2026屆高三年級(四調)考試

數學試題

齡注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上。

如考試時間為120分鐘，滿分150分

分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的。

1.如圖，全集U=(x,y)|x∈R,y∈R},集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x∈Z,y∈Z},B={(x,y)ly=

x+1},則圖中陰影部分表示的集合為

A.{(1,0),(0,0),(0,1)}B.{(-1,0),(0,0),(0,1)}

米

C.{(-1,0),(0,0),(0,-1)}D.{(1,0),(0,0),(0,—1)}

2.已知數列{an}的前n項之積是首項為2,公差為3的等差數列，則a?=

C

A.4B.3(D

3.已知函數若,則

批A.-9ln3B.91n3C.-271n3D.271n3

4.若函數f(x)=cos2wx+2sinwxcoswx-sin2wx的最小正周期為2,則正實數w=

拓

ABC.πD.2π

布5.記向量a=(1,2),b=(0,1),設甲：向量a與向量a+xb的夾角為銳角，

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知函數f(x)的定義域為R,且滿足f(-x)+f(x)=0,f(x+2)+f(x)=0,當x∈[-2,0]時，

f(x)=-x2—2x,則當x∈[4,6]時，函數f(x)的最大值為

齡A.2B.1C.-1D.0

第1頁(共4頁)

7.某個圓錐容器的軸截面是邊長為4的等邊三角形，一個表面積為的小球在該容器內自由運動，則

小球能接觸到的圓錐容器內壁總面積為

A.4πB.5πC.6πD.7π

8.若不等式)對正實數x恒成立，則的最大值為

ABCD.1

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知復數z?=1-2i在復平面內的對應點為A,復數z?在復平面內的對應點為B,且AB=(3,3),則

下列結論正確的是

A.z?=5B.z?的共軛復數是一2+i

C.5z?—2z?=-3—12iD.復數z?z?在復平面內的對應點位于第四象限

10.在正四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，AA?=2AB=2,E是CC?的中點，則下列結論正確的是

A.AC//平面A?C?D

B.B?E⊥平面ABE

11.已知函數f(x)=x3+ax2+ax+1,則下列說法正確的是

A.當a=3時，f(x)有兩個零點

B.當a=-3時，曲線y=f(x)關于點(1,—4)對稱

C.當a=0時，若過點(m,n)可以作曲線y=f(x)-x-1的三條切線，則|m+n|<|m3|

D.存在a使得方程f(x)=2x2有三個不等的實根x?,x2,x?(x?<x?<x?),且x?+x?=x?

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知x+y=3(x>0,y>0),則的最小值為

13.在△ABC中，已知,BC,AC邊上的兩條中線分別為AM,BN.若AM⊥BN,則

一

14.若函數有且僅有兩個零點，則實數a的取值范圍為

第2頁(共4頁)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2b—c=2acosC.

(1)求角A;

(2)若a=4,△ABC的面積為2√3,求△ABC的周長.

16.(15分)已知正項數列{an}滿足a?=1.

(1)若數列{an}是等比數列，前n項和為S,且S?=7,求數列{an}的通項公式；

(2)若anan+1=4”,求數列{an}的前2n項和.

17.(15分)已知函數,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線與直線x-4y+4=0

平行.

(1)求實數a的值；

(2)求函數(f'(x)為f(x)的導數)的零點個數；

(3)求證：當x≥1時，xf(x)—e?-x+e≤0恒成立.

第3頁(共4頁)

18.(17分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AB,AB//CD,AB⊥BC,E為AP的中點，PA=AB=

BC=2,CD=CE=3,點F在線段CD上.

(1)證明：PA⊥平面ABCD;

(2)已知E,A,B,C四點均在球O的球面上，

①證明：C,E,O三點共線；

②若直線OF與平面PBD所成角的正弦值為,求線段DF的長度.世

世

臨

團

19.(17分)已知函數f(x)=ax2—xlnx(a∈R).

(1)當a=0時，求函數f(x)的極值；拼

(2)當x>1時，恒成立，求實數a的取值范圍；

(3)證明：

畑兇

駕

臨

第4頁(共4頁)

2026屆高三年級(四調)考試

數學參考答案及評分意見

1.D【解析】集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x∈Z,y∈Z}={(1,0),(0,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)},

圖中陰影部分表示的集合為A∩(CUB)={(1,0),(0,0),(0,—1)}.故選D.

2.C【解析】由題意得a?a?a?…a,=2+(n-1)·3=3n-1,所以.故選C.

3.C【解析】因為,所以a=1.所以

,其最小正周

期解得.故選B.

