河北省保定市保定十校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的一半，則的離心率為（

）A． B．4 C． D．22．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A． B． C． D．3．若數(shù)列滿足，則稱(chēng)為“對(duì)奇數(shù)列”．已知為“對(duì)奇數(shù)列”，且，則（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．5．已知在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，若在展開(kāi)式中任取3項(xiàng)，其中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，則=（

）A． B． C． D．6．若曲線有三條過(guò)點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一直到出現(xiàn)正面向上時(shí)或拋滿100次時(shí)結(jié)束，設(shè)拋擲的次數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（

）A．大于2 B．小于2 C．等于2 D．與2的大小無(wú)法確定8．已知函數(shù)，方程（）有兩個(gè)不等實(shí)根，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．2是的極大值點(diǎn) B．函數(shù)無(wú)零點(diǎn)C．a(chǎn)的取值范圍是 D．，，使二、多選題9．已知隨機(jī)事件，滿足，，，則（

）A．事件與事件相互獨(dú)立 B．C． D．10．甲箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球，乙箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球（兩箱中的球除顏色外沒(méi)有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出兩球，用事件表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則（

）A． B．C． D．11．設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱(chēng)軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱(chēng)中心三、填空題12．展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為．13．在一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)形狀大小相同，顏色互不相同的小球．某人先后兩次任意摸取小球（每次至少摸取1個(gè)小球），假設(shè)每次摸到球的各種不同情況等可能，第一次摸取后記下摸到的小球顏色，再將摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也記下摸到的小球顏色．則“兩次記下的小球顏色能湊齊4種顏色，且恰有一種顏色兩次都被記下”的概率為．14．已知函數(shù)，，若，，則的最大值為．四、解答題15．一批筆記本電腦共有10臺(tái)，其中A品牌3臺(tái)，B品牌7臺(tái)．如果從中隨機(jī)挑選2臺(tái)．(1)求這2臺(tái)電腦中至多有1臺(tái)B品牌電腦的概率；(2)求這2臺(tái)電腦中A品牌臺(tái)數(shù)X的分布列及均值和方差．16．已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列滿足：成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．18．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn).(1)若是線段的中點(diǎn)，求直線的方程；(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)之間），直線與直線的斜率分別為，求證：為定值.19．某新型雙軸承電動(dòng)機(jī)需要裝配兩個(gè)軸承才能正常工作，且兩個(gè)軸承互不影響．現(xiàn)計(jì)劃購(gòu)置甲，乙兩個(gè)品牌的軸承，兩個(gè)品牌軸承的使用壽命及價(jià)格情況如下表：品牌價(jià)格（元/件）使用壽命（月）甲或乙或已知甲品牌使用個(gè)月或個(gè)月的概率均為，乙品牌使用個(gè)月或個(gè)月的概率均為．（1）若從件甲品牌和件乙品牌共件軸承中，任選件裝入電動(dòng)機(jī)內(nèi)，求電動(dòng)機(jī)可工作時(shí)間不少于個(gè)月的概率；（2）現(xiàn)有兩種購(gòu)置方案，方案一：購(gòu)置件甲品牌；方案二：購(gòu)置件甲品牌和件乙品牌（甲、乙兩品牌軸承搭配使用）．試從性價(jià)比（即電動(dòng)機(jī)正常工作時(shí)間與購(gòu)置軸承的成本之比）的角度考慮，選擇哪一種方案更實(shí)惠？

