2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——微分方程的求解方法與應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題4分，共20分。請將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.下列函數(shù)中，不是微分方程$y''-4y'+3y=0$的解的是（）。(A)$y=e^x+2e^{3x}$(B)$y=C_1e^x+C_2e^{3x}$（$C_1,C_2$為任意常數(shù)）(C)$y=e^{3x}$(D)$y=5e^x-4e^{3x}$2.微分方程$xy'=y\ln\frac{y}{x}$的通解是（）。(A)$y=xe^{C_1x}$(B)$y=xe^{\frac{y}{x}}$(C)$y=xe^{C_2y}$(D)$y=x\ln(Cx)$（$C$為任意常數(shù)）3.若$y_1=e^{2x}$和$y_2=xe^{2x}$是微分方程$y''-4y'+4y=f(x)$的兩個(gè)特解，則該方程的通解為（）。(A)$(x+C_1)e^{2x}+C_2e^{2x}$(B)$(x+C_1)e^{2x}$(C)$C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}$(D)$C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+e^x$4.微分方程$y'+y\tanx=\sin2x$的一個(gè)特解具有形式（）。（提示：考慮使用常數(shù)變易法或積分因子法）(A)$y=(C_1+\frac{1}{3}x^3)\cosx$(B)$y=C_1\cosx+\frac{1}{3}x^3\cosx$(C)$y=C_1\cosx+\frac{1}{3}\cos^3x$(D)$y=C_1\cosx-\frac{1}{3}x^3\cosx$5.設(shè)函數(shù)$y=y(x)$滿足微分方程$x^2y'+xy=1$，且$y(1)=0$，則$y(2)$的值為（）。(A)$1$(B)$\frac{1}{2}$(C)$\frac{1}{4}$(D)$\frac{1}{8}$二、填空題（每小題5分，共25分。請將答案填在題后的橫線上）6.微分方程$y'=\frac{y}{x}+\tan\frac{y}{x}$的通解為________。7.微分方程$y''-3y'+2y=0$的通解為________。8.微分方程$y''-4y=xe^x$的一個(gè)特解形式可設(shè)為________。（提示：考慮右側(cè)非齊次項(xiàng)形式）9.已知$y=\frac{1}{x}$是微分方程$x^2y''+4xy'+2y=0$的一個(gè)解，則該方程的通解為________。10.一曲線通過點(diǎn)$(1,2)$，且在該曲線上任一點(diǎn)$(x,y)$處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的立方，則該曲線的方程為________。三、計(jì)算題（每小題10分，共40分）11.求微分方程$y'=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$的通解。12.求微分方程$y''-4y'+3y=e^{2x}\sinx$的通解。13.求微分方程$y'+y=e^{-x}\sinx$的通解。14.一質(zhì)量為$m$的物體，從高空由靜止開始下落，設(shè)空氣阻力與速度成正比（比例系數(shù)為$k$），求物體的速度$v$隨時(shí)間$t$的變化規(guī)律。試卷答案一、選擇題1.(C)2.(D)3.(B)4.(B)5.(B)二、填空題6.$y=Cx-\ln|\cos(x+C)|$（或等價(jià)形式$y=Cx+\ln|\sec(x+C)|$）7.$y=C_1e^x+C_2e^{2x}$8.$axe^x+bxe^{2x}$（其中$a,b$為待定常數(shù)）9.$y=\frac{1}{x}+C_1e^{-\frac{1}{x}}$10.$y=\frac{1}{4}x^4+2$三、計(jì)算題11.解：原方程可化為$\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=\frac{x}{y}$，令$z=y^2$，則$y=\sqrt{z}$，$y'=\frac{1}{2\sqrt{z}}z'$。代入原方程得$\frac{1}{2\sqrt{z}}z'-\frac{\sqrt{z}}{x}=\frac{x}{\sqrt{z}}$，即$\frac{1}{2}z'-\frac{z}{x}=x$，化簡為$z'-\frac{2z}{x}=2x$。此為關(guān)于$z$的一階線性微分方程，積分因子為$e^{\int-\frac{2}{x}dx}=e^{-2\lnx}=x^{-2}$。方程兩邊乘以積分因子得$x^{-2}z'-\frac{2}{x}x^{-2}z=2xx^{-2}$，即$(x^{-2}z)'=2x^{-1}$。積分得$x^{-2}z=-2x^{-1}+C$，即$z=-2x+Cx^2$。代回$z=y^2$，得通解為$y^2=-2x+Cx^2$，或$y=\pm\sqrt{Cx^2-2x}$。也可直接對原方程進(jìn)行變形$ydy=xdx$，積分得$y^2=x^2+C$，即$y=\pm\sqrt{x^2+C}$。兩種形式等價(jià)，其中$C$為任意常數(shù)。12.解：對應(yīng)齊次方程$y''-4y'+3y=0$的特征方程為$\lambda^2-4\lambda+3=0$，解得$\lambda_1=1,\lambda_2=3$。齊次方程通解為$y_h=C_1e^x+C_2e^{3x}$。非齊次項(xiàng)$e^{2x}\sinx$對應(yīng)的特解形式設(shè)為$y_p=(Ax+B)e^{2x}\cosx+(Cx+D)e^{2x}\sinx$。代入原方程，通過比較系數(shù)法求解$A,B,C,D$。計(jì)算過程較繁瑣，最終可得特解（此處省略詳細(xì)計(jì)算過程）。設(shè)$y_p=e^{2x}(Ax\cosx+B\cosx+Cx\sinx+D\sinx)$。對$y_p$求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，代入原方程，整理后比較$\cosx$和$\sinx$的系數(shù)，以及$x\cosx$和$x\sinx$的系數(shù)，得到關(guān)于$A,B,C,D$的線性方程組。解此方程組得$A=-\frac{1}{2},B=0,C=\frac{1}{2},D=0$。因此，特解為$y_p=-\frac{1}{2}xe^{2x}\cosx+\frac{1}{2}e^{2x}\sinx$。通解為$y=y_h+y_p=C_1e^x+C_2e^{3x}-\frac{1}{2}xe^{2x}\cosx+\frac{1}{2}e^{2x}\sinx$。13.解：此為一階線性微分方程，標(biāo)準(zhǔn)形式為$y'+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)=1,Q(x)=e^{-x}\sinx$。積分因子為$\mu(x)=e^{\intP(x)dx}=e^{\int1dx}=e^x$。方程兩邊乘以積分因子得$e^xy'+e^xy=e^xe^{-x}\sinx$，即$(e^xy)'=\sinx$。對方程兩邊積分得$e^xy=\int\sinxdx=-\cosx+C$。因此，通解為$y=e^{-x}(-\cosx+C)$，或$y=-e^{-x}\cosx+Ce^{-x}$。14.解：設(shè)物體速度為$v(t)$，質(zhì)量為$m$，重力加速度為$g$，空氣阻力為$kv$（與速度方向相反）。根據(jù)牛頓第二定律，$F=ma$，即$m\frac{dv}{dt}=mg-kv$。整理得$\frac{dv}{dt}+\frac{k}{m}v=g$。此為一階線性微分方程，對應(yīng)齊次方程為$\frac{dv}{dt}+\frac{k}{m}v=0$，其通解為$v_h=C_1e^{-\frac{k}{m}t}$。非齊次方程的一個(gè)特解形式設(shè)為$v_p=A$（常數(shù)），代入非齊次方程得$0+\frac{k}{m}A=g$，解得$A=\frac{mg}{k}$。因此，非齊次方程的通解為