第03講解題技巧專題：平行線中有關(guān)拐點(diǎn)的模型專題問(wèn)題(4類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一平行線中含一個(gè)拐點(diǎn)問(wèn)題】 1【考點(diǎn)二平行線中含兩個(gè)拐點(diǎn)問(wèn)題】 11【考點(diǎn)三平行線中含多個(gè)拐點(diǎn)問(wèn)題】 21【考點(diǎn)四平行線中在生活上含拐點(diǎn)問(wèn)題】 27【考點(diǎn)一平行線中含一個(gè)拐點(diǎn)問(wèn)題】例題：（2023上·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·山東泰安·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，．則、、之間的等量關(guān)系為．

2．（2023上·福建漳州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知直線，將等邊三角形按如圖所示的方式放置，若，則．

3．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【感知探究】（1）如圖①，已知，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．求證：．【類比遷移】（2）如圖②，、、的數(shù)量關(guān)系為．（不需要證明）【結(jié)論應(yīng)用】（3）如圖③，已知，，，則°．4．（2023上·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)為之外任意一點(diǎn)．

（1）如圖1，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展變式】如圖，“抖空竹”是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．在“抖空竹”的一個(gè)瞬間如圖1所示，將圖1抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖2，若，則_______________．

5．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)、分別在直線、上，點(diǎn)是、之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．【感知】如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段左側(cè)時(shí)，若，，求的度數(shù)．分析：從圖形上看，由于沒(méi)有一條直線截與，所以無(wú)法直接運(yùn)用平行線的性質(zhì)，這時(shí)需要構(gòu)造出“兩條直線被第三條直線所截”的基本圖形，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，可知，進(jìn)而求出的度數(shù)．【探究】如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段右側(cè)時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．6．（2023下·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，平分，平分，，則____________；【嘗試探究】（2）如圖2，，平分，，是與的夾角，是與的夾角．①若，求的度數(shù)；②試說(shuō)明：．【拓展提高】（3）如圖3，若，，平分，請(qǐng)判斷與的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

7．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)．(1)【基礎(chǔ)問(wèn)題】如圖1，試說(shuō)明：．（完成下面的填空部分）證明：過(guò)點(diǎn)作直線，∵，∴_______①_______．∵，∴_______②_______．∵，∴_______③_______（_______④_______）．∴．(2)【類比探究】如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)【應(yīng)用拓展】如圖3，點(diǎn)與點(diǎn)重合，平分，且，，那么的度數(shù)為_(kāi)_______．【考點(diǎn)二平行線中含兩個(gè)拐點(diǎn)問(wèn)題】例題：如圖所示，、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江西宜春·七年級(jí)江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，和分別平分和，若，則．

2．①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3，若ABEF，則∠x(chóng)=180°-∠α-∠γ+∠β；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C+∠P．以上結(jié)論正確的是_____．3．（23·24八年級(jí)上·廣東江門·階段練習(xí)）（1）如圖①，如果，求證：．（2）如圖②，，根據(jù)上面的推理方法，直接寫(xiě)出___________．（3）如圖③，，若，則___________（用x、y、z表示）．4．（2023下·海南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，，點(diǎn)為直線間一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線上的點(diǎn)，連接.

(1)【證明推斷】求證：，請(qǐng)完善下面的證明過(guò)程，并在（

）內(nèi)填寫(xiě)依據(jù).證明：過(guò)點(diǎn)P作直線，（已作），（______），又，（已知）______，（______），______.(2)如圖2，若的平分線與的平分線交于點(diǎn).①【類比探究】試猜想與之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；②【結(jié)論運(yùn)用】若，求的度數(shù).(3)【拓展認(rèn)知】如圖3，直線，點(diǎn)P，H為直線間的點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，，的數(shù)量關(guān)系：______.5．（2023上·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖1，，點(diǎn)、分別在、上，點(diǎn)在直線、之間，且．

(1)求的值；(2)如圖2，直線分別交、的角平分線于點(diǎn)、，直接寫(xiě)出的值；(3)如圖3，在內(nèi)，；在內(nèi)，，直線分別交、分別于點(diǎn)、，且，直接寫(xiě)出的值．【考點(diǎn)三平行線中含多個(gè)拐點(diǎn)問(wèn)題】例題：如圖，直線，則的度數(shù)為_(kāi)__________°．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)校考期中）已知：如圖，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)M，，，，則．2．（2023上·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察圖形：

