專題01平行線的性質(zhì)與判定（16種題型解讀）三線八角的概念：指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個角，其中同位角4對，內(nèi)錯角有2對，同旁內(nèi)角有2對.正確認識這八個角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同側(cè)”;內(nèi)錯角要抓住“內(nèi)部和異側(cè)”;同旁內(nèi)角要抓住“同旁和內(nèi)部”.平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號“∥”表示.平行公理（唯一性）：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補..平行線的判定判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡稱：同位角相等，兩直線平行.判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.判定方法4：垂直于同一直線的兩直線互相平行．判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：①有且只有一個公共點，兩直線相交；②無公共點，則兩直線平行；③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合.平行線之間的距離概念：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.性質(zhì)：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；2）平行線間的距離處處相等.【易錯易混】1.平行線必在同一平面內(nèi)，分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面內(nèi)”是平行線存在的前提條件.2.平行線指的是“兩條直線”而不是兩條射線或線段，今后遇到線段、射線平行時，特指線段、射線所在的直線平行.3.在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補的結(jié)論.這是平行線特有的性質(zhì)不要一提同位角或內(nèi)錯角就認為它們相等，一提同旁內(nèi)角就認為互補，若沒有兩直線平行的條件，這些是不成立的.【考點題型一】判斷同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）直線AB、CD被直線EF所截，且AB與CD不平行1）同位角有4組，如：∠1與∠5、∠2與∠6、∠3與∠7、∠4與∠8；2）內(nèi)錯角有2組，如：∠3與∠5、∠6與∠8；3）同旁內(nèi)角有2組，如：∠3與∠6、∠4與∠5；4）對頂角有4組，如：∠1與∠3、∠2與∠4、∠5與∠7、∠6與∠8.【快速判斷同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角】【例1】（20-21七年級下·廣東梅州·期中）如下圖，在“A”字型圖中，AB、AC被DE所截，則∠A與∠4是（）A．同位角 B．內(nèi)錯角 C．同旁內(nèi)角 D．鄰補角【變式1-1】（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，下列結(jié)論正確的是（

）A．∠5與∠4是對頂角 B．∠1與∠3是同位角 C．∠2與∠3是同旁內(nèi)角 D．∠1與∠2是同旁內(nèi)角【變式1-2】（23-24七年級上·黑龍江綏化·期中）下列判斷錯誤的是（

）A．∠2與∠4是同旁內(nèi)角 B．∠3與∠4是內(nèi)錯角 C．∠5與∠6是同旁內(nèi)角 D．∠1與∠5是同位角【變式1-3】（22-23七年級上·浙江杭州·期末）兩條直線相交所組成的四個角中有一個是銳角，則在其他三個角中(

)A．有3個是銳角 B．有2個是銳角 C．有1個是銳角 D．沒有銳角【考點題型二】判斷平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：①有且只有一個公共點，兩直線相交；②無公共點，則兩直線平行；③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合.【例2】（22-23七年級下·廣東汕尾·期中）如圖，若將一張長方形紙片沿圖示方向?qū)φ蹆纱?，則產(chǎn)生的折痕與折痕間的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．相交但不垂直【變式2-1】（23-24七年級上·安徽宿州·期中）在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系可能是（

）A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合【變式2-2】（22-23七年級下·重慶巴南·期中）在同一平面內(nèi)有9條直線a1，a2，…，a9，如果a1⊥a2，a2∥a3A．重合 B．平行或重合 C．垂直 D．相交但不垂直【變式2-3】（22-23七年級下·河北邯鄲·期中）如圖，已知一點A和直線l，現(xiàn)過點A作直線l的平行線，則可作平行線（

）A．1條 B．2條 C．0或1條 D．無數(shù)條【考點題型三】用直尺/三角板畫平行線【例3】（21-22七年級下·河北石家莊·期中）數(shù)學課上，老師要求同學們利用三角板畫出兩條平行線，老師展示了甲、乙兩位同學的畫法如下：甲的畫法：①將含30°角的三角尺的最長邊與直線a重合，另一塊三角尺最長邊與含30°角的三角尺的最短邊緊貼；②將含30°角的三角尺沿貼合邊平移一段距離，畫出最長邊所在直線b，則b∥a．乙的畫法：①將含30°角三角尺的最長邊與直線a重合，用虛線作出一條最短邊所在直線；②再次將含30°角三角尺最短邊與虛線重合，畫出最長邊所在直線b，則b∥a．請你判斷兩人的作圖的正確性（

）A．甲正確，乙錯誤 B．甲錯誤，乙正確 C．兩人都正確 D．兩人都錯誤【變式3-1】（22-23七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）在如圖所示的方格紙上作圖并標上相應(yīng)的字母．(1)請過點C畫線段AB的平行線m；(2)請過點C畫線段AB的垂線n，垂足為H；(3)若方格紙中每個小正方形的邊長為1，則△ABC的面積等于______．【考點題型四】平行公理及推論平行公理（唯一性）：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.【例4】（22-23七年級下·天津和平·期末）下列說法中正確的是（

）A．過一點有且只有一條直線垂直于已知直線B．直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到這條直線距離C．經(jīng)過直線外一點，有且僅有一條直線與已知直線平行D．兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補【變式4-1】（22-23七年級下·湖北荊州·期末）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按圖方式放置，其中A、B兩點分別落在直線m、n上，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)為（

A．30° B．40° C．20° D．10°【變式4-2】（22-23七年級下·河南商丘·階段練習）如圖，某城市新修建的地下管道流經(jīng)B,C,D三點拐彎后與原來方向相同，若∠ABC=120°,∠BCD=85°，則∠CDE的度數(shù)是（

）

A．45° B．40° C．35° D．25°【考點題型五】判斷兩直線平行的依據(jù)平行線的判定判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡稱：同位角相等，兩直線平行.判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.判定方法4：同一平面，垂直于同一直線的兩直線互相平行．【例5】（21-22七年級下·山東菏澤·期中）如圖，給出了過直線外一點作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（

）

A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等【變式5-1】（22-23七年級下·河南焦作·期中）如圖，已知∠BOP與射線OP上的點A，小亮用尺規(guī)過點A作OB①取射線OP上的點C，以點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交OB于點D；②以點A為圓心，OC長為半徑畫弧，交OA于點M；③以點M為圓心，CD長為半徑畫弧，交第②步中所畫的弧于點E，直線EA即為所求．小亮作圖的依據(jù)是（

）

A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行D．以上結(jié)論都不正確【變式5-2】（22-23七年級下·江蘇泰州·期末）一節(jié)數(shù)學實踐課上，老師讓同學們用兩個大小、形狀都相同的三角板畫平行線AB、CD，并要說出自己做法的依據(jù)．小奇、小妙兩位同學的做法如圖：小奇說：“我做法的依據(jù)是：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．”小妙做法的依據(jù)是．【變式5-3】（23-24七年級上·吉林長春·期末）一節(jié)數(shù)學實踐課上，老師讓同學們用兩個大小、形狀都相同的三角板畫平行線AB、CD，并要說出自己做法的依據(jù)．小奇、小妙兩位同學的做法如圖：小奇說：“我做法的依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行．”則小妙做法的依據(jù)是．【考點題型六】補充過程證明兩直線平行【例6】（22-23七年級下·四川成都·期中）請完成下面的推理過程并在括號里填寫推理依據(jù)：如圖，AB⊥BC,∠1+∠2=90°,∠2=∠3，BE與解：BE∥∵AB⊥BC（已知），∴∠ABC=________°即∠3+∠4=________°（

