專題4.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式【七大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】 1【題型2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】 3【題型3求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和】 5【題型4等比數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題】 7【題型5等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用】 9【題型6等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】 12【題型7數(shù)列的求和】 15【知識(shí)點(diǎn)1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式】1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和公式為

=.2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系(1)當(dāng)q=1時(shí)，=是關(guān)于n的正比例函數(shù)，點(diǎn)(n,)是直線y=x上的一群孤立的點(diǎn).(2)當(dāng)q≠1時(shí)，=.記A=，則=+A是一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和.當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，y=是指數(shù)函數(shù)，此時(shí)，點(diǎn)(n,)是指數(shù)型函數(shù)y=+A圖象上的一群孤立的點(diǎn).3．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)已知等比數(shù)列{}的公比為q，前n項(xiàng)和為，則有如下性質(zhì)：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項(xiàng)，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項(xiàng)，則=q.【題型1求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】【例1】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則an＝（

）A．2n B．2n－1C．2n D．2n－1【變式1-1】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=13anA．a(chǎn)n=?C．a(chǎn)n=?【變式1-2】已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n+2A．39 B．2×310 C．3【變式1-3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和組成的數(shù)列Sn滿足S1=1，S2=5，A．a(chǎn)n=2C．a(chǎn)n=1,n=1【題型2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】【例2】已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an>0，若S6=10，A．90 B．135 C．150 D．180【變式2-1】設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S10S5A．32 B．154 C．21【變式2-2】已知等比數(shù)列an共有32項(xiàng)，其公比q=3，且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60，則數(shù)列an的所有項(xiàng)之和是（A．30 B．60 C．90 D．120【變式2-3】正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S30A．90 B．50C．40 D．30【題型3求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和】【例3】已知數(shù)列an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，a2=2，a4A．15 B．31 C．63 D．7【變式3-1】已知數(shù)列an滿足2an+1+an=0,a2A．43?(2C．43?(2【變式3-2】已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，若a3=16，且a2與a4A．2n+2?4 B．2n?2?1 C．【變式3-3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn，且滿足a1=3,a2k=8a2kA．42023?1 C．3×41012?9【題型4等比數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題】【例4】記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和．已知a1=?4,aA．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng) D．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)【變式4-1】記Sn為等比數(shù)列{?an}的前n項(xiàng)和.已知a1=8A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【變式4-2】已知無(wú)窮等比數(shù)列{?an}中a?1?=2，A．?dāng)?shù)列{Sn}是遞增數(shù)列 C．?dāng)?shù)列{Sn}存在最小項(xiàng) 【變式4-3】已知無(wú)窮等比數(shù)列an滿足?a2<a3<A．?dāng)?shù)列an為遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列aC．?dāng)?shù)列Sn有最小項(xiàng) D．?dāng)?shù)列S【題型5等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用】【例5】我國(guó)某西部地區(qū)要進(jìn)行沙漠治理，已知某年（第1年）年底該地區(qū)有土地1萬(wàn)平方千米，其中70%是沙漠.從第2年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造成綠洲，同時(shí)原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠.設(shè)綠洲面積為a1萬(wàn)平方千米，第(1)求數(shù)列an(2)至少經(jīng)過(guò)幾年，綠洲面積可超過(guò)60%（參考數(shù)據(jù)：lg【變式5-1】如圖，一個(gè)小球從10m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來(lái)高度的13

(1)小球第10次落地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程是多少米？(2)小球第幾次落地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程為53027【變式5-2】中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因?yàn)槟_痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了多少里？【變式5-3】小華計(jì)劃從今年4月開(kāi)始存錢(qián)買(mǎi)車(chē)，若他第一個(gè)月存10000元，以后每個(gè)月在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上增加20%.記小華第一個(gè)月（今年4月）存入的金額為a1元，小華第n個(gè)月當(dāng)月存入的金額為(1)求小華前3個(gè)月的總存款金額；(2)若小華想購(gòu)買(mǎi)的汽車(chē)售價(jià)為11萬(wàn)元，求小華至少要存幾個(gè)月錢(qián)才能全款購(gòu)買(mǎi)這輛汽車(chē).（取1.26【知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的求和】1．?dāng)?shù)列求和的常用方法(1)公式法求和

①直接用等差、等比數(shù)列的求和公式.

②掌握一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.(2)倒序相加法求和

如果一個(gè)數(shù)列{}中，與首、末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng),的和相等，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.(3)錯(cuò)位相減法求和

錯(cuò)位相減法求和適用于型數(shù)列，其中、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(4)裂項(xiàng)相消法求和

利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面剩兩項(xiàng)，再就是通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂項(xiàng)前后保持相等.【題型6等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】【例6】已知等差數(shù)列an滿足a2=4，2a4?a5=7(1)求an與b(2)設(shè)cn=anbn，求【變式6-1】等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(1)求an(2)設(shè)bn=2ann∈N【變式6-2】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1=1，公差為dd≠0，其前n項(xiàng)和為Sn，且a2,a5(1)求數(shù)列an(2)設(shè)An=a【變式6-3】已知數(shù)列an，bn滿足a1=b1=1,(1)若an為等比數(shù)列，其公比q=2，求T(2)an為等差數(shù)列，其公差d=1，證明：【題型7數(shù)列的求和】【例7】已知數(shù)列{an}中，a1=2，且n(n+1)(1)求數(shù)列{an(2)設(shè)bn=a1?a2【變式7-1】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=n2+n?2na【變式7-2】函數(shù)fx=lg20?10x1