試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第17章因式分解——考點考題點點通學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A．B．C．D．2．若多項式因式分解的結(jié)果是，則的值分別為（）A． B．C． D．二、填空題3．若多項式有一個因式為，則的值為．三、單選題4．用提公因式法分解因式時，提取的公因式是（

）A． B． C． D．5．多項式與多項式的公因式是（

）A． B． C． D．四、填空題6．給出下列四組代數(shù)式：①和；②和；③和；④和．其中沒有公因式的一組是．（填序號）五、單選題7．下列因式分解正確的有（

）①；②；③；④．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個8．下列分解因式錯誤的是（

）A． B．C． D．9．已知實數(shù)a，b滿足，，則的值為（

）A．1 B．13 C．21 D．42六、填空題10．若多項式可以因式分解成，則的值是．七、解答題11．用提公因式法將下列各式分解因式．(1)；(2)．12．用“換元法”對多項式進行因式分解八、單選題13．在多項式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個14．下列各式中，不能用完全平方公式分解的個數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個15．下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．16．下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．17．對于任意整數(shù)，可得多項式的結(jié)論最為恰當(dāng)?shù)氖牵?/p>

）A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除九、填空題18．甲同學(xué)分解因式時看錯了9，分解結(jié)果為，則多項式分解因式的正確結(jié)果為．19．在對多項式進行因式分解時，我們可以把它先分組再分解：原式，這種方法叫做分組分解法．請你用以上方法，寫出多項式因式分解的結(jié)果為．20．將個數(shù)，，，排成兩行、兩列，兩邊各加一條豎直線記成，定義上述式子叫做階行列式．若，則的值是．21．轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要策略，可將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，達到化繁為簡、化難為易、化不熟悉為熟悉的目的．如圖，是兩個部分重合的等腰直角三角形，腰長分別為，，，陰影部分面積分別為，，則．22．已知，均為正整數(shù)，且，．若，則的值為．23．如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么我們稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”，如，，，因此，4，12，20這三個數(shù)都是“和諧數(shù)”．（1）當(dāng)時，；（2）不超過1010的所有“和諧數(shù)”之和為．十、解答題24．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)．25．分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．26．【閱讀材料】我們知道，多項式可以因式分解為．當(dāng)一個二次三項式（如）不是完全平方式時，我們可以采用下面的方法進行因式分解：．【解決問題】請仿照上面的方法，完成下列試題：(1)填空：①②＝．③④．(2)將下列各式因式分解：①；②．十一、填空題27．閱讀材料：將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．例如分解時，具體做法是先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)，這種方法稱為“十字相乘法”．這樣，我們可以得到：．利用材料中的十字相乘法，分解因式：．十二、解答題28．閱讀下列材料：將分解因式，我們可以按下面的方法解答：解：步驟：①豎分二次項與常數(shù)項：，．②交叉相乘，驗中項：．③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海覀儗⑦@種用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．試用上述方法分解因式：(1)；(2)；(3)．29．多項式乘法：，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”分解因式的公式．示例：分解因式．嘗試分解因式：(1)________；(2)________；(3)________．30．【閱讀與思考】：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式分解因式呢？我們已經(jīng)知道：．反過來，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項式的二次項的系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，并且把，，，如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即，把常數(shù)項也分解為兩個因數(shù)的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項的系數(shù)，于是就可以分解為．（1）請同學(xué)們認真觀察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________；【理解與應(yīng)用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：（2）①________；②________；【探究與拓展】①類比我們已經(jīng)知道：．反過來，就得到：．（3）請你仔細體會上述方法并嘗試下面進行分解因式：①________；②若、均為整數(shù)，且、滿足，求的值．十三、單選題31．已知，，則整式的值為（

）A． B． C． D．332．把分解因式的結(jié)果是（

）A． B．C． D．33．已知a，b為正整數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．28 B．43 C．76 D．78十四、填空題34．因式分解：．35．如果多項式能用分組分解法分解因式，則符合條件的，的一組整數(shù)值是．十五、解答題36．將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：（）．(1)分解因式：；(2)若，都是正整數(shù)且滿足，求的值；(3)若，為實數(shù)且滿足，整式，求整式的最小值。37．閱讀材料：某校“數(shù)學(xué)社團”活動中，研究發(fā)現(xiàn)常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如，細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為．將此種因式分解的方法叫做“分組分解法”．請在這種方法將下列多項式因式分解：(1)；(2)．十六、單選題38．對于算式，下列說法錯誤的是(

