2025年大學《數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學》專業(yè)題庫——群論與代數(shù)結(jié)構(gòu)考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題1.設(shè)G是一個群，a,b∈G，若a?b=e且b?a=e，則a的階為________，b的階為________。2.設(shè)G是群，H和K是G的兩個子群，則H∩K也是G的________。3.設(shè)φ:G→G'是一個群同態(tài)，ker(φ)={g∈G|φ(g)=e'}，則ker(φ)是G的________。4.設(shè)G是一個n階循環(huán)群，其生成元為a，則G的子群共有________個。5.設(shè)R是一個有單位元的環(huán)，a,b∈R，若ab=0且a≠0，則稱a為R中的左零因子，b為R中的右零因子。若R中沒有左零因子（也沒有右零因子），則稱R為________。二、判斷題1.()若H是群G的一個子群，a∈G，則aH=Ha。2.()任何一個有限群G都存在一個階為|G|的元素。3.()如果群G的每一個子群都是平凡子群，那么G必是平凡群。4.()若環(huán)R滿足(ab)2=a2b2對所有a,b∈R都成立，則R必是交換環(huán)。5.()域一定是整環(huán)，但整環(huán)不一定是域。三、證明題1.(15分)設(shè)G是一個群，a∈G，定義G上的一個二元關(guān)系*如下：對任意x,y∈G，x*y當且僅當xy=a。證明：*是G上的等價關(guān)系。2.(15分)設(shè)G是一個群，H是G的一個非空子集，且對任意a,b∈H，都有ab?1∈H。證明：H是G的一個子群。3.(15分)設(shè)φ:G→G'是一個群同態(tài)，K=ker(φ)。證明：(1)G/K是一個群；(2)存在唯一的群同態(tài)ψ:G/K→G'使得ψ(gK)=φ(g)對所有g(shù)∈G成立。4.(15分)設(shè)R是一個有單位元的交換環(huán)，a,b∈R是零因子。證明：ab是零因子。5.(10分)設(shè)F是一個域，a∈F是一個非零元素。證明：a的階（即滿足xa=1的最小正整數(shù)x的存在性及唯一性）要么是1，要么是某個素數(shù)p的冪次p?(p為素數(shù)，n為正整數(shù))。---試卷答案一、填空題1.5,62.子群3.子群4.n5.整環(huán)二、判斷題1.×2.×3.√4.√5.√三、證明題1.證明思路：*自反性：對任意x∈G，需要證明x*x。根據(jù)定義，需要證明xx=a。由于a∈G且G是群，單位元e∈G，所以a?1∈G?？紤]xx=a?1a。因為G是群，所以a?1a=e。因此，xx=e。由a的定義，如果xy=a，則y=x?1。所以，x*x當且僅當xx=a?1，即x*x當且僅當x=a?1。因為e*e=ee=e=a?1，所以x*x成立。故*是自反的。*對稱性：對任意x,y∈G，假設(shè)x*y成立，即xy=a。需要證明y*x成立，即yx=a。由xy=a，兩邊同時右乘y?1，得到x=ay?1。因為a?1∈G，所以ay?1∈G。根據(jù)題設(shè)條件，ab?1∈H對任意a,b∈H成立。令a=x,b=a?1，得到x(a?1)?1=x(a?1)?1=x(a?1)?1=x(a?1)?1∈H。所以x=ay?1∈H。因為x,y∈H，且H是一個子集，所以xy,yx∈H。由于xy=a∈H，且x=ay?1∈H，根據(jù)定義，y*x當且僅當yx=a。故*是對稱的。*傳遞性：對任意x,y,z∈G，假設(shè)x*y和y*z成立，即xy=a且yz=a。需要證明x*z成立，即xz=a。由xy=a，兩邊同時右乘y?1，得到x=ay?1。由yz=a，兩邊同時左乘x?1，得到x?1(yz)=x?1a。因為群中運算結(jié)合，所以(x?1y)z=e。所以x?1y=z?1。因此，x=(z?1)y。因為x,y,z∈G，所以x,y,z?1∈G。根據(jù)題設(shè)條件，ab?1∈H對任意a,b∈H成立。令a=x,b=z?1y，得到x(z?1y)?1=x(zy?1)?1=x(zy)?1=x(zy)?1∈H。所以x=(z?1)y∈H。因為x,z∈H，且H是一個子集，所以xz∈H。由于xy=a∈H，且x=(z?1)y∈H，根據(jù)定義，x*z當且僅當xz=a。故*是傳遞的。*結(jié)論：因為*是自反的、對稱的、傳遞的，所以*是G上的等價關(guān)系。2.證明思路：*利用子群判別定理：需要證明H對G的運算封閉，且H中每個元素的逆元也在H中。*封閉性：對任意a,b∈H，需要證明ab∈H。根據(jù)題設(shè)，ab?1∈H。因為H非空，設(shè)a?∈H?？紤]a?(ab?1)?1。根據(jù)群的性質(zhì)，(ab?1)?1=b?1a。