專題6.1數(shù)列的概念與簡單表示法（舉一反三講義）

【全國通用】

【題型1由an與Sn的關系求通項或項】...............................................................................................................4

【題型2累加法求通項公式】.................................................................................................................................4

【題型3累乘法求通項公式】.................................................................................................................................5

【題型4構造法求通項公式】.................................................................................................................................5

【題型5數(shù)列的周期性】.........................................................................................................................................6

【題型6數(shù)列的單調性】.........................................................................................................................................6

【題型7數(shù)列的最大（小）項】.............................................................................................................................7

【題型8數(shù)列中的規(guī)律問題】.................................................................................................................................7

【題型9遞推數(shù)列問題】.........................................................................................................................................9

1、數(shù)列的概念與簡單表示法

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

數(shù)列是高考的熱點內容，屬于高考

(1)了解數(shù)列的概念和幾種

的必考內容.從近幾年的高考情況來看，

簡單的表示方法(列表、圖

2023年北京卷：第10題，4高考中對數(shù)列的概念的考查相對較少，

象、通項公式)

分考查題型以選擇題、填空題為主，難度

(2)了解數(shù)列是自變量為正

不大，重點是考查數(shù)列的單調性、周期

整數(shù)的一類特殊函數(shù)

性與最值等內容.

知識點1數(shù)列的概念與基本知識

1．數(shù)列的定義

一般地，把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，數(shù)列的第一個位

置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用a2表示

第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用an表示.其中第1項也叫做首項.

．數(shù)列的分類

?2?

分類標準名稱含義舉例

按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列1,2,3,…,n

無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列1,0,1,0,1,0,…

從第2項起，每一項都大于它的前一

遞增數(shù)列3,4,5,6,…,n+2

項的數(shù)列

從第2項起，每一項都小于它的前一

遞減數(shù)列-1,-2,-3,…,-n

按項的變化趨勢項的數(shù)列

常數(shù)列各項相等的數(shù)列0,0,0,0,…

從第2項起，有些項大于它的前一

擺動數(shù)列1,-2,3,-4,…

項，有些項小于它的前一項的數(shù)列

3．數(shù)列的通項公式

如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)

列的通項公式.

4．數(shù)列的遞推公式

(1)遞推公式的概念

如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的遞推

公式.

(2)對數(shù)列遞推公式的理解

①與“不一定所有數(shù)列都有通項公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.

②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實上，遞推公式和通項公式一樣，都是關于項的序號n的恒等式.如果

用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項.

③用遞推公式求出一個數(shù)列，必須給出：

基礎——數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)；

遞推關系——數(shù)列{an}的任意一項an與它的前一項an-1()(或前幾項)間的關系，并且這個關系可以用等

式來表示.

5．數(shù)列表示方法及其比較

優(yōu)點缺點

一些數(shù)列用通項公式表示比較

通項公式法便于求出數(shù)列中任意指定的一項，

困難

利于對數(shù)列性質進行研究

內容具體、方法簡單，給定項的序確切表示一個無窮數(shù)列或項數(shù)

列表法

號，易得相應項比較多的有窮數(shù)列時比較困難

能直觀形象地表示出隨著序號的變數(shù)列項數(shù)較多時用圖象表示比

圖象法

化，相應項的變化趨勢較困難

可以揭示數(shù)列的一些性質，如前后不容易了解數(shù)列的全貌，計算也

遞推公式法

幾項之間的關系不方便

6．數(shù)列的前n項和

數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作，即.

如果數(shù)列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個

數(shù)列的前n項和公式.

=.

知識點2數(shù)列的通項公式的求解策略

1．由an與Sn的關系求通項：

(1)已知Sn求an的常用方法是利用=轉化為關于an的關系式，再求通項公式.

(2)Sn與an關系問題的求解思路

方向1：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn-1的關系式，再求解.

方向2：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉化為只含an，an-1的關系式，再求解.

2．由數(shù)列的遞推關系求通項公式：

(1)累加法：形如an+1=an+f(n)的遞推關系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項，保留多少項.

(2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的遞推關系式可化為的形式，可用累乘法，也可用

代入求出通項.

(3)構造法：

①形如an+1=pan+q的遞推關系式可以化為(an+1+x)=p(an+x)的形式，構成新的等比數(shù)列，求出通項公式，求變

量x是關鍵.

②形如(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構造新數(shù)列求解.

知識點3數(shù)列的性質有關問題的解題策略

1．數(shù)列周期性問題的解題策略：

解決數(shù)列周期性問題，根據(jù)給出的關系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進而求出有關

項的值或前n項和.