)A．能被2022整除 B．能被2023整除C．能被2024整除 D．能被2025整除39．已知，，，則代數(shù)式的值為（）A．5 B．6 C．3 D．8十七、填空題40．運用簡便方法計算：（1）；（2）．41．在算式：①，②，③中，計算結(jié)果與相同的是（填寫序號）．42．計算：．十八、解答題43．利用因式分解簡化運算：(1)；(2)．44．利用因式分解計算：(1)；(2)．45．利用因式分解進行簡便運算：（1）

（2）十九、單選題46．農(nóng)場里有一個長方形雞舍，長和寬分別為a，b，其周長為10，且，則雞舍的面積為（

）A．6 B．10 C．3 D．847．如圖，在邊長為的正方形紙片上剪去一個邊長為3的小正方形，剩余陰影部分剪拼成一個無縫的長方形，則長方形的一組鄰邊長分別是（

）A．和 B．和C．和 D．和48．已知兩塊邊長都為的大正方形，兩塊邊長都為的小正方形和五塊長、寬分別是的小長方形，按如圖所示的方式正好不重疊地拼成一個大長方形．已知圖中陰影部分四個正方形的面積之和為，每個小長方形的面積為，則拼成的大長方形周長為（

）A． B． C． D．二十、填空題49．小俊利用兩種不同的方法計算下面圖形的面積，并據(jù)此寫出了一個因式分解的等式，請結(jié)合圖形，幫助小俊補全因式分解：．50．如圖，甲、乙兩個農(nóng)民都有兩塊地，如圖所示．今年這兩個農(nóng)民決定共同投資搞飼養(yǎng)業(yè)，為此他們準(zhǔn)備將這四塊地換成一塊寬為米的地．為了使所換地的面積與原來地的總面積相等，交換之后地的長應(yīng)該是米；51．在學(xué)了因式分解知識后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進行如下探究活動：如圖，將兩張邊長為m的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面積（陰影部分）分別記為和，當(dāng)時，可得m與n的關(guān)系式為，則a的值為．二一、解答題52．閱讀材料：教科書中提到和這樣的式子叫做完全平方式．有些多項式不是完全平方式，我們可以通過添加項，湊成完全平方式，再減去這個添加項，使整個式子的值不變，這樣也可以將多項式進行分解因式，并解決一些最值等相關(guān)問題．例如：（1）分解因式：．；（2）求代數(shù)式的最小值．∵∴當(dāng)時，代數(shù)式有最小值-4．結(jié)合以上材料解決下列問題：(1)若二次三項式恰好是完全平方式，m的值是______；(2)將分解因式，并求當(dāng)x為何值時，該代數(shù)式有最小值？最小值是多少？(3)已知a，b，c是的三邊長，且滿足，求c的取值范圍．53．【問題情境】數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式，將一些多項式因式分解．例如：利用圖1可以得到．【解決問題】（1）請把表示圖2面積的多項式因式分解：______（直接列出等式即可）；（2）若，，求的值；【探索創(chuàng)新】（3）如圖3，有足夠數(shù)量的邊長分別為的正方形紙片和長為，寬為的長方形紙片，請利用這些紙片將多項式因式分解，并畫出圖形．54．如果關(guān)于某一字母的二次多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值、最小值等．例如：分解因式原式例如：求代數(shù)式的最小值．原式，當(dāng)時，有最小值，最小值是根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)分解因式：______求代數(shù)式的最小值為______；(2)若，當(dāng)______時，y有最______值填“大”或“小”，這個值是______；(3)當(dāng)a，b，c分別為的三邊長，且滿足時，求的周長．55．【閱讀材料】要將多項式分解因式，可以先把它的前兩項分成一組，再把它的后兩項分成一組，從而得到：，這時中又有公因式，于是可以提出，從而得到，因此有，這種方法稱為分組法．請回答下列問題：(1)【解決問題】因式分解：；(2)【拓展應(yīng)用】已知三角形的三邊長分別是，且滿足，試判斷這個三角形的形狀，并說明理由．二二、單選題56．小雯是一位密碼編譯愛好者，在她的密碼手冊中，有這樣一條信息：，，，，，分別對應(yīng)下列六個字：美、我、宣、漢、麗、愛．現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．宣漢美 B．愛宣漢 C．我愛宣漢 D．美麗宣漢二三、填空題57．把一段長的鐵絲分成兩段，將每一段都圍成一個最大的正方形，如果這兩個正方形的面積之差是，則這兩個正方形的邊長相差．58．某學(xué)校安排15名老師和一些學(xué)生參加團體操表演，所有師生恰好排列成矩形方陣，要求每一行都有且只有6名男學(xué)生，每一列都有且只有8名女學(xué)生，則此次團體操表演最多可以安排名男學(xué)生，此次團體操表演最少需要名學(xué)生．二四、解答題59．如圖，在一個大圓盤中鑲嵌著四個大小一樣的小圓盤，已知大、小圓盤的半徑都是整數(shù)，若陰影部分的面積為，請你求出大、小圓盤的半徑各是多少．二五、單選題60．若，，則，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．61．若為任意的整數(shù)，則代數(shù)式的值一定能（