）又∵∠1+∠2=90°（

），且∠2=∠3（已知）∴∠1=∠4（

）∴BE∥DF（【變式6-1】（22-23七年級下·遼寧錦州·期中）如圖，A、B、C三點在同一直線上，∠1=∠2，∠3=∠D，閱讀下面的推理過程，在括號內(nèi)填上推理的依據(jù)因為∠1=∠2，（____________________________）所以AD∥所以∠4=∠D，（____________________________）又因為∠3=∠D，（____________________________）所以∠3所以BD∥【變式6-2】（22-23七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）下面是數(shù)學探究小組利用正方形網(wǎng)格設(shè)計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的作圖過程．已知：如圖，點C在直線AB上，點D在直線AB外，且∠DCB=90°．

求作：直線DE，使得DE∥作法：①在線段CD的延長線上任取一點M；②以D為頂點，DM為一邊，在DM右側(cè)作∠MDE=90°：③將射線DE反向延長．直線DE新是所求作的直線．根據(jù)探究小組的作圖過程，解決以下問題：(1)補全圖形，并完成證明過程，在括號中填推理的依據(jù)：證明：∵∠MDE=90°，∠DCB=90°，∴∠MDE=∠DCB（

）．∴AB∥DE（(2)在（1）的條件下，過點C作∠ACD的平分線，交直線DE于點F，請補全圖形并求∠CFE的度數(shù)．【變式6-3】（22-23七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，點G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC，請說明AE∥GF的理由．解：因為∠BAG+∠AGD=180°∠AGC+∠AGD=180°所以∠BAG=∠AGC()．因為EA平分∠BAG，所以∠1=12因為FG平分∠AGC，所以∠2=12

得∠1=∠2，所以AE∥GF()．【考點題型七】證明兩條直線平行【例7】（22-23七年級下·貴州貴陽·期末）如圖，已知AB⊥BD,AB⊥AC,∠1=∠2，請判斷AE與BF的位置關(guān)系，并說明理由．

【變式7-1】（21-22七年級下·河南信陽·期末）如圖，已知點O在直線AB上，射線OE平分∠AOC，過點O作OD⊥OE，G是射線OB上一點，連接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求證：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，試判斷CD與OE的位置關(guān)系，并說明理由．【變式7-2】（21-22七年級下·陜西西安·期中）如圖，直線CD、EF交于點O，OA，OB分別平分∠COE和∠DOE，已知(1)求∠BOF的度數(shù)；(2)試說明AB∥【考點題型八】旋轉(zhuǎn)使兩直線平行【例8】（22-23七年級下·新疆烏魯木齊·期末）如圖，已知∠A=70°，O是AB上一點，直線OD與AB的夾角∠BOD=82°，要使OD∥AC，直線OD繞點O按逆時針方向至少旋轉(zhuǎn)（

）度

A．12 B．18 C．22 D．24【變式8-1】（21-22七年級下·江蘇淮安·期中）如圖，固定木條b、c，使∠1=80°，旋轉(zhuǎn)木條a，要使得a∥b，則∠2應(yīng)調(diào)整為（

）A．70° B．80° C．90° D．100°【變式8-2】（23-24七年級上·福建福州·期末）如圖，直線a、c固定，∠1=70°，直線b繞著點O旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)到使∠2=°時，有a∥【變式8-3】（22-23七年級下·四川成都·期中）我們知道，角可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的．如圖1，∠AOA'可以看作將OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)如圖2，P，Q是直線l上不同的兩點，將直線l繞點P順時針旋轉(zhuǎn)70°得到直線l1，再將直線l1繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)a°(0<α<180)得到直線l2，要使l1∥一副三角板(∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=60°)擺放位置如圖3所示，BC∥DF，將三角板DEF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)β°(0<β<180)，當DE∥AB時，則【考點題型九】由平行線的性質(zhì)求角度已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）直線AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；2）內(nèi)錯角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；3）同旁內(nèi)角互補：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；4）對頂角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.【例9】（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點B放在直線EF上，∠C=30°，AC∥EF，則∠1=（

）A．30° B．45°C．60° D．75°【變式9-1】（2022·陜西·中考真題）如圖，AB∥CD,BC∥EF．若∠1=58°，則A．120° B．122° C．132° D．148°【變式9-2】（2022·云南·中考真題）如圖，已知直線c與直線a、b都相交．若a∥b，∠1=85°，則∠2=（

）A．110° B．105° C．100° D．95°【變式9-3】（21-22七年級下·湖南張家界·期末）如圖：CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠BAC=40°，∠1=∠2，則下列結(jié)論：①∠ACE=2∠4；②CB⊥CF；③∠1=70°；④∠3=2∠4，其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【考點題型十】利用平行線的性質(zhì)解決實際生活問題【例10】（2022·湖南婁底·中考真題）一條古稱在稱物時的狀態(tài)如圖所示，已知∠1=80°，則∠2=（

）A．20° B．80° C．100° D．120°【變式10-1】（2023·四川涼山·中考真題）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，∠1=45°,∠2=120°，則∠3+∠4=（

）

A．165° B．155° C．105° D．90°【變式10-2】（21-22七年級下·湖北武漢·期中）如圖，某人騎自行車自A沿正東方向前進，第一次在B處拐彎，兩次拐彎后，仍沿正東方向行駛，兩次拐彎的角度可能是（）A．第一次右拐15°，第二次左拐165°B．第一次右拐15°，第二次左拐15°C．第一次左拐15°，第二次左拐165°D．第一次右拐165°，第二次左拐165°【變式10-3】（21-22七年級下·山西臨汾·期中）如圖，木條a、b、c通過B、E兩處螺絲固定在一起，且∠ABM=40°，∠BEF=77°，將木條a、木條b、木條c看作是在同一平面內(nèi)的三條直線AC、DF、MN，若使直線AC、直線DF達到平行的位置關(guān)系，則下列描述正確的是（

）A．木條b、c固定不動，木條a繞點B順時針旋轉(zhuǎn)23°B．木條b、c固定不動，木條a繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)103C．木條a、c固定不動，木條b繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)37D．木條a、c固定不動，木條b繞點E順時針旋轉(zhuǎn)158【變式10-4】（22-23七年級下·四川成都·期末）公元前200年，古希臘地理學家埃拉托色尼將天文學與測地學結(jié)合起來測量地球圓周，他提出設(shè)想：在夏至日那天，分別在兩地同時觀察太陽的位置，并根據(jù)地物陰影的長度差異，加以研究分析，從而總結(jié)出計算地球圓周的科學方法．他發(fā)現(xiàn)，在當時的城市塞恩（圖中的A點），直立的桿子在某個時刻沒有影子，而此時在500英里以外的亞歷山大（圖中的B點），直立的桿子的影子卻偏離垂直方向7°12'（圖中角等于7°12'）．根據(jù)這個數(shù)據(jù)，可以算出地球一周的總長約等于25000mile，這是因為弧AB的長+7°12'

