專題4.4因式分解章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1因式分解的概念辨析】 1【題型2因式分解（提公因式與公式法綜合）】 1【題型3因式分解（十字相乘法】 2【題型4因式分解（分組分解法）】 2【題型5利用因式分解求值】 3【題型6利用因式分解解決新定義問題】 3【題型7利用因式分解解決整除問題】 4【題型8因式分解中的規(guī)律探究問題】 4【題型1因式分解的概念辨析】【例1】（2024八年級下·廣西貴港·期中）在將x2+mx+n因式分解時，小剛看錯了m的值，分解得(x?1)(x+6)；小芳看錯了n的值，分解得(x?2)(x+1)，那么原式x2+mx+n正確分解為.【變式1-1】（2024八年級下·廣東深圳·期中）下列從左到右的變形，是分解因式的是(

)A．4a2+2a=2aC．a(chǎn)+3a?3=a【變式1-2】（2024八年級下·山東煙臺·期中）若3x﹣1是多項式6x2+mx﹣1的一個因式，則m＝．【變式1-3】（2024八年級下·上海浦東新·期中）如果關(guān)于x的二次三項式x2?4x+m在實數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，那么m的值可以是【題型2因式分解（提公因式與公式法綜合）】【例2】（2024八年級下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中）因式分解a2x?2ax+x?x【變式2-1】（2024八年級下·四川眉山·期中）下列因式分解不正確的是（

）A．3B．?4C．xD．a(chǎn)【變式2-2】（2024八年級下·四川眉山·期中）因式分解：(1)?10xy(2)a3【變式2-3】（2024八年級下·廣東茂名·階段練習）小林是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：x?1，a?b，3，x2+1，a，x+1分別對應(yīng)六個字：國，愛，我，數(shù)，學，祖，現(xiàn)將A．我愛數(shù)學 B．愛祖國 C．祖國數(shù)學 D．我愛祖國【題型3因式分解（十字相乘法】【例3】（2024八年級下·北京東城·期中）利用整式的乘法運算法則推導得出：ax+bcx+d=acx2+ad+bcx+bd．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得acx2+ad+bcx+bd=ax+bcx+d．通過觀察可把acx2+ad+bcx+bd根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法分解因式：x2(2)用十字相乘法分解因式：6x(3)結(jié)合本題知識，分解因式：20(x+y)【變式3-1】（2024八年級下·上海靜安·期中）因式分解：x4?5【變式3-2】（2024八年級下·上海楊浦·期中）分解因式：x2【變式3-3】（2024八年級下·江蘇南通·期中）現(xiàn)有紙片：4張邊長為a的正方形，3張邊長為b的正方形（a<b），8張寬為a，長為b的長方形，用這15張紙片重新拼出一個長方形，那么該長方形較長的邊長為（

）A．2a+3b B．2a+b C．a(chǎn)+3b D．3a+2b【題型4因式分解（分組分解法）】【例4】（2024八年級下·安徽滁州·期中）典型例題學習：例題：把多項式x2解：x=x=x+yx?y+a=學以致用：(1)請仿照例題分解因式的方法，把多項式4a(2)請運用上述分解因式的方法，把多項式1+m+m1+m【變式4-1】（2024八年級下·上?！て谥校┮蚴椒纸猓?6?1【變式4-2】（2024八年級下·北京海淀·階段練習）分解因式：a4?4【變式4-3】（2024八年級下·上海·期中）多項式a2?b2+2a添加一個單項式后能用分組分解法進行因式分解．如果將a2和【題型5利用因式分解求值】【例5】（2024八年級下·山東淄博·期中）若m2=2n+2021，n2=2m+2021m≠n【變式5-1】（2024八年級下·湖南衡陽·期中）長方形的長和寬分別為a，b，若長方形的周長為16，面積為12，則a3b+ab【變式5-2】（2024八年級下·廣東肇慶·開學考試）若a?b=1，則代數(shù)式a2?b【變式5-3】（2024八年級下·福建寧德·階段練習）已知a2=a+1，b2=b+1，且a≠b，則【題型6利用因式分解解決新定義問題】【例6】（2024八年級下·福建廈門·期中）定義：關(guān)于x的多項式A和B，當x=m時，A的值記為a，當x=m?k時，B的值記為b，若存在整數(shù)k，對于任意的實數(shù)m，都有a=b，稱多項式B是多項式A的衍生多項式，稱k為衍生系數(shù)．