）A．被7整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被5整除二六、填空題62．若一個四位數(shù)滿足①千位數(shù)字-百位數(shù)字后兩位數(shù)，則稱為“美妙數(shù)”．例如：，為“美妙數(shù)”．②7×（千位數(shù)字-百位數(shù)字）=后兩位數(shù)，則稱是“奇特數(shù)”．例如：．∴8521為“奇特數(shù)”．一個“美妙數(shù)”與一個“奇特數(shù)”的千位數(shù)字均為，百位數(shù)字均為，且這個“美妙數(shù)”比“奇特數(shù)”大14，則滿足條件的“美妙數(shù)”為．63．一個四位正整數(shù)，其各個位上數(shù)字均不相同且不為零．若其千位數(shù)字是十位數(shù)字的整數(shù)倍，百位數(shù)字是個位數(shù)字的整數(shù)倍，那么稱這個四位正整數(shù)叫“間倍數(shù)”，例如4621滿足，則4621是“間倍數(shù)”．最小的“間倍數(shù)”是；已知“間倍數(shù)”且均為整數(shù)，若無論兩位數(shù)ab是什么數(shù)，“間倍數(shù)”都能被3整除，當(dāng)時，符合題意的最小“間倍數(shù)”為．二七、解答題64．閱讀理解：求代數(shù)式的最小值．同學(xué)們經(jīng)過交流討論，最后總結(jié)出如下“配方法”：因為，所以．所以當(dāng)時，的值最小，最小值是1．所以的最小值是1．依據(jù)上述方法，解決下列問題(1)當(dāng)______時，有最小值是______．(2)多項式有最______(填“大”或“小”)值，該值為______．(3)已知，求的最值．65．我們把多項式及叫做完全平方式．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，它不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值、最小值等．例如：①分解因式；②求代數(shù)式的最小值：由可知，當(dāng)時，有最小值，最小值是．根據(jù)以上材料內(nèi)容，使用配方法解答下列問題．(1)分解因式：________．(2)當(dāng)為何值時，多項式有最小值？請求出這個最小值．66．完成如下項目式學(xué)習(xí)表：課題任務(wù)代數(shù)推理人員／日期七（4）班張瑾峣，李一飛，李遠航2025年6月3日觀察；．猜想比任意一個奇數(shù)大7的數(shù)與此奇數(shù)的平方差能被7整除．求索（1）______；論證（2）設(shè)奇數(shù)為（為整數(shù)），試說明比大7的數(shù)與的平方差能被7整除；延伸（3）比任意一個整數(shù)大7的數(shù)與此整數(shù)的平方差被14除的余數(shù)是幾？請說明理由．67．閱讀下面材料，在代數(shù)式中，我們把一個二次多項式化為一個完全平方式與一個常數(shù)的和的方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，它不僅可以將一個看似不能分解的多項式因式分解，還能求代數(shù)式最大值，最小值等問題．例如：求代數(shù)式：的最小值．解：原式，當(dāng)時，的值最小，最小值為0，，當(dāng)時，的值最小，最小值為1984，代數(shù)式：的最小值是1984．例如：分解因式：解：原式．(1)分解因式；(2)若，求的最大值；68．閱讀下面材料，完成問題：如果關(guān)于某個字母的二次三項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，能出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法在數(shù)學(xué)中是一種非常重要的方法，能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值、最小值等問題．例如：分解因式．例如：求代數(shù)式的最小值．原式原式∵∴當(dāng)時，有最小值，最小值為．根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問題：(1)分解因式：______________；(2)求代數(shù)式的最小值；(3)若和為三角形的兩條邊長，并且滿足，則_________．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《第17章因式分解——考點考題點點通》參考答案題號1245789131415答案BACBBCDCDD題號16173132333839464748答案DBCDCACAAD題號566061答案DBA1．B【分析】本題考查了因式分解的定義，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫作分解因式，結(jié)合因式分解的概念，逐個選項分析即可．【詳解】，屬于整式乘法不是因式分解，故選項不屬于；，符合因式分解的概念，故選項屬于；，不屬于因式分解，故選項不屬于；，選項錯誤，故選項不屬于．故答案選：．2．A【分析】本題考查的是根據(jù)因式分解的結(jié)果求解未知系數(shù)，根據(jù)多項式乘法展開后的對應(yīng)系數(shù)關(guān)系，建立方程求解即可.