答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁江蘇省南京市江寧區(qū)2025-2026學(xué)年九年級上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2．下列方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（

）A． B． C． D．3．方程經(jīng)過配方法化為的形式，正確的是（

）A． B．C． D．4．若的半徑是3，點(diǎn)P在圓外，則的長可能是（

）A．4 B．3 C．2 D．15．如圖，為⊙O的直徑，弦，垂足為，，，則⊙O半徑為（

）A．3 B．4 C．5 D．無法確定6．關(guān)于x的一元二次方程一個實(shí)數(shù)根為2022，則方程一定有實(shí)數(shù)根（

）A．2022 B． C．?2022 D．?二、填空題7．方程的解為：．8．將方程化成一元二次方程的一般形式，得．9．已知，是一元二次方程的兩根，則．10．某地區(qū)新能源汽車保有量2023年底達(dá)到30萬輛，2025年底達(dá)到41萬輛．設(shè)該地區(qū)這兩年新能源汽車保有量的年平均增長率為，根據(jù)題意可列方程為．11．若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．12．如圖，在的內(nèi)接四邊形中，．若點(diǎn)在上，則的度數(shù)為°．13．如圖，在中，弦的長度是弦長度的兩倍，連接，，，，則．（填“”“”或“”）14．已知a，b，c是的三邊長，若一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則是三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）．15．已知是關(guān)于x的方程（a，b，c是有理數(shù)，）的一個根，則該方程的另一個根是．16．如圖，是⊙O的弦，點(diǎn)C在⊙O內(nèi)，，連接，若⊙O的半徑是4，則長的最小值為．三、解答題17．解方程：(1)．(2)．18．如圖，中，弦與相交于點(diǎn)E，，連接．求證：．

19．某小區(qū)有一塊長方形綠地，長為，寬為．為美化小區(qū)環(huán)境，現(xiàn)進(jìn)行如下改造，將綠地的長減少米，寬增加米，使改造后的面積比原來增加，求的值．20．如圖，，交于點(diǎn)C，D，是半徑，且于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)若，求的半徑．21．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論m取何值，方程總有兩個實(shí)數(shù)根；(2)若方程的一個實(shí)數(shù)根是另一個實(shí)數(shù)根的兩倍，求m的值．22．求證：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．已知：如圖，四邊形內(nèi)接于．求證：證明：作直徑．連接．所以．因?yàn)椋?/p>