例如：x?2是x的衍生多項式，衍生系數(shù)為?2，2x+2是2x的衍生多項式，衍生系數(shù)為1，x?12是x2的衍生多項式，衍生系數(shù)為2x+22是已知多項式2x2+bx+c(1)直接寫出a的值：a=；(2)是否存在整數(shù)k，使得c<0，若存在，求出k的取值范圍，若不存在，請說明理由．【變式6-1】（2024八年級下·河南南陽·期中）若定義一種運算：aΔb=a(1)計算：?xΔ(2)將（1）計算所得的多項式分解因式；(3)若x3【變式6-2】（2024八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）定義：如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)m，n的平方差，且m?n>1，則稱這個正整數(shù)為“方差優(yōu)數(shù)”，例如12=42?22，12就是一個“方差優(yōu)數(shù)”，可以利用【變式6-3】（2024八年級下·福建泉州·期中）定義：任意兩個數(shù)a、b，按規(guī)則c=a+1b+1運算得到一個新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為(1)若a=4，b=?2，求a、b的“和積數(shù)”c；(2)若ab=12，a2+b(3)已知a=x+1，且a、b的“和積數(shù)”c=x3+2x2【題型7利用因式分解解決整除問題】【例7】（2024·河北邯鄲·八年級期中）已知48?1=44+1A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除【變式7-1】（2024八年級下·山東煙臺·期中）32024?4×3A．7 B．8 C．10 D．11【變式7-2】（2024八年級下·陜西渭南·期中）利用因式分解說明：32022【變式7-3】（2024八年級下·山東威?！て谥校┮阎?64?1能被在10到20之間的兩個整數(shù)整除，則這兩個整數(shù)為【題型8因式分解中的規(guī)律探究問題】【例8】（2024八年級下·河南鄭州·階段練習）規(guī)律探索題：有一系列等式1×2×3×4+1=52×3×4×5+1=113×4×5×6+1=194×5×6×7+1=29(1)根據(jù)你的觀察，歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到：9×10×11×12+1=______；(2)試猜想：nn+1(3)試說明（2）中猜想的正確性．【變式8-1】（2024八年級下·廣東佛山·階段練習）在數(shù)的學習過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，比如：如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”，例如：12=42?22(1)40________“智慧數(shù)”，44________“智慧數(shù)”．（填“是”或“不是”）(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)是2n和2n+2（其中n取正整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“智慧數(shù)”是8的倍數(shù)嗎？為什么？(3)如圖，拼疊的正方形邊長是從2開始的連續(xù)偶數(shù)．…，按此規(guī)律拼疊到正方形ABCD，其邊長為200，求陰影部分的面積．【變式8-2】（2024八年級下·北京平谷·期中）通過一次數(shù)學活動我們發(fā)現(xiàn)，如果兩個兩位數(shù)的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字的和為10，那么這樣的兩位數(shù)相乘會有如下規(guī)律：24×26=52×58=84×86=這組計算蘊含著簡算規(guī)律：十位數(shù)字相同，個位數(shù)字和為10的兩個兩位數(shù)相乘，積的末兩位數(shù)是個位數(shù)字的乘積，前幾位是十位數(shù)字與十位數(shù)字加一的乘積．(1)若有兩個兩位數(shù)的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字的和為10的兩個數(shù)的乘積為4221，請你利用小組發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出這兩個數(shù)×；(2)若設(shè)這兩個兩位數(shù)相同的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字分別設(shè)為b、d，請你用學過的知識證明十位數(shù)字相同，個位數(shù)字的和為10的這樣的兩位數(shù)的乘積的一般規(guī)律．