【詳解】解：多項式因式分解為，展開右邊得：，∴，，解得：，，故選：A．3．【分析】本題考查多項式的因式，解題的關(guān)鍵是掌握多項式乘多項式的運算方法．設(shè)另一個因式為，則，根據(jù)各項系數(shù)列式求出a和b的值．【詳解】解：設(shè)另一個因式為，則．∵，∴，，解得：．故答案為：34．C【分析】本題主要考查公因式，掌握公因式的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公因式的定義可求解．【詳解】解：用提公因式法分解因式時，提取的公因式是．故選C．5．B【分析】此題考查的是公因式的定義，對每個多項式先因式分解，然后即可選出有公因式的項．【詳解】解：∵，，∴多項式與多項式的公因式是，故選：B．6．②【分析】本題考查了公因式的概念，正確理解公因式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公因式的概念逐一判斷選項即可．【詳解】①和的公因式是，不符合題意；②和沒有公因式，符合題意；③和的公因式是，不符合題意；④和的公因式是5，不符合題意；故答案為：②．7．B【分析】本題考查的是因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵，根據(jù)因式分解的方法依次判斷即可．【詳解】解：①，故計算錯誤；②，故計算錯誤；③，正確；④，故計算錯誤；因式分解正確的是③，共1個，故選：B．8．C【分析】此題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．根據(jù)提公因式法因式分解的方法逐項求解判斷即可．【詳解】解：A、，正確，不符合題意；B、，正確，不符合題意；C、，原計算錯誤，符合題意；D、，正確，不符合題意．故選：C．9．D【分析】本題考查了因式分解，代數(shù)式求值．利用因式分解得到，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：∵，，∴．故選：D．10．3或【分析】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．直接利用提取公因式法分解因式進而得出答案．【詳解】解：∵可以因式分解成，∴，故，或，，則或．故答案為：3或．11．(1)(2)【分析】此題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．（1）利用提公因式法分解因式即可；（2）利用提公因式法分解因式即可．【詳解】（1）；（2）．12．【分析】本題考查了因式分解的方法和運用，解題關(guān)鍵是靈活運用換元法對較為復(fù)雜的多項式進行因式分解，達到去繁化簡的效果．用換元法設(shè)，代入多項式，整理后用提公因式法分解即可．【詳解】解：設(shè)，將代入中得：，原式．13．C【分析】本題考查了利用平方差公式分解因式，熟知平方差公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平方差公式的特征，即可求解．【詳解】解：①，不能應(yīng)用平方差公式分解；②，是平方和，不能應(yīng)用平方差分解；③，符合平方差的特征，可以應(yīng)用平方差分解；④，符合平方差的特征，可以應(yīng)用平方差分解；⑤，符合平方差的特征，可以應(yīng)用平方差分解；綜上所述：題中能用平方差公式分解的有③④⑤，共3個．故選：C．14．D【分析】利用完全平方公式判斷即可．【詳解】解：①，能用完全平方公式分解，不符合題意；②，不能用完全平方公式分解，符合題意；③，不能用完全平方公式分解，符合題意；④，不能用完全平方公式分解，符合題意；⑤，不能用完全平方公式分解，符合題意．綜上，不能用完全平方公式分解的是②③④⑤，共4個故選：D．【點睛】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．15．D【分析】本題考查的是利用公式法，十字乘法分解因式，掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)因式分解逐個判斷即可．【詳解】解：A．不能用完全平方式進行因式分解，故本選項不符合題意；B．，故本選項不符合題意；C．，故本選項不符合題意；D．，故本選項符合題意；故選：D．16．D【分析】本題考查了因式分解的相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是掌握提公因式法、平方差公式和完全平方公式．根據(jù)因式分解的方法，對每個選項逐一分析，判斷因式分解是否正確．【詳解】解：A、，而不是，所以該選項錯誤，不符合題意；B、根據(jù)平方差公式，而，與不相等，所以該選項錯誤，不符合題意；C、，但還可以繼續(xù)利用平方差公式分解，即，所以，該選項因式分解不徹底，錯誤，不符合題意；D、，分解正確且徹底，故D正確，符合題意．故選：D．17．B【分析】此題考查了完全平方公式，提取公因式進行因式分解．多項式利用完全平方公式計算，合并同類項進行化簡，然后提取公因式進行因式分解，即可做出判斷．【詳解】解：，無論為奇數(shù)或偶數(shù)，與必為一奇一偶，其乘積為偶數(shù)，故．該式恒為8的倍數(shù)，因此對任意整數(shù)，原式必被8整除．故選：B．18．