5.A【解析】由題意得a+xb=(1,2+x),

充分性：若a與a+xb的夾角為銳角，則a·(a+xb)>0,且1×(2+x)-1×2≠0,

即2x+5>0且x≠0,解得,且x≠0,故充分性成立.

必要性：當x=0時，a與a+xb共線，故必要性不成立，故甲是乙的充分不必要條件.故選A.

6.D【解析】由題意得f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=-[一f(x)]=f(x),所以函數

f(x)的周期為4.由f(一x)+f(x)=0,得f(一x)=-f(x),所以f(x)是奇函數.又當x∈[-2,0]時，

f(x)=—x2—2x,所以當x∈[0,2]時，一x∈[-2,0],f(一x)=—(一x)2—2(一x)=-x2+2x,所以

f(x)=—f(-x)=x2—2x.所以當x∈[4,6]時，有f(x)=f(x-4)=(x-4)2—2(x—4)=x2一

10x+24.

二次函數y=x2—10x+24的圖象開口向上，在區(qū)間[4,6]上端點值均為0,最小值為一1,所以f(x)的最

大值為0.故選D.

7.B【解析】由題意得圓錐的高為2√3,底面半徑為2.因為小球表面積為,所以小球的半徑

則小球與側面可接觸的面積為4π,與底面可接觸的面積為π,總面積為5π.故選B.

8.A【解析】令,則.因為a>0,所以函數f(x)在(0,a)上單調遞減，在

(a,十∞)上單調遞增，所以f(x)min=f(a)=lna+1.

因為不等式)對Vx>0恒成立，所以lna+1≥2b,則

令,則

所以函數g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞)上單調遞減.所以故選A.

9.CD【解析】對于A,由題意得z?=3+3i+z?=3+3i+1-2i=4+i,故A錯誤；

對于B,z?=1—2i,其共軛復數為1+2i,故B錯誤；

數學答案第1頁(共6頁)

對于C,5z?-2z?=5×(1-2i)—2×(4+i)=-3—12i,故C正確；

對于D,z?·z?=(1-2i)×(4+i)=6-7i,在復平面內對應點(6,-7),在第四象限，故D正確.故選CD.

10.AB【解析】因為AC//A?C?,A?C?C平面A?C?D,AC平面A?C?D,

所以AC//平面A?C?D,故A正確.

因為E為CC?的中點，且CC?=AA?=2,BC=AB=1,所以

所以BE=√BC2+CE2=√2.同理，B?E=√B?C2+C?E2=√2,

在△BEB?中，BB?=AA?=2,所以BE2+B?E2=BB2,所以B?E⊥BE.

又AB⊥B?E,AB∩BE=B,所以B?E⊥平面ABE,故B正確.

由正四棱柱性質及線面角定義得，∠DBD?為BD?與底面ABCD所成的角，其正切值為√2,故C錯誤.

因為C?D?//平面ABE,所以

故D錯誤.故選AB.

11.BCD【解析】當a=3時，f(x)=(x+1)3只有一個零點，故A錯誤.

當a=-3時，f(x)=x3—3x2—3x+1=(x-1)[(x-1)2-6]-4,

f(x+1)+f(1-x)=x(x2—6)—4-x(x2—6)—4=-8,所以曲線y=f(x)關于點(1,—4)對稱，故B

正確.

當a=0時，曲線為y=x3-x,設切點為(xo,x3—xo),因為y'=3x2—1,

所以切線方程為y=(3x?—1)(x-xo)+x3—xo,代入點(m,n)得，2x3—3mx?+m+n=0.

記g(x)=2x3-3mx2+m+n,則函數g(x)有三個零點.g'(x)=6x(x-m),

當m=0時，g'(x)≥0,g(x)在R上單調遞增，g(x)只有一個零點，不符合題意.

當m>0時，g(x)在區(qū)間(一∞,0),(m,+∞)上單調遞增，在區(qū)間(0,m)上單調遞減，

若g(x)有三個零點，則即

當m<0時，g(x)在區(qū)間(一∞,m),(0,+∞)上單調遞增，在區(qū)間(m,0)上單調遞減，

若g(x)有三個零點，則即

綜上，|m+n|<|m3|,故C正確.

方程f(x)=2x2,即x3+(a—2)x2+ax+1=0,令a=0,得x3—2x2+1=0,

所以(x—1)(x2-x-1)=0,所以x?+x?=1.又因為x?=1,所以x?+x?=x?,故D正確.故選BCD.

12【解析】由題意得，

當且僅當,即時，等號成立.

13.【解析】設AB=a,AC=b,則

數學答案第2頁(共6頁)

因為AM⊥BN,所以AM·BN=0,所I

化簡得b2-a·b-2a2=0,即|

,解得(舍),所

14.(一∞,-2)U【解析】由題意得有兩個解.