A．對頂角相等 B．兩直線平行，同位角相等C．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【考點題型十一】根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系【例11】（19-20九年級下·山東菏澤·階段練習）某學生上學路線如圖所示，他總共拐了三次彎，最后行車路線與開始的路線相互平行，已知第一次轉(zhuǎn)過的角度，第三次轉(zhuǎn)過的角度，則第二次拐彎角∠1的度數(shù)是（

）A．55° B．70° C．90° D．80°【變式11-1】（22-23七年級上·河南洛陽·期末）如圖，AB∥EF，BC⊥CD，則∠α，∠β，∠γ之間的關(guān)系是（A．∠β=∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ=180°C．∠α+∠β?∠γ=90° D．∠β+∠γ?∠α=90°【變式11-2】（21-22七年級下·重慶銅梁·期中）如圖，已知AB∥DE，且∠C=110°，則∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系為【變式11-3】（22-23七年級下·福建寧德·期中）如圖，AB∥CD，E為AB上一點，且EF⊥CD垂足為F，∠CED=90°，CE平分∠AEG，且∠CGE=α，則下列結(jié)論：①∠AEC=90°?12α；②DE平分∠GEB；③∠CEF=∠GED【變式11-4】（21-22七年級下·廣東深圳·期中）如圖，圖①是一種網(wǎng)紅彈弓的實物圖，在兩頭上系上皮筋，拉動皮筋可形成平面示意圖如圖②和圖③，彈弓的兩邊可看成是平行的，即AB∥CD，各活動小組探索∠APD與∠A，∠D之間數(shù)量關(guān)系時，有如下發(fā)現(xiàn)，(1)在圖②所示的圖形中，若∠A=30°，∠D=35°，則∠APD=___________(2)在圖⑧中，若∠A=150°，∠APD=60°，則∠D=_________(3)有同學在圖②和圖③的基礎(chǔ)上，面出了圖④所示的圖形，其中AB∥CD，請判斷∠α，∠β，∠γ之間的關(guān)系，并說明理由．【考點題型十二】求平行線之間的距離平行線之間的距離概念：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.性質(zhì)：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；2）平行線間的距離處處相等.【例12】（19-20七年級下·河北唐山·期中）如圖，直線AB∥CD，點P是直線AB上一個動點，當點P的位置發(fā)生變化時，△PCD的面積（A．向左移動變小 B．向右移動變小 C．始終不變 D．無法確定【變式12-1】（2022·河北石家莊·三模）如圖是兩條平行線，則表示這兩條平行線間距離的線段有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【變式12-2】（21-22七年級下·湖南常德·期末）如圖，AD∥BC，BC=6，且△ABC的面積為12，則△ACD底邊AD上高的長度為【變式12-3】（21-22七年級下·廣西貴港·期末）如圖，直線a∥b，AB與a，b分別相交于點A，B，且AC⊥AB，AC交直線b于點C．(1)若∠1=70°，求∠2的度數(shù)；(2)若AC=5，AB=12，BC=13，求直線a與b的距離．【考點題型十三】平行線的性質(zhì)與判定與三角板綜合問題【例13】（22-23七年級下·貴州遵義·期中）如圖，將一塊含45°角的三角板放在一組平行線上（BF∥AG），頂點A為三角板的直角頂點，AF平分∠HAG．若∠EFI=41°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．8° B．16° C．32° D．37°【變式13-1】（22-23七年級下·云南昆明·期末）直角三角板ABC與直角三角板DEF如圖擺放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AC與DE相交于點M，若BC∥EF，則A．45° B．55° C．65° D．75°【變式13-2】（22-23七年級下·河北石家莊·期中）將一個三角板如圖所示擺放，直線MN與直線GH相交于點P，∠MPH=45°，現(xiàn)將三角板ABC繞點A以每秒1°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)時間為t秒，且0≤t≤150，當t=時，MN與三角板的邊平行．【變式13-3】（22-23七年級下·浙江金華·期末）如圖，F(xiàn)G∥HK，一塊三角板的頂點A在直線HK上，BC、AC分別交FG與點D、E．已知∠BAC=60°，∠B=90°，∠C=30°．(1)如圖1，∠BAH=40°，求：①∠FDB的度數(shù)；②當∠CDE和∠CAK的角平分線交于點I時，∠I的度數(shù)．(2)如圖2，點I在∠EDC的角平分線上，連接AI，讓∠CAI:∠KAI=1:3，且∠I=35°請求此時∠FDB的度數(shù)；(3)如圖3，若∠CDI:∠GDI=1:n，∠CAI:∠KAI=1:n，求∠I的度數(shù)．【考點題型十四】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定證明【例14】（20-21七年級下·廣東東莞·期末）如圖，點B，C在線段AD的異側(cè)，點E，F(xiàn)分別是線段AB，CD上的點，已知∠1=∠2，∠3=∠C．(1)求證：AB∥CD；(2)若∠2+∠4=180°，求證：∠BFC+∠C=180°；(3)在（2）的條件下，若∠BFC?30°=2∠1，求∠B的度數(shù)．【變式14-1】（21-22七年級下·重慶·期中）如圖，AD是△ABE的角平分線，過點B作BC⊥AB交AD的延長線于點C，點F在AB上，連接EF交AD于點G．(1)若2∠1+∠EAB=180°，求證：EF∥BC；(2)若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度數(shù)．【變式14-2】（21-22七年級上·四川宜賓·期末）如圖，AB∥CD，點(1)如圖1，若∠BAE=35°，∠DCE=20°，則∠AEC=____________；(2)如圖2，試說明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；(3)①如圖3，若∠BAE的平分線與∠DCE的平分線相交于點F，判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖4，若設(shè)∠E=m，∠BAF=1n∠FAE，∠DCF=1n∠FCE，請直接用含【考點題型十五】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定解決角度定值問題【例15】（23-24七年級上·福建泉州·期末）如圖，AB∥CD，點E在直線AB和CD之間，且在直線BD的左側(cè)，∠ABE=1(1)如圖1，求∠BED的度數(shù)（用含α的式子表示）；(2)連接BD，過點E作EF∥BD，交AB于點F，動點G在射線BE上，①如圖2，若k=5，DG平分∠BDE，判斷DG與BE的位置關(guān)系并說明理由．②連接DF，若∠DFE=12∠DFB，DG⊥BE于點G，是否存在常數(shù)k，使∠FDG【變式15-1】（22-23七年級下·福建福州·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，OA=2，OB=3，現(xiàn)同時將點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移a個單位，分別得到點A，B的對應(yīng)點C，D，且C點落在y軸上，連接AC，BD．

(1)直接寫出點C、D的坐標：C()，D()；(2)如圖1，若點Q在線段CD上，且CQ=1，點P以每秒1個單位長度的速度從點O沿y軸正半軸向上運動，是否存在點P，使得S△PQB=2，若存在，求出點(3)如圖2，已知∠CAB=45°，射線AE以6°/s的速度繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AB停止，射線CD以2°/s的速度繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，射線AE、CD同時開始旋轉(zhuǎn)，同時停止運動．在射線AE到達AB之前，會與射線CD交于點M，過M作MN⊥AM交CD于N，則在轉(zhuǎn)動過程中，【變式15-2】（22-23七年級下·河南商丘·期末）已知AB∥CD，P是截線MN上的一點，MN與CD，AB分別交于E，