【分析】本題考查因式分解和整式化簡之間的關(guān)系，牢記各自的特點并能靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．先根據(jù)分解因式時，甲看錯了9，分解結(jié)果為，求出，再分解因式即可．【詳解】解：∵分解因式時，甲看錯了9，分解結(jié)果為，∴在中，是正確的，∴．故答案為：．19．【分析】本題考查因式分解，利用分組分解法進行因式分解即可．【詳解】解：原式；故答案為：．20．【分析】本題主要考查了新定義，平方差公式和解一元一次方程，根據(jù)新定義得到方程，再根據(jù)完全平方公式，平方差公式去括號，然后合并同類項，進而解方程即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，解得故答案為：．21．7【分析】本題考查平方差公式分解因式，整體代入法的應(yīng)用，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．先用兩種方式表示中間白色的三角形的面積，再通過變形轉(zhuǎn)化為，整體代入求解即可．【詳解】∵兩個等腰直角三角形的腰長分別為，∴中間白色的三角形的面積，整理，得，∵，，∴，故答案為：7．22．或【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解二元一次方程組，代數(shù)式求值，由題意得，則有，然后通過的正整數(shù)因數(shù)對為和，列出方程組，然后解方程組，再代入求解即可，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵的正整數(shù)因數(shù)對為：和，∴或，解得：或，綜上所述，或，故答案為：或．23．14【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，正確理解“和諧數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可得，再由“和諧數(shù)”的定義得到，據(jù)此可得答案；（2）設(shè)兩個連續(xù)的偶數(shù)為（k為自然數(shù)），則可得，則“和諧數(shù)”一定是4的奇數(shù)倍，進而可得到不超過1010的所有“和諧數(shù)”一共有個，據(jù)此求和即可．【詳解】解：（1）∵，∴，又∵，∴，故答案為：14；（2）設(shè)兩個連續(xù)的偶數(shù)為（k為自然數(shù)），∴，∵k為自然數(shù)，∴一定時大于0的奇數(shù)，∴“和諧數(shù)”一定是4的奇數(shù)倍，∵，∴不超過1010的所有“和諧數(shù)”一共有個，∴不超過1010的所有“和諧數(shù)”之和為，故答案為：．24．(1)(2)(3)【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法，是解題的關(guān)鍵：（1）先提公因式，再利用平方差公式法進行因式分解即可；（2）先提公因式，再利用完全平方公式進行因式分解即可；（3）先用平方差公式再利用完全平方公式進行因式分解?！驹斀狻浚?）解：原式；（2）原式．（3）原式．25．(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．（1）先提公因式，再用平方差公式進行因式分解；（2）先用平方差公式再用完全平方公式進行因式分解；（3）先添括號分組，再把前兩項用平方差公式分解因式，最后再提公因式；（4）先用完全平方公式，再提公因式進行因式分解．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．26．(1)①1；②1；③9；④9(2)①；②【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．（1）仿照閱讀材料，運用配方法（加上一次項系數(shù)一半的平方，再減去該值）將二次三項式轉(zhuǎn)化為完全平方式與常數(shù)的差，再利用平方差公式因式分解．（2）①仿照閱讀材料，運用配方法給加上4再減去4，將轉(zhuǎn)化為與1的差，再利用平方差公式因式分解．②仿照閱讀材料，運用配方法將轉(zhuǎn)化為與4的差，再利用平方差公式因式分解．【詳解】（1）解：：配方法，加再減，即，分解得，所以①，②，：配方法，加再減，即，分解得，所以③，④．故答案為：①1；②1；③9；④9；（2）解：①原式=；②原式．27．【分析】本題考查了因式分解——十字相乘法．對于形如的多項式，進行因式分解時，關(guān)鍵是要找到兩個數(shù)，使這兩個數(shù)的乘積等于常數(shù)項，同時這兩個數(shù)的和恰好等于它的一次項系數(shù)．分解時要注意觀察、嘗試，并體會它的實質(zhì)是二項式乘法的逆過程．按照“十字相乘法”的步驟逐一分解即可．【詳解】解：先分解二次項系數(shù)：，再分解常數(shù)項：，交叉相乘，求代數(shù)和：，2等于一次項系數(shù)，如圖所示：∴，故答案為：．28．