證明：ab=100=100∵b+d=，∴ab【變式8-3】（2024·安徽池州·八年級期中）【觀察思考】畢達哥拉斯常在沙灘上擺小石子表示數(shù)，產(chǎn)生了一系列的形數(shù)．如圖1，當小石子的數(shù)是1，3，6，…時，小石子能擺成三角形，這些數(shù)叫三角形數(shù)．如圖2，當小石子的數(shù)是1，4，9，…時，小石子能擺成正方形，這些數(shù)叫正方形數(shù)．【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）圖1中，第n個三角形數(shù)是______；圖2中，第n個正方形數(shù)是______；（請用含n的式子表示）【猜想驗證】（2）畢達哥拉斯進一步發(fā)現(xiàn)了三角形數(shù)和正方形數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系：1+3=4，6+10=16，請證明：任意兩個相鄰三角形數(shù)之和是正方形數(shù)．專題4.4因式分解章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1因式分解的概念辨析】 1【題型2因式分解（提公因式與公式法綜合）】 3【題型3因式分解（十字相乘法】 5【題型4因式分解（分組分解法）】 7【題型5利用因式分解求值】 9【題型6利用因式分解解決新定義問題】 12【題型7利用因式分解解決整除問題】 15【題型8因式分解中的規(guī)律探究問題】 17【題型1因式分解的概念辨析】【例1】（2024八年級下·廣西貴港·期中）在將x2+mx+n因式分解時，小剛看錯了m的值，分解得(x?1)(x+6)；小芳看錯了n的值，分解得(x?2)(x+1)，那么原式x2【答案】（x+2）（x?3）【分析】利用多項式乘多項式法則先算乘法，根據(jù)因式分解與乘法的關(guān)系及小剛、小明沒有看錯的值確定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可．【詳解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6，∵小剛看錯了m的值，∴n＝﹣6；（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，∵小芳看錯了n的值，∴m＝﹣1．∴x2+mx+n＝x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）．故答案為：（x﹣3）（x+2）．【點睛】本題考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根據(jù)乘法與因式分解的關(guān)系確定m、n的值是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2024八年級下·廣東深圳·期中）下列從左到右的變形，是分解因式的是(

)A．4a2+2a=2aC．a(chǎn)+3a?3=a【答案】A【分析】根據(jù)分解因式就是把一個多項式化為幾個整式的積的形式的定義判斷，利用排除法求解．【詳解】A、4aB、x2C、a+3a?3D、x2故選：A．【點睛】本題考查分解因式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握分解因式的定義．【變式1-2】（2024八年級下·山東煙臺·期中）若3x﹣1是多項式6x2+mx﹣1的一個因式，則m＝．【答案】1【分析】設(shè)多項式6x2+mx﹣1的另一個因式是ax+b，根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式的乘積的形式，計算對比得出答案．【詳解】解：設(shè)多項式6x2+mx﹣1的另一個因式是ax+b，∴3x?1ax+b∴3a=6，?b=?1，即a=2，b=1，∴m=3b?a=1，故答案為：1．【點睛】本題考查了因式分解的意義，利用整式的系數(shù)得出另一個因式是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2024八年級下·上海浦東新·期中）如果關(guān)于x的二次三項式x2?4x+m在實數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，那么m的值可以是【答案】5【分析】根據(jù)前兩項，此多項式如用十字相乘方法分解，m應(yīng)是3或-5；若用完全平方公式分解，m應(yīng)是4，若用提公因式法分解，m的值應(yīng)是0，排除3、-5、4、0的數(shù)即可.【詳解】當m=5時，原式為x2故答案為：5.【點睛】此題考查多項式的因式分解方法，熟記每種分解的因式的特點及所用因式分解的方法，掌握技巧才能熟練運用解題.【題型2因式分解（提公因式與公式法綜合）】【例2】（2024八年級下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中）因式分解a2x?2ax+x?x【答案】x【分析】本題主要考查因式分解，先提取公因式，再用完全平方公式和平方差公式分解因式．【詳解】解：a=x=x=x【變式2-1】（2024八年級下·四川眉山·期中）下列因式分解不正確的是（