(1)如圖（1），P在AB、CD之間，若∠EFB=50°，∠EDP=35°，求∠MPD的度數(shù)；(2)如圖（1），當點P在線段EF上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，則∠Q∠DPB(3)如圖（2），當點P在線段FE的延長線上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，∠Q∠DPB【考點題型十六】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定解決旋轉(zhuǎn)問題【例16】（22-23七年級下·浙江金華·期末）數(shù)學興趣小組圍繞“三角形的內(nèi)角和是180°”，進行了一系列探究，過程如下：【論證】如圖1，延長BA至D，過點A作AE∥BC，就可以說明∠BAC+∠B+∠C=180°成立，即：三角形的內(nèi)角和為180°，請完成上述說理過程．【應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，∠BAC的平分線與∠ACB的角平分線交于點P，過點A作AE∥BC，M在射線AE上，且∠ACM=∠AMC，MC的延長線與AP的延長線交于點D．①求∠DCP的度數(shù)；②設(shè)∠B=α，請用α的代數(shù)式表示∠D．【拓展】如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，過點A作EF∥BC，直線MN與EF相交于A點右側(cè)的點P，∠APN=75°．△ABC繞點A以每秒12°的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，同時MN繞點P以每秒5°的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，與EF重合時MN再繞著點P以原速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當△ABC旋轉(zhuǎn)一周時，運動全部停止，設(shè)運動時間為t秒，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否某一時刻，使得MN與△ABC的一邊平行？若存在，求

【變式16-1】（22-23七年級下·山西長治·期末）(1)如圖1，將一副直角三角板按照如圖所示的方式放置，其中點C，D，A，F(xiàn)在同一條直線上，兩條直角邊所在的直線分別為MN，PQ，∠BAC=30°，∠DEF=45°，AB與DE相交于點O，則∠BOE的度數(shù)是______．(2)將圖1中的三角板ABC和三角板DEF分別繞點B，F(xiàn)按各自的方向旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，其中BA平分∠MBC，求∠PFA的度數(shù)．(3)將圖1位置的三角板ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一周，速度為每秒15°，三角板DEF不動，在此過程中，經(jīng)過______秒邊AB與邊DE互相平行．

【變式16-2】（22-23七年級下·重慶江津·期中）已知，AE∥BD，(1)如圖1，判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)作∠BAE的平分線交CD于點F，點G為線段AB上一點，連接FG，∠CFG的平分線FM交線段AG于點H．如圖2，若∠ECF=120°，∠AFH=20°，∠CFG=110°，求∠E的度數(shù)；(3)如圖3，連接AC，在（2）的條件下，將射線FG繞點F以5°每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒（0<t<50），已知∠CAB=65°，請直接寫出∠CFG的平分線FM與三角形ACE的邊平行時t的值．【變式16-3】（21-22七年級下·江蘇泰州·階段練習）光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中，有∠1＝∠2．(1)如圖2，已知鏡子MO與鏡子ON的夾角∠MON＝90°，請判斷入射光線AB與反射光線CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖3，有一口井，已知入射光線AO與水平線OC的夾角為50°，當平面鏡MN與水平線OC的夾角為°，能使反射光線OB正好垂直照射到井底；(3)如圖4，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射線AB、CD分別繞A點、C點以3度/秒和1度/秒的速度同時逆時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為t秒，在射線AB轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，是否存在某時刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時間t．專題01平行線的性質(zhì)與判定（16種題型解讀）三線八角的概念：指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個角，其中同位角4對，內(nèi)錯角有2對，同旁內(nèi)角有2對.正確認識這八個角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同側(cè)”;內(nèi)錯角要抓住“內(nèi)部和異側(cè)”;同旁內(nèi)角要抓住“同旁和內(nèi)部”.平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號“∥”表示.平行公理（唯一性）：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補..平行線的判定判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡稱：同位角相等，兩直線平行.判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.判定方法4：垂直于同一直線的兩直線互相平行．判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：①有且只有一個公共點，兩直線相交；②無公共點，則兩直線平行；③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合.平行線之間的距離概念：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.性質(zhì)：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；2）平行線間的距離處處相等.【易錯易混】1.平行線必在同一平面內(nèi)，分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面內(nèi)”是平行線存在的前提條件.2.平行線指的是“兩條直線”而不是兩條射線或線段，今后遇到線段、射線平行時，特指線段、射線所在的直線平行.3.在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補的結(jié)論.這是平行線特有的性質(zhì)不要一提同位角或內(nèi)錯角就認為它們相等，一提同旁內(nèi)角就認為互補，若沒有兩直線平行的條件，這些是不成立的.【考點題型一】判斷同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）直線AB、CD被直線EF所截，且AB與CD不平行1）同位角有4組，如：∠1與∠5、∠2與∠6、∠3與∠7、∠4與∠8；2）內(nèi)錯角有2組，如：∠3與∠5、∠6與∠8；3）同旁內(nèi)角有2組，如：∠3與∠6、∠4與∠5；4）對頂角有4組，如：∠1與∠3、∠2與∠4、∠5與∠7、∠6與∠8.【快速判斷同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角】【例1】（20-21七年級下·廣東梅州·期中）如下圖，在“A”字型圖中，AB、AC被DE所截，則∠A與∠4是（）A．同位角 B．內(nèi)錯角 C．同旁內(nèi)角 D．鄰補角【答案】A【分析】本題主要考查了同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角和鄰補角的定義．根據(jù)同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角和鄰補角的定義判斷即可．【詳解】解：在“A”字型圖中，兩條直線AB、AC被DE所截形成的角中，∠A與∠4都在直線AB、DE的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）AC的同旁，則∠A與∠4是同位角．故選：A．【變式1-1】（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，下列結(jié)論正確的是（

）A．∠5與∠4是對頂角 B．∠1與∠3是同位角 C．∠2與∠3是同旁內(nèi)角 D．∠1與∠2是同旁內(nèi)角【答案】D【分析】本題考查同位角同旁內(nèi)角、對頂角，根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、對頂角的定義進行判斷，熟練掌握各角的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、∠5與∠2+∠3是對頂角，故本選項錯誤，不符合題意；B、∠1與∠3+∠4是同位角，故本選項錯誤，不符合題意；C、∠2與∠3沒有處在兩條被截線之間，故本選項錯誤，不符合題意；D、∠1與∠2是同旁內(nèi)角；故本選項正確，符合題意；故選：D．【變式1-2】（23-24七年級上·黑龍江綏化·期中）下列判斷錯誤的是（

）A．∠2與∠4是同旁內(nèi)角 B．∠3與∠4是內(nèi)錯角 C．∠5與∠6是同旁內(nèi)角 D．∠1與∠5是同位角【答案】C【分析】此題主要考查了三線八角．根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義進行解答即可．【詳解】解：A、∠2與∠4是同旁內(nèi)角，說法正確；B、∠3與∠4是內(nèi)錯角，說法正確；C、∠5與∠6不是兩條直線被第三條直線截成的角，說法錯誤；D、∠1與∠5是同位角，說法正確．故選：C．【變式1-3】（22-23七年級上·浙江杭州·期末）兩條直線相交所組成的四個角中有一個是銳角，則在其他三個角中(