(1)(2)(3)【分析】本題考查因式分解—十字相乘法，（1）根據(jù)十字相乘法分解因式即可；（2）根據(jù)十字相乘法分解因式即可；（3）根據(jù)十字相乘法分解因式即可；理解閱讀材料，掌握十字相乘法的步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵常數(shù)項，一次項系數(shù)，∴；（2）∵常數(shù)項，一次項系數(shù)，∴；（3）①豎分二次項與常數(shù)項：，，②交叉相乘，驗中項：，③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海?9．(1)；(2)；(3)．【分析】本題主要考查了用十字相乘法因式分解，理解因式分解——十字相乘法的運算方法是解題的關(guān)鍵．（）仿照例題方法分解因式即可；（）仿照例題方法分解因式即可；（）把看成整體，然后仿照例題方法分解因式即可．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：，故答案為：；（3）解：，故答案為：．30．（1）；（2）①；②；（3）①；②【分析】本題考查十字相乘法進行因式分解，理解“十字相乘法”的內(nèi)涵是正確解答的關(guān)鍵．（1）利用如圖1、圖2，仿圖3的“十字”可以對進行因式分解；（2）①利用如圖1、圖2的“十字”可以對進行因式分解；②利用如圖1、圖2的“十字”可以對進行因式分解；（3）①利用題中的“十字”可以對多項式進行因式分解；②利用如圖4所示的“十字”可以對多項式進行因式分解為，然后結(jié)合有理數(shù)的乘法運算分析求解即可．【詳解】解：（1），∴，∴，故答案為：．（2）①∵∴；②∵∴，∴，故答案為：；（3）①根據(jù)題意得：∴，故答案為：；②，∴，∴，∵、均為整數(shù)，∴為奇數(shù)，不能為3的倍數(shù)，∴當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，符合題意；∴．31．C【分析】本題考查了因式分解和代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是對進行因式分解．由已知條件得到，將分解因式，再將，代入計算即可．【詳解】解：因為，，∴，將，代入得：，故選：C．32．D【分析】本題考查的是先分組，再利用提公因式與平方差公式分解因式，把原式分為兩組，再提取公因式，結(jié)合平方差公式分解因式即可.【詳解】解：；故選D33．C【分析】將利用分組分解法化為，再根據(jù)a，b為正整數(shù)，分類討論即可得到答案．【詳解】解：∵，∴∴∴，∵a，b為正整數(shù)，要使最大，則b的值應(yīng)比a大，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴的最大值為76，故選：C．【點睛】此題考查了分組分解法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于把等號左邊的式子化為乘積的形式．34．【分析】本題考查因式分解，利用分組分解法，進行因式分解即可．【詳解】解：；故答案為：35．，（答案不唯一）【分析】本題考查的是分組分解因式，公式法分解因式，如果多項式能用分組分解法分解因式，則前三項為完全平方公式，再與后一項組成平方差公式即可．【詳解】解：多項式能用分組分解法分解因式，∴多項式可以為：，則符合條件的一組整數(shù)值是，等．故答案為：，36．(1)(2)或(3)的最小值是【分析】本題考查了分組分解法進行因式分解，熟練掌握運用提公因式法以及公式法進行因式分解是解題的關(guān)鍵．（1）先分組，再運用提公因式法進行因式分解；（2）先將變形為，即，然后再解決本題．（3）先將變形為，再代入，然后進行變形，得到，最后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出的最小值．【詳解】（1）解：（2）解：∵∴∴∴，都是正整數(shù)，且、都是整數(shù)，或或或解得或其他兩種不符合，為正整數(shù)，舍去故：或；（3）由得代入，∵，∴，∴的最小值是．37．(1)(2)【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握分組分解法是解題的關(guān)鍵．（1）先把第一項和第二項提公因式，把第三項和第四項提公因式3，然后再運用一次提公因式進行因式分解，即可作答．（2）先把第一項和第二項用平方差公式分解因式，把第三項和第四項提公因式2，然后再運用一次提公因式進行因式分解，即可作答．【詳解】（1）解：．（2）解：．38．A【分析】本題考查了平方差公式因式分解，將原式分解因式，判斷各選項是否為因式的因數(shù)．【詳解】解：故選：A．39．C【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，掌握完全平方公式，把所求式子變形為含、、的形式是關(guān)鍵．由，，，得，，，將進行因式分解變形，即可得結(jié)論．【詳解】解：，，，，，，，故選：C．40．94002000【分析】此題主要考查利用因式分解簡化比較復(fù)雜的計算，此題分別利用了提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）分解因式，通過分解因式可以大大簡化計算過程，平時應(yīng)該多訓(xùn)練這方面的問題．（1）利用平方差公式分解因式即可簡化計算，從而求出結(jié)果；（2）先提公因式80，然后利用完全平方公式分解因式即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）；（2）