已知，在圖1中，可得_______________度，在圖2中，可得_______________度……按照以上規(guī)律，則_______________度．3.如圖：(1)如圖1，，若，計(jì)算并直接寫(xiě)出的大?。?2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將直線變成折線，證明：(3)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，繼續(xù)將且線變成折現(xiàn)．請(qǐng)你寫(xiě)出一條關(guān)于、的數(shù)量關(guān)系（無(wú)需證明直接寫(xiě)出）4．猜想說(shuō)理：（1）如圖，，分別就圖1、圖2、圖3寫(xiě)出，，的關(guān)系，并任選其中一個(gè)圖形說(shuō)明理由：拓展應(yīng)用：（2）如圖4，若，則度；（3）在圖5中，若，請(qǐng)你用含n的代數(shù)式表示的度數(shù)．【考點(diǎn)四平行線中在生活上含拐點(diǎn)問(wèn)題】例題：（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）“綠水青山，就是金山銀山”在兩個(gè)景區(qū)之間建立上的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均為互相平行（），且每?jī)蓚€(gè)支撐架之間的索道均是直的，若，，則（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期中）圖①是某種青花瓷花瓶，圖②是其抽象出來(lái)的簡(jiǎn)易輪廓圖，已知，，若，則的度數(shù)為（

）A．60° B．65° C．70° D．75°2．（2023下·浙江臺(tái)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺(tái)平行．若，，則（）

A． B． C． D．3．（22·23七年級(jí)下·山東聊城·期末）七年級(jí)四班在項(xiàng)目學(xué)習(xí)中研究生活中的平行關(guān)系，小明發(fā)現(xiàn)家中的護(hù)眼燈，如圖是一款長(zhǎng)臂折疊LED護(hù)眼燈示意圖，與桌面垂直，當(dāng)發(fā)光的燈管恰好與桌面平行時(shí)，，則的度數(shù)為．

第03講解題技巧專題：平行線中有關(guān)拐點(diǎn)的模型專題問(wèn)題(4類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一平行線中含一個(gè)拐點(diǎn)問(wèn)題】 1【考點(diǎn)二平行線中含兩個(gè)拐點(diǎn)問(wèn)題】 11【考點(diǎn)三平行線中含多個(gè)拐點(diǎn)問(wèn)題】 21【考點(diǎn)四平行線中在生活上含拐點(diǎn)問(wèn)題】 27【考點(diǎn)一平行線中含一個(gè)拐點(diǎn)問(wèn)題】例題：（2023上·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，，則．【答案】/度【分析】本題主要考查利用平行線的性質(zhì)求解相關(guān)角度，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，直接過(guò)點(diǎn)E作的平行線把進(jìn)行分割轉(zhuǎn)移，最后利用鄰補(bǔ)角的概念，直接求出的度數(shù)．【詳解】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：過(guò)E作，∵，∴，∴，，∵，；∴，，∴；故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·山東泰安·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，．則、、之間的等量關(guān)系為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，從而可得，再根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，

，，，，，，，則、、之間的等量關(guān)系為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·福建漳州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知直線，將等邊三角形按如圖所示的方式放置，若，則．

【答案】/25度【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)B作，可得出，再由平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作，

∴∵是等邊三角形，∴∴∵，∴∴故答案為：3．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【感知探究】（1）如圖①，已知，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．求證：．【類比遷移】（2）如圖②，、、的數(shù)量關(guān)系為．（不需要證明）【結(jié)論應(yīng)用】（3）如圖③，已知，，，則°．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）20【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）如圖②，過(guò)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖③，過(guò)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)作，則，又∵，∴，，，即；（2）解：．證明：如圖②，過(guò)作，，∵，∴，，，即：．故答案為：；（3）如圖③，過(guò)作，，∵，∴，，，故答案為：20．4．（2023上·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)為之外任意一點(diǎn)．

（1）如圖1，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展變式】如圖，“抖空竹”是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．在“抖空竹”的一個(gè)瞬間如圖1所示，將圖1抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖2，若，則_______________．

【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；[拓展變式]．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）理由如下：過(guò)點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）．理由如下：過(guò)點(diǎn)作，則．