)A．有3個是銳角 B．有2個是銳角 C．有1個是銳角 D．沒有銳角【答案】C【分析】本題主要考查對角的認識，2條直線交叉相交，形成4個角，4個角和等于360，在同一條直線的兩個角的和是180°，其中一個角∠1是鈍角（如圖），所以∠2、∠4都是銳角，那么【詳解】解：如圖，其中一個角∠1是鈍角，所以∠2、∠4都是銳角，那么所以兩條直線交叉相交，如果其中一個角是銳角，那么另外三個角中還只能有一個銳角，其余兩個角是鈍角．故選：C．【考點題型二】判斷平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：①有且只有一個公共點，兩直線相交；②無公共點，則兩直線平行；③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合.【例2】（22-23七年級下·廣東汕尾·期中）如圖，若將一張長方形紙片沿圖示方向?qū)φ蹆纱?，則產(chǎn)生的折痕與折痕間的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．相交但不垂直【答案】A【分析】本題考查平行線的知識，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，即可．【詳解】∵長方形對折兩次，產(chǎn)生的折痕與折痕間的位置如下：

∴產(chǎn)生的折痕與折痕間的位置關(guān)系是平行，故先：A．【變式2-1】（23-24七年級上·安徽宿州·期中）在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系可能是（

）A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合【答案】C【分析】本題考查了平行線，根據(jù)兩條直線有一個交點的直線是相交線，沒有交點的直線是平行線，可得答案．【詳解】解：在同一平面內(nèi)，兩條直線有一個交點，兩條直線相交；在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有交點，兩條直線平行，故C正確；故選：C．【變式2-2】（22-23七年級下·重慶巴南·期中）在同一平面內(nèi)有9條直線a1，a2，…，a9，如果a1⊥a2，a2∥a3A．重合 B．平行或重合 C．垂直 D．相交但不垂直【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義和平行線的性質(zhì)可得a1與a2、a3【詳解】解：∵在同平面內(nèi)有9條直線a1，a2……a9，若a1⊥a2，a2∥∴a1與∵9?1÷4=2∴a1與a9的位置關(guān)系是平行；當a1故選：B．【點睛】本題考查垂線、平行線的規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．【變式2-3】（22-23七年級下·河北邯鄲·期中）如圖，已知一點A和直線l，現(xiàn)過點A作直線l的平行線，則可作平行線（

）A．1條 B．2條 C．0或1條 D．無數(shù)條【答案】C【分析】分兩種情況討論：當A在直線l上時，過A不能作直線l的平行線，所以為0條，當A在直線l外時，根據(jù)同一平面內(nèi)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行進行求解即可．【詳解】解：當A在直線l上時，過A不能作直線l的平行線，所以為0條，當A在直線l外時，同一平面內(nèi)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故選：C．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記同一平面內(nèi)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．【考點題型三】用直尺/三角板畫平行線【例3】（21-22七年級下·河北石家莊·期中）數(shù)學課上，老師要求同學們利用三角板畫出兩條平行線，老師展示了甲、乙兩位同學的畫法如下：甲的畫法：①將含30°角的三角尺的最長邊與直線a重合，另一塊三角尺最長邊與含30°角的三角尺的最短邊緊貼；②將含30°角的三角尺沿貼合邊平移一段距離，畫出最長邊所在直線b，則b∥a．乙的畫法：①將含30°角三角尺的最長邊與直線a重合，用虛線作出一條最短邊所在直線；②再次將含30°角三角尺最短邊與虛線重合，畫出最長邊所在直線b，則b∥a．請你判斷兩人的作圖的正確性（

）A．甲正確，乙錯誤 B．甲錯誤，乙正確 C．兩人都正確 D．兩人都錯誤【答案】C【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】甲的畫法依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行．乙的畫法依據(jù)是：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．故選C【點睛】此題主要考查了平行的畫法，平行線的性質(zhì)以及平移變換，正確應(yīng)用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（22-23七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）在如圖所示的方格紙上作圖并標上相應(yīng)的字母．(1)請過點C畫線段AB的平行線m；(2)請過點C畫線段AB的垂線n，垂足為H；(3)若方格紙中每個小正方形的邊長為1，則△ABC的面積等于______．【答案】(1)如圖，平行線m即為所求；(2)如圖，垂線n即為所求；(3)11【分析】本題考查了畫平行線，畫垂線，三角形面積公式，掌握平行線與垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點，將AB平移，使得m經(jīng)過C點即可求解；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點，畫出AB的垂線n，垂足為H；（3）根據(jù)網(wǎng)格的特點，用長方形減去三個三角形的面積即可求解．【詳解】（1）如圖所示，平行線m即為所求；（2）如圖所示，垂線n即為所求；（3）連接AB，AC，S△ABC【考點題型四】平行公理及推論平行公理（唯一性）：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.【例4】（22-23七年級下·天津和平·期末）下列說法中正確的是（

）A．過一點有且只有一條直線垂直于已知直線B．直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到這條直線距離C．經(jīng)過直線外一點，有且僅有一條直線與已知直線平行D．兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補【答案】C【分析】根據(jù)平行公理，垂線的定義以及點到直線的距離的定義，平行線的性質(zhì)，對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線垂直于已知直線，故本選項錯誤，不符合題意；B、從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到這條直線距離，故本選項錯誤，不符合題意；C、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項正確，符合題意；D、兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補，故錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了平行公理，垂線的定義，以及點到直線的距離的定義，平行線的性質(zhì)，熟記概念及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（22-23七年級下·湖北荊州·期末）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按圖方式放置，其中A、B兩點分別落在直線m、n上，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)為（

A．30° B．40° C．20° D．10°【答案】C【分析】過點C作CD∥m，進而可得CD∥【詳解】過點C作CD∥

∵m∥∴CD∥∴∠1=∠ACD,∠2=∠BCD，∵∠1=40°，∠ACB=60°，∴∠BCD=∠2=∠ACB?∠1=20°，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，能夠作出適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（22-23七年級下·河南商丘·階段練習）如圖，某城市新修建的地下管道流經(jīng)B,C,D三點拐彎后與原來方向相同，若∠ABC=120°,∠BCD=85°，則∠CDE的度數(shù)是（

）

A．45° B．40° C．35° D．25°【答案】D【分析】過點C作CF∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得【詳解】解：過點C作CF∥

∴∠ABC+∠BCF=180°，而∠ABC=120°，∴∠BCF=180°?∠ABC=60°，∵∠BCD=85°，∴∠DCF=∠BCD?∠BCF=25°，∵AB∥∴DE∥∴∠CDE=∠DCF=25°，故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【考點題型五】判斷兩直線平行的依據(jù)平行線的判定判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡稱：同位角相等，兩直線平行.判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.判定方法4：同一平面，垂直于同一直線的兩直線互相平行．【例5】（21-22七年級下·山東菏澤·期中）如圖，給出了過直線外一點作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（

）

A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定定理判斷．【詳解】解：依據(jù)平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行．故選：A．【點睛】本題考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定定理．【變式5-1】（22-23七年級下·河南焦作·期中）如圖，已知∠BOP與射線OP上的點A，小亮用尺規(guī)過點A作OB①取射線OP上的點C，以點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交OB于點D；②以點A為圓心，OC長為半徑畫弧，交OA于點M；③以點M為圓心，CD長為半徑畫弧，交第②步中所畫的弧于點E，直線EA即為所求．小亮作圖的依據(jù)是（

