專題02不等式考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1不等式的性質(zhì)（5年1考）2022年作差法比較代數(shù)式的大小；利用不等式求值或取值范圍一元二次不等式、分式不等式、絕對(duì)值不等式的解法是必考內(nèi)容，常以填空題形式出現(xiàn)。不等式常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等交叉考查，形成綜合題型。試卷難度呈現(xiàn)“基礎(chǔ)題占比穩(wěn)定，綜合題適度創(chuàng)新”的特點(diǎn)?；A(chǔ)題側(cè)重公式應(yīng)用和基本運(yùn)算，如解不等式、比較大小等；綜合題則強(qiáng)調(diào)思維深度，如不等式證明、多變量最值問(wèn)題等。2024年高考改革后，原“不等式選講”變?yōu)楸乜純?nèi)容，絕對(duì)值三角不等式等成為新增重點(diǎn)?？键c(diǎn)2一元二次不等式（5年3考）2025年解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式2024年解不含參數(shù)的一元二次不等式2021年解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式考點(diǎn)3基本不等式（5年2考）2025年基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值2021年基本（均值）不等式的應(yīng)用考點(diǎn)4絕對(duì)值不等式（5年2考）2023年公式法解絕對(duì)值不等式2021年公式法解絕對(duì)值不等式考點(diǎn)01不等式的性質(zhì)1．（2022·上?！じ呖颊骖}）若實(shí)數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】利用作差法可判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.【詳解】因?yàn)?，則，故，A對(duì)B錯(cuò)；，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，CD都錯(cuò).故選：A.2．（2022·上海·高考真題），，則的最小值是.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍【分析】分析可得，利用不等式的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】設(shè)，則，解得，所以，，因此，的最小值是.故答案為：.考點(diǎn)02一元二次不等式3．（2025·上?！じ呖颊骖}）不等式的解集為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式【分析】轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解出即可.【詳解】原不等式轉(zhuǎn)化為，解得，則其解集為.故答案為：.4．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知?jiǎng)t不等式的解集為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【詳解】方程的解為或，故不等式的解集為，故答案為：.5．（2021·上海·高考真題）不等式的解集為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】分式不等式【分析】移項(xiàng)通分后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解．【詳解】．故答案為：．6．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x|x﹣1}，則（

）A．A?B B． C．A∩B＝ D．A∪B＝R【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系、交并補(bǔ)混合運(yùn)算、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】先求解集合中不等式，計(jì)算，依次判斷即可【詳解】由題意，或由和不存在包含關(guān)系，故選：D考點(diǎn)03基本不等式7．（2025·上海·高考真題）設(shè)，則的最小值為．【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】靈活利用“1”將展開(kāi)利用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】易知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故答案為：48．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù)的最小值為，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】配方得，結(jié)合基本不等式即可求解【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)滿足，故答案為：9考點(diǎn)04絕對(duì)值不等式9．（2023·上?！じ呖颊骖}）不等式的解集為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】公式法解絕對(duì)值不等式【分析】利用絕對(duì)值不等式的解法求解.【詳解】由得，解得，故不等式的解集為.故答案為：.10．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的定義域；（2）若，若有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性？若存在，求出的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、公式法解絕對(duì)值不等式【分析】（1）解絕對(duì)值不等式即可得答案；（2）利用有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)根，利用換元法可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）分與兩類情況，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的的取值范圍.【詳解】解：（1），∴，解得；所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由題知有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，所以，，設(shè)，∴有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，∴整理得，有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，同時(shí)，∴；（3）當(dāng)，，在遞減，此時(shí)需滿足，即時(shí)，函數(shù)在上遞減；當(dāng)，，在上遞減，∵，∴，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上連續(xù)，且單調(diào)遞減.所以的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于利用換元法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，進(jìn)而求解，第三問(wèn)解題的關(guān)鍵在于分類討論求解.一、單選題1．（2025·上海金山·二模）已知，則下列結(jié)論不恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、絕對(duì)值三角不等式【分析】利用不等式性質(zhì)判斷AD；舉例說(shuō)明判斷B；利用絕對(duì)值的三角形不等式判斷C.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，取，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：B2．（2025·上海嘉定·二模）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列不等式中，不恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】比較指數(shù)冪的大小、由基本不等式比較大小、由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性、特殊值、基本不等式、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，所以，A選項(xiàng)不等式恒成立.B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，但，B選項(xiàng)不等式不恒成立.C選項(xiàng)，，根據(jù)基本不等式可知，B選項(xiàng)不等式恒成立.D選項(xiàng)，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，所以，D選項(xiàng)不等式恒成立.故選：B3．（2025·上海長(zhǎng)寧·二模）已知非零實(shí)數(shù)，則下列命題中成立的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、比較函數(shù)值的大小關(guān)系【分析】利用賦值法即可判斷，，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】由已知當(dāng)，，所以，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以，故錯(cuò)誤；當(dāng)非零實(shí)數(shù)，一正一負(fù)時(shí)，無(wú)意義，故錯(cuò)誤；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，故正確.故選：.4．（2025·上海黃浦·二模）設(shè)，隨機(jī)變量取值、、、的概率均為0.25，隨機(jī)變量取值、、、的概率也均為0.25，隨機(jī)變量取值、、、的概率也均為0.25．若記、分別為、的方差，則（

