專(zhuān)題8.5橢圓（舉一反三講義）【全國(guó)通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1橢圓的定義及其應(yīng)用】 4【題型2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】 4【題型3曲線方程與橢圓】 5【題型4軌跡問(wèn)題——橢圓】 5【題型5橢圓的焦距與長(zhǎng)軸、短軸】 6【題型6橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】 6【題型7求橢圓的離心率或其取值范圍】 7【題型8與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題】 8【題型9橢圓的實(shí)際應(yīng)用】 81、橢圓考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解橢圓的定義、幾何

圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程(2)掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率)(3)掌握橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用2023年新高考I卷：第5題，5分2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第12題，5分2023年北京卷：第19題，15分2024年新高考I卷：第16題，15分2024年新高考Ⅱ卷：第5題，5分2025年全國(guó)一卷：第18題，17分2025年全國(guó)二卷：第16題，15分2025年北京卷：第19題，15分橢圓的方程及其性質(zhì)是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；對(duì)于解答題中橢圓的考查，橢圓方程的求解往往在解答題的第一小問(wèn)中考查，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.與向量等知識(shí)結(jié)合綜合考查也是高考命題的一個(gè)趨勢(shì)，需要學(xué)會(huì)靈活求解.知識(shí)點(diǎn)1橢圓的方程及其性質(zhì)1．橢圓的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距.(2)橢圓定義的集合表示P={}.2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：橢圓在坐標(biāo)

系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系3．橢圓的頂點(diǎn)與長(zhǎng)軸、短軸以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(a>b>0)為例.

(1)頂點(diǎn)

令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a.

這說(shuō)明A1(-a,0)，A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B1(0,-b)，B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)閤軸、y軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，所以橢圓與它的對(duì)稱(chēng)軸有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫作橢圓的頂點(diǎn).(2)長(zhǎng)軸、短軸線段，分別叫作橢圓的長(zhǎng)軸和短軸.長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a，短軸長(zhǎng)=2b，a和b分別叫作橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).4．橢圓的離心率(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱(chēng)為橢圓的離心率.用e表示，即e=.

(2)離心率的范圍：0<e<1.

(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫(huà)了橢圓的扁平程度.

當(dāng)e越接近于1時(shí)，c越接近于a，從而b=越小，因此橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時(shí)，c越接近于0，從而b=越接近于a，因此橢圓越接近于圓；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，它的方程為.知識(shí)點(diǎn)2橢圓方程的求解方法1．橢圓方程的求解(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)橢圓的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫(xiě)出橢圓方程.(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

①如果明確了橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，那么所求的橢圓一定是標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以利用待定系數(shù)法求解.首先建立方程，然后依據(jù)題設(shè)條件，計(jì)算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點(diǎn)的位置）.②如果不能確定橢圓的焦點(diǎn)的位置，那么可用以下兩種方法來(lái)解決問(wèn)題：一是分類(lèi)討論，分別就焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上利用待定系數(shù)法設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再解答；二是用待定系數(shù)法設(shè)橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.知識(shí)點(diǎn)3橢圓的焦點(diǎn)三角形1．橢圓的焦點(diǎn)三角形(1)焦點(diǎn)三角形的概念

設(shè)M是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為橢圓的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M,F1,F2不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)焦點(diǎn)三角形，如圖所示.(2)焦點(diǎn)三角形的常用公式

