專題6.3等比數(shù)列及其前n項和（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等比數(shù)列的基本量計算】 4【題型2等比數(shù)列的性質及應用】 5【題型3等比數(shù)列的判定與證明】 5【題型4等比數(shù)列的通項公式】 6【題型5等比數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題】 6【題型6等比數(shù)列前n項和的性質】 7【題型7等比數(shù)列的簡單應用】 7【題型8等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用】 8【題型9等比數(shù)列中的不等式恒成立問題】 10【題型10與等比數(shù)列有關的新定義、新情景問題】 101、等比數(shù)列及其前n項和考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)通過生活中的實例，理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義(2)掌握等比數(shù)列前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關系(3)能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關系，并解決相應的問題(4)體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系2023年新高考Ⅱ卷：第8題，5分2023年全國乙卷（理數(shù)）：第15題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第5題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第19題，17分2024年北京卷：第15題，5分2025年全國一卷：第13題，5分2025年全國二卷：第9題，6分2025年北京卷：第5題，4分2025年天津卷：第19題，15分等比數(shù)列是高考的重點、熱點內(nèi)容，屬于高考的?？純?nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，等比數(shù)列的基本量計算和基本性質、等比數(shù)列的中項性質、判定是高考考查的熱點，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；等比數(shù)列的證明、求和及綜合應用是高考考查的重點，一般出現(xiàn)在解答題中，難度中等.近年高考壓軸題中也會出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，難度較大，需要靈活求解.知識點1等比數(shù)列及其前n項和1．等比數(shù)列的概念文字

語言一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)符號

語言在數(shù)列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，則稱數(shù)列{an}為等比數(shù)列，常數(shù)q稱為等比數(shù)列的公比遞推

關系或2．等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G(G≠0)，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.

若G是a與b的等比中項，則，所以G2=ab，即G=.3．等比數(shù)列的通項公式若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則這個等比數(shù)列的通項公式是(a1,q≠0).4．等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則

(1)當或時，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；

(2)當或時，等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；

(3)當q=1時，等比數(shù)列{an}為常數(shù)列(這個常數(shù)列中各項均不等于0)；

(4)當q<0時，等比數(shù)列{an}為擺動數(shù)列(它所有的奇數(shù)項同號，所有的偶數(shù)項也同號，但是奇數(shù)項與偶數(shù)項異號).5．等比數(shù)列的性質設{an}為等比數(shù)列，公比為q，則

(1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，則.

(2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列.

(3)數(shù)列{λan}(λ為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

若數(shù)列{bn}是公比為q'的等比數(shù)列，則數(shù)列{}是公比為q·q'的等比數(shù)列.

(4)在數(shù)列{an}中，每隔k(k∈N*)項取出一項，按原來的順序排列，所得數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為.

(5)在數(shù)列{an}中，連續(xù)相鄰k項的和(或積)構成公比為qk(或)的等比數(shù)列.

(6)若數(shù)列{an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{}(c>0且c≠1)是公差為的等差數(shù)列.6．等比數(shù)列的前n項和公式若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則等比數(shù)列{}的前n項和公式為

=.7．等比數(shù)列前n項和的性質已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，則有如下性質：

(1).

(2)若(k∈N*)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為qk.

(3)若{an}共有2n(n∈N*)項，則=q；

若{an}共有(2n+1)(n∈N*)項，則=q.知識點2等比數(shù)列的基本運算的解題策略1．等比數(shù)列基本量的運算的求解思路：等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解.知識點3等比數(shù)列的判定方法1．證明數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法：(1)定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；(2)中項法：為等比數(shù)列；(3)通項公式法：（k，q為常數(shù)）為等比數(shù)列；證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.2．在利用遞推關系判定等比數(shù)列時，要注意對n=1的情形進行驗證.知識點4等比數(shù)列及其前n項和的性質及應用1．等比數(shù)列的性質：等比數(shù)列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形；二是等比中項的變形；三是前n項和公式的變形.根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.2．等比數(shù)列的單調(diào)性與最值問題涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.知識點5等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特征1．Sn與q的關系(1)當公比q≠1時，等比數(shù)列的前n項和公式是，它可以變形為,設，則上式可以寫成的形式，由此可見，數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點；(2)當公比q=1時，等比數(shù)列的前n項和公式是，則數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點.2．Sn與an的關系當公比q≠1時，等比數(shù)列的前n項和公式是，它可以變形為,設，則上式可以寫成的形式，則Sn是an的一次函數(shù).【方法技巧與總結】1．等比數(shù)列{an}的通項公式可以寫成，這里c≠0，q≠0.2．等比數(shù)列{an}的前n項和Sn可以寫成(A≠0，q≠1,0).3．設數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和.(1).(2)若，則成等比數(shù)列.(3)若數(shù)列{an}的項數(shù)為2n，則；若項數(shù)為2n+1，則.【題型1等比數(shù)列的基本量計算】【例1】（2025·安徽蕪湖·模擬預測）若等比數(shù)列an的第3項和第5項分別為48和12，則an的首項a1=（A．－192 B．192 C．±192 D．－193【變式1-1】（2025·浙江杭州·二模）若等比數(shù)列an滿足a1+a2=2，A．?12或13 B．12或?12【變式1-2】（2025·湖南邵陽·模擬預測）記等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若a2=1，S6A．3 B．2 C．?23 【變式1-3】（2025·河南·二模）已知首項為1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sn?aA．1 B．2 C．3 D．4【題型2等比數(shù)列的性質及應用】【例2】（2025·福建泉州·模擬預測）已知an為等比數(shù)列，a2a7=?3，aA．?3 B．3 C．?9 D．9【變式2-1】（2025·云南保山·一模）若a、3、b、1成等比數(shù)列，則ab=（

