2025年大學(xué)《物理學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——物理學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的創(chuàng)意能力培養(yǎng)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、考慮一個(gè)由兩個(gè)相同質(zhì)量、半徑為R的均勻球體組成的系統(tǒng)，它們通過(guò)一條不可伸長(zhǎng)的輕繩連接，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)。系統(tǒng)繞通過(guò)兩球體連心線的垂直軸以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。請(qǐng)推導(dǎo)出系統(tǒng)繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)式。假設(shè)球體的密度均勻分布。二、一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在保守力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其勢(shì)能函數(shù)為U(x)=kx3，其中k為常量，x為質(zhì)點(diǎn)沿x軸的坐標(biāo)。請(qǐng)推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)在x=0位置附近的小幅振動(dòng)角頻率的表達(dá)式。三、考慮一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的情況，勢(shì)阱寬度為a。請(qǐng)推導(dǎo)在n=2譜態(tài)下，粒子位置概率密度函數(shù)隨時(shí)間變化的表達(dá)式。并解釋該表達(dá)式所蘊(yùn)含的物理意義。四、一束自然光入射到由折射率為n?和n?兩種介質(zhì)構(gòu)成的平板玻璃上。請(qǐng)推導(dǎo)反射光和折射光的強(qiáng)度表達(dá)式（分別用入射光強(qiáng)度I?表示）。假設(shè)入射角為θ?，反射角為θ?'，折射角為θ?。五、在一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的螺線管中，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間均勻變化，B(t)=B?+αt，其中B?和α為常量。請(qǐng)推導(dǎo)螺線管內(nèi)部產(chǎn)生的感生電場(chǎng)E的表達(dá)式（描述其大小和方向）。六、考慮一個(gè)由平行板電容器構(gòu)成的LC電路，電容器極板間距為d，極板面積為A，電介質(zhì)介電常數(shù)為ε。電感線圈的自感系數(shù)為L(zhǎng)。請(qǐng)推導(dǎo)該電路的諧振角頻率的表達(dá)式。七、一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，以速度v垂直進(jìn)入一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中。請(qǐng)推導(dǎo)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期表達(dá)式。八、簡(jiǎn)述熱力學(xué)第二定律的兩種典型表述（如開(kāi)爾文表述和克勞修斯表述），并解釋它們之間的等價(jià)性。請(qǐng)結(jié)合熵的概念，簡(jiǎn)要說(shuō)明熵增加原理的意義。九、在一個(gè)絕熱的封閉容器中，左側(cè)和右側(cè)分別裝有相同溫度、相同摩爾數(shù)的理想氣體A和氣體B。氣體A的摩爾定容熱容為C?A，氣體B的摩爾定容熱容為C?B(C?A≠C?B)。如果將一個(gè)可移動(dòng)的絕熱隔板從中間抽掉，請(qǐng)從能量守恒和熵增的角度，定性分析最終氣體的溫度和混合過(guò)程是否可逆。十、設(shè)想一個(gè)由兩塊平行金屬板構(gòu)成的裝置，它們之間充滿(mǎn)一種具有鐵磁性的材料。