專題05利用基本不等式求最值考點(diǎn)預(yù)測(cè)：1.重要不等式，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.2.基本不等式如果，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù).基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).3.與基本不等式相關(guān)的不等式（1）當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.（2）當(dāng)，時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.（3）當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.4.利用基本不等式求最值已知，，那么（1）如果積等于定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最大值.【典型例題】例1．（1）已知，求的最小值；（2）已知，，且，求的最小值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為；（2）由得：，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)），，即的最小值為.例2．已知正數(shù)滿足.(1)求的取值范圍；(2)求的最小值.【解析】（1）因?yàn)槭钦龜?shù)，且，所以由基本不等式得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；因?yàn)槭钦龜?shù)，所以，所以的取值范圍；（2）因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為18例3．為響應(yīng)國(guó)家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2019年舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用t(t≥0)萬(wàn)元滿足(k為常數(shù))．如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)件．已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入12萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分)．(1)將該廠家2019年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用t萬(wàn)元的函數(shù)；(2)該廠家2019年的年促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)廠家利潤(rùn)最大？【解析】（1）由題意有，得故∴（2）由（1）知：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，有最大值.答:2019年的年促銷(xiāo)費(fèi)用投入2.5萬(wàn)元時(shí)，該廠家利潤(rùn)最大.例4．（1）已知，，求的取值范圍；（2）已知x，y，z都是正數(shù)，求證：．【解析】（1）令所以，得所以因?yàn)?，所以，所以，即故的取值范圍為．?）證明：由x，y，z都是正數(shù)，則，，相加可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得：；（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最大值為.故選：D.2．已知x，y為非零實(shí)數(shù)，則下列不等式不恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，為非零?shí)數(shù)，所以，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)、異號(hào)時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：B3．的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；故選：C4．某大型廣場(chǎng)計(jì)劃進(jìn)行升級(jí)改造．改造的重點(diǎn)工程之一是新建一個(gè)矩形音樂(lè)噴泉綜合體，該項(xiàng)目由矩形核心噴泉區(qū)（陰影部分）和四周的綠化帶組成．規(guī)劃核心噴泉區(qū)的面積為，綠化帶的寬分別為2m和5m（如圖所示）．當(dāng)整個(gè)項(xiàng)目占地面積最小時(shí)，核心噴泉區(qū)的邊的長(zhǎng)度為（

）A．20m B．50m C．m D．100m【答案】B【解析】設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)BC的長(zhǎng)度為50m時(shí)，整個(gè)項(xiàng)目占地面積最?。蔬x：B．5．三國(guó)時(shí)期趙爽在《勾股方圓圖注》中，對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如圖所示，我們教材中利用該圖作為幾何解釋的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立【答案】D【解析】直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，則，在正方形的面積為，四個(gè)直角三角形的面積和為，因此有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，中間沒(méi)有小正方形，等號(hào)成立．故選：D．6．已知x，y都是正數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因?yàn)?，所以．因?yàn)閤，y都是正數(shù)，由基本不等式有：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“＝”．故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B．7．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，若至少存在一組使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】至少存在一組使得成立，即，又由兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，，故有，解得，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C.8．若不等式對(duì)任意正數(shù)a，b恒成立，則實(shí)數(shù)x的最大值為（

）A． B．3 C． D．1【答案】C【解析】∵不等式對(duì)任意正數(shù)a，b恒成立，∴（，）恒成立，∵，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立.∴.故選：C.二、多選題9．下列命題中，真命題的是（

）A．，都有 B．，使得C．任意非零實(shí)數(shù)，都有 D．函數(shù)的最小值為【答案】AB【解析】對(duì)于A，，所以，都有成立，故為真命題.對(duì)于B，顯然當(dāng)時(shí)，成立，故為真命題.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，故不成立，為假命題.對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即，顯然無(wú)解，即取不到最小值，故不成立，為假命題.故選:AB.10．設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】∵，，∴，∴，∴.，∴，故A正確；，∴，故B正確；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故C正確；∵，∴，∵，∴，，∴，∴，故D不正確.故選：ABC11．若正實(shí)數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值【答案】BCD【解析】由正實(shí)數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最大值，故B選項(xiàng)正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最小值，故C選項(xiàng)正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最小值，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD.12．下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則的最大值是-1B．若，，都是正數(shù)，且，則的最小值是3C．若，，，則的最小值是2D．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為-1，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，都是正?shù)，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），因?yàn)?，所以，所以，所以，解?舍去)或，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，，則，，因?yàn)椋?，同?hào)，則，同號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是，故D正確，故選：ABD．三、填空題13．若，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.14．若“，不等式恒成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】由基本不等式可知，（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”），因?yàn)椤?，不等式恒成立”，?故答案為：15．已知為正實(shí)數(shù)，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】6【解析】由題得，設(shè)，則.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.所以的最小值為6.故答案為：616．若實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】由于，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，∴，又，所以，故，即的取值范圍為.故答案為：．四、解答題17．（1）求函數(shù)的最小值.（2）已知，，且，求的最小值.【解析】（1），，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有最小值；（2）由題意，，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即是等號(hào)成立，結(jié)合，知時(shí)，有最小值為.18．（1）已知，且，求的最大值.（2）已知a，b是正數(shù)，且滿足，求的最小值.【解析】（1）因?yàn)椋?，由基本不等式可得，即?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)成立.所以的最大值為（2）由基本不等式，可得當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為19．已知a，b，c均為正實(shí)數(shù).(1)求證：.(2)若，求證：.【解析】（1）因?yàn)閍，b，c都是正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以；（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴.20．如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度沒(méi)有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym．(1)若菜園面積為72m2，則x，y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最??？(2)若使用的籬笆總長(zhǎng)度為30m，求的最小值．【解析】（1）由已知可得xy＝72，而籬笆總長(zhǎng)為x+2y．又∵x+2y≥224，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y，即x＝12，y＝6時(shí)等號(hào)成立．∴菜園的長(zhǎng)x為12m，寬y為6m時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最?。?）由已知得x+2y＝30，又∵（）?（x+2y）＝55+29，∴，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)，即x＝10，y＝10時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值是．21．已知，且.(1)求的最小值.(2)是否存在正實(shí)數(shù)，使得？請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1