）A．3B．?4C．xD．a(chǎn)【答案】C【分析】此題主要考查了提取公因式法以及公式法因式分解，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．利用提取公因式，公式法分解得到結(jié)果，即可做出判斷．【詳解】解：A.3aB.?4bC.x2D.a2故選：C．【變式2-2】（2024八年級下·四川眉山·期中）因式分解：(1)?10xy(2)a3【答案】(1)y(2)(a+b)【分析】本題考查的因式分解，熟知分組分解法與提取公因式法、公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．（1）先提取公因式，再利用完全平方公式進行因式分解即可；（2）利用分組分解法因式分解即可．【詳解】（1）解：?10x=y(?10xy+=y(5x?y)（2）解：a=(==(a+b)(=(a+b)【變式2-3】（2024八年級下·廣東茂名·階段練習）小林是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：x?1，a?b，3，x2+1，a，x+1分別對應(yīng)六個字：國，愛，我，數(shù)，學，祖，現(xiàn)將A．我愛數(shù)學 B．愛祖國 C．祖國數(shù)學 D．我愛祖國【答案】D【分析】將所給的多項式先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一個因式都不能再分解為止，從而結(jié)合密碼手冊即可得出答案．【詳解】解：∵3ax而3對應(yīng)的是我，x?1對應(yīng)的是國，x+1對應(yīng)的是祖，a?b對應(yīng)的是愛，∴結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是我愛祖國，故選：D．【點睛】本題考查了因式分解—綜合運用提公因式與公式法，先提取公因式，再利用平方差公式進行計算是解此題的關(guān)鍵．【題型3因式分解（十字相乘法】【例3】（2024八年級下·北京東城·期中）利用整式的乘法運算法則推導得出：ax+bcx+d=acx2+ad+bcx+bd．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得acx2+ad+bcx+bd=ax+bcx+d．通過觀察可把acx2+ad+bcx+bd根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法分解因式：x2(2)用十字相乘法分解因式：6x(3)結(jié)合本題知識，分解因式：20(x+y)【答案】(1)x?3(2)2x?3(3)4x+4y+3【分析】本題主要考查多項式乘多項式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識的掌握與運用．（1）利用十字相乘法進行求解即可；（2）利用十字相乘法進行求解即可；（3）先分組，再利用十字相乘法進行求解即可．【詳解】（1）解：x=x?3；（2）解：6=2x?3；（3）解：20==4x+4y+3．【變式3-1】（2024八年級下·上海靜安·期中）因式分解：x4?5【答案】x【分析】先運用十字相乘法進行因式分解，再運用平方差公式進行因式分解即可．【詳解】解：x==x故答案為：x2【點睛】本題主要考查了因式分解，掌握十字相乘法和公式法進行因式分解是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2024八年級下·上海楊浦·期中）分解因式：x2【答案】x?5【分析】本題考查了因式分解．設(shè)x2?3x=t，原式可分解得【詳解】解：設(shè)x2則原式=t==t?10∴x=x?5【變式3-3】（2024八年級下·江蘇南通·期中）現(xiàn)有紙片：4張邊長為a的正方形，3張邊長為b的正方形（a<b），8張寬為a，長為b的長方形，用這15張紙片重新拼出一個長方形，那么該長方形較長的邊長為（