當(dāng)一塊金屬板固定，對(duì)另一塊金屬板施加一個(gè)緩慢變化的電壓時(shí)，請(qǐng)描述鐵磁性材料內(nèi)部發(fā)生的物理過(guò)程，并解釋這種現(xiàn)象可能的應(yīng)用（例如，在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)或傳感器中的應(yīng)用）。試卷答案一、取兩球體中心連線的中點(diǎn)為參考點(diǎn)，每個(gè)球體對(duì)該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I球=(2/5)MR2(使用球體繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式)。系統(tǒng)總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=2I球+2m(L/2)2(使用平行軸定理，每個(gè)球心到轉(zhuǎn)軸的距離為L(zhǎng)/2)。代入I球=(2/5)MR2，得到I=2[(2/5)MR2]+2m(L/2)2=(4/5)MR2+(1/2)mL2。二、質(zhì)點(diǎn)所受合力F=-dU/dx=-d(kx3)/dx=-3kx2。這是線性恢復(fù)力，形式上與F=-kx相似，其中k'=3k。根據(jù)牛頓第二定律F=ma=m(d2x/dt2)，得到m(d2x/dt2)=-3kx，即d2x/dt2+(3k/m)x=0。這是簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，角頻率ω=√(k'/m)=√(3k/m)。三、n=2譜態(tài)下，粒子波函數(shù)ψ?(x)=√(2/a)sin(πx/a)，其中0<x<a。根據(jù)量子力學(xué)，波函數(shù)隨時(shí)間演化的形式為ψ(x,t)=ψ(x)*e^(-iEt/?)?？偰芰縀?=(π2?2)/(2ma2)，所以ψ?(x,t)=√(2/a)sin(πx/a)*e^(-iE?t/?)=√(2/a)sin(πx/a)*e^(-i(π2?2t)/(2ma2))。位置概率密度函數(shù)P(x,t)=|ψ?(x,t)|2=|√(2/a)sin(πx/a)*e^(-iE?t/?)|2=(2/a)sin2(πx/a)*|e^(-iE?t/?)|2=(2/a)sin2(πx/a)*e^(iE?t/?)*e^(-iE?t/?)=(2/a)sin2(πx/a)。物理意義：在n=2譜態(tài)下，粒子位置概率密度函數(shù)隨時(shí)間t不變，仍為(2/a)sin2(πx/a)，但整個(gè)波包以速度v=?k/(2m)=(?π)/(ma)沿x軸傳播（相位因子e^(-iE?t/?)隨時(shí)間變化）。四、根據(jù)菲涅爾公式，自然光入射時(shí)光線分解為s分量和p分量。設(shè)s分量和p分量的入射光強(qiáng)度分別為I_s0和I_p0，I?=I_s0+I_p0。反射率R_s和R_p分別為s分量和p分量的反射率。反射光強(qiáng)度I_r=I_s0*R_s+I_p0*R_p=I?*(R_s+R_p)。折射光強(qiáng)度I_t=I_s0*(1-R_s)+I_p0*(1-R_p)=I?*(1-R_s-R_p)。根據(jù)折射定律和電磁理論，對(duì)于s分量，R_s=((n?*cosθ?)-(n?*cosθ?))/((n?*cosθ?)+(n?*cosθ?))^2，且cos2θ?=(n?/n?)^2*cos2θ?-(n?/n?)^2*sin2θ?=(n?/n?)^2-(n?/n?)^2*sin2θ?=(n?/n?)^2-(n?^2/n?^2)*cos2θ?=(n?^2-n?^2*cos2θ?)/(n?^2)=(n?^2*sin2θ?)/(n?^2)。代入R_s得R_s=((n?*cosθ?)-(n?*sqrt((n?^2*sin2θ?)/(n?^2))))/((n?*cosθ?)+(n?*sqrt((n?^2*sin2θ?)/(n?^2)))))^2=((n?*cosθ?)-(n?*sinθ?))/((n?*cosθ?)+(n?*sinθ?))^2=((n?(cosθ?-sinθ?))/(n?(cosθ?+sinθ?))^2=((cosθ?-sinθ?)/(cosθ?+sinθ?))^2。對(duì)于p分量，R_p=((n?*cosθ?)-(n?*cosθ?))/((n?*cosθ?)+(n?*cosθ?))^2，代入cos2θ?=(n?^2-n?^2*cos2θ?)/(n?^2)得R_p=((n?*sqrt((n?^2*sin2θ?)/(n?^2)))-(n?*cosθ?))/((n?*sqrt((n?