2025年大學《數(shù)學與應用數(shù)學》專業(yè)題庫——數(shù)學建模中的模型建立與求解考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、某城市規(guī)劃部門希望規(guī)劃一個矩形公園，公園的一邊利用城市現(xiàn)有的河岸（設為AB），其他三邊需要修建圍欄。設修建圍欄的總長度為L米。問：如何設計矩形公園的長和寬，才能使其面積最大？請建立數(shù)學模型，并寫出模型的目標函數(shù)和約束條件。二、某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B。每生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要消耗原料1公斤，工時2小時；每生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要消耗原料1.5公斤，工時1小時。公司每周可獲得的原料最多為100公斤，工時最多為140小時。產(chǎn)品A的售價為每件100元，產(chǎn)品B的售價為每件80元。公司希望weekly的利潤最大。請建立數(shù)學模型，求使利潤最大的產(chǎn)品A和B的產(chǎn)量。三、假設一個傳染病的傳播過程可以用以下微分方程描述：$\frac{dI}{dt}=\betaSI-\gammaI$，其中$I(t)$是時間$t$時感染者的數(shù)量，$S(t)$是時間$t$時易感者的數(shù)量，$\beta$是感染率，$\gamma$是康復率。假設總人群數(shù)量$N$是常數(shù)，即$S(t)+I(t)=N$。初始時刻$t=0$，感染者數(shù)量為$I_0$，易感者數(shù)量為$S_0=N-I_0$。請將此微分方程模型簡化為一階常微分方程組，并說明每個方程的物理意義。四、某物流公司需要將一批貨物從倉庫A運往目的地C，中間必須經(jīng)過中轉站B。已知從A到B的運輸成本為每噸100元，從B到C的運輸成本為每噸150元。倉庫A有貨物100噸，目的地C需要貨物120噸，中轉站B最多可以存儲50噸貨物。請建立線性規(guī)劃模型，求從A到B以及從B到C的運輸量（設分別為$x_1$和$x_2$噸），使得總運輸成本最小。五、已知某城市交通網(wǎng)絡的一部分可以抽象為一個無向圖$G=(V,E)$，其中頂點集$V=\{v_1,v_2,\dots,v_6\}$代表主要路口，邊集$E$代表道路。邊的權重表示通過該道路所需的時間（分鐘）。請給出圖$G$的鄰接矩陣$A$。假設一輛車需要從一個路口$v_i$出發(fā)，最終到達另一個路口$v_j$，且途中最多經(jīng)過3條邊。請利用鄰接矩陣$A$，通過矩陣運算找出所有滿足條件的從$v_i$到$v_j$的路徑數(shù)量（不考慮重復路徑）。六、為了估計某湖泊中某種魚的數(shù)量，研究人員進行了兩次捕撈。第一次捕撈并標記了1000條魚，然后將它們放回湖中。一段時間后，進行第二次捕撈，共捕撈了800條魚，其中發(fā)現(xiàn)標記魚有50條。請建立數(shù)學模型，估計該湖泊中這種魚的總數(shù)量$N$。假設魚被捕撈的概率是均勻的。七、一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每周的最大生產(chǎn)能力為100件。產(chǎn)品的需求是隨機的，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，每周需求量服從參數(shù)為$\lambda=80$的泊松分布。如果產(chǎn)品本周生產(chǎn)過剩，可以存放在倉庫中，但每件產(chǎn)品的存儲成本為10元/周。如果產(chǎn)品本周需求未能滿足，將造成每件產(chǎn)品200元的損失。請建立數(shù)學模型，確定每周的最優(yōu)生產(chǎn)量，使期望的周總成本最小。