）A．2a+3b B．2a+b C．a(chǎn)+3b D．3a+2b【答案】A【分析】先計算所拼成的長方形的面積（是一個多項式），再對面積進行因式分解，即可得出長方形的長和寬．【詳解】解：根據(jù)題意可得：拼成的長方形的面積=4a2+3b2+8ab，又∵4a2+3b2+8ab=（2a+b）（2a+3b），且b＜3b，∴那么該長方形較長的邊長為2a+3b．故選：A．【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用．能將所表示的長方形的面積進行因式分解是解決此題的關(guān)鍵．【題型4因式分解（分組分解法）】【例4】（2024八年級下·安徽滁州·期中）典型例題學習：例題：把多項式x2解：x=x=x+yx?y+a=學以致用：(1)請仿照例題分解因式的方法，把多項式4a(2)請運用上述分解因式的方法，把多項式1+m+m1+m【答案】(1)2a?b(2)1+m【分析】（1）將原式變形為4a（2）將原式逐一提取公因式1+m進行分解即可．【詳解】（1）解：原式===2a?b（2）解：原式=(1+m)+m(1+m)+m=(1+m)=……===1+m【點睛】此題考查了運用分組法進行因式分解的能力，關(guān)鍵是能結(jié)合題目，運用范例中的分組法進行因式分解．【變式4-1】（2024八年級下·上海·期中）因式分解：16?1【答案】4+【分析】本題考查的是利用分組分解法分解因式，先把后三項作為一組，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟練的分組是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：16?=16?==4+【變式4-2】（2024八年級下·北京海淀·階段練習）分解因式：a4?4【答案】(a?3)(a+1)(【分析】本題有a的四次項、a的三次項，a的二次項，有常數(shù)項，所以首要考慮的就是三一分組，前三項提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后還可以與第四項繼續(xù)利用平方差公式分解因式．【詳解】解：a=(=a=(=(a?3)(a+1)(故答案為：(a?3)(a+1)(a【點睛】本題考查了分組分解法，十字相乘法分解因式，難點是采用兩兩分組還是三一分組，要考慮分組后還能進行下一步分解，利用平方差公式分解后還要繼續(xù)利用十字相乘法分解因式，注意分解因式要徹底．【變式4-3】（2024八年級下·上?！て谥校┒囗検絘2?b2+2a添加一個單項式后能用分組分解法進行因式分解．如果將a2和【答案】1【分析】本題考查的是因式分解，掌握分組分解因式的方法是解本題的關(guān)鍵，先分解a2+2a得到分組后的公因式是【詳解】解：∵a2∴?b2必須與∴a==a=a==a+2故答案為：1【題型5利用因式分解求值】【例5】（2024八年級下·山東淄博·期中）若m2=2n+2021，n2=2m+2021m≠n【答案】-4042【分析】根據(jù)m2=2n+2021，n2=2m+2021m≠n，可得m2?2n=2021，n【詳解】解：∵m2=2n+2021，∴m2?2n=2021，n2∴m+nm?n∴m+n=?2，∴m==mm=2021m+2021n=2021m+n=2021×?2=?4042故答案為：-4042【點睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，根據(jù)題意得到m2?2n=2021，n2【變式5-1】（2024八年級下·湖南衡陽·期中）長方形的長和寬分別為a，b，若長方形的周長為16，面積為12，則a3b+ab【答案】480【分析】根據(jù)長方形的周長與面積公式確定出a+b與ab的值，原式分解后代入計算即可求出值．【詳解】解：∵長與寬分別為a、b的長方形，它的周長為16，面積為12，∴2a+b=16，整理得：a+b=8，ab=12，∴a=ab=ab=12×=480，故答案為：480．【點睛】此題考查了提公因式法，完全平方公式的變形應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法、正確變形是解本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2024八年級下·廣東肇慶·開學考試）若a?b=1，則代數(shù)式a2?b【答案】1【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，代數(shù)式求值，先把原式變形為(a+b)(a?b)?2b，再把a?b=1整體代入得到a+b?2b，即a?b，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵a?b=1，∴a故答案為：1．【變式5-3】（2024八年級下·福建寧德·階段練習）已知a2=a+1，b2=b+1，且a≠b，則【答案】7【分析】首先求出ab的值，再根據(jù)a4+b【詳解】解：a2=a+1①，b①?