專題8.3圓的方程（舉一反三講義）

【全國(guó)通用】

【題型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程】...................................................................................................................3

【題型2由圓的方程確定圓心和半徑】...................................................................................................................4

【題型3二元二次方程表示圓的條件】...................................................................................................................4

【題型4圓過定點(diǎn)問題】...........................................................................................................................................5

【題型5判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】...........................................................................................................................5

【題型6與圓有關(guān)的軌跡問題】...............................................................................................................................6

【題型7圓系方程】...................................................................................................................................................6

【題型8定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值（范圍）】...............................................................................................................7

1、圓的方程

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年全國(guó)乙卷（文數(shù)）：第

11題，5分從近幾年的高考情況來(lái)看，高考對(duì)

(1)理解確定圓的幾何要素，在

2023年上海卷：第7題，5分圓的方程的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、

平面直角坐標(biāo)系中，掌握?qǐng)A的

2024年北京卷：第3題，4分填空題的形式考查，難度不大；有時(shí)也

標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

2024年天津卷：第12題，5會(huì)與距離公式、圓錐曲線等結(jié)合考查，

(2)能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)

分復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般

單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題

2025年全國(guó)一卷：第7題，5方程的求法，學(xué)會(huì)靈活求解.

分

知識(shí)點(diǎn)1圓的定義和圓的方程

1．圓的定義

圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑).

圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.

2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程(r>0)叫作以點(diǎn)(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此在一

般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3．圓的一般方程

(1)方程叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此在

一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.

下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn)；

②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線方程，

求待定系數(shù)D，E，F(xiàn).

4．二元二次方程與圓的方程

(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程，對(duì)比圓的一般方程

，我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的

方程.

(2)二元二次方程表示圓的條件：

二元二次方程表示圓的條件是.

5．圓的參數(shù)方程

圓(r>0)的參數(shù)方程為，其中為參數(shù).

6．求圓的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.

(2)待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值.

知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.

(2)圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為

.平面內(nèi)一點(diǎn).

判斷方法

位置關(guān)系

幾何法代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程)代數(shù)法(一般方程)

222

點(diǎn)在圓上|MA|=r(x0-a)+(y0-b)=r

222

點(diǎn)在圓內(nèi)|MA|<r(x0-a)+(y0-b)<r

222

點(diǎn)在圓外|MA|>r(x0-a)+(y0-b)>r

知識(shí)點(diǎn)3軌跡方程

1．軌跡方程

求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量

x,y之間的方程.

(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如

圓)時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法(或稱相關(guān)點(diǎn)法).

(2)求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分"軌跡"與"軌跡方程"；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等.

2．求軌跡方程的步驟：

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示軌跡(曲線)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)列出關(guān)于x,y的方程；

(3)把方程化為最簡(jiǎn)形式；

(4)除去方程中的瑕點(diǎn)(即不符合題意的點(diǎn))；

(5)作答.

【方法技巧與總結(jié)】

1．以A(x1,y1)，B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為.

2．圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.

3．圓心在任一弦的垂直平分線上.

【題型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程】

【例1】（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）下列方程中表示圓心在直線上，半徑為，且過原點(diǎn)的圓的是（）

A．B．?=?2

2222

C．(??1)+(??1)=2D．(??1)+(?+1)=2

2222

【變式1-(1?】?（12)4-2+5(高?+二1上)·河=南2洛陽(yáng)·期中）已知(??1，)+(?，?1)=2，則的外接圓方程為（）

A．B．?0,0?4,3?1,?3△???

2222

C．?+??4??3?=0D．?+???+3?=0

2222

【變式1-?2】+（?20?255·?吉?林5長(zhǎng)?春=·0三模）經(jīng)過，?+??，7?+?三=個(gè)0點(diǎn)的圓的方程為（）

?1,1??1,1?0,2

A．B．

2222

C．?+1+??1=2D．??1+??1=2

2222

【變式1-?3】+（2?0?251·海南=·1模擬預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)中國(guó)?古+典?園+林1建筑=中1常見的圓形過徑門，已知該門的最高點(diǎn)

到地面的距離為米，門在地面處的寬度為米.現(xiàn)將其截面圖放置在直角坐標(biāo)系中，以地面所在的直

線為軸，過圓心4的豎直直線為軸，則門的輪4廓所在圓的方程為（）???

??

A．B．

22

23252325

?+??2=4?+?+2=4

C．D．

22

259259

?+??2=4?+?+2=4

【題型2由圓的方程確定圓心和半徑】

【例2】（2025·浙江·一模）圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）

22

A．?:?+??2?+B．4?=0??