所以a?(ab?1)?1=a?(b?1a)=(a?b?1)a。因為a?∈H且ab?1∈H，根據(jù)H的定義，a?b?1∈H。又因為a∈H，所以(a?b?1)a∈H。即a?(ab?1)?1∈H。由于a?∈H，且H對G運算封閉，所以a?(ab?1)?1=a?a?1b∈H。因此，ab∈H。H對運算封閉。*逆元：對任意a∈H，需要證明a?1∈H。根據(jù)題設(shè)，aa?1=e∈H。因為H非空，設(shè)a?∈H?？紤]a?(aa?1)?1。根據(jù)群的性質(zhì)，(aa?1)?1=a?1a。所以a?(aa?1)?1=a?(a?1a)=(a?a)a?1。因為a?∈H且aa?1∈H，根據(jù)H的定義，a?a∈H。又因為a∈H，所以(a?a)a?1∈H。即a?(aa?1)?1∈H。由于a?∈H，且H對G運算封閉，所以a?(aa?1)?1=a?e=a?∈H。因此，a?1∈H。H對逆元封閉。*結(jié)論：由子群判別定理，H是G的一個子群。3.證明思路：*(1)G/K是一個群：*非空性：K=ker(φ)是G的子群，所以K≠?。因此G/K≠?。*封閉性：對任意g?K,g?K∈G/K，需要證明(g?K)(g?K)∈G/K。根據(jù)商集的定義，(g?K)(g?K)=g?g?K。因為φ是群同態(tài)，φ(g?g?)=φ(g?)φ(g?)。所以φ(g?g?)K=φ(g?)φ(g?)K。因為g?K∈G/K，所以φ(g?)∈G'。因為g?K∈G/K，所以φ(g?)∈G'。所以φ(g?)φ(g?)∈G'。因此φ(g?g?)K∈G/K。即(g?K)(g?K)∈G/K。G/K對運算封閉。*單位元：G的單位元為e，eK=K。因為φ(e)=e'(G'的單位元)。所以φ(e)K=e'K。K是G的子群，包含單位元e。因此e'K=K。即K是G/K的單位元。*逆元：對任意gK∈G/K，需要證明(gK)?1∈G/K。根據(jù)商集的定義，(gK)?1=g?1K。因為φ是群同態(tài)，φ(g?1)=φ(g)?1。所以φ(g?1)K=φ(g)?1K。因為gK∈G/K，所以φ(g)∈G'。所以φ(g)?1∈G'。因此φ(g?1)K∈G/K。即(gK)?1∈G/K。G/K對逆元封閉。*結(jié)論：G/K滿足群的定義，是一個群。*(2)ψ的存在性與唯一性：*存在性：定義ψ:G/K→G'如下：對任意gK∈G/K，ψ(gK)=φ(g)。需要證明ψ是良定義的。即如果g?K=g?K，則ψ(g?K)=ψ(g?K)。假設(shè)g?K=g?K，則g?K=g?K。所以g?=g?k?對某個k?∈K成立。因為k?∈K=ker(φ)，所以φ(k?)=e'。因此φ(g?)=φ(g?k?)=φ(g?)φ(k?)=φ(g?)e'=φ(g?)。所以ψ(g?K)=φ(g?)=φ(g?)=ψ(g?K)。ψ是良定義的。ψ是群同態(tài)：對任意g?K,g?K∈G/K，ψ((g?K)(g?K))=ψ(g?g?K)=φ(g?g?)=φ(g?)φ(g?)=ψ(g?K)ψ(g?K)。ψ是滿射：對任意y∈G'，取g∈G使得φ(g)=y(存在性由φ是同態(tài)保證)。則ψ(gK)=φ(g)=y。因此ψ是滿射。ψ是群同態(tài)且滿射，因此是群同態(tài)。*唯一性：假設(shè)存在ψ':G/K→G'也是滿足ψ'(gK)=φ(g)對所有g(shù)∈G成立的群同態(tài)。對任意gK∈G/K，有ψ'(gK)=φ(g)=ψ(gK)。因此ψ'(gK)=ψ(gK)對所有g(shù)K∈G/K成立。即ψ'=ψ。ψ的唯一性得證。*結(jié)論：存在唯一的群同態(tài)ψ:G/K→G'使得ψ(gK)=φ(g)對所有g(shù)∈G成立。4.證明思路：*反證法：假設(shè)ab不是零因子。根據(jù)零因子的定義，ab不是零因子意味著ab≠0且存在c∈R使得(ab)c=0且c≠0。*推導矛盾：因為a是零因子，存在d∈R使得ad=0且d≠0。考慮(ab)c=0。因為R是交換環(huán)，所以bca=0。因為R有單位元1，所以b(ac)=0。因為R是交換環(huán)，所以(ba)c=0。因為a是零因子，ad=0，且d≠0。所以a(bc)=0。因為R是交換環(huán)，所以(ab)c=0?，F(xiàn)在假設(shè)ab不是零因子。則ab≠0。因為(ab)c=0且ab≠0，根據(jù)環(huán)的定義，c必須為0。但這與c≠0矛盾。*結(jié)論：假設(shè)ab不是零因子導致矛盾，所以ab必是零因子。5.證明思路：*情況1：a=1。1a=1。令x=1，則xa=1。x是正整數(shù)，且是最小的滿足xa=1的正整數(shù)。所以a的階為1。*情況2：a≠1。令a的階為m(m≥2)。根據(jù)階的定義，am=1且對任意1≤k<m，ak≠1。*證明m是素數(shù)：假設(shè)m不是素數(shù)。則存在正整數(shù)p,q(