2025年大學(xué)《物理學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——力學(xué)定理與形態(tài)變形分析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、試用牛頓運(yùn)動(dòng)定律證明開(kāi)普勒第三定律：行星繞中心天體做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，中心天體位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，行星與中心天體的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等。請(qǐng)推導(dǎo)出半長(zhǎng)軸a和公轉(zhuǎn)周期T的關(guān)系式。二、質(zhì)量為m的小球自高度h處以初速度v?水平拋出，不計(jì)空氣阻力。求小球在任意時(shí)刻t的動(dòng)能；小球落地時(shí)速度的大小和方向（用速度與水平方向的夾角θ表示）。三、一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均勻細(xì)桿，可繞其一端O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)使其從水平位置由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，求桿轉(zhuǎn)到與水平方向成θ角時(shí)：(1)桿的角速度；(2)桿的角加速度；(3)此時(shí)桿受到的力矩。四、質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)圓盤，可繞通過(guò)其中心O并垂直于盤面的固定水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m的粘性小球，以速度v?沿與盤面相切的方向飛向圓盤，并粘附在圓盤邊緣。設(shè)圓盤最初處于靜止?fàn)顟B(tài)。求：(1)小球粘附后，圓盤和小球的共同角速度；(2)系統(tǒng)在此過(guò)程中機(jī)械能的損失。五、一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)、楊氏模量為E、橫截面積為A的均勻細(xì)桿，豎直懸掛。求由于自身重量引起的桿的伸長(zhǎng)量。六、一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)、抗彎剛度為EI（E為楊氏模量，I為截面慣性矩）的均勻細(xì)長(zhǎng)梁，放置在水平面上，其一端固定，另一端自由。在自由端作用一個(gè)垂直于梁軸線的集中力F。求：(1)梁自由端的撓度（向下位移）；(2)梁中點(diǎn)的撓度。七、一個(gè)水平放置的圓形薄壁容器，半徑為R，繞通過(guò)其中心且垂直于環(huán)面的軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。容器內(nèi)壁貼附著一層厚度為h的粘性流體。求：(1)距離轉(zhuǎn)軸r處（r<R）流體內(nèi)一點(diǎn)的壓強(qiáng)梯度；（2）為使流體不發(fā)生相對(duì)流動(dòng)，容器內(nèi)壁給予流體的附著力沿徑向的分布規(guī)律。八、一個(gè)質(zhì)量為m、半徑為R的勻質(zhì)球體，位于一個(gè)光滑的水平面上，并以速度v?開(kāi)始沿直線純滾動(dòng)。求球體在水平面上滾動(dòng)一定距離s后：(1)球體的動(dòng)能；(2)球體克服滾動(dòng)摩擦力所做的功（設(shè)滾動(dòng)摩擦因數(shù)為μ_k）。試卷答案一、證明：對(duì)質(zhì)量為m的行星，受到中心天體的引力為F=-GMm/r2，其中M為中心天體質(zhì)量，r為行星到中心天體的距離。設(shè)行星在軌道上的位置矢量為r，速度為v，角動(dòng)量為L(zhǎng)=mr×v。由牛頓第二定律，F(xiàn)=m(r×a)，其中a為行星的加速度。將引力表達(dá)式代入，得-GMm/r2=m(r×a)。由于a=(dr/dt)×v+r×(dv/dt)，且v=(dr/dt)，上式可寫(xiě)為-GMm/r2=m[d(r×v)/dt-r×(dr/dt)×v]/dt=m[d(r×v)/dt-r×(v×r)/dt]/dt=m[d(r×v)/dt]。