠ABD=180°，請說明CD=DB.4.[2020四川成都青羊區(qū)期末]如圖，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E.（1）求∠EDA的度數(shù).（2）若AB=10，AC=8，DE=3，求.知識點四利用角平分線構(gòu)成對稱圖形5.[2020浙江寧波奉化區(qū)期末，中]如圖，已知AC∥BD，AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，點E在線段CD上.（1）求∠AEB的度數(shù).（2）試說明：CE=DE.6.[2020山西呂梁期末，中]已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分線，AD與CE相交于點F，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，垂足分別為M，N.試說明：FE=FD.參考答案1.解析：（1）因為EF∥AD，所以∠1=∠4，∠2=∠P.因為AD平分∠BAC，所以∠1=∠2，所以∠4=∠P，所以AF=AP，所以△APF是等腰三角形.②AB=PC.證明如下：因為CH∥AB，所以∠5=∠B，∠H=∠1.因為EF∥AD，所以∠1=∠3，所以∠H=∠3.在△BEF和△CDH中，所以△BEF≌△CDH（AAS），所以BF=CH.因為AD平分∠BAC，所以∠1=∠2，所以∠2=∠H，所以AC=CH，所以AC=BF.因為AB=AF+BF，PC=AP+AC，所以AB=PC.2.解析：（1）22.5.因為AD為BC邊上的高，所以∠ADB=90°.因為AD=BD，所以∠ABD=∠BAD=（180°-∠ADB）=45°.因為BE平分∠ABC，所以∠1=∠2=∠ABD=22.5°.故答案為22.5.（2）∠1=∠3.理由：因為AB=BC，BE平分∠ABC，所以BE⊥AC，所以∠BEA=90°=∠ADB.因為∠3+∠BEA+∠AHE=180°，∠2+∠ADB+∠BHD=180°，∠AHE=∠BHD，所以∠2=∠3.因為∠1=∠2，所以∠1=∠3.（3）AB=BD+DH.理由：因為在△BDH和△ADC中，所以△BDH≌△ADC（ASA），所以DH=DC，所以BC=BD+DC=BD+DH.因為AB=BC，所以AB=BD+DH.3.解析：過點D分別作AE，AF的垂線，交AE于M，交AF于N，則∠CMD=∠BND=90°.因為AD是∠EAF的平分線，所以DM=DN.因為∠ACD+∠ABD=180°，∠ACD+∠MCD=180°，所以∠MCD=∠NBD.在△CDM和△BDN中，所以△CDM≌△BDN（AAS），所以CD=DB.4.解析：（1）因為∠B=50°，∠C=70°，所以∠BAC=60°.因為AD是△ABC的角平分線，所以∠BAD=∠BAC=30°.因為DE⊥AB，所以∠DEA=90°，所以∠EDA=90°-∠BAD=60°.（2）如圖，過點D作DF⊥AC于點F.因為AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，所以DF=DE=3.又AB=10，AC=8，所以10×3+×8×3=27.5.解析：（1）因為AC∥BD，所以∠CAB+∠ABD=180°.因為AE平分∠CAB，所以∠EAB=∠CAB.同理可得∠EBA=∠ABD，所以∠EAB+∠EBA=90°，所以∠AEB=90°.（2）如圖，在AB上截取AF=AC，連接EF.因為AE平分∠CAB，所以∠CAE=∠FAE.在△ACE和△AFE中，所以△ACE≌△AFE（SAS），所以CE=FE，∠CEA=∠FEA.因為∠CEA+∠DEB=180°-∠AEB=90°，∠FEA+∠FEB=∠AEB=90°，所以∠DEB=∠FEB.在△FEB和△DEB中，所以△DEB≌△FEB（ASA），所以ED=EF，所以ED=CE.6.解析：連接BF.因為F是△ABC的角平分線交點，所以BF是∠B的平分線.因為FM⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，所以MF=FN，∠DNF=∠EMF=90°.因為在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，所以∠BAC=30°，所以∠DAC=∠BAC=15°，所以∠CDA=75°.因為CE平分∠ACB，所以∠NCF=45°，所以∠NFC=4