2．求數(shù)列最大項與最小項的常用方法

(1)函數(shù)法：利用相關的函數(shù)求最值.若借助通項的表達式觀察出單調性，直接確定最大(小)項，否則，利用

作差法.

(2)利用確定最大項，利用確定最小項.

【方法技巧與總結】

1．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則.

2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則；若an最小，則.

【題型1由an與Sn的關系求通項或項】

【例1】（2025·北京豐臺·二模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則（）

A．B．0??C．1???D?．12=0,??+1+2??=??5=

【變式1-?1】1（2025·浙江寧波·三模）已知數(shù)列中，，記為的前項和，，則

的值為（）???2=1?????2??=????2025

A．2023B．2024C．2025D．2026

【變式1-2】（2025·貴州遵義·二模）已知數(shù)列的前項和，則（）

2

A．16B．17C?．?18???=?+D．??191?1+?9=

【變式1-3】（2024·福建漳州·一模）已知各項均不為0的數(shù)列的前項和為，若，則

?8

?????3??=??+1?7=

（）

A．B．C．D．

1111

?2?323

【題型2累加法求通項公式】

【例2】（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，，則（）

11

???1=3??+1=??+???+1??=

A．B．C．D．

1111

4+?4??2+?2??

【變式2-1】（24-25高二上·山東棗莊·階段練習）已知數(shù)列滿足，，則（）

1

???1=3??+1=??+??+1??=

A．B．C．D．

1111

4+?4??2+?2??

【變式2-2】（2025·天津和平·三模）定義新運算：，已知數(shù)列滿足，

??*

=????????∈??1=?14

，則（）??

??+11

=10??10=

2??A．2239B．225C．211D．261

【變式2-3】（24-25高二上·江蘇連云港·期中）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法

商功》中，后人稱為“三角垛”“三角垛”的最上層有個球，第二層有個球，第三層有個球，，設各?

層球數(shù)構成一個數(shù)列，則.（）136???

???21=

A．B．C．D．

58225210231

【題型3累乘法求通項公式】

【例3】（24-25高二下·廣東深圳·階段練習）在數(shù)列中，，，，則數(shù)列

??1

?1???1?

的通項公式為（）??=1?=???≥2,?∈N?

A．B．C．D．

1212

2??1??+1??+1

【變式3-1】（24-25高二下·河南南陽·階段練習）已知數(shù)列的項滿足，而，則（）

?

????+1=?+2???1=1??=

A．B．C．D．

2211

2?

?+1??+12?12??1

【變式3-2】（24-25高二上·重慶九龍坡·期末）已知，，則數(shù)列的通項公式是

（）?1=2??=???+1???????=

A．nB．C．2nD．

?+1?

?

【變式3-3】（24-25高二上·河?+南1鶴壁·階段練習）設數(shù)列的前n項和為，且為常數(shù)列，

則（）?????1=1,??+???

?

?A=．B．C．D．

1225?2?

??1

3?(?+1)(?+1)(?+2)3

【題型4構造法求通項公式】

【例4】（2024·廣東茂名·一模）已知為正項數(shù)列的前項的乘積，且，則（）

2?+1

A．16B．32??C．64???D．12?81=2,??=???5=

【變式4-1】（2025高二·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，且，則的通項公式為

2

??+1?1?

（）??=3?+4?=1?

A．B．

2??12?+2

??=12?3??=3

C．D．

2??12??1

??=12?11×3??=8+3

【變式4-2】（24-25高二上·陜西西安·期中）已知數(shù)列滿足，，，則（）

???

???1=1??+1=4??+1(?∈?)??=

A．B．C．D．

112??11

??=???=2??1??=4??3??=4??3

【變式4-3】（24-25高二下·山西晉中·階段練習）若數(shù)列的首項，且滿足，則數(shù)列

的通項公式為（）???1=1??+1=2??+1

??A．B．

???1

C．??=2?1D．??=2?1

?+1?

??=2?1??=2?2

【題型5數(shù)列的周期性】

【例5】（2025·河南·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，且對任意

，，則?（?1）=?1?2=?8

?

??+1?+1?2025

?∈?A．??+2?B．=?+??=C．D．

35

?8?122

【變式5-1】（2025·天津南開·二模）若數(shù)列滿足，且則

?+1??+1?

?12?+2???,?≥?,?

??=2,?=1?=??+1?+1??

的前2025項的和為（）???,?<?,

A．1350B．1352C．2025D．2026

【變式5-2】（2025·湖南·模擬預測）在數(shù)列中，，且，則（）

1+??