因此，d(r×v)/dt=0，即r×v=L為常矢量，表明行星與中心天體的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積（dA/dt=|r×v|/2）相等。由質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量定理，M_O=dL/dt=0，M_O=r×F=r×(-GMm/r2)=-GMm(r×r)/r3=0，說(shuō)明角動(dòng)量守恒。根據(jù)角動(dòng)量守恒L=mr2ω（ω為角速度），有mr2ω=常量。在橢圓軌道上，設(shè)半長(zhǎng)軸為a，半短軸為b，在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，r分別取r_p=a(1-e)和r_a=a(1+e)，其中e為偏心率。由于ω=v/r，v=√(GMm/r)，代入角動(dòng)量表達(dá)式得mr_p2√(GMm/r_p)=mr_a2√(GMm/r_a)，化簡(jiǎn)得r_p√r_a=r_a√r_p，即r_p=(1-e)r_a。代入r_p=a(1-e)和r_a=a(1+e)，解得r_a=a(1+e)=2a(1-e)/(1+e)。將此關(guān)系代入角動(dòng)量守恒式mr_p2ω_p=mr_a2ω_a，得m[a(1-e)]2ω_p=ma(1+e)2ω_a?；?jiǎn)并利用ω_p=v_p/r_p和ω_a=v_a/r_a，得[a(1-e)√(GMm/r_p)]2/[a(1+e)√(GMm/r_a)]2=(r_a/r_p)2=[(1+e)/(1-e)]2。最終得到a3ω_p2/GM=a3ω_a2/GM，即a3/T_p2=a3/T_a2，結(jié)合周期T=2π/ω，得到a3/T2=常量。其中T_p和T_a分別為近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)處的周期，由于軌道周期僅取決于半長(zhǎng)軸a，得開(kāi)普勒第三定律：T2∝a3。二、解析思路：將小球的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向。水平方向：做勻速直線運(yùn)動(dòng)。豎直方向：做自由落體運(yùn)動(dòng)。由水平方向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程v_x=v?，x=v?t。由豎直方向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程y=h-?gt2，v_y=gt。動(dòng)能T=?mv_x2+?mv_y2=?m(v?2+(gt)2)。落地時(shí)，y=0，t=√(2h/g)。速度v=√(v_x2+v_y2)=√(v?2+(g√(2h/g))2)=√(v?2+2gh)。速度方向與水平方向的夾角θ滿足tanθ=v_y/v_x=gt/v?=g√(2h/g)/v?=√(2gh)/v?。因此，θ=arctan(√(2gh)/v?)。三、解析思路：取桿為研究對(duì)象，桿受重力mg（作用點(diǎn)在質(zhì)心，離O點(diǎn)L/2處）、固定軸O的約束反力Fx和Fy。桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω，角加速度為α。對(duì)O點(diǎn)使用質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定軸的角動(dòng)量定理：M_O=dL_O/dt=I_Oα。其中L_O=I_Oω，I_O為桿對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。勻質(zhì)細(xì)桿對(duì)一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I_O=(1/3)mL2。M_O是所有外力對(duì)O點(diǎn)的力矩之和。M_gravity=mg(L/2)sinθ。M_O=M_gravity+M_Fx+M_Fy=mg(L/2)sinθ+Fx(0)+Fy(L)=mg(L/2)sinθ+0+FyL。α=dω/dt。代入角動(dòng)量定理：mg(L/2)sinθ+FyL=(1/3)mL2(dω/dt)。(1)桿轉(zhuǎn)到與水平方向成θ角時(shí)，設(shè)角速度為ω。由機(jī)械能守恒（以O(shè)點(diǎn)為參考系，桿的勢(shì)能相對(duì)O點(diǎn)）：初始狀態(tài)（水平位置，θ=0）E_i=?I_Oω?2+mg(L/2)cos0°=?