；故答案為：9400；2000．41．①②【分析】本題主要考查了根據(jù)平方差公式因式分解，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵；先分別根據(jù)平方差公式計算，再比較結(jié)果即可．【詳解】解：①；②；③；，所以計算結(jié)果與相同的是①②．故答案為：①②．42．【分析】本題考查了利用平方差分式分解因式，乘法運算律，解題關(guān)鍵是掌握平方差公式．先用平方差公式將每個因式拆成2個分?jǐn)?shù)的積，再利用乘法交換律與結(jié)合律求解．【詳解】解：，故答案為：．43．(1)0(2)20260【分析】此題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．（1）利用提公因式法分解因式即可；（2）利用提公因式法分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）．44．(1)22500(2)4【分析】本題考查的是利用完全平方公式進行簡便運算；（1）把原式化為，再進一步求解即可；（2）把原式化為，再進一步求解即可；【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．45．（1）2021；（2）40000【分析】（1）觀察式子，利用提公因式法進行求解；（2）根據(jù)式子的特點，利用完全平方公式進行求解．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)每個式子中的特點選擇適當(dāng)?shù)囊蚴椒纸獾姆椒ǎㄈ缣峁蚴椒?、公式法等），從而簡化計算?6．A【分析】本題考查了因式分解．根據(jù)題意得出，再得出，即可解答．【詳解】解：∵雞舍周長為10，∴，∵，即，∴，∴雞舍的面積為6，故選：A．47．A【分析】本題考查了列代數(shù)式、平方差公式的應(yīng)用，根據(jù)題意正確表示出圖形的面積是解題的關(guān)鍵．由題意得，陰影部分剪拼成的長方形面積為，根據(jù)圖形可知長方形的寬為，得出長方形的長，即可求解．【詳解】解：陰影部分剪拼成的長方形面積為，由圖可知，長方形的寬為，∴長方形的長為，∴長方形的一組鄰邊長分別是和．故選：A．48．D【分析】此題考查了完全平方公式的應(yīng)用．依題意得大長方形的周長為，由，得，再根據(jù)得，據(jù)此即可得出拼成的大長方形周長．【詳解】解：依題意得：大長方形的長為：，寬為，∴大長方形的周長為：，∵四個正方形的面積為，每個小長方形的面積為，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴拼成的大長方形周長為．故選：D．49．【分析】本題考查了因式分解與幾何圖形面積的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為圖形各部分面積的和，再通過整體觀察圖形的邊長得到因式分解的結(jié)果．長方形的面積長寬，所以【詳解】解：；故答案為：50．【分析】本題主要考查了整式的混合運算．利用4塊土地換成一塊土地后的面積與原來4塊土地的面積相等，而原來的4塊土地的總面積，則換成一塊土地后面積也為平方米，又因為此地的寬為米，根據(jù)矩形面積的公式得到此地的長為，再把整理變形后再進行除法運算即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵原來4塊地的總面積，∴將這4塊地換成一塊地后面積為平方米，而此地的寬為米，∴此地的長，故答案為：．51．【分析】根據(jù)正方形的面積，矩形的面積，等腰直角三角形的面積公式解答即可．本題考查了正方形的面積，矩形的面積，等腰直角三角形的面積，熟練掌握計算公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得，，且，又∵，故，解得．即a的值為．故答案為：．52．(1)(2)當(dāng)時，代數(shù)式有最小值．(3)【分析】此題考查了完全平方公式的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系等知識，熟練掌握完全平方公式分解因式是關(guān)鍵．（1）利用完全平方公式變形求值即可；（2）利用完全平方公式得到，根據(jù)即可求出答案；（3）原式變形為，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出答案．【詳解】（1）解：∵二次三項式恰好是完全平方式，∴，∴m的值是故答案為：（2）∵∴當(dāng)時，代數(shù)式有最小值．（3）∴則，∵∴∴∵a，b，c是的三邊長，∴即53．（1）（2）（3），作圖見詳解【分析】本題主要考查整式的混合運算與圖形面積的計算，理解圖示，掌握整式的混合運算是關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖示，運用整式混合運算計算面積即可；（2）根據(jù)（1）中的計算方法代入求解即可；（3）根據(jù)因式分解得到長方形的長和寬，由此作圖即可．【詳解】解：（1）根據(jù)圖示得到，；（2）根據(jù)（1）的計算得到，，∴；（3）∵，∴作圖為長為，寬為，如圖所示，54．