）

A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行D．以上結(jié)論都不正確【答案】B【分析】由作法可知：∠O=【詳解】解：由作法可知：∠O=根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可得AE∥OB故選：B．【點睛】本題考查了平行線的判定，尺規(guī)作圖，根據(jù)圖形的作法得到∠O=【變式5-2】（22-23七年級下·江蘇泰州·期末）一節(jié)數(shù)學實踐課上，老師讓同學們用兩個大小、形狀都相同的三角板畫平行線AB、CD，并要說出自己做法的依據(jù)．小奇、小妙兩位同學的做法如圖：小奇說：“我做法的依據(jù)是：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．”小妙做法的依據(jù)是．【答案】同位角相等，兩直線平行【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是準確識圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)：同位角相等兩直線平行；錯角相等兩直線平行．根據(jù)兩個大小、形狀都相同的三角板可知：∠B=∠D，由此可得AB∥CD，據(jù)此可得小妙做法的依據(jù)．【詳解】解：依題意得：∠B=∠D，∴AB∥CD，因此，小妙做法的依據(jù)是同位角相等，兩直線平行．故答案為：同位角相等，兩直線平行．【變式5-3】（23-24七年級上·吉林長春·期末）一節(jié)數(shù)學實踐課上，老師讓同學們用兩個大小、形狀都相同的三角板畫平行線AB、CD，并要說出自己做法的依據(jù)．小奇、小妙兩位同學的做法如圖：小奇說：“我做法的依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行．”則小妙做法的依據(jù)是．【答案】內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】本題考查了平行線的判定；根據(jù)題意，∠BAD=∠CDA，得出AB∥【詳解】解：∵根據(jù)題意，∠BAD=∠CDA，∴AB∥故答案為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【考點題型六】補充過程證明兩直線平行【例6】（22-23七年級下·四川成都·期中）請完成下面的推理過程并在括號里填寫推理依據(jù)：如圖，AB⊥BC,∠1+∠2=90°,∠2=∠3，BE與

解：BE∥∵AB⊥BC（已知），∴∠ABC=________°即∠3+∠4=________°（

）又∵∠1+∠2=90°（

），且∠2=∠3（已知）∴∠1=∠4（

）∴BE∥DF（【答案】90,90，等量代換，已知，等角的補角相等，同位角相等，兩直線平行【分析】先根據(jù)垂直的定義和等角的補角相等得出∠1=∠4，再根據(jù)平行線的判定求解即可．【詳解】解：BE∥∵AB⊥BC（已知），∴∠ABC=90°，即∠3+∠4=90°（等量代換）又∵∠1+∠2=90°（已知），且∠2=∠3（已知）∴∠1=∠4（等角的補角相等）∴BE∥故答案為：90,90，等量代換，已知，等角的補角相等，同位角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查了平行線的判定，垂直的意義，等角的補角相等，熟練掌握各個知識點是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（22-23七年級下·遼寧錦州·期中）如圖，A、B、C三點在同一直線上，∠1=∠2，∠3=∠D，閱讀下面的推理過程，在括號內(nèi)填上推理的依據(jù)：因為∠1=∠2，（____________________________）所以AD∥所以∠4=∠D，（____________________________）又因為∠3=∠D，（____________________________）所以∠3所以BD∥【答案】已知；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；已知；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】利用平行線的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：因為∠1=∠2，（已知）所以AD∥所以∠4=∠D，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又因為∠3=∠D，（已知）所以∠3所以BD∥故答案為：已知；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；已知；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．【變式6-2】（22-23七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）下面是數(shù)學探究小組利用正方形網(wǎng)格設(shè)計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的作圖過程．已知：如圖，點C在直線AB上，點D在直線AB外，且∠DCB=90°．

求作：直線DE，使得DE∥作法：①在線段CD的延長線上任取一點M；②以D為頂點，DM為一邊，在DM右側(cè)作∠MDE=90°：③將射線DE反向延長．直線DE新是所求作的直線．根據(jù)探究小組的作圖過程，解決以下問題：(1)補全圖形，并完成證明過程，在括號中填推理的依據(jù)：證明：∵∠MDE=90°，∠DCB=90°，∴∠MDE=∠DCB（

）．∴AB∥DE（(2)在（1）的條件下，過點C作∠ACD的平分線，交直線DE于點F，請補全圖形并求∠CFE的度數(shù)．【答案】(1)圖見解析，等量代換，同位角相等，兩直線平行(2)圖見解析，∠CFE=45°【分析】（1）根據(jù)題意，補全圖形即可，根據(jù)同位角相等，兩直線平行進行作答即可；（2）根據(jù)題意，作圖，利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，進行求解即可．【詳解】（1）解：如圖：

證明：∵∠MDE=90°，∠DCB=90°，∴∠MDE=∠DCB（等量代換）．∴AB∥（2）如圖，CF即為所求；∵∠DCB=90°，∴∠DCA=90°，∵CF平分∠ACD，∴∠ACF=45°，∵DE∥AB，∴∠CFE=∠ACF=45°．【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線有關(guān)的計算．解題的關(guān)鍵是掌握同位角相等，兩直線平行．【變式6-3】（22-23七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，點G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC，請說明AE∥GF的理由．解：因為∠BAG+∠AGD=180°∠AGC+∠AGD=180°所以∠BAG=∠AGC()．因為EA平分∠BAG，所以∠1=12因為FG平分∠AGC，所以∠2=12

得∠1=∠2，所以AE∥GF()．【答案】同角的補角相等；∠BAG；∠AGC；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】本題考查平行線的判定，根據(jù)同角的補角相等，角平分線平分角，以及內(nèi)錯角相等，兩直線平行，進行作答即可．掌握平行線的判定定理，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：因為∠BAG+∠AGD=180°∠AGC+∠AGD=180°所以∠BAG=∠AGC(同角的補角相等)．因為EA平分∠BAG，所以∠1=1因為FG平分∠AGC，所以∠2=1得∠1=∠2，所以AE∥GF(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)，故答案為：同角的補角相等；∠BAG；∠AGC；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【考點題型七】證明兩條直線平行【例7】（22-23七年級下·貴州貴陽·期末）如圖，已知AB⊥BD,AB⊥AC,∠1=∠2，請判斷AE與BF的位置關(guān)系，并說明理由．