C．?1,?2,?=5D．?1,?2,?=5

【變式2-?1】?（1,220,2?5·=浙江5臺(tái)州·二模）已知圓M：??1,2,?=5，則圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）

22

A．，4B．，4C．??1，+2?+2=D．4，2

【變式2-21】,?（22025·山西晉中?·1三,2模）已知圓C的一?般1方,2程為1,?2，則圓C的圓心坐

22

標(biāo)為（）?+??6?+4?+12=0

A．B．C．D．

【變式2-33】,2（24-25高二下·云?3南,2昆明·期中）已知圓3,的?2方程為?3,?2，則圓的圓心和半徑分

22

別是（）??+??2??4=0?

A．，B．，

C．?1,0，?=5D．?1,0，?=5

?2,0?=5?2,0?=5

【題型3二元二次方程表示圓的條件】

【例3】（2025·貴州黔南·三模）“關(guān)于，的方程：表示圓”是“”的（）

22

A．充分不必要條件??B．必?要不+充?分+條??件+2?+2=0?>2

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【變式3-1】（2025·吉林·三模）已知曲線C：表示圓，則m的取值范圍是（）

22

A．B．?C．+?+2???2?+2D=．0

【變式3-2?】∞（,?20125·貴州貴陽(yáng)1·,模+擬∞預(yù)測(cè)）“”是?“方1,1程?∞,?表1示∪圓1”,的+（∞）

222

A．充分不必要條件?≠B0．必要不充?分+條?件?2????=0

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【變式3-3】（24-25高一下·重慶·期末）若方程表示圓，且圓心位于第

222

四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）?:?+??2??+2?+2??1=0

A．?B．C．D．

?2,22,+∞0,20,2

【題型4圓過定點(diǎn)問題】

【例4】（24-25高二上·湖北荊州·期末）圓恒過的定點(diǎn)為（）

A．?:?B2．+?2+???2???5=0

C．?2,1,(2,?1)D．?1,?2,(2,1)

【變式4-1?】1（,?242-2,5(1高,2二)上·浙江溫州·期中）點(diǎn)?2是,?直1線,(2,1)上任意一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則

以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（）??,?2?+??5=0?

??A．和B．和C．和D．和

【變式4-20】,0（24-12,15高二下·0上,0海徐匯2,2·期中）對(duì)任意0實(shí),0數(shù)1，,2圓0,02,1恒過定

22

點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為．??+??3???6??+9??2=0

【變式4-3】（24-25高三下·上海閔行·期中）若拋物線與坐標(biāo)軸分別交于三個(gè)不同的點(diǎn)、、

2

，則的外接圓恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)為?.=?+??+???

?△???

【題型5判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】

【例5】（24-25高二上·安徽·期中）若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

22

（）?2,1?+?+???+?=0?

A．B．

?2,+∞?∞,?2

C．D．

11

?2,2?∞,?2∪2,+∞

【變式5-1】（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）“或”是“定點(diǎn)在圓

222

的外部”的（）?>2?<?3?1,2?+?+??+2?+??15=0

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【變式5-2】（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在圓

2

上，則（）?0,?1???+1=0??:?+

2

?+A?．?4+5=0B?．=5C．-4D．-5

【變式5-3】（2025·貴州黔南·二模）已知直線與直線的交點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)

22

數(shù)的取值范圍是（）?=?+2??=???+?=4

?A．B．C．D．

?1<?<1?2<?<2?3<?<3?2<?<2

【題型6與圓有關(guān)的軌跡問題】

【例6】（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，

22

則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（）???5,3??+?=4

???

A．B．

32321232

??2+??2=1??2+??2=1

C．D．

52325232

【變式6-1?】?（2202+5·內(nèi)?蒙+古2赤=峰1·一模）在平面內(nèi)，兩?定?2點(diǎn)+、?之?間2的距=離1為，動(dòng)點(diǎn)滿足，

則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為（）??4???=3??

A?．B．C．D．

【變式6-32π】（25-26高二上·6重π慶·開學(xué)考試）點(diǎn)在9圓π上運(yùn)動(dòng)，12它π與點(diǎn)所連線段中點(diǎn)為，

22

則點(diǎn)軌跡方程為（）??+?=36?(4,0)?

A?．B．

2222

C．(??2)+?=9D．(?+2)+?=9

2222

【變式6-?3】+（(?24?-225)高=一9下·浙江·期中）已知點(diǎn)?+、(?+2)，=點(diǎn)9滿足，記的軌跡為，下

列說法正確的是（）?1,0?4,0???=2????