②，得a2(a+b)(a?b)?(a?b)=0，(a?b)(a+b?1)=0，因為a≠b，所以a+b?1=0，即a+b=1③，①+②，得a2a2+③平方，得a2+⑤?④，得2ab=?2，ab=?1，a===9?2=7．【點睛】本題主要考查因式分解的運用，求出ab的值是解答本題的關(guān)鍵．【題型6利用因式分解解決新定義問題】【例6】（2024八年級下·福建廈門·期中）定義：關(guān)于x的多項式A和B，當x=m時，A的值記為a，當x=m?k時，B的值記為b，若存在整數(shù)k，對于任意的實數(shù)m，都有a=b，稱多項式B是多項式A的衍生多項式，稱k為衍生系數(shù)．例如：x?2是x的衍生多項式，衍生系數(shù)為?2，2x+2是2x的衍生多項式，衍生系數(shù)為1，x?12是x2的衍生多項式，衍生系數(shù)為2x+22是已知多項式2x2+bx+c(1)直接寫出a的值：a=；(2)是否存在整數(shù)k，使得c<0，若存在，求出k的取值范圍，若不存在，請說明理由．【答案】(1)2(2)不存在整數(shù)k，使得c<0，理由見解析【分析】本題主要考查了新定義，因式分解，多項式的系數(shù)：（1）根據(jù)新定義可得2m（2）由（1）得：bm+c=?4k?4m+2k【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：2m即2m∴a=2；故答案為：2（2）解：不存在整數(shù)k，使得c<0，理由如下：由（1）得：2m即bm+c=?4k?4∴c=2k∴不存在整數(shù)k，使得c<0．【變式6-1】（2024八年級下·河南南陽·期中）若定義一種運算：aΔb=a(1)計算：?xΔ(2)將（1）計算所得的多項式分解因式；(3)若x3【答案】(1)?(2)?x(3)?2【分析】本題主要考查了新定義運算，整式混合運算，分解因式，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．（1）根據(jù)定義，列式進行計算即可；（2）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式；（3）將x3【詳解】（1）解：由題意，得：?x==?=?x（2）解：?=?x=?xx+1（3）解：∵x3∴x3∴?x【變式6-2】（2024八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）定義：如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)m，n的平方差，且m?n>1，則稱這個正整數(shù)為“方差優(yōu)數(shù)”，例如12=42?22，12就是一個“方差優(yōu)數(shù)”，可以利用【答案】32【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用和新定義下方差優(yōu)數(shù)的計算和分類，根據(jù)新定義m2?n2，可以分別列出【詳解】解：注意到m?n>1，知m?n≥2，∴m≥n+2．當m=n+2時，由（n+2）2當m=n+3時，由（n+3）2當m=n+4時，由（n+4）2當m=n+5時，由(n+5)2?n2當m=n+6時，由(n+6)2?n2當m=n+7時，由(n+7)2?n2當m=n+8時，由(n+8)2?n2綜上，將上述產(chǎn)生的方差優(yōu)數(shù)從小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，……故第10個方差優(yōu)數(shù)是32，故答案為：32．【變式6-3】（2024八年級下·福建泉州·期中）定義：任意兩個數(shù)a、b，按規(guī)則c=a+1b+1運算得到一個新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為(1)若a=4，b=?2，求a、b的“和積數(shù)”c；(2)若ab=12，a2+b(3)已知a=x+1，且a、b的“和積數(shù)”c=x3+2x2【答案】(1)?5；(2)c=92或(3)x=?2時，b為任意數(shù)；x≠?2時，b=x【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．（1）把a=4，b=?2，代入c中求值即可；（2）利用完全平方公式求出a2+b2，得到的（3）把a、c的值代入，化簡得x+2b+1=x+2x2【詳解】（1）由題意得，c=∴所求a、b的“和積數(shù)”c為?5；（2）由題意，c=a+1∵ab=12，∴a+b2∴a+b=±3，∴c=12+3+1=（3）由題意，c=a+1∵a=x+1，c=x∴x+2b+1①當x+2=0時，即x=?2時，x+2b+1=x+2此時，b為任意數(shù)；②當x+2≠0時，即x≠?2時，由x+2b+1b+1=x∴b=x綜上，x=?2時，b為任意數(shù)；x≠?2時，b=x【題型7利用因式分解解決整除問題】【例7】（2024·河北邯鄲·八年級期中）已知48?1=44+1A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除【答案】D【分析】本題考查了因式分解，根據(jù)平方差公式進行因式分解，即可求解．