）A．4 B．6 C．9 D．12【變式2-2】（2025·江蘇南通·三模）在等比數(shù)列an中，a5?a6?aA．36 B．±6 C．?6 D．6【變式2-3】（2025·河南·一模）若a,3,b,1成等比數(shù)列，則a?b=（

）A．4 B．6 C．9 D．12【題型3等比數(shù)列的判定與證明】【例3】（2025·上海黃浦·三模）已知數(shù)列an各項為正，P:an滿足am+n=aman，m、nA．充分必要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既非充分也非必要條件．【變式3-1】（2024·寧夏銀川·二模）已知數(shù)列{an}滿足a1=1A．{an+3} B．{an?3}【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足(1)求證：數(shù)列an(2)設bn=an2n,【變式3-3】（2025·吉林延邊·一模）已知數(shù)列an的首項a1=1(1)求a2，a(2)證明：數(shù)列an(3)求數(shù)列an【題型4等比數(shù)列的通項公式】【例4】（2025·全國·一模）等比數(shù)列an中，a1=1，a5=?8a2A．(?2)n?1 B．?(?2)n?1 C．(?2)【變式4-1】（2024·海南·模擬預測）已知等比數(shù)列an的公比不為1，若a1=2，且3a1A．2×3n?1 B．3n C．2×【變式4-2】（2025高三·全國·專題練習）已知遞增等比數(shù)列an中，a1+(1)求an(2)求bn的前n項和S【變式4-3】（2024·吉林·模擬預測）已知數(shù)列an滿足：a1=1,an+1=a(1)求數(shù)列an(2)設cn=an+log2【題型5等比數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題】【例5】（24-25高三上·云南昆明·期中）設等比數(shù)列an公比為q，則“q>1”是“an為遞增數(shù)列”的（A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．即不充分也不必要條件【變式5-1】（2025·北京順義·一模）設an為等比數(shù)列，則“存在i>j>k，使得ai<ajA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式5-2】（2025·上海閔行·二模）已知數(shù)列an為等比數(shù)列，首項a1>0，公比q∈A．數(shù)列an的最大項為a1 B．數(shù)列aC．數(shù)列anan+1為嚴格遞增數(shù)列 【變式5-3】（24-25高三上·貴州黔西·階段練習）設等比數(shù)列an的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，且滿足條件a1>1，aA．0<q<1 B．SC．T2020是數(shù)列Tn中的最大項 【題型6等比數(shù)列前n項和的性質】【例6】（2025·江西贛州·二模）設等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S20=21，S30A．?7 B．7 C．63 D．7或63【變式6-1】（2025·江西·二模）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若a4+aA．81 B．71 C．61 D．51【變式6-2】（24-25高二上·重慶·期中）已知等比數(shù)列an有2n+1項，a1=1，所有奇數(shù)項的和為85，所有偶數(shù)項的和為42，則n=A．2 B．3 C．4 D．5【變式6-3】（2024·湖南邵陽·模擬預測）記Sn為公比小于1的等比數(shù)列an的前n項和，S3=2，S12A．6 B．3 C．1 D．1【題型7等比數(shù)列的簡單應用】【例7】（2025·貴州遵義·模擬預測）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（

）A．10×8585+C．10×8585?【變式7-1】（2025·四川內(nèi)江·一模）2024年3月12日是第46個植樹節(jié)，為加快建設美麗內(nèi)江、筑牢長江上游生態(tài)屏障貢獻力量，我市積極組織全民義務植樹活動．現(xiàn)有一學校申領到若干包樹苗（每包樹苗數(shù)相同），該校8個志愿小組依次領取這批樹苗開展植樹活動．已知第1組領取所有樹苗的一半又加半包，第2組領取所剩樹苗的一半又加半包，第3組也領取所剩樹苗的一半又加半包．以此類推，第8組也領取所剩樹苗的一半又加半包，此時剛好領完所有樹苗．請問該校共申領了樹苗多少包？（