【答案】平行，理由見解析【分析】本題考查平行線的判斷，掌握平行線的判定方法，是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)AB⊥BD,AB⊥AC得∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°，再根據(jù)∠1=∠2可得出∠3=∠4，據(jù)此可得出答案．【詳解】解：AE與BF的位置關(guān)系是：AE∥BF，理由如下：∵AB⊥BD,AB⊥AC，∴∠BAC=90°,∠ABD=90°，∴∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°，∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴AE∥BF．【變式7-1】（21-22七年級下·河南信陽·期末）如圖，已知點O在直線AB上，射線OE平分∠AOC，過點O作OD⊥OE，G是射線OB上一點，連接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求證：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，試判斷CD與OE的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)CD∥OE，理由見解析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可證明∠AOE=∠ODG；（2）證明∠EOC=∠C，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行，即可證明CD∥OE．【詳解】（1）證明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CD∥OE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射線OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CD∥OE．【點睛】本題考查了角平分線定義，垂直的定義，平行線的判定，等角的余角相等，正確識圖是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（21-22七年級下·陜西西安·期中）如圖，直線CD、EF交于點O，OA，OB分別平分∠COE和∠DOE，已知(1)求∠BOF的度數(shù)；(2)試說明AB∥【答案】(1)140°(2)見解析【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，余角的性質(zhì)．（1）根據(jù)角平分線的定義推出∠2+∠AOC=90°，再根據(jù)對頂角性質(zhì)求解即可；（2）結(jié)合等量代換得出∠1=∠AOC，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”即可得解．【詳解】（1）∵OA，OB分別平分∠COE和∴∠AOE=∵∠COE+∠DOE=180°，∴∠2+∠AOC=90°，∵∠COE=∠3，∴∠AOC=∴∠2+1∵∠2：∴∠3=∴∠2+1∴∠2=40°，∴∠3=100°，∴∠BOF=∠2+∠3=140°；（2）∵∠1+∠2=90°，∠2+∠AOC=90°，∴∠1=∠AOC，∴AB∥【考點題型八】旋轉(zhuǎn)使兩直線平行【例8】（22-23七年級下·新疆烏魯木齊·期末）如圖，已知∠A=70°，O是AB上一點，直線OD與AB的夾角∠BOD=82°，要使OD∥AC，直線OD繞點O按逆時針方向至少旋轉(zhuǎn)（

）度

A．12 B．18 C．22 D．24【答案】A【分析】根據(jù)OD'∥AC，運用兩直線平行，同位角相等，求得∠BO【詳解】解：∵OD∴∠BOD∴∠DOD故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)角以及平行線的判定定理的運用，掌握平行線的判定方法是關(guān)鍵．【變式8-1】（21-22七年級下·江蘇淮安·期中）如圖，固定木條b、c，使∠1=80°，旋轉(zhuǎn)木條a，要使得a∥b，則∠2應(yīng)調(diào)整為（

）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】D【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行，求出∠2的度數(shù)即可．【詳解】解：要使得a∥b，則需滿足∠1+∠2=180°，∵∠1=80°，∴∠2=100°，故選：D．【點睛】此題考查了平行線的判定定理：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．【變式8-2】（23-24七年級上·福建福州·期末）如圖，直線a、c固定，∠1=70°，直線b繞著點O旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)到使∠2=°時，有a∥【答案】70【分析】本題考查了同位角相等兩直線平行，根據(jù)同位角相等兩直線平行即可求解．【詳解】解：依題意，當∠2=∠1=70°時，有a∥故答案為：70．【變式8-3】（22-23七年級下·四川成都·期中）我們知道，角可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的．如圖1，∠AOA'可以看作將OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)如圖2，P，Q是直線l上不同的兩點，將直線l繞點P順時針旋轉(zhuǎn)70°得到直線l1，再將直線l1繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)a°(0<α<180)得到直線l2，要使l1∥一副三角板(∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=60°)擺放位置如圖3所示，BC∥DF，將三角板DEF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)β°(0<β<180)，當DE∥AB時，則【答案】70105【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；根據(jù)平行線的性質(zhì)可得α=70°，設(shè)AB的延長線與DF交于點G，與MN交于點H，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠DGB=∠D=60°，∠GHF=∠ABC=45°，根據(jù)對頂角相等可得∠FGH=∠DGB=60°，進而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵l1∴α=70°，畫出符合題意的圖形如下：圖中DE∥AB，設(shè)AB的延長線與DF交于點G，與MN交于點H，∵DE∥AB，∴∠DGB=∠D=60°，∠GHF=∠ABC=45°，∴∠FGH=∠DGB=60°，∴∠DFM=∠GHF+∠FGH=45°+60°=105°，∴β°=105°，故答案為：70，105．【考點題型九】由平行線的性質(zhì)求角度已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）直線AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；2）內(nèi)錯角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；3）同旁內(nèi)角互補：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；4）對頂角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.【例9】（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點B放在直線EF上，∠C=30°，AC∥EF，則∠1=（

）A．30° B．45°C．60° D．75°【答案】C【分析】根據(jù)三角板的角度，可得∠A=60°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵∠C=30°，∴∠A=90°?∠C=60°∵AC∥EF，∴∠1=∠A=60°故選C【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·陜西·中考真題）如圖，AB∥CD,BC∥EF．若∠1=58°，則A．120° B．122° C．132° D．148°【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行線，內(nèi)錯角相等，求出∠1=∠C=58°，再利用兩直線平行線，同旁內(nèi)角互補即可求出∠CGE的大小，然后利用對頂角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設(shè)CD與EF交于G，∵AB∥CD∴∠1=∠C=58°∵BC∥FE，∴∠C+∠CGE=180°，∴∠CGE=180°-58°=122°，∴∠2=∠CGE=122°，故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵【變式9-2】（2022·云南·中考真題）如圖，已知直線c與直線a、b都相交．若a∥b，∠1=85°，則∠2=（

）A．110° B．105° C．100° D．95°【答案】D【分析】利用平角的定義，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，即可得出答案．【詳解】解：如下圖，∵∠1=85°，∴∠3=180°-85°=95°，∵a∥b，∠3=95°，∴∠2=∠3=95°．故選：D．【點睛】此題主要考查了平角的定義和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確掌握平行線的性質(zhì)．【變式9-3】（21-22七年級下·湖南張家界·期末）如圖：CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠BAC=40°，∠1=∠2，則下列結(jié)論：①∠ACE=2∠4；②CB⊥CF；③∠1=70°；④∠3=2∠4，其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ACB=12∠ACD，∠ACF=12∠ACG，再利用平角定義可得∠【詳解】解：如圖，∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∴∠ACB=∵∠ACG+∠ACD=180°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴CB⊥CF，故②正確，∵CD∥AB，∠BAC=40°，∴∠ACG=40°，∴∠ACF=∠4=20°，∴∠ACB=90°-20°=70°，∴∠BCD=70°，∵CD∥AB，∴∠2=∠BCD=70°，∵∠1=∠2，∴∠1=70°，故③正確；∵∠BCD=70°，∴∠ACB=70°，∵∠1=∠2=70°，∴∠3=40°，∴∠ACE=30°，∴①∠ACE=2∠4錯誤；∵∠4=20°，∠3=40°，∴∠3=2∠4，故④正確，故選：C．【點睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)，理清圖中角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【考點題型十】利用平行線的性質(zhì)解決實際生活問題【例10】（2022·湖南婁底·中考真題）一條古稱在稱物時的狀態(tài)如圖所示，已知∠1=80°，則∠2=（

）A．20° B．80° C．100° D．120°【答案】C【分析】如圖，由平行線的性質(zhì)可得∠BCD=80°,從而可得答案．【詳解】解：如圖，由題意可得：AB∥CD,∴∠BCD=∠1=80°,∴∠2=180°?80°=100°,故選C【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，鄰補角的含義，掌握“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解本題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2023·四川涼山·中考真題）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，∠1=45°,∠2=120°，則∠3+∠4=（

）

A．165° B．155° C．105° D．90°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等或同旁內(nèi)角互補，即可求出答案.【詳解】解：如圖所示，AB∥