①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③設(shè)，，則.知識(shí)點(diǎn)4橢圓離心率或其范圍的解題策略1．求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下:(1)直接求出a,c，利用離心率公式求解.(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式求解.(3)構(gòu)造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.知識(shí)點(diǎn)5橢圓中的最值問(wèn)題的解題策略1．橢圓中的最值問(wèn)題求解此類(lèi)問(wèn)題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問(wèn)題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(gè)(或多個(gè))變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.【題型1橢圓的定義及其應(yīng)用】【例1】（2025·廣西南寧·二模）已知F1,F2分別是橢圓M:x216+y25=1的左、右焦點(diǎn)，A．2 B．3 C．5 D．6【變式1-1】（2025·山西晉城·二模）已知F1,F2分別為橢圓C:x29+yA．PF2=2F1C．PF2=F【變式1-2】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知F1,F2是橢圓C:x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)FA．23 B．3 C．22【變式1-3】（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x24+y2m=10<m<4的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為M，點(diǎn)NA．1 B．2 C．3 D．3【題型2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】【例2】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2A．x29+y2=1 B．x【變式2-1】（2025·廣西南寧·二模）已知A,B分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，直線x=a2c（c為橢圓E的半焦距）上存在點(diǎn)CA．x23+C．x24+【變式2-2】（2024·山西太原·三模）已知點(diǎn)F1,F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P(4,3)是C上一點(diǎn)，△PF1FA．x224+y227=1 B．【變式2-3】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為23，過(guò)點(diǎn)FA．x23+y2=1 B．y【題型3曲線方程與橢圓】【例3】（2025·甘肅慶陽(yáng)·二模）已知方程x2k?2?y2A．2,3 B．3,4 C．2,4 D．2,3【變式3-1】（2025·湖北黃岡·二模）設(shè)abc≠0，“曲線ax2+by2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式3-2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）若方程m+1x2+1?myA．?1<m<1 B．0<m<1C．?1<m<0 D．?1<m<0或0<m<1【變式3-3】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）曲線C:x2m?1+y23?mA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【題型4軌跡問(wèn)題——橢圓】【例4】（2025·四川成都·三模）已知?jiǎng)訄AC與圓(x+1)2+y2=1外切，同時(shí)與圓(x?1)A．x29+y28=1 B．【變式4-1】（2025·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知曲線x2+y22=1，從曲線上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足為P′A．9x24+y22=1 【變式4-2】（2025·江蘇南京·三模）已知曲線C:x2+y2=8y>0，從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP′A．x28+C．y28+【變式4-3】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(?2,0),(2,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是?34，則點(diǎn)M的軌跡方程為（A．x216+C．x24+【題型5橢圓的焦距與長(zhǎng)軸、短軸】【例5】（2025·福建泉州·二模）若橢圓x2a2+yA．3 B．6 C．26或3 D．23【變式5-1】（2025·云南紅河·三模）已知橢圓C:x2m2+y2A．10 B．210 C．2 D．【變式5-2】（2025·海南·三模）若邊長(zhǎng)為整數(shù)的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓C:x2m2+A．2 B．263 C．23【變式5-3】（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C1:x2+y2b2=1(0<b<1)與橢圓C2:x2m2+y2A．5 B．25 C．26 【題型6橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】【例6】（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E:x216+y212=1的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，上頂點(diǎn)為A，過(guò)F1A．12 B．16 C．20 D．24【變式6-1】（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C:x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A．315 B．12 C．415 【變式6-2】（2025·湖南永州·三模）已知橢圓E：x24+y23=1，點(diǎn)F?1,0，若直線x+λy?1=0（λ∈R）與橢圓E交于A．23 B．4 C．43【變式6-3】（2025·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)F1、F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2作x軸的垂線交C于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)AA．0 B．2 C．4 D．6【題型7求橢圓的離心率或其取值范圍】【例7】（2025·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）已知直線y=kxk≠0與橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0交于A,?A．32 B．12 C．53【變式7-1】（2025·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，上頂點(diǎn)為A，直線AF1交A．34 B．14 C．13【變式7-2】（2025·云南麗江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，P是橢圓C上一點(diǎn)，若點(diǎn)A．13 B．23 C．12【變式7-3】（2025·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知P為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)，M、A．0,23 C．0,32 【題型8與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題】【例8】（2025·山東威?！ひ荒＃┮阎狥為橢圓C:y29+x25=1的上焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，A．1+25 B．3+25 C．5+25【變式8-1】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為FA．112 B．132 C．194【變式8-2】（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x24+y23=1的左?右焦點(diǎn)為F1,FA．2 B．2 C．22 【變式8-3】（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知F為橢圓C:x24+y2=1的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，QA．5 B．5+23 C．3+23【題型9橢圓的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（2025·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測(cè)）韶州大橋是一座獨(dú)塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點(diǎn)，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔(dān)著實(shí)現(xiàn)韶關(guān)“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段AB，且AB過(guò)橢圓的下焦點(diǎn)，AB=44米，橋塔最高點(diǎn)P距橋面110米，則此橢圓的離心率為（

）A．13 B．25 C．23【變式9-1】（2024·重慶·三模）如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用2a

A．a(chǎn)1?cC．c2a1【變式9-2】（2025·江西景德鎮(zhèn)·二模）古希臘數(shù)學(xué)家在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)橢圓上的P點(diǎn)反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2，且在P點(diǎn)處的切線垂直于法線（即∠F1PF2的角平分線）．已知橢圓C:x2a2+yA．74 B．34 C．154【變式9-3】（2024·陜西西安·一模）已知農(nóng)歷每月的第t+1天（0≤t≤29，t∈N）的月相外邊緣近似為橢圓的一半，方程為x2r2cosA．農(nóng)歷每月第d（1≤d≤30，d∈N*）天和第B．月相外邊緣上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最大值為2rC．月相外邊緣的離心率與t無(wú)關(guān)D．農(nóng)歷初六至初八的月相外邊緣離心率在區(qū)間32一、單選題1．（2025·湖南·三模）已知曲線C:x26?t+y2t?2=1，設(shè)p:2<t<3，q：曲線C是焦點(diǎn)在A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2025·湖南永州·三模）已知橢圓E：x24+y23=1，點(diǎn)F?1,0，若直線x+λy?1=0（λ∈R）與橢圓E交于A．23 B．4 C．433．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x29+y2b2=1，其右焦點(diǎn)FA．13 B．23 C．124．（2025·江蘇南京·三模）已知曲線C:x2+y2=8y>0，從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP′A．x28+C．y28+5．（2025·河南·三模）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，D為BC邊上一點(diǎn)，且AD=BD=1，CD=2，當(dāng)∠ADB在變化時(shí)，點(diǎn)(b,c)總在橢圓x2m+A．6 B．62 C．326．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x24+y2m=10<m<4的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為M，點(diǎn)NA．1 B．2 C．3 D．37．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為23，過(guò)點(diǎn)FA．x23+y2=1 B．y8．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為FA．112 B．132 C．194二、多選題9．（2025·河南駐馬店·模擬預(yù)測(cè)）已知P是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上位于第二象限的一點(diǎn)，F(xiàn)1(?2,0),F2(2,0)為C的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，|OP|=2，∠A．點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上 C．橢圓C的方程為x27+10．（2025·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：x225+y29=1A．橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為5 B．橢圓E的離心率為4C．1≤PF1≤9 11．（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的左、右焦點(diǎn)，直線PF1和直線PF2分別交C于點(diǎn)A，B，若△PAFA．橢圓焦距為3B．離心率eC．△PFD．PF1和三、填空題12．（2025·陜西渭南·三模）已知橢圓x22m+y2m=113．（2025·江蘇南通·模擬預(yù)