八、考慮以下非線性方程組：$\begin{cases}x^2+y^2-1=0\\x\siny-y\sinx=0\end{cases}$請選擇一種合適的數(shù)值方法（例如牛頓法），并寫出求解該方程組在初始猜測點$(x_0,y_0)=(1.2,0.5)$附近近似根的迭代公式。無需進行具體的迭代計算。試卷答案一、*模型:設矩形公園的長為$x$米（沿河岸方向），寬為$y$米。則修建圍欄的總長度（周長減去河岸一邊）為$L=x+2y$。公園的面積為$S=x\cdoty$。需要最大化$S$，且滿足$L\leqL_{max}$。*目標函數(shù):$\maxS=x\cdoty$*約束條件:1.$x+2y\leqL$2.$x\geq0$3.$y\geq0$二、*模型:設生產(chǎn)產(chǎn)品A的數(shù)量為$x$件，生產(chǎn)產(chǎn)品B的數(shù)量為$y$件。利潤為$P$?？傇舷臑?R$，總工時為$T$。*目標函數(shù):$\maxP=100x+80y$(利潤最大化)*約束條件:1.$x+1.5y\leq100$(原料約束)2.$2x+y\leq140$(工時約束)3.$x\geq0$4.$y\geq0$三、*模型:微分方程組為：$\frac{dI}{dt}=\betaSI-\gammaI$$\frac{dS}{dt}=-\betaSI+\gammaI$（由$S(t)+I(t)=N$得$\frac{dS}{dt}=-\frac{dI}{dt}$）*簡化方程組:$\frac{dI}{dt}=\beta(N-I)I-\gammaI=\betaNI-(\beta+\gamma)I$$\frac{dS}{dt}=-\frac{dI}{dt}=-\betaNI+(\beta+\gamma)I=(\beta+\gamma)I-\betaNI$*物理意義:*第一個方程:$\frac{dI}{dt}$表示感染人數(shù)的變化率。它等于新感染的人數(shù)($\betaSI$)減去康復的人數(shù)($\gammaI$)。*第二個方程:$\frac{dS}{dt}$表示易感人數(shù)的變化率。它等于從易感轉為感染的人數(shù)($-\betaSI$，取負號是因為$S$在減少）加上從感染康復的人數(shù)($\gammaI$)。四、*模型:設從A到B的運輸量為$x_1$噸，從B到C的運輸量為$x_2$噸?？偝杀緸?C$。*目標函數(shù):$\minC=100x_1+150x_2$*約束條件:1.$x_1+x_2\leq100$(A地供應量)2.$x_2\leq120$(C地需求量)3.$x_1-x_2\leq50$(B地存儲能力，$x_1$減去$x_2$是存入B地的量)4.$x_1\geq0$5.$x_2\geq0$五、*鄰接矩陣$A$:(假設邊的權重已知，例如$A_{ij}=w_{ij}$表示從$v_i$到$v_j$的直接道路時間，$A_{ij}=0$表示無直接道路，$A_{ii}=0$)$$A=\begin{bmatrix}0&w_{12}&w_{13}&w_{14}&w_{15}&w_{16}\\w_{21}&0&w_{23}&w_{24}&w_{25}&w_{26}\\w_{31}&w_{32}&0&w_{34}&w_{35}&w_{36}\\w_{41}&w_{42}&w_{43}&0&w_{45}&w_{46}\\w_{51}&w_{52}&w_{53}&w_{54}&0&w_{56}\\w_{61}&w_{62}&w_{63}&w_{64}&w_{65}&0\end{bmatrix}$$*路徑數(shù)量計算:計算從$v_i$到$v_j$經(jīng)過最多3條邊的路徑數(shù)量。設$B^k$是$A$的$k$次冪。$B^1=A$表示邊數(shù)。$B^2=A^2$表示經(jīng)過2條邊的路徑。$B^3=A^3$表示經(jīng)過3條邊的路徑。$B_{ij}^k$表示從$v_i$到$v_j$經(jīng)過恰好$k$條邊的路徑數(shù)量（不考慮回路）。則滿足條件的路徑數(shù)量為$\sum_{k=1}^3B_{ij}^k=(B_{ij}^1+B_{ij}^2+B_{ij}^3)$。需要計算$B^1,B^2,B^3$的$(i,j)$元素并求和。