）A．B．C．D．與的大小關(guān)系與、、、的取值有關(guān)【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由基本不等式比較大小、平均數(shù)的和差倍分性質(zhì)、計(jì)算幾個(gè)數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、各數(shù)據(jù)同時(shí)乘除同一數(shù)對(duì)方差的影響【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的取值情況，計(jì)算出它們的期望和方差，再借助均值不等式即可判斷作答.【詳解】由隨機(jī)變量的取值情況，它們的期望分別為：，，即，，則同理，則則，因?yàn)樗裕驗(yàn)?，不能取等?hào)，所以，所以所以.故選：A.二、填空題5．（2025·上海楊浦·三模）已知，則的范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值【分析】利用重要不等式即可求解.【詳解】由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以的范圍是.故答案為：.6．（2025·上?！と＃┎坏仁降慕饧癁椋敬鸢浮俊局R(shí)點(diǎn)】公式法解絕對(duì)值不等式【分析】根據(jù)絕對(duì)值三角不等式及題干可得，等式成立需要同號(hào)，列不等式求解即可得解.【詳解】因?yàn)?，又，所以，則.故答案為：.7．（2025·上海普陀·二模）不等式的解集是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】分式不等式【分析】根據(jù)分式不等式的解法求解即可.【詳解】因?yàn)?所以原不等式的解集為：.故答案為：8．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）不等式：的解集是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】分式不等式【分析】移項(xiàng)通分，利用因式分解法求解不等式.【詳解】不等式，而恒成立，解得，且，所以原不等式的解集為.故答案為：9．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）不與共面，并且四點(diǎn)在一個(gè)平面上，（），則的最小值為．【答案】16【知識(shí)點(diǎn)】空間共面向量定理的推論及應(yīng)用、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由向量共面定理有，再應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最小值.【詳解】由題設(shè)，不與共面，且四點(diǎn)共面，所以，可得，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則最小值為16.故答案為：1610．（2025·上海黃浦·三模）若隨機(jī)變量，且，，則的最小值為【答案】【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值、指定區(qū)間的概率【分析】由正態(tài)分布性質(zhì)知正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，故，使用基本不等式可求的最小值.【詳解】由題意知正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，，則，又，故，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).故答案為：.11．（2025·上海楊浦·二模）不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求絕對(duì)值不等式中參數(shù)值或范圍【分析】由絕對(duì)值的幾何意義和結(jié)合三角不等式分析即可.【詳解】表示到的距離，表示到的距離，它們的和為到和到的距離之和，根據(jù)三角不等式，當(dāng)位于和之間時(shí)，距離和取得最小值，即兩點(diǎn)之間的距離為，所以不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立等價(jià)于若最小值，則原式對(duì)所有恒成立，所以或，解得或.故答案為：.12．（2025·上海黃浦·三模）不等式的解集為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式【分析】應(yīng)用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集.【詳解】由題設(shè)，而，所以，則，即解集為.故答案為：13．（2025·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】由題可求集合B，接著求即可.【詳解】由題知，又,所以故答案為：14．（2025·上?！と＃?duì)于實(shí)數(shù)，若，則的最大值為.【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍【分析】解絕對(duì)值不等式得出，，再利用不等式的性質(zhì)求出即可求出最值.【詳解】由題意可得，，，則，，則，得，故，則的最大值為.故答案為：.15．（2025·上海松江·二模）如圖在三棱錐中，兩兩垂直，且，設(shè)是底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，定義，其中分別表示三棱錐，三棱錐，三棱錐的體積.若，且恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為.【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式的恒成立問(wèn)題、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)給定的信息求出三棱錐的體積，進(jìn)而求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，并建立不等式求解.【詳解】在三棱錐中，兩兩垂直，且，則，解得，又，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由恒成立，得，于是，解得，所以正實(shí)數(shù)的最小值為1.故答案為：116．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）已知設(shè)，，若關(guān)于的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】作出函數(shù)的圖象，令，即，設(shè)為方程的兩個(gè)根，且，分、兩種情況進(jìn)行討論，從而可得以及實(shí)數(shù)a的取值范圍，則的范圍可求.【詳解】作出函數(shù)的圖像，如圖所示，

有，，當(dāng)時(shí)，令，即，設(shè)為方程的兩個(gè)根，且，由于，則有，當(dāng)時(shí)，，則必有，則必包含在不等式的解中，由圖可知的解為，此時(shí)不等式的解中有2個(gè)整數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的值唯一，因?yàn)榈慕馇∮幸粋€(gè)整數(shù)，所以這個(gè)整數(shù)為，則，當(dāng)時(shí)，有最小值為，即有最大值為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即；故答案為：.三、解答題17．（2025·上海徐匯·二模）已知函數(shù)，其中.(1)解關(guān)于的不等式；(2)若存在唯一的實(shí)數(shù)，使得依次成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、解含有參數(shù)的一元二次不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）由在單調(diào)遞增，得即可求解；（2）原問(wèn)題等價(jià)于關(guān)于的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即在上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，令，則在上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】（1）由函數(shù)在單調(diào)遞增，所以（2）原問(wèn)題等價(jià)于關(guān)于的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.即在上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解.等價(jià)于在上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解.在上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解.令，則在上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解.畫(huà)出關(guān)于的二次函數(shù)在上的圖像可知，時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)；.18．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(1)求的值；(2)若，為鈍角，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形、基本不等式求積的最大值【分析】（1）由正弦定理即可得；（2）由余弦定理結(jié)合重要不等式可得取值范圍，再由三角形的面積公式可求出面積的最大值.【詳解】（1）由題意可知，，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，即；?）由（1）可知，所以（不符合題意舍去）或，在中，由余弦定理得，因?yàn)榍?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，故的面積，即的面積最大值為.19．（2025·上海