．，．（2）．理由如下：過(guò)點(diǎn)作，則．

，．，．【拓展變式】過(guò)點(diǎn)作，則．

，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)、分別在直線、上，點(diǎn)是、之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．【感知】如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段左側(cè)時(shí)，若，，求的度數(shù)．分析：從圖形上看，由于沒(méi)有一條直線截與，所以無(wú)法直接運(yùn)用平行線的性質(zhì)，這時(shí)需要構(gòu)造出“兩條直線被第三條直線所截”的基本圖形，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，可知，進(jìn)而求出的度數(shù)．【探究】如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段右側(cè)時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．【答案】感知：探究：【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．感知：過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)豬腳模型，即可解答；探究：過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)鉛筆模型，即可解答．【詳解】感知：解：過(guò)點(diǎn)作，，，，，，的度數(shù)為；探究：解：過(guò)點(diǎn)作，，，，，，，故答案為：．6．（2023下·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，平分，平分，，則____________；【嘗試探究】（2）如圖2，，平分，，是與的夾角，是與的夾角．①若，求的度數(shù)；②試說(shuō)明：．【拓展提高】（3）如圖3，若，，平分，請(qǐng)判斷與的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）①②見(jiàn)解析；（3），理由見(jiàn)解析．【分析】（1）利用角平分線的定義可得，，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求解即可；（2）①根據(jù)垂直可得，從而得到的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)得到的度數(shù)，即可求解；②利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，求解即可；（3）根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：（1）∵平分，平分，∴，∵，∴∴，故答案為：；（2）①∵∴∵∴∵∴∴∵平分，∴；②∵∴∴∵平分，∴∵∴，即∴；（3），理由如下：∵∴∴∵平分∴∵∴，即∴．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義，垂直的定義以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．7．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)．(1)【基礎(chǔ)問(wèn)題】如圖1，試說(shuō)明：．（完成下面的填空部分）證明：過(guò)點(diǎn)作直線，∵，∴_______①_______．∵，∴_______②_______．∵，∴_______③_______（_______④_______）．∴．(2)【類比探究】如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)【應(yīng)用拓展】如圖3，點(diǎn)與點(diǎn)重合，平分，且，，那么的度數(shù)為_(kāi)_______．【答案】(1)；；；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（）過(guò)點(diǎn)作直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定即可求解；（）過(guò)點(diǎn)作直線，同理可得，，則；（）利用平行線的性質(zhì)求出的值，再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì).【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作直線，∵，∴(平行于同一條直線的兩條直線平行)，，∴，∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴；故答案為：；；；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作直線，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）如圖所示，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．【考點(diǎn)二平行線中含兩個(gè)拐點(diǎn)問(wèn)題】例題：如圖所示，、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【答案】【分析】連接BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到結(jié)論．【詳解】解：連接BD，如圖，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案為：540°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江西宜春·七年級(jí)江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知，和分別平分和，若，則．

【答案】/度【分析】過(guò)作，過(guò)作，可得，，，，，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)作，過(guò)作，

，，，，，，設(shè)，，，，和分別平分和，，，，，，，，，解得：，；故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3，若ABEF，則∠x(chóng)=180°-∠α-∠γ+∠β；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C+∠P．以上結(jié)論正確的是_____．【答案】②③④【分析】①過(guò)點(diǎn)E作EFAB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)點(diǎn)E作EFAB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CDAB，延長(zhǎng)AB到G，由平行線的性質(zhì)可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；④過(guò)點(diǎn)P作PFAB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．【詳解】解：①如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，則①錯(cuò)誤；②如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，則②正確；③如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CDAB，延長(zhǎng)AB到G，∵ABEF，∴ABEFCD，∴∠DCF=∠EFC，由②的結(jié)論可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，∴，故③正確；④如圖4，過(guò)點(diǎn)P作PFAB，∵ABCD，∴ABPFCD，∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，則④正確；故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．3．（23·24八年級(jí)上·廣東江門·階段練習(xí)）（1）如圖①，如果，求證：．（2）如圖②，，根據(jù)上面的推理方法，直接寫(xiě)出___________．（3）如圖③，，若，則___________（用x、y、z表示）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）過(guò)P作，利用平行線的判定與性質(zhì)證明即可；（2）過(guò)點(diǎn)P作，過(guò)點(diǎn)Q作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)P作，過(guò)點(diǎn)Q作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：過(guò)P作，如圖，

∴，∵（已知），∴，∴，∵，∴；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作，過(guò)點(diǎn)Q作，∵，，，∴，∴，，，∴，故答案為：；

（3）過(guò)點(diǎn)P作，過(guò)點(diǎn)Q作，∵，，，∴，∴，，，∴，即，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·海南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，，點(diǎn)為直線間一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線上的點(diǎn)，連接.

(1)【證明推斷】求證：，請(qǐng)完善下面的證明過(guò)程，并在（

）內(nèi)填寫(xiě)依據(jù).證明：過(guò)點(diǎn)P作直線，（已作），（______），又，（已知）______，（______），______.(2)如圖2，若的平分線與的平分線交于點(diǎn).①【類比探究】試猜想與之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；②【結(jié)論運(yùn)用】若，求的度數(shù).(3)【拓展認(rèn)知】如圖3，直線，點(diǎn)P，H為直線間的點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，，的數(shù)量關(guān)系：______.【答案】(1)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；平行于同一直線的兩直線平行；(2)①，理由見(jiàn)解析；②(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案；（2）①分別過(guò)點(diǎn)P，Q作，，由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得，進(jìn)而即可求解；②結(jié)合平角的定義和即可得到答案；（3）過(guò)點(diǎn)P、H作，可得，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作直線，（已作），（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又，（已知），，（平行于同一直線的兩直線平行），，；（2）解：①.理由：如圖1，分別過(guò)點(diǎn)P，Q作，.的平分線與的平分線交于點(diǎn)，，..同（1）可證得，②，，.又，