(注意：如果圖中存在環(huán)，需考慮回路是否重復計數(shù)，此題假設不考慮重復路徑，通常指不含相同邊的路徑)。六、*模型:采用標記重捕法（林肯指數(shù)法）。設湖中魚的總數(shù)量為$N$。第一次標記并放回$M=1000$條。第二次捕撈$C=800$條，其中標記魚$R=50$條。根據(jù)比例關系：$\frac{R}{C}\approx\frac{M}{N}$。*估計方程:$\hat{N}=\frac{M\cdotC}{R}=\frac{1000\times800}{50}$*估計值:$\hat{N}=16000$七、*模型:設每周生產(chǎn)量為$Q$件。總成本為$Cost$。需求量$D$服從參數(shù)$\lambda=80$的泊松分布。$D$的期望$E[D]=80$，方差$\mathrm{Var}(D)=80$。*成本構成:成本包括生產(chǎn)成本（假設每件生產(chǎn)成本為$c$元，則生產(chǎn)成本為$cQ$。題目未給出$c$，通常建模時視為常數(shù)，若$c=0$則僅考慮存儲和缺貨成本）、存儲成本和缺貨成本?？偝杀?Cost=cQ+\text{StorageCost}+\text{ShortageCost}$。*存儲成本:期望存儲量是生產(chǎn)量$Q$減去需求量$D$超過倉庫容量的部分。當$D\leqQ$時，存儲量為$0$；當$D>Q$時，存儲量為$D-Q$。期望存儲成本為$\mathbb{E}[\max(0,Q-D)]\times10$。利用泊松分布性質，$\mathbb{E}[\max(0,Q-D)]=Q-E[D]=Q-80$。*缺貨成本:期望缺貨量是需求量$D$超過生產(chǎn)量$Q$的部分。當$D\leqQ$時，缺貨量為$0$；當$D>Q$時，缺貨量為$D-Q$。期望缺貨成本為$\mathbb{E}[\max(0,D-Q)]\times200$。利用泊松分布性質，$\mathbb{E}[\max(0,D-Q)]=E[D]-\mathbb{E}[\min(D,Q)]$。$\mathbb{E}[\min(D,Q)]=\sum_{k=0}^{Q}k\cdotP(D=k)+\sum_{k=Q+1}^{\infty}Q\cdotP(D=k)=Q\cdotP(D\leqQ)=Q\cdot\sum_{j=0}^{Q}\frac{80^je^{-80}}{j!}$。*總成本函數(shù):$Cost(Q)=cQ+(Q-80)\times10+(80-\mathbb{E}[\min(D,Q)])\times200$。*優(yōu)化:目標是$\min_{Q\geq0}Cost(Q)$。通常需要計算$\mathbb{E}[\min(D,Q)]$的近似值或使用數(shù)值方法求解。例如，當$Q=80$時，$\mathbb{E}[\min(D,80)]=80$，成本為$80c+0+0=80c$。當$Q>80$時，$\mathbb{E}[\min(D,Q)]>80$，缺貨成本減少，但存儲成本增加。需要找到使總成本最小的$Q$值。此模型求解復雜，通常需要編程計算或使用特定庫存模型求解器。簡化思路是計算不同$Q$值下的總期望成本進行比較。八、*模型:采用牛頓法求解非線性方程組$\mathbf{F}(\mathbf{x})=\mathbf{0}$，其中$\mathbf{x}=[x,y]^T$，$\mathbf{F}(\mathbf{x})=[f_1(x,y),f_2(x,y)]^T$，$f_1(x,y)=x^2+y^2-1$，$f_2(x,y)=x\siny-y\sinx$。*迭代公式:牛頓法迭代公式為$\mathbf{x}_{k+1}=\mathbf{x}_k-J(\mathbf{x}_k)^{-1}\mathbf{F}(\mathbf{x}_k)$，其中$J(\mathbf{x}_k)$是$\mathbf{F}(\mathbf{x})$在$\mathbf{x}_k$處的雅可比矩陣。*雅可比矩陣$J(\mathbf{x})$:$$J(\mathbf{x})=\begin{bmatrix}\frac{\partialf_1}{\partialx}&\frac{\partialf_1}{\partialy}\\\frac{\p