???1=3??+1=1????2025=

A．3B．-2C．D．

11

?32

【變式5-3】（2025·湖北·二模）若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的前2025項的乘積

1+???

?1?+11???

是（）??=2?=?∈N

A．B．

C．2?2D．?11

【題型6數(shù)列的單調性】

【例6】（2025·天津·二模）已知是一個無窮數(shù)列，“”是“為遞增數(shù)列”的（）

A．充分不必要條件??B．必要不?充2>分?條1件??

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【變式6-1】（2024·貴州·模擬預測）已知數(shù)列滿足，則“數(shù)列是遞增數(shù)列”的充要

?+??1

???

條件是（）??=?(?∈R)?

A．B．C．D．

?<0?<1?>0?>1

【變式6-2】（2025·湖南永州·模擬預測）已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（）

??1

????+1=2+??

A．若，則所有項恒大于等于B．若，則是單調遞增數(shù)列

??1?

C．若?>是0常數(shù)列?，則D2．若?，=則1?是單調遞增數(shù)列

??

???1=±2?1=2??+1+2

【變式6-3】（2024·天津南開·二模）設數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列是單調遞增數(shù)列，則

2

???

實數(shù)b的取值范圍為（）??=?+???

A．B．C．D．

?3,+∞?2,+∞?2,+∞?3,+∞

【題型7數(shù)列的最大（?。╉棥?/p>

【例7】（2025·云南昭通·模擬預測）已知數(shù)列的通項公式為7，若是

2??7,?≤5

??7?

??=121??

中唯一的最小項，則實數(shù)的取值范圍是（）7??7??1?,?≥6

A．B．?C．D．

14,1615,1615,1614,16

【變式7-1】（2025·上海·三模）已知數(shù)列的通項公式為，，則關于數(shù)列

??1??1

33*

???

的最值敘述正確的是（）??=44?1?∈N?

A．既有最大項也有最小項B．只有最大項沒有最小項

C．沒有最大項只有最小項D．沒有最大項也沒有最小項

【變式】（四川綿陽二模）已知數(shù)列的前項和為，且，則下列說法正確的是（）

7-22025··n?

3?2

?

??????=3

A．B．C．D．

4

??<??+1??>??+12??+??=10<??≤9

【變式7-3】（2024·北京海淀·三模）已知數(shù)列的通項公式為，前n項和為，前n項積為.

2??7

????

則下列結論正確的個數(shù)為（）??=2??15??

①既有最小值，又有最大值，

②?滿?足的n的值共有6個；

③使取??得??+最1?小?+值2的<0n為7；

④?有?最小值，無最大值；

??A．1B．2C．3D．4

【題型8數(shù)列中的規(guī)律問題】

【例8】（2024·遼寧·二模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中

國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，

是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項依次是0，2，4，8，12，18，

24，32，40，50，則此數(shù)列的第30項為（）

A．366B．422C．450D．600

【變式8-1】（2025·吉林·三模）以“冰雪同夢亞洲同心”為主題的第九屆亞冬會于2025年2月7日在哈爾濱

盛大開幕，場館上方懸掛的120萬朵小雪花片裝置，讓觀眾仿佛置身于冰雪童話之中．理論上，一片雪花

的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”．它可以這樣畫：如圖，畫一個邊長

為1的正三角形，第一步，把每一邊三等分；第二步，取三等分后的一邊中間的一段，以此為邊向外作

正三角形，并把這?1中間的一段擦掉，形成雪花曲線；重復上述兩步，形成雪花曲線，記雪花

234?

曲線的周長為，則數(shù)列的最大項為?（）?,?,…,?

??

14?

??

??3log33

A．B．C．D．

1121

392727

【變式8-2】（2024·全國·模擬預測）據(jù)中國古代數(shù)學名著《周髀算經(jīng)》記載：“勾股各自乘，并而開方除之

（得弦）．”意即“勾”、“股”與“弦”之間的關系為（其中）．當時，有如下勾

222?

股弦數(shù)組序列：???，?+?，=則?在這個序?列≤中?，第10?,個?,勾?股∈?弦數(shù)組中的“弦”

等于（）(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)(9,40,41),?

A．145B．181C．221D．265

【變式8-3】（2025·全國·模擬預測）公元前6世紀，希臘的畢達哥拉斯學派研究數(shù)的概念時，常常把數(shù)描繪

成沙灘上的小石子，用它們進行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個正三角形，

同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達哥拉斯學派把1，等叫作“三角數(shù)”或“三

角形數(shù)”．同時他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如3,圖6,1所0示即擺出的六邊形數(shù)，

那么第20個六邊形數(shù)為（）

A．778B．779C．780D．781

【題型9遞推數(shù)列問題】

【例9】（2025·江蘇蘇州·三模）已知數(shù)列滿足，則（）

??+11

???1=1,??=1?2??