（3）過(guò)點(diǎn)P、H作，∵，∴，∴，∴，即故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查平行的性質(zhì)，角平分線的定義，添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵．5．（2023上·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶市育才中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖1，，點(diǎn)、分別在、上，點(diǎn)在直線、之間，且．

(1)求的值；(2)如圖2，直線分別交、的角平分線于點(diǎn)、，直接寫(xiě)出的值；(3)如圖3，在內(nèi)，；在內(nèi)，，直線分別交、分別于點(diǎn)、，且，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)分別求得，，再根據(jù)，即可求出的值；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，，進(jìn)而可求出的值；（3）如圖3，設(shè)直線交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，由得到，根據(jù)三角形外角與內(nèi)角關(guān)系得到，進(jìn)而得到，再由三角形外角與內(nèi)角關(guān)系求得，即可得到與的關(guān)系，即，再由題意可求得，，然后由，化簡(jiǎn)可得方程，求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，，，，．

（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，，平分，平分，，，又由（1）得，

．

（3）解：如圖3，設(shè)直線交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，，，，，，，即，，在內(nèi)，，，，，，，即，，解得．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)并正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)三平行線中含多個(gè)拐點(diǎn)問(wèn)題】例題：如圖，直線，則的度數(shù)為_(kāi)__________°．【答案】360【分析】過(guò)E作EF∥CD，過(guò)G作GH∥CD，過(guò)M作MN∥CD，根據(jù)平行線的判定得出EF∥GH∥MN∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【詳解】過(guò)E作EF∥CD，過(guò)G作GH∥CD，過(guò)M作MN∥CD，如圖所示：∵CD∥AB，∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，∴．故答案為：360．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)校考期中）已知：如圖，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)M，，，，則．【答案】/88度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等，解題的關(guān)鍵是會(huì)添加常用輔助線（即過(guò)“拐點(diǎn)”作平行線），一般而言，有幾個(gè)“拐點(diǎn)”就需要作幾條平行線，從而利用“拐點(diǎn)”模型的基本結(jié)論解決問(wèn)題；過(guò)點(diǎn)、、分別作，根據(jù)平行線的傳遞性得出，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等以及角平分線的定義即可求解；【詳解】過(guò)點(diǎn)、、分別作，∵，，平分，平分，，，，，，，故答案為：．2．（2023上·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察圖形：

已知，在圖1中，可得_______________度，在圖2中，可得_______________度……按照以上規(guī)律，則_______________度．【答案】180，360，．【分析】作平行線，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)解題即可．【詳解】解：如圖1，∵，∴；如圖2，過(guò)作，∵，∴，∴，，∴；

同理可得：；故答案為：180，360，．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．3.如圖：(1)如圖1，，若，計(jì)算并直接寫(xiě)出的大小．(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將直線變成折線，證明：(3)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，繼續(xù)將且線變成折現(xiàn)．請(qǐng)你寫(xiě)出一條關(guān)于、的數(shù)量關(guān)系（無(wú)需證明直接寫(xiě)出）【答案】(1)65°(2)見(jiàn)解析(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4【分析】（l）過(guò)P作PE∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的和差即可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)P、Q分別作l1和l2的平行線分別記為l3和l4，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換即可得到結(jié)論；（3）分別過(guò)P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的和差即可得到結(jié)論．（1）解：過(guò)P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l2∥l1∴∠A=∠1，∠B=∠2∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°即∠A+∠B=65°；（2）證明：過(guò)點(diǎn)P、Q分別作l1和l2的平行線分別記為l3和l4∵l1∥l2∴l(xiāng)1∥l2∥l3∥l4∵l1∥l3（已知）∴∠A=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵l3∥l4（已知）∴∠2＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵l2∥l4（已知）∴∠4+∠B=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．（3）解：如圖，分別過(guò)P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，∵，∴∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5，∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM，∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5，∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．猜想說(shuō)理：（1）如圖，，分別就圖1、圖2、圖3寫(xiě)出，，的關(guān)系，并任選其中一個(gè)圖形說(shuō)明理由：拓展應(yīng)用：（2）如圖4，若，則度；（3）在圖5中，若，請(qǐng)你用含n的代數(shù)式表示的度數(shù)．【答案】（1）；；（2）（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可直接得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)F作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)，計(jì)算出的度數(shù)；（3）過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線，過(guò)點(diǎn)F作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)，計(jì)算出度數(shù)；通過(guò)前面的計(jì)算，找出規(guī)律．利用規(guī)律得到有n個(gè)折點(diǎn)的結(jié)論；【詳解】解：（1）如圖1：，如圖2：，如圖3：，如圖1說(shuō)明理由如下：∵，