^2*sin2θ?)/(n?^2)))+(n?*cosθ?))^2=((n?*sinθ?-n?*cosθ?)/(n?*sinθ?+n?*cosθ?))^2=((sinθ?-cosθ?)/(sinθ?+cosθ?))^2。由于(cosθ?-sinθ?)/(cosθ?+sinθ?)+(sinθ?-cosθ?)/(sinθ?+cosθ?)=0，故R_s+R_p=((cosθ?-sinθ?)/(cosθ?+sinθ?))^2+((sinθ?-cosθ?)/(sinθ?+cosθ?))^2=-2*(cosθ?-sinθ?)^2/(cosθ?+sinθ?)^2=-2*(cos2θ?-2cosθ?sinθ?+sin2θ?)/(cos2θ?+2cosθ?sinθ?+sin2θ?)=-2*(1-2sinθ?cosθ?)/(1+2sinθ?cosθ?)=-2*(1-sin(2θ?))/(1+sin(2θ?))。因此，I_r=I?*(-2*(1-sin(2θ?))/(1+sin(2θ?)))。I_t=I?*(1-R_s-R_p)=I?*(1-(-2*(1-sin(2θ?))/(1+sin(2θ?))))=I?*(1+2*(1-sin(2θ?))/(1+sin(2θ?)))=I?*((1+sin(2θ?))+2-2sin(2θ?))/(1+sin(2θ?))=I?*(3-sin(2θ?))/(1+sin(2θ?))。五、根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，閉合回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε=-dΦ_B/dt，其中Φ_B是穿過(guò)回路的磁通量。對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)螺線管內(nèi)部，磁感應(yīng)強(qiáng)度B垂直于回路平面，且在回路內(nèi)部均勻。設(shè)回路為半徑r的圓，則Φ_B=B*S=B*(πr2)。如果回路半徑r是固定的，則ε=-d(Bπr2)/dt=-πr2dB/dt=-πr2(B?+αt)'=-πr2α(因?yàn)锽?是常量)。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生感生電場(chǎng)E，根據(jù)有旋電場(chǎng)的性質(zhì)，沿閉合回路積分ε=∮E·dl=E*2πr(假設(shè)電場(chǎng)E在圓周上大小處處相等)。因此，E*2πr=-πr2α，解得E=-αr/2。負(fù)號(hào)表示E的方向與dB/dt的方向相反（根據(jù)楞次定律）。大小為E=αr/2，方向沿圓周切線方向，形成順時(shí)針（面對(duì)B減小的方向）的感生電場(chǎng)環(huán)流。六、電容器儲(chǔ)存的能量為U_C=(1/2)CV2，其中C是電容，V是電容器兩板間的電壓。電感線圈儲(chǔ)存的磁能為U_L=(1/2)LI2，其中L是自感系數(shù)，I是流過(guò)線圈的電流。在LC電路諧振狀態(tài)下，電場(chǎng)能和磁場(chǎng)能相互轉(zhuǎn)化，但總能量E=U_C+U_L保持不變。當(dāng)電容器放電時(shí)，電場(chǎng)能減少，磁場(chǎng)能增加；當(dāng)電感線圈釋放能量時(shí)，磁場(chǎng)能減少，電場(chǎng)能增加。設(shè)諧振角頻率為ω，電容器極板電壓為V_C(t)，流過(guò)電感的電流為I(t)。在任意時(shí)刻，滿(mǎn)足U_C+U_L=E常數(shù)。取能量守恒關(guān)系d(U_C)/dt+d(U_L)/dt=0。dU_C/dt=C(dV_C/dt)*(-I)=-CV_C(dI/dt)(電流I是電容器極板電荷Q的變化率，即I=dQ/dt=C(dV_C/dt)，所以dU_C/dt=C(dV_C/dt)*(-dV_C/dt)/C=-CV_C(dV_C/dt)2/C=-CV_C(dV_C/dt)*I)。dU_L/dt=L(dI/dt)*I。因此，-CV_C(dI/dt)+LI(dI/dt)=0。整理得L(dI/dt)=CV_C(dI/dt)。由于ω=dI/dt/I，所以ω=1/√(LC)。七、帶電粒子進(jìn)入均勻磁場(chǎng)后，受到洛倫茲力F=q(v×B)的作用。由于v垂直于B，所以F=qvB，大小不變，方向始終垂直于速度v。洛倫茲力提供向心力F=ma=mv2/r。因此，qvB=mv2/r。軌道半徑r=mv/qB。粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T是粒子完成一周所需的時(shí)間，T=路程/速率=2πr/v。代入r=mv/qB，得到T=2π(mv/qB)/v=2πm/qB。八、熱力學(xué)第二定律的兩種典型表述：1.開(kāi)爾文表述：不可能從單一熱源吸熱，使之完全變?yōu)橛杏玫墓?，而不產(chǎn)生其他影響（或：第二類(lèi)永動(dòng)機(jī)不可能制成）。這里的“單一熱源”是指溫度均勻且恒定的高溫?zé)嵩?，“不產(chǎn)生其他影響”是指除了功的輸出之外，系統(tǒng)及周?chē)h(huán)境均恢復(fù)原狀。2.克勞修斯表述：熱量不能自動(dòng)地從低溫物體傳到高溫物體。這里的“自動(dòng)地”是指不借助外界做功。等價(jià)性：可以從克勞修斯表述推導(dǎo)出開(kāi)爾文表述，反之亦然。例如，假設(shè)存在一臺(tái)第二類(lèi)永動(dòng)機(jī)（違反開(kāi)爾文表述），它能從單一熱源吸熱Q_H并完全轉(zhuǎn)化為功W，而不產(chǎn)生其他影響。我們可以利用這臺(tái)永動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)一臺(tái)卡諾熱機(jī)，使卡諾熱機(jī)從高溫?zé)嵩次鼰酫_H'，對(duì)外做功W'=W，向低溫?zé)嵩捶艧酫_C'=Q_H'-W'=Q_H'-W=0。這樣，總的效果就是熱量Q_H'從低溫?zé)嵩磦鞯搅烁邷責(zé)嵩矗覜](méi)有其他影響（永動(dòng)機(jī)恢復(fù)原狀，卡諾熱機(jī)恢復(fù)原狀），這違反了克勞修斯表述。反之，如果存在熱量自動(dòng)從低溫物體傳到高溫物體的過(guò)程（違反克勞修斯表述），我們可以設(shè)想一個(gè)循環(huán)，使熱量從低溫物體自動(dòng)傳到高溫物體，同時(shí)對(duì)外做功，這就相當(dāng)于制造了第二類(lèi)永動(dòng)機(jī)，違反開(kāi)爾文表述。熵增加原理的意義：熵是描述系統(tǒng)混亂程度或無(wú)序程度的物理量。熱力學(xué)第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為dS≥Q/T，其中dS是系統(tǒng)熵的變化，Q是系統(tǒng)吸收的熱量，T是系統(tǒng)的溫度。對(duì)于孤立系統(tǒng)（與外界無(wú)能量和物質(zhì)交換），dS≥0。這表明孤立系統(tǒng)的熵永不減少，宏觀過(guò)程總是朝著熵增加的方向進(jìn)行。熵增加原理揭示了自然界宏觀過(guò)程的方向性和不可逆性。九、將絕熱隔板抽掉后，氣體A和氣體B將混合。由于容器絕熱，系統(tǒng)與外界無(wú)熱量交換（Q=0）。由于隔板是可移動(dòng)的絕熱板，在混合過(guò)程中，兩部分氣體之間可能發(fā)生能量交換（但不與外界交換），但這屬于系統(tǒng)內(nèi)部的過(guò)程，不影響系統(tǒng)整體的絕熱條件。混合過(guò)程是自發(fā)的，表明過(guò)程是不可逆的。從能量守恒角度看，混合前后系統(tǒng)的總內(nèi)能不變（E_initial=E_final）。從熵增角度看，兩個(gè)不同溫度的氣體混合，分子的無(wú)序程度增加，系統(tǒng)的總熵會(huì)增加（ΔS_total>0）。根據(jù)熱力學(xué)第二定律，孤立系統(tǒng)（或絕熱系統(tǒng)）的自發(fā)過(guò)程總是朝著總熵增加的方向進(jìn)行。因此，混合過(guò)程是不可逆的。最終，由于氣體分子不斷碰撞和混合，兩部分氣體會(huì)達(dá)到熱平衡，溫度變?yōu)門(mén)_final。由于兩部分氣體初始溫度不同（設(shè)T_A0≠T_B0），且摩爾數(shù)相同，最終溫度T_final必然介于T_A0和T_B0之間（T_final=(T_A0+T_B0)/2，如果氣體為理想氣體且混合前后體積不變）。能量守恒保證了總內(nèi)能守恒，熵增原理保證了過(guò)程的自發(fā)性和不可逆性。十、當(dāng)一塊金屬板固定，對(duì)另一塊金屬板施加一個(gè)緩慢變化的電壓時(shí)，兩塊金屬板之間會(huì)產(chǎn)生一個(gè)隨時(shí)間緩慢變化的電場(chǎng)E(t)。這個(gè)變化的電場(chǎng)E(t)會(huì)穿透鐵磁性材料，并在其中激發(fā)出感生磁場(chǎng)B_ind(t)。根據(jù)電磁感應(yīng)定律，變化的磁場(chǎng)B_ind(t)