【詳解】解：48故選：D．【變式7-1】（2024八年級下·山東煙臺·期中）32024?4×3A．7 B．8 C．10 D．11【答案】A【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，巧妙的運用因式分解解答問題．32024?4×3【詳解】解：∵3∴3故選：A．【變式7-2】（2024八年級下·陜西渭南·期中）利用因式分解說明：32022【答案】見解析【分析】先提取公因式32022，再計算括號里的，得到32020×7【詳解】∵3====∴32022【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，觀察式子找到與21有關(guān)的式子是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2024八年級下·山東威?！て谥校┮阎?64?1能被在10到20之間的兩個整數(shù)整除，則這兩個整數(shù)為【答案】15和17【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，利用平方差公式分解因式即可求解．【詳解】解：∵2====∴這兩個整數(shù)為15和17．故答案為：15和17．【題型8因式分解中的規(guī)律探究問題】【例8】（2024八年級下·河南鄭州·階段練習）規(guī)律探索題：有一系列等式1×2×3×4+1=52×3×4×5+1=113×4×5×6+1=194×5×6×7+1=29(1)根據(jù)你的觀察，歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到：9×10×11×12+1=______；(2)試猜想：nn+1(3)試說明（2）中猜想的正確性．【答案】(1)11881(2)猜想：n(3)證明見解析【分析】本題主要考查的就是代數(shù)式的化簡與完全平方公式的應(yīng)用，解決這個問題的關(guān)鍵要能夠?qū)⑺蟮拇鷶?shù)式進行分組，然后利用整體思想和完全平方公式進行因式分解得出答案．因式分解的時候，我們一定要學會整體思想，這個是我們解決高次因式分解常用的方法．（1）根據(jù)題目中給出的幾個算式，將所求的式子轉(zhuǎn)化成92（2）根據(jù)（1）的具體運算，再猜想即可；（3）將原式重新分組轉(zhuǎn)化成nn+3n+1n+2+1，然后進行多項式乘法轉(zhuǎn)化為【詳解】（1）解：∵1×2×3×4+1=52×3×4×5+1=113×4×5×6+1=194×5×6×7+1=∴9×10×11×12+1===11881．故答案為：11881；（2）猜想：nn+1故答案為：n2（3）證明：n===n【變式8-1】（2024八年級下·廣東佛山·階段練習）在數(shù)的學習過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，比如：如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”，例如：12=42?22(1)40________“智慧數(shù)”，44________“智慧數(shù)”．（填“是”或“不是”）(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)是2n和2n+2（其中n取正整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“智慧數(shù)”是8的倍數(shù)嗎？為什么？(3)如圖，拼疊的正方形邊長是從2開始的連續(xù)偶數(shù)．…，按此規(guī)律拼疊到正方形ABCD，其邊長為200，求陰影部分的面積．【答案】(1)40不是“智慧數(shù)”，44是“智慧數(shù)”(2)由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“智慧數(shù)”不是8的倍數(shù)(3)20200【分析】（1）根據(jù)“智慧數(shù)”的定義進行判定；（2）根據(jù)新定義列代數(shù)式，再進行因式分解；（3）根據(jù)題意列代數(shù)式，再依據(jù)（2）的結(jié)論進行計算求解．【詳解】（1）解：∵11∴40不是“智慧數(shù)”，4