設則直線y=a與函數g(x)的圖象有兩個交點.

由得

函數g(x)在(一∞,-1),上單調遞增，在上單調遞減.

作出函數g(x)的大致圖象如圖，其中

由圖可得，實數a的取值范圍

15.解：(1)由正弦定理得，2sinB—sinC=2sinAcosC2分

因為sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以2sinAcosC+2cosAsinC-sinC=2sinAcosC,

即2cosAsinC-sinC=0.

又sinC>0,所以2cosA-1=0,即.…………5分

又A∈(0,π),所以.………6分

,所以bc=8.…………………9分

由余弦定理得,即16=(b+c)2—3bc,即(b+c)2=16+24=40.……………12分

所以b+c=2√10,所以△ABC的周長為4+2√10.…………………13分

數學答案第3頁(共6頁)

16.解：(1)設數列{an}的公比為q,則q>0.

因為S?=a?+a?q+a?·q2=7,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍),所以q=2………………5分

所以an=a?·q”?1=2”-1………………………7分

(2)由題意得a?=1,a?az=4,所以az=4……………………9分

得…………11分

從而隔項成等比數列，Sz=S+S例………………………12分

數列{an}的前2n項和…15分

17.(1)解：f(x)的定義域為(0,十∞),………1分

因為曲線在(2,f(2))處的切線與直線x-4y+4=0平行，

所以,解得a=1……………………3分

(2)解：函數g(x)的定義域為(0,+∞),由(1)得

…………………4分

令h(x)=3x-3-x3(x>0),則h'(x)=3-3x2…………5分

令h'(x)>0,解得0<x<1,令h'(x)<0,解得x>1,

所以函數h(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞)上單調遞減………………6分

所以h(x)max=h(1)=-1.

所以g(x)<0恒成立，即函數g(x)無零點，即函數g(x)的零點個數為0………………8分

(3)證明：由(1)得,令m(x)=xf(x)一e?一x+e=xlnx-e?-x+e+1,

則m(x)的定義域為(0,+∞),m'(x)=Inx—e?……………9分

令φ(x)=m'(x)=Inx—e2,則…………10分

因為x≥1,所.則當x≥1時，φ'(x)<0恒成立…………12分

所以φ(x)即m'(x)在[1,+∞]上單調遞減………………13分

所以m'(x)≤m'(1)=-e<0,

所以m(x)在[1,+∞]上單調遞減…………14分

所以m(x)≤m(1)=0,即當x≥1時xf(x)—e-x+e≤0恒成立……15分

18.(1)證明：方法一：如圖，連接AC.因為AB⊥BC,AB=BC=2,所以AC=2√2.

因為PA=2,E為AP的中點，所以EA=1.

又因為CE=3,所以AC2+EA2=CE2,所以EA⊥AC,即PA⊥AC……3分

又PA⊥AB,AB∩AC=A,ABC平面ABCD,ACC平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD……………5分

數學答案第4頁(共6頁)

方法二：如圖，連接EB.因為PA⊥AB,所以EB2=EA2+AB2=5,

又BC=2,EC=3,則EB2+BC2=EC2,所以BE⊥BC……………………1分

又BC⊥AB,AB∩BE=B,ABC平面PAB,BEC平面PAB,

所以BC⊥平面PAB……………3分

又PAC平面PAB,所以PA⊥BC……………4分

又PA⊥AB,AB∩BC=B,ABC平面ABCD,BCC平面ABCD,

所以PA⊥平面ABCD…………………………5分

(2)①證明：如圖，以A為坐標原點，BC,AB,AP的正方向分別為x,y,z軸的正方向，

建立空間直角坐標系……………6分

則A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),D(2,-1,0)…………………7分

設O(xo,yo,zo),則OA=OB=OC=OE.

所以x?+y?+z?=x?+(y。-2)2+z2=(x?！?)2+(y。-2)2+z2=x?+y?+(zo-1)2………………9分

解得xo=yo=1,則,即O為CE的中點，

所以C,E,O三點共線……………………11分

②解：如圖，連接OF.不妨設F(2,λ,0),λ∈[-1,2],

則PB=(0,2,—2),BD=(2,-3,0)……………13分

設平面PBD的法向量為n=(x,y,z),

即可取n=(3,2,2)…………14分

記直線OF與平面PBD所成的角為θ,

……………16分

即λ2+8λ-9=0,解得λ=1或λ=-9(舍去),

所以DF=λ+1=2……………17分

19.(1)解：當a=0時，f(x)=-xlnx,x>0,f'(x)=-Inx—1……………1分