(1/3)mL2(0)2+mg(L/2)=mgL/2。末狀態(tài)（θ角）E_f=?I_Oω2+mg(L/2)cosθ=?(1/3)mL2ω2+mg(L/2)cosθ。由于初始角速度為0，ω?=0。由E_i=E_f，mgL/2=?(1/3)mL2ω2+mg(L/2)cosθ。解得ω2=3g(1-cosθ)/L，ω=√[3g(1-cosθ)/L]。(2)桿的角加速度α=dω/dt=d/dt[√[3g(1-cosθ)/L]]=(1/2)*(3g/L)*(1/√[1-cosθ])*d(1-cosθ)/dt=(3g/2L)*(1/√[1-cosθ])*sinθ*dθ/dt=(3g/2L)*(sinθ/√[1-cosθ])*ω。將ω=√[3g(1-cosθ)/L]代入上式，α=(3g/2L)*(sinθ/√[1-cosθ])*√[3g(1-cosθ)/L]=(3g/2L)*(sinθ*√3g*√(1-cosθ)/(1-cosθ))*√L/√L=(3√3g2/2L2)*(sinθ/√(1-cosθ))。(3)力矩M_O=I_Oα=(1/3)mL2*(3√3g2/2L2)*(sinθ/√(1-cosθ))=(√3/6)mgL2(sinθ/√(1-cosθ))。四、解析思路：對(duì)小球和圓盤組成的系統(tǒng)，在粘附過(guò)程中，水平方向不受外力，角動(dòng)量守恒。對(duì)圓盤中心O點(diǎn)（固定轉(zhuǎn)軸），外力矩（來(lái)自固定軸的反作用力）不為零，但系統(tǒng)角動(dòng)量的變化只與粘附瞬間的角動(dòng)量有關(guān)。設(shè)共同角速度為ω'。系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的初始角動(dòng)量L_i=mRv?-0(圓盤初始角動(dòng)量為零)。系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的質(zhì)量分布不變，粘附后對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I_f=I盤+I小球=(1/2)MR2+mR2。系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的最終角動(dòng)量L_f=I_fω'。由角動(dòng)量守恒L_i=L_f，mRv?=[(1/2)MR2+mR2]ω'。解得ω'=mv?/[(1/2)M+m]R=2mv?/(M+2m)。(1)系統(tǒng)在此過(guò)程中機(jī)械能不守恒，因?yàn)檎掣绞欠菑椥耘鲎?，存在能量損失。初始動(dòng)能E_i=?mv?2。粘附后系統(tǒng)（圓盤和小球同軸轉(zhuǎn)動(dòng)）的動(dòng)能E_f=?I_fω'2=?[(1/2)MR2+mR2]ω'2。代入ω'，E_f=?[(1/2)MR2+mR2](mv?/[(1/2)M+m]R)2=[(1/4)MR2+mR2]m2v?2/[(1/2)M+m]2R2=[m2(1/4M+1)R2]/[(1/2)M+m]2。機(jī)械能損失ΔE=E_i-E_f=?mv?2-[(1/4)MR2+mR2]m2v?2/[(1/2)M+m]2R2=?mv?2[1-m(1/4M+1)R2/{(1/2)M+m}2R2]=?mv?2[1-m(1/4M+1)/{(1/2)M+m}2]=?mv?2[1-m/(2M+4m)]/[1+2m/(2M+4m)]2=?mv?2[(2M+4m-m)/(2M+4m)]/[(2M+4m)/(2M+4m)]2=?mv?2[(2M+3m)/(2M+4m)]/(2M+4m)2=(mv?2/2)*[(2M+3m)/(2M+4m)3]。五、解析思路：考慮桿上微元dx，其離固定端的距離為x，長(zhǎng)度為dx。微元所受重力為dF=(AxE(x))dx，其中A為橫截面積，E(x)為位置x處的楊氏模量（假設(shè)沿桿長(zhǎng)方向楊氏模量可能變化，若視為常量E(x)=E，則簡(jiǎn)化為E）。微元伸長(zhǎng)量為d(ΔL)=dF*(L-x)/(EA)。桿的總伸長(zhǎng)量ΔL=∫[0toL]d(ΔL)=∫[0toL](AxE(x))(L-x)/EAdx=(1/A)∫[0toL]xE(x)(L-x)dx。若楊氏模量E為常量，則ΔL=(E/A)∫[0toL]x(L-x)dx=(E/A)[Lx2/2-x3/3]from0toL=(E/A)[L3/2-L3/3]=(EAL3/6)。