①

）所以．同理．(1)證明過程中依據(jù)①是；(2)請給出另一種證明方法．23．商店購進(jìn)某種玩具的價格為30元．根據(jù)一段時間的市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，按銷售單價50元每件出售時，能賣600件，而銷售單價每漲價1元，銷售量就會減少10件．為獲得15000元的利潤，銷售單價應(yīng)為多少元?24．如圖，中，為的直徑，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．求證：；（用兩種不同方法證明）25．若關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0有兩個實(shí)數(shù)根，且其中一個根比另一個根大2，那么稱這樣的方程為“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的兩個根是x1＝0，x2＝﹣2，則方程x2+2x＝0是“隔根方程”．（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”嗎？判斷并說明理由；（2）若關(guān)于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值．26．如圖，內(nèi)接于，為直徑，D為的中點(diǎn)．僅用無刻度的直尺作圖．(1)在圖①中，作的平分線；(2)在圖②中，作的平分線．27．某某中學(xué)組織有關(guān)圓的學(xué)習(xí)活動，他們對阿基米德折弦定理進(jìn)行了深入研究．【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖．和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦）．，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．同學(xué)們正在討論如何證明該定理的正確性．他們想到用“截長法”進(jìn)行證明．下面是部分證明過程．請補(bǔ)充完整．證明：如圖，在上截取，連接、、和．是的中點(diǎn)．___________．又，，______________________．，又，___________．．即．【變式探究】如圖，若點(diǎn)是的中點(diǎn)．【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變．判斷、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【實(shí)踐應(yīng)用】如圖，是的直徑，點(diǎn)是圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一動點(diǎn)，且滿足．若，的半徑為．求的值．《江蘇省南京市江寧區(qū)2025-2026學(xué)年九年級上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題》參考答案題號123456答案DBAACD1．D【分析】此題主要考查一元二次方程的識別，解題的關(guān)鍵是熟知一元二次方程的定義；根據(jù)根據(jù)只含有一個未知數(shù)，且含未知數(shù)的最高項(xiàng)的次數(shù)為2的整式方程是一元二次方程進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是分式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D、僅含未知數(shù)，最高次數(shù)為2，且為整式方程，是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．B【分析】逐項(xiàng)解方程或求出根的判別式，根據(jù)判別式的符號即可得到結(jié)論．【詳解】解：A．∵，∴，∴，∴方程解為，故本選項(xiàng)不合題意；B．∵，∴，∴此方程沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)符合題意；C．，∵，∴此方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不合題意；D．，∵，∴此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系．3．A【分析】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．先將方程變形為，再兩邊同時加上1，利用完全平方公式進(jìn)行配方即可得．【詳解】解：，，，，故選：A．4．A【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)在圓外時，點(diǎn)與圓心的距離大于半徑即可確定．【詳解】解：的半徑是，點(diǎn)在圓外，∴的長大于3，∴的長可能是4．故選：A．5．C【分析】連接，由垂徑定理得，設(shè)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求解即可．【詳解】解：連接，∵為⊙O的直徑，弦，∴，設(shè)，則，∴，解得，∴⊙O半徑為5．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂徑定理和勾股定理，解題關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．6．D【分析】將2022代入方程得，兩邊同時除以得：，即，所以一定有實(shí)數(shù)根．【詳解】解：∵2022是一元二次方程一個實(shí)數(shù)根，∴，兩邊同時除以得：，即：，∴一定有實(shí)數(shù)根．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根，解題的關(guān)鍵是理解一元二次方程根的定義，得到．7．，【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，理解因式分解法解方程的依據(jù)是關(guān)鍵．首先把方程移項(xiàng)，把方程的右邊變成0，然后對方程左邊分解因式，根據(jù)幾個因式的積是0，則這幾個因式中至少有一個是0，即可把方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程，從而求解．【詳解】解：移項(xiàng)得：，即，于是得：或，則方程的解為：，．故答案為：，．8．【分析】一元二次方程的一般形式是：(是常數(shù)且)據(jù)此，對原方程通過去括號、移項(xiàng)即可將原方程轉(zhuǎn)化為一般式方程．【詳解】解：移項(xiàng)得，，去括號得，，合并同類項(xiàng)得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．9．【分析】先將化為一般式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得和，最后代入即可求出代數(shù)式的值．【詳解】解：∵，∴，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)，是一元二次方程的兩根時，則：，．熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．【分析】本題考查了一元二次方程的增長率問題，結(jié)合2023年底達(dá)到30萬輛，2025年底達(dá)到41萬輛．設(shè)該地區(qū)這兩年新能源汽車保有量的年平均增長率為，列出方程，即可作答．【詳解】解：∵2023年底達(dá)到30萬輛，2025年底達(dá)到41萬輛．設(shè)該地區(qū)這兩年新能源汽車保有量的年平均增長率為，∴，故答案為：11．/【分析】根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根可得，解不等式即可．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴∴解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，熟練掌握判別式與根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．當(dāng)判別式時，一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)判別式時，一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)判別式時，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．12．/125度【分析】連接，先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計算出，然后再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得的度數(shù)．【詳解】解：連接，∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．13．【分析】本題考查垂徑定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系等，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，先根據(jù)垂徑定理證明，，根據(jù)等弧所對的圓心角相等可得，再證，可得，進(jìn)而推出．【詳解】解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．，，，又，，在中，，，，，即，故答案為：．14．銳角【分析】根據(jù)題意得到，然后求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根∴∴∴解得，∴是銳角三角形．故答案為：銳角．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式和三角形的分類，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的判別式．15．/【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次根式的混合計算，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，由a，b，c是有理數(shù)，，得到和都是有理數(shù)，則可設(shè)（n為有理數(shù)），求出，根據(jù)是有理數(shù)，且n是有理數(shù)，得到，即，據(jù)此可得答案．【詳解】解；設(shè)方程的兩一個根為m，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，∴，∵a，b，c是有理數(shù)，，∴和都是有理數(shù)，∴和都是有理數(shù)，∴可設(shè)（n為有理數(shù)），∴，∵是有理數(shù)，且n是有理數(shù)，∴，∴，∴，∴原方程的另一個根為，故答案為：．16．/【分析】延長交圓O于點(diǎn)D，連接，過O點(diǎn)作交于點(diǎn)E，則是等邊三角形，再確定點(diǎn)C在以E為圓心，為半徑的圓上，則的最小值為，再求解即可．【詳解】解：如圖，延長交圓O于點(diǎn)D，連接，過O點(diǎn)作交于點(diǎn)E，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴點(diǎn)C在以E為圓心，為半徑的圓上，在中，，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓中的最小距離問題，熟練掌握垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理，根據(jù)定角定弦確定點(diǎn)C的軌跡是解題的關(guān)鍵．17．(1)(2)【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用配方法進(jìn)行解方程，即可作答．（2）先移項(xiàng)，再運(yùn)用因式分解法進(jìn)行解方程，即可作答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴，解得．（2）解：∵，∴∴則解得18．見解析【分析】本題主要考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．解法一：由知，得，結(jié)合，可證，從而得出答案．解法二：證明，得，根據(jù)等角對等邊得．【詳解】證明：解法一：，，即，，，又，，．解法二：連接，