A．B．

1

??+1>????>2

C．D．

20252025

【變式9-110】1（3?2025·<北1京昌平·二模）在數(shù)列中，2025?<1，則（）

2

A．當時，對于任意的正整數(shù)????+1=???2???=1,2,?

B．當?1=3時，存在正整數(shù)，當?,??+時1>，??

C．當?1=1時，對于任意?的正整?數(shù)>???+1>??

D．當?1∈2,3時，存在正整數(shù)，當?,??≤時3，

1?

【變式9-2】?（∈20234,4·湖南長沙·三模）已?知數(shù)?列>?中，?<3，（其中表示的整數(shù)

1

?1?+1???????

部分，表示的小數(shù)部分），則（?）?=2?=[?]+??

A．?2?024??B．2025?2024=C．4046D．4047

【變式9-3】（2024·上海嘉定·一模）已知數(shù)列滿足，給出以

下四個結論：????+1=???1????=1,2,3,?,?1∈0,1

①當時，存在有限個，使得對任意正整數(shù)，都有

1?+1?

②當?=2時，存在和正整?數(shù)，當時，??>?

1

1?+1?

③當?=2時，存在?和正整數(shù)?，當?>?時，???<2025

④當?=3時，不存?1在，使得?對任?意>正?整數(shù)?，?+且1=??，都有

其中正?=確?結3論是（）?1??≥3??>0

A．①②B．②③C．③④D．②④

一、單選題

1．（2025·湖北十堰·模擬預測）已知數(shù)列的前項和，則（）

?

A．153B．161??C．1?63??=3??D．2?358=

2．（2025·重慶沙坪壩·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，則（）

???7

???1=?1??+1=??+2?30=

A．B．C．D．

35

?8?122

3．（2025·湖北黃岡·三模）已知數(shù)列{}的前n項和滿足：，且＝2，那么＝（）

A．2B．10??C．11????+?D?．=5?6?+??1?10

4．（2025·四川樂山·三模）已知數(shù)列的通項公式為，則下列不是數(shù)列的項的是（）

?

A．2B．13??C．39??=3?+?1D．49??

5．（2025·貴州黔南·三模）數(shù)列滿足，若數(shù)列單調遞增，則實數(shù)

??1

?,?>2,*

????=?∈????

的取值范圍為（）3???+2,?≤2

A．B．C．D．

6．（2025,3·新疆喀什·模擬預1測,3）已知數(shù)列中，1,22,3，則（）

A．B．??C．?1=1,??+3≤??+D．3,無??法+2判≥斷??+2大小

7．（202?52·0福25建>南20平2·5三模）已?2知02數(shù)5=列2025的前項和?為2025，<若2025，且對任?意20的25，都有

2?

成立，則實數(shù)的取值范圍是（）???????=???10??∈N?3≤??

A．?B．C．D．

1105510

3,?27,?24,?27,?2

8．（2025·江西·模擬預測）若數(shù)列滿足且，則稱數(shù)列為“對數(shù)底數(shù)列”.

??+1???

已知正項數(shù)列是“對數(shù)2底數(shù)列?”且?，則=當log?(且?>1時?，∈?)（?）?

?2+?3+?+??

4

?22

???5=1??2?∈??2·…·???1=

A．B．C．D．

12163264

二、多選2題222

9．（2025·甘肅白銀·模擬預測）已知為數(shù)列的前項和，且滿足，則下列結論正

???

確的有（）???????=?1???2

A．B．當為偶數(shù)時，

11

?

?1=4???=2

C．當為奇數(shù)時，D．

11

?+1

???=?2?5+?6=?32

10．（2025·陜西寶雞·二模）近年來，寶雞市教育局致力于構建“學好上、上好學、學得好”的“寶雞好教育”

品牌體系．在關注學生身體健康的同時，也高度重視學生的心理健康，為此特別推出了“和風計劃”．某校積

極響應“和風計劃”，為了緩解學生的學習壓力，面向1630名高三學生開展了團建活動．如果將所有參加活

動的學生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…編上號，并按圖所示的順序排隊，我們將2，3，5，7，10，…

位置稱為“拐角”，因為指向它的箭頭與離開它時的箭頭方向發(fā)生了改變，那么下面說法正確的有（）

A．站在第20拐角的學生是111號B．站在第23拐角的學生是137號

C．第133號同學站在拐角位置D．站在拐角位置的同學共有79名

11．（2025·遼寧·三模）已知數(shù)列滿足