）A．127 B．255 C．316 D．511【變式7-2】（2025·四川宜賓·一模）《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻.大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半.如果墻足夠厚，第n天后大老鼠打洞的總進度是小老鼠的4倍，則n的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【變式7-3】（2024·云南昆明·一模）第七屆國際數(shù)學大會（ICNE7）的會徽圖案是由若干三角形組成的.如圖所示，作Rt△?AOB，OA=1，∠AOB=30°，再依次作相似三角形△?BOC，△?COD，△

A．32233C．3223【題型8等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用】【例8】（2025·河南·二模）記等差數(shù)列an的前n項和為Sn，公差d≠0，a1=1，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且b1=a3A．2 B．52 C．118【變式8-1】（2025·陜西寶雞·三模）已知數(shù)列an滿足a①數(shù)列a2n?1②數(shù)列a2n③當a1=1時，其中真命題的個數(shù)為（

）個A．0 B．1 C．2 D．3【變式8-2】（2025·湖北·三模）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，已知S6=63，a2?a8=?126，數(shù)列b(1)求數(shù)列an和b(2)求數(shù)列cn的最小值及取得最小值時n【變式8-3】（2025·湖南長沙·三模）已知等差數(shù)列an的第2項為3，其前5項和為25．數(shù)列bn是公比大于0的等比數(shù)列，b1(1)求an和b(2)記cn=b（?。┳C明cn（ⅱ）證明i=1nai【題型9等比數(shù)列中的不等式恒成立問題】【例9】（2025·甘肅定西·模擬預測）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,a1+a3=5,A．?8,2 B．?2,8 C．?10,6 D．?6,10【變式9-1】（2024·江蘇蘇州·二模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，2an+1=3Sn，若tA．(?4,2) B．?3,2 C．?6,2 【變式9-2】（2025·黑龍江哈爾濱·二模）已知數(shù)列an滿足a1=5，an+1?2(1)求證：bn(2)設cn=2n+1bn，數(shù)列cn的前n項和為Sn【變式9-3】（2025·天津·二模）已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足：a1=b1(1)求數(shù)列an和b(2)求數(shù)列n2anan+1(3)已知cn=an3bn，數(shù)列cn的前n項和【題型10與等比數(shù)列有關的新定義、新情景問題】【例10】（24-25高三下·重慶·階段練習）定義：滿足an+2an+1:an+1an=qq為常數(shù)，n∈N*）的數(shù)列anA．7 B．8 C．9 D．10【變式10-1】（24-25高二上·北京·期末）如果數(shù)列an滿足an+2an+1?an+1an①若數(shù)列an滿足a②數(shù)列n?2③所有的等比數(shù)列都是等比差數(shù)列；④存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【變式10-2】（2025高三下·全國·專題練習）若數(shù)列{an}(1)已知數(shù)列{an}為4，3，1，2，數(shù)列{bn(2)已知數(shù)列{cn}的通項公式為c【變式10-3】（2025·山西晉城·二模）設an是項數(shù)為mm≥3,m∈N*且各項均不相等的正項數(shù)列，滿足下列條件的數(shù)列bn稱為an的“m?等比關聯(lián)數(shù)列”：①數(shù)列bn的項數(shù)為m(1)已知數(shù)列bn是an的“3?等比關聯(lián)數(shù)列”，且a1=1，a2(2)已知數(shù)列bn是an的“4?等比關聯(lián)數(shù)列”，且an的前3項成等比數(shù)列的概率為P(3)證明：an不存在“5?等比關聯(lián)數(shù)列”b一、單選題1．（2025·北京·高考真題）已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a1=?2，若a3,A．?20 B．?18 C．16 D．182．（2025·四川成都·一模）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若S9+7SA．2 B．12 C．?123．（2025·江蘇連云港·模擬預測）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且an+1=2SA．2×3n?1 B．3×2n?1 C．4．（2025·云南麗江·模擬預測）已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a1?a6A．2014 B．2024 C．2025 D．20265．（2025·全國·二模）設等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，其n前項和為Sn，則“S19+SA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2025·海南·模擬預測）數(shù)列an滿足a1=52,?A．?∞,?34 B．?∞7．（2025·北京東城·模擬預測）月相是指天文學中對于地球上看到的月球被太陽照亮部分的稱呼．1854年，愛爾蘭學者在大英博物館所藏的一塊巴比倫泥板上發(fā)現(xiàn)了一個記錄連續(xù)15天月相變化的數(shù)列，記為an，其將滿月等分成240份，ai（1≤i≤15且i∈N*）表示第i天月球被太陽照亮部分所占滿月的份數(shù)．例如，第1天月球被太陽照亮部分占滿月的5240，即a1=5；第15天為滿月，即a15=240．已知an的第1項到第5項是公比為q的等比數(shù)列，第5項到第15項是公差為A．80 B．96 C．100 D．1128．（2