(1)；(2)1；大；(3)【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用、非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方，解決本題的關(guān)鍵是運用因式分解進行解答．（1）按照配方法將式子進行因式分解；用配方法將式子寫成一個完全平方公式和一個常數(shù)的和，據(jù)此可得該式子有最小值．（2）將y進行因式分解，求出該式子有最大值，求出結(jié)果即可；（3）將題中式子進行因式分解，得到三個完全平方公式的和為0，根據(jù)完全平方公式的非負性，求出三條邊，然后求出周長．【詳解】（1）解：；，，當(dāng)時，有最小值，最小值是，故答案為：；；（2），，，，當(dāng)時，有最大值，最大值是，故答案為：1；大；．（3），即，即，所以，，，所以，，，∴，答：的周長是．55．(1)(2)等邊三角形，理由見解析【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，等邊三角形的判定，正確理解題意分組法進行因式分解即可解題．（1）根據(jù)分組法按步驟計算可得出；（2）把已知條件左邊利用分析法結(jié)合完全平方公式進行分解因式推出，進而根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)推出，由此可得結(jié)論．【詳解】（1）解：．（2）這個三角形是等邊三角形，理由如下：∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴這個三角形是等邊三角形．56．D【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用．先運用提公因式法，再運用公式法進行因式分解即可．【詳解】解：∵，∴結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是：美麗宣漢．故選：D．57．3【分析】本題考查平方差公式的實際應(yīng)用，設(shè)兩段鐵絲的長分別為，，，根據(jù)題意得，即，再根據(jù)這兩個正方形的面積之差是得，利用平方差公式求解即可．【詳解】解：設(shè)兩段鐵絲的長分別為，，，根據(jù)題意，得，∴，∵這兩個正方形的面積之差是，∴，∴，∴，∴，即這兩個正方形的邊長相差，故答案為：3．58．426206【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用．設(shè)矩形方陣為行列，則師生總數(shù)滿足，即，而，據(jù)此計算即可求解．【詳解】解：設(shè)矩形方陣為行列，∵每一行都有且只有6名男學(xué)生，每一列都有且只有8名女學(xué)生，且有15名老師，∴師生總數(shù)滿足，整理得，∵、都是正整數(shù)，，∵男生總數(shù)為，當(dāng)男生人數(shù)最多時，需要最大，此時，，解得，，∴，∴此次團體操表演最多可以安排426名男學(xué)生；當(dāng)，，解得，，∴，∴此次團體操表演最少需要206名學(xué)生；故答案為：426；206．59．大圓盤的半徑是，小圓盤的半徑是【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用．設(shè)大圓盤的半徑是，小圓盤的半徑是，根據(jù)“陰影部分的面積為，”可列出方程，然后因式分解可得，再由大、小圓盤的半徑都是整數(shù)，可得關(guān)于R，r的方程組，即可求解．【詳解】解：設(shè)大圓盤的半徑是，小圓盤的半徑是，根據(jù)題意得：，即，∴，∵大、小圓盤的半徑都是整數(shù)，∴均為整數(shù)，∴，解得：，即大圓盤的半徑是，小圓盤的半徑是．60．B【分析】此題主要考查了整式因式分解的應(yīng)用和大小比較的能力，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定解題方法，并能進行正確地變形、求解．運用作差法和因式分解進行比較即可．【詳解】解：∵，又∵，，∴，∴，故選：B．61．A【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，靈活應(yīng)用平方差公式進行因式分解成為解題的關(guān)鍵．先運用平方差公式進行因式分解，然后根據(jù)整除的定義即可解答．【詳解】解：，所以代數(shù)式的值一定能被7整除．故選A．62．或【分析】本題主要考查了新定義，解二元一次方程組，整式的加減運算，因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出代數(shù)式和方程．根據(jù)新定義表示出美妙數(shù)為，奇特數(shù)為，根據(jù)這個“美妙數(shù)”比“奇特數(shù)”大14，得到，因式分解得到，再分類討論列二元一次方程組求解即可．【詳解】解：∵一個“美妙數(shù)”與一個“奇特數(shù)”的千位數(shù)字均為，百位數(shù)字均為，∴后兩位數(shù)為，∴美妙數(shù)為：，奇特數(shù)為：，∵“美妙數(shù)”比“奇特數(shù)”大14，∴，整理得：，∴解得：（舍）或，解得：（舍）或，解得：；或，解得：∴這個美妙數(shù)為或故答案為：或．63