另一種常見(jiàn)簡(jiǎn)化模型是考慮桿的平均楊氏模量E_avg，或假設(shè)E(x)=E*(1+f(x))，其中f(x)是小量，此時(shí)ΔL≈(1/A)∫[0toL]xE(L)(L-x)dx=E(L3/6A)。但最直接的模型是假設(shè)E為常量，得到ΔL=(1/A)∫[0toL]x(L-x)dx=L2/6?？紤]到細(xì)桿自身重量引起的伸長(zhǎng)，更精確的模型應(yīng)考慮軸力是變化的。取桿的任一截面，其下方部分對(duì)上方部分的作用力等于下方部分的重量。設(shè)軸力N(x)在距離固定端x處，N(x)=mg(L-x)。此軸力導(dǎo)致桿在x到x+dx段的伸長(zhǎng)為d(ΔL)=N(x)dx/(EA)=mg(L-x)dx/(EA)?？偵扉L(zhǎng)量ΔL=∫[0toL]d(ΔL)=∫[0toL]mg(L-x)/EAdx=(mg/AE)∫[0toL](L-x)dx=(mg/AE)[Lx-x2/2]from0toL=(mg/AE)[L2-L2/2]=mgL2/2AE。六、解析思路：取梁的自由端為坐標(biāo)原點(diǎn)O，梁軸線為x軸，向下為正。梁上微元dx，離O點(diǎn)距離為x，其受分布載荷q(x)=F/L。此微元左側(cè)梁段對(duì)右側(cè)微元的彎矩dM=-q(x)dx*x=-F/L*xdx。梁的彎曲微分方程為EI(d2y/dx2)=M(x)。對(duì)于自由端受集中力的簡(jiǎn)支梁，彎矩M(x)=-F(L-x)。但題目是固定一端，自由端受力，彎矩M(x)=-F(L-x)。代入微分方程：EI(d2y/dx2)=-F(L-x)。積分一次：EI(dy/dx)=-F(L-x)/2+C?。在固定端x=0，撓度y=0，但斜率dy/dx不一定為零（除非載荷作用點(diǎn)在固定端）。若假設(shè)固定端處斜率為零，dy/dx|_(x=0)=0，則C?=FL/2。此時(shí)EI(dy/dx)=-F(L-x)/2+FL/2=F(L/2-x/2)。再積分一次：EIy=-F(L/2)x+F(L/6)x2+C?。在固定端x=0，y=0，則C?=0。此時(shí)EIy=-F(L/2)x+F(L/6)x2。梁自由端的撓度y(L)=-F(L/2)L+F(L/6)L2=-FL2/2+FL2/6=-FL2/3。梁中點(diǎn)的撓度y(L/2)=-F(L/2)(L/2)+F(L/6)(L/2)2=-FL2/4+F(L2/24)=-FL2/4+FL2/24=-5FL2/24=-5FL2/12。七、解析思路：(1)對(duì)處于半徑為r的流體內(nèi)點(diǎn)，取一小體積元，其受到內(nèi)、外流體的壓力差產(chǎn)生了徑向運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。設(shè)該點(diǎn)處的壓強(qiáng)為p(r)，內(nèi)、外流體對(duì)該體積元的壓力分別為p(r)A和p(r+dr)A。壓強(qiáng)梯度為?p/?r?？紤]徑向平衡（忽略粘性力，只考慮壓力差），沿徑向的力平衡方程為F_radial=(p(r)A-p(r+dr)A)/dr=0。更精確地，考慮壓強(qiáng)變化，設(shè)壓強(qiáng)梯度為?p/?r，則dF=-A(?p/?r)dr。此力提供了使流體微元做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F_centrifugal=mω2r=(ρV)ω2r=(ρπr2h)ω2r=ρπhω2r3。其中ρ為流體密度，V為微元體積。平衡時(shí)dF=F_centrifugal，-A(?p/?r)dr=ρπr2hω2r3。A=πr2，代入得-πr2(?p/?r)dr=ρπr2hω2r3dr。消去πr2dr，得?p/?r=-ρhω2r2。(2)設(shè)容器內(nèi)壁給予流體的附著力為F_wall(r)，它必須與流體內(nèi)部的壓力差引起的徑向力平衡。由上面分析，流體內(nèi)部壓力差引起的徑向作用力為dF=-A(?p/?r)dr。因此，容器內(nèi)壁給予流體的附著力大小F_wall(r)=|dF|=A|?p/?r|dr=πr2|?p/?r|dr。將?p/?r=-ρhω2r2代入，F(xiàn)_wall(r)=πr2*ρhω2r2dr=ρhω2πr?dr。這個(gè)表達(dá)式描述了附著力沿徑向的分布規(guī)律，其大小與r?成正比。八、解析思路：純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)意味著瞬時(shí)角速度ω=v/R。設(shè)滾動(dòng)摩擦因數(shù)為