，，即，，，又，，，．19．或【分析】根據(jù)“改造后的面積比原來增加”，列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：由題意得，整理，得，

解得．答：的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．20．(1)見解析(2)5【分析】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等,掌握定理及性質(zhì)，能用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．（1）由垂徑定理得，由等腰三角形的性質(zhì)得，即可求證；（2）由勾股定理得，即可求解；【詳解】（1）證明：∵，是半徑，∴，∴∴（2）解：設(shè)的半徑是，如圖，連接，∵由垂徑定理得：，∵∴∴∴的半徑是5.21．(1)見詳解(2)或【分析】（1）根據(jù)即可證明；（2）根據(jù)公式法即可得，再根據(jù)方程的一個實(shí)數(shù)根是另一個實(shí)數(shù)根的兩倍即可求解；【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，∴無論m取何值，方程總有兩個實(shí)數(shù)根.（2）由題意，根據(jù)公式法得，，∴，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．22．(1)同圓中，同弧所對的圓周角相等(2)見解析【分析】（1）根據(jù)同圓中，同弧所對的圓周角相等，即可求解；（2）連接，根據(jù)圓周角定理可得，再由，可得，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于，可得，即可．【詳解】（1）解：證明過程中依據(jù)①是同圓中，同弧所對的圓周角相等；故答案為：同圓中，同弧所對的圓周角相等（2）證明：如圖，連接，∵，且，∴，∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握直徑所對的圓周角為直角、四邊形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．23．銷售單價應(yīng)為60元或80元【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意、適當(dāng)設(shè)元、找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解答此題的關(guān)鍵．可以設(shè)該玩具銷售單價應(yīng)為x元，然后分別根據(jù)題意列出一元二次方程求解得出答案．【詳解】解：設(shè)該玩具銷售單價應(yīng)為x元，根據(jù)題意，得，整理，得，，，．答：該玩具每件實(shí)際售價應(yīng)定為60元或80元．24．見解析【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，三角形中位線定理．方法一、連接，根據(jù)圓周角定理可知，根據(jù)可知是的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等可證結(jié)論成立；方法二，連接，可知是的中位線，可知，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，，可證結(jié)論成立．【詳解】方法一、證明：如下圖所示，連接，是的直徑，，，又，是的垂直平分線，；方法二：證明：如下圖所示，連接，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，，，，．25．（1）不是，理由見解析；（2）m＝0或m＝4．【分析】（1）不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的兩個根分別為x1＝5，x2＝﹣4，二者做差后可得出5﹣（﹣4）＝9≠2，進(jìn)而可得出方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的兩個根分別為x1＝﹣1，x2＝1﹣m，結(jié)合關(guān)于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，可得出關(guān)于m的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出m的值．【詳解】解：（1）不是，理由如下：∵x2﹣x﹣20＝0，即（x﹣5）（x+4）＝0，∴x1＝5，x2＝﹣4．∵5﹣（﹣4）＝9≠2，∴方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”．（2）∵x2+mx+m﹣1＝0，即（x+1）[x+（m﹣1）]＝0，∴x1＝﹣1，x2＝1﹣m．又∵關(guān)于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，∴|1﹣m﹣（﹣1）|＝2，解得：m＝0或m＝4．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，“隔根方程”的定義