A．曲線的方程為B．曲線的方程為

2222

C．點(diǎn)的?軌跡所圍成?的+面?積=為1D．點(diǎn)的?軌跡所圍?成的+面?積=為4

?2π?8π

【題型7圓系方程】

【例7】（24-25高二上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知兩直線和的交點(diǎn)為M，則以點(diǎn)M

為圓心，半徑長(zhǎng)為1的圓的方程是（）??2?=0?+??6=0

A．B．

2222

C．?+4+?+2=1D．??4+??2=1

2222

【變式7-1?】+（424-+25?高+二1下·湖=南1長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）過?圓?2+??1=1和的交點(diǎn)，且圓

2222

?+???+??2=0?+?=5

心在直線上的圓的方程為（）

A．3?+4??1=0B．．

2222

C．?+?+2??2??11=0D．?+??2?+2??11=0

2222

【變式7-?2】+（?20?252高??二2·?遼?寧1·1學(xué)=業(yè)0考試）過圓?+?+2?+2?與?11=0的交點(diǎn)，且圓

2222

心在直線上的圓的方程是?+??．2??4=0?+??4?+2?=0

【變式7-3?】:2（?2+4-42?5?高1二=上0·安徽銅陵·期中）經(jīng)過直線與圓的交點(diǎn)，且

22

過點(diǎn)的圓的方程為.??2?=0?+??4?+2??4=0

1,0

【題型8定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值（范圍）】

【例8】（2025·陜西銅川·三模）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的

22

最大值為（）?:(???)+(???)=1?3,4

A．4B．5C．6D．7

【變式8-1】（2025·河北秦皇島·一模）已知圓過點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，

過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的直線互?相垂直?，1?且3垂,?足2為,?，2則?2,?1的,最?大3?值2為,?（3）??

1122

A?．2,0?B．?0,2?C．?D．??

【變式8-32】2（+21025·遼寧·模3擬預(yù)2+測(cè)2）已知點(diǎn)4，2+1，過點(diǎn)作直4線2交+圓2：于，兩

422

點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則的最小值為（?）0,2?3,0???+?=9??

A?．??B?．?C．1D．

124

333

【變式8-3】（2025·寧夏吳忠·二模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離的比值

為定值（）的點(diǎn)的軌跡是圓．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．若

平面內(nèi)兩?定?≠點(diǎn)1A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（）

??22

??=3??+??

A．B．C．D．

16+838+437+433+3

一、單選題

1．（2025·北京海淀·二模）圓心為且與軸相切的圓的方程是（）

A．?1,2B?．

2222

C．(??1)+(?+2)=2D．(?+1)+(??2)=2

2222

2．（20(2?5?·四1)川眉+山(?·+三2模)）=方4程(?+1表)示+圓(?，?則2實(shí))數(shù)=4的取值范圍是（）

22

?+??2?+2?=??

A．B．C．D．

3．（20242·,河+南∞信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)2）,+已∞知圓O：?2，,點(diǎn)+∞和點(diǎn)?2在,+圓∞上，滿足，

22

則最大值為（）?+?=2A(m,n)B(p,q)Omp+nq=?1

mA．+n+p+qB．C．D．

4．（20252·河北邯鄲·一模）“222”是“點(diǎn)在圓42

222

外部”的（）?∈?∞,??3∪2,?+∞?1,??2?+?????2?+??15=0

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

5．（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，直線：，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等

22

于1，則b的值為（）?+?=4??=?+??

A．0B．±1C．D．

6．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐標(biāo)系±中，2若從點(diǎn)發(fā)出±的3光2線經(jīng)過點(diǎn)，且被軸反

射后將圓平分，則實(shí)?數(shù)??（）?0,??1,0?

22

A．?:??4+??3=1B．?=

C．1D．2

7．（20325·全國(guó)一卷·高考真題）已知圓4上到直線的距離為1的點(diǎn)有且

222

僅有2個(gè)，則r的取值范圍是（）?+(?+2)=?(?>0)?=3?+2

A．B．C．D．

8．（24(-205,1高)二下·湖南·期中(1）,3曲)線(3,+∞)和曲線(0,+∞)組合圍成“心

22

形圖”（如下圖所示），記“心形圖”為?曲=線cos，?+曲1線0所≤圍?成≤的π“心形”區(qū)?域+的(面?積?等1)于=（1?）≤0

??

A．B．C．D．

二、多選π+題6π+83π4π

9．（2025·遼寧葫蘆島·一模）已知圓的圓心到直線與距離為，

22

則實(shí)數(shù)的值為（）?:?+?+4??5=0??+2?+?=025

?

A．B．C．14D．

10．（2?0625·陜西咸陽(yáng)·二模?）2已5知圓C的方程為，點(diǎn)25是圓C上任意一點(diǎn)，O

22

為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）?+??8?+12=0??0,?0

A．圓C的半徑為2

B．滿足的點(diǎn)M有1個(gè)

C．??的=最5大.5值為

D．?若0點(diǎn)+2P?在0x軸上，則4滿+足25的點(diǎn)P有兩個(gè)

11．（2025·貴州黔南·三模）經(jīng)過??=，2??兩點(diǎn)的曲線如圖所示，關(guān)于曲線，

22

下列說法正確的是（）?1,0?0,1?:??+?????=1?

A．

B．曲?=線?經(jīng)=過1的整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)

?

C．的取值范圍均為