∴∠1=∠3，∠2+∠4=180°.∵∠1=45°,∠2=120°，∴∠3=45°，∠4=180°?120°=60°.∴∠3+∠4=45°+60°=105°.故選：C.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行線的性質(zhì).【變式10-2】（21-22七年級下·湖北武漢·期中）如圖，某人騎自行車自A沿正東方向前進，第一次在B處拐彎，兩次拐彎后，仍沿正東方向行駛，兩次拐彎的角度可能是（）A．第一次右拐15°，第二次左拐165°B．第一次右拐15°，第二次左拐15°C．第一次左拐15°，第二次左拐165°D．第一次右拐165°，第二次左拐165°【答案】B【分析】本題考查了平行線的判定，理解題意，根據(jù)題意作圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想，掌握平行線的判定是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，作正確的圖形，然后根據(jù)平行線的判定定理，選出答案．【詳解】解：∵∠1=∠2=15°，∴AB∥故第一次右拐15°，第二次左拐15°，故選：B．【變式10-3】（21-22七年級下·山西臨汾·期中）如圖，木條a、b、c通過B、E兩處螺絲固定在一起，且∠ABM=40°，∠BEF=77°，將木條a、木條b、木條c看作是在同一平面內(nèi)的三條直線AC、DF、MN，若使直線AC、直線DF達到平行的位置關(guān)系，則下列描述正確的是（

）A．木條b、c固定不動，木條a繞點B順時針旋轉(zhuǎn)23B．木條b、c固定不動，木條a繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)103C．木條a、c固定不動，木條b繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)37D．木條a、c固定不動，木條b繞點E順時針旋轉(zhuǎn)158【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理判斷求解即可．【詳解】解：A．木條b、c固定不動，木條a繞點B順時針旋轉(zhuǎn)23°，∴∠ABE=40°+23°=63°≠∠DEM，∴AC與DF不平行，故A不符合題意；B．木條b、c固定不動，木條a繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)103°，∴∠CBE=180°-（103°-40°）=117°≠∠DEM，∴AC與DF不平行，故B不符合題意；C．木條a、c固定不動，木條b繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)37°，∴∠DEM=77°-37°=40°=∠ABE，∴AC//DF，故C符合題意；D．木條a、c固定不動，木條b繞點E順時針旋轉(zhuǎn)158°，∴∠DEM=360°-77°-158°=125°≠∠CBE，∴AC與DF不平行，故D不符合題意；故選：C．【點睛】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式10-4】（22-23七年級下·四川成都·期末）公元前200年，古希臘地理學家埃拉托色尼將天文學與測地學結(jié)合起來測量地球圓周，他提出設(shè)想：在夏至日那天，分別在兩地同時觀察太陽的位置，并根據(jù)地物陰影的長度差異，加以研究分析，從而總結(jié)出計算地球圓周的科學方法．他發(fā)現(xiàn)，在當時的城市塞恩（圖中的A點），直立的桿子在某個時刻沒有影子，而此時在500英里以外的亞歷山大（圖中的B點），直立的桿子的影子卻偏離垂直方向7°12'（圖中角等于7°12'）．根據(jù)這個數(shù)據(jù)，可以算出地球一周的總長約等于25000mile，這是因為弧AB的長+7°12'

A．對頂角相等 B．兩直線平行，同位角相等C．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【答案】D【分析】根據(jù)平行投影的定義以及平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：在A點立桿，沒有影子，在B點立桿，影子偏離垂直方向7°12'，即∵立桿點的兩條垂直線互相平行，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得弧AB對應(yīng)的圓心角為θ，即7°12再根據(jù)弧AB的長+7°12'=可算出周長約25000mile故選：D．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及平行投影，掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【考點題型十一】根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系【例11】（19-20九年級下·山東菏澤·階段練習）某學生上學路線如圖所示，他總共拐了三次彎，最后行車路線與開始的路線相互平行，已知第一次轉(zhuǎn)過的角度，第三次轉(zhuǎn)過的角度，則第二次拐彎角∠1的度數(shù)是（

）A．55° B．70° C．90° D．80°【答案】C【分析】延長ED交BF于C，依據(jù)BA∥DE，即可得到∠BCD=∠B=120°，∠FCD=60°，再根據(jù)∠FDE是△CDF的外角，即可得出∠1=∠FDE-∠DCF．【詳解】解：如圖，延長ED交BF于C，∵BA∥DE，∴∠BCD=∠B=120°，∠FCD=60°，又∵∠FDE是△CDF的外角，∴∠1=∠FDE-∠DCF=150°-60°=90°，故選：C．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)，掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（22-23七年級上·河南洛陽·期末）如圖，AB∥EF，BC⊥CD，則∠α，∠β，∠γ之間的關(guān)系是（A．∠β=∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ=180°C．∠α+∠β?∠γ=90° D．∠β+∠γ?∠α=90°【答案】C【分析】分別過C、D作AB的平行線CM和DN，由平行線的性質(zhì)可得到∠α+∠β=∠BCD+∠γ，可求得答案．【詳解】解：如圖，分別過C、D作AB的平行線CM和DN，∵AB∥∴AB∥∴∠α=∠BCM，∴∠α+∠β=∠BCM+∠CDN+∠NDE=∠BCM+∠MCD+∠γ，又∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴∠α+∠β=90°+∠γ，即∠α+∠β?∠γ=90°．故選：C．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補.【變式11-2】（21-22七年級下·重慶銅梁·期中）如圖，已知AB∥DE，且∠C=110°，則∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系為【答案】∠2=∠1+70°【分析】過點C作CF∥AB，則【詳解】解：過點C作CF∥則CF∥∴∠BCF=∠1，∠DCF+∠2=180°，∵∠BCD=110°，∴∠DCF=110°?∠BCF=110°?∠1，∴110°?∠1+∠2=180°，∴∠2=∠1+70°.故答案為：∠2=∠1+70°.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出平行線，利用平行線的性質(zhì)得出角之間的關(guān)系.【變式11-3】（22-23七年級下·福建寧德·期中）如圖，AB∥CD，E為AB上一點，且EF⊥CD垂足為F，∠CED=90°，CE平分∠AEG，且∠CGE=α，則下列結(jié)論：①∠AEC=90°?12α；②DE平分∠GEB；③∠CEF=∠GED【答案】①②③④【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線和垂線的定義逐個分析計算即可．【詳解】∵∠CGE=α，AB∥∴∠CGE=∠GEB=α，∴∠AEG=180°?α，∵CE平分∠AEG，∴∠AEC=∠CEG=1故①正確；∵∠CED=90°，∴∠AEC+∠DEB=90°，∴∠DEB=1即DE平分∠GEB，故②正確；∵EF⊥CD，AB∥∴∠AEF=90°,∴∠AEC+∠CEF=90°，∴∠CEF=1∵∠GED=∠GEB?∠DEB=1∴∠CEF=∠GED，故③正確；∵∠FED=90°?∠BED=90°?12α∴∠FED+∠BEC=180°，故④正確；綜上所述，正確的有①②③④，故答案為：①②③④．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂線的定義，解題的關(guān)鍵是利用α表示各個角度．【變式11-4】（21-22七年級下·廣東深圳·期中）如圖，圖①是一種網(wǎng)紅彈弓的實物圖，在兩頭上系上皮筋，拉動皮筋可形成平面示意圖如圖②和圖③，彈弓的兩邊可看成是平行的，即AB∥CD，各活動小組探索∠APD與∠A，∠