題號(hào)12345678910答案CBCCCBBDADABD題號(hào)11答案AD1．C由題可知雙曲線中的關(guān)系，結(jié)合和離心率公式求解【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)軸，虛軸，焦距分別為，由題知，，于是，則，即.故選：C2．B根據(jù)題意結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可得答案.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，即，所以.故選：B.3．C根據(jù)對(duì)奇數(shù)列的定義可得，化簡(jiǎn)可證明是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式.【詳解】為“對(duì)奇數(shù)列”，則，即，又，故是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故，則.故選：C4．C根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．5．C首先通過(guò)二項(xiàng)式定理得出在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，有理項(xiàng)有3項(xiàng)，無(wú)理項(xiàng)有8項(xiàng)，然后結(jié)合超幾何分布求得相應(yīng)的概率，進(jìn)而結(jié)合均值公式即可得解.【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式為，由題意，解得，若要取到有理項(xiàng)，則需要能被3整除，則，即在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，有理項(xiàng)有3項(xiàng)，無(wú)理項(xiàng)有8項(xiàng)，若在展開(kāi)式中任取3項(xiàng)，其中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，可知的所有可能取值分別為0，1，2，3，，，所以.故選：C.6．B根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過(guò)點(diǎn)的切線方程為，利用方程的解個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.【詳解】設(shè)該切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)，則，整理得.要使過(guò)點(diǎn)的切線有3條，需方程有3個(gè)不同的解，即函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，且極小值、極大值分別為，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，即過(guò)點(diǎn)的切線有3條.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B.7．B根據(jù)已知有第次結(jié)束拋擲的概率為，第100次結(jié)束的概率為，，再應(yīng)用離散隨機(jī)變量期望的求法、錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.【詳解】由題意，在第次結(jié)束拋擲的概率為，第100次結(jié)束的概率為，所以，則，故，所以.故選：B8．D【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，且恒成立，畫(huà)出函數(shù)的圖象如下：對(duì)于A，由圖可得2是的極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闀r(shí)，，即點(diǎn)在直線下方，而點(diǎn)在直線上方，則函數(shù)必有零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，方程（）等價(jià)于或，由圖可得有1個(gè)實(shí)數(shù)根，∴方程（）有兩個(gè)不等實(shí)根，等價(jià)于有1個(gè)非零實(shí)根，則由圖可得或，解得或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖可得，當(dāng)時(shí)．∵，故，故結(jié)合圖象可得時(shí)，，故，，使，故D正確；故選：D．9．AD根據(jù)給定條件，利用條件概率公式，結(jié)合相互獨(dú)立事件的定義、概率的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A，由，得，即，事件與事件相互獨(dú)立，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，事件相互獨(dú)立，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：AD10．ABD根據(jù)條件概率的概率公式及全概率的概率公式計(jì)算可得.【詳解】依題意可得，，，，所以，故A正確、B正確、C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD11．ADA選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.【詳解】A選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開(kāi)式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對(duì)稱(chēng)中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，由題意也是對(duì)稱(chēng)中心，故，即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD12．－60【詳解】，設(shè)該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)榈拇螖?shù)為，所以令，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，所以項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：13．【詳解】某人先后兩次任意摸取小球，每次至少摸取1個(gè)小球，則每次摸球的情況有種，所以先后兩次任意摸取小球共有種情況；兩次記下的小球顏色能湊齊4種顏色，且恰有一種顏色兩次都被記下的情況有：第一次摸取1個(gè)球，第二次摸取4個(gè)球，情況共有種；第一次摸取2個(gè)球，第二次摸取3個(gè)球，情況共有種；第一次摸取3個(gè)球，第二次摸取2個(gè)球，情況共有種；第一次摸取4個(gè)球，第二次摸取1個(gè)球，情況共有種；因?yàn)槊看蚊角虻母鞣N不同情況等可能，所以兩次記下的小球顏色能湊齊4種顏色，且恰有一種顏色兩次都被記下的概率為.故答案為：.14．對(duì)已知等式進(jìn)行同構(gòu)可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)遞增，由此可得，從而將所求式子化為；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即為所求最大值.【詳解】由得：；由得：，；，令，，，在上單調(diào)遞增，；令，則，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即的最大值為.故答案為：.15．(1)(2)答案見(jiàn)詳解【詳解】（1）根據(jù)題意，這2臺(tái)電腦全部是品牌的概率為，所以這2臺(tái)電腦中至多有1臺(tái)B品牌電腦的概率為.（2）依題意，的可能取值為，則，，，則的分布列為：所以，.16．(1)(2)（1）由已知列式求得公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；（2）令，得，兩式相減得，又，即得【詳解】（1）設(shè)公差為d，又成等比數(shù)列，所以，又，即，解得或，而時(shí)，不滿足成等比數(shù)列，所以，所以.（2）令，所以，兩式相減有：，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，即，又，所以，所以.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)（1）取的中點(diǎn)為，接，可證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量后可求夾角的余弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，故，故平面與平面夾角的余弦值為18．(1)(2)證明見(jiàn)解析（1）利用中點(diǎn)弦問(wèn)題求解即可；（2）利用韋達(dá)定理得到再根據(jù)斜率的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合韋達(dá)定理可證明.【詳解】（1）設(shè)，則有，且，作差可得，所以，由點(diǎn)斜式得，，整理得即為直線的方程.（2）

不妨設(shè)的直線方程為，聯(lián)立，消去整理得，由韋達(dá)定理得，所以，因?yàn)?，所以為定?19．（1）；（2）方案二更實(shí)惠．（1）分三種情況討論：①裝入兩件甲品牌；②裝入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用壽命為個(gè)月；③裝入兩件乙品牌，且兩件的使用壽命均為個(gè)月.分別計(jì)算出各種情況下對(duì)應(yīng)事件的概率，利用互斥事件的概率加法公式可求得結(jié)果；（2）若采用方案一，設(shè)電動(dòng)機(jī)可工作時(shí)間為（單位：月），若采用方案二，設(shè)兩件乙品牌軸承的使用壽命之和為（單位：月），計(jì)算出、的值，設(shè)甲品牌軸承的使用壽命為（單位：月），此時(shí)電動(dòng)機(jī)可工作時(shí)間為（單位：月），計(jì)算出，然后比較和的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.【詳解】（1）電動(dòng)機(jī)工作時(shí)間不少于個(gè)月共有三種情況：①裝入兩件甲品牌，概率為；②裝入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使