2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在信號(hào)處理中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.下列哪個(gè)信號(hào)是周期信號(hào)？（）A.$e^{-t}$B.$\sin(2\pit+\frac{\pi}{4})$C.$t^2$D.$\cos(t)+\sin(2t)$2.離散時(shí)間信號(hào)$x[n]=\{1,2,3,4\}$的能量為多少？A.10B.14C.30D.203.傅里葉變換將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到哪個(gè)域？A.頻域B.幅度域C.相位域D.頻率域4.系統(tǒng)函數(shù)$H(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}$的類型是？A.IIR低通濾波器B.FIR高通濾波器C.IIR高通濾波器D.FIR低通濾波器5.小波變換的主要優(yōu)勢(shì)是什么？A.只能處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)B.無法進(jìn)行時(shí)頻分析C.具有良好的時(shí)頻局部化特性D.只能處理離散時(shí)間信號(hào)二、填空題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上）6.若信號(hào)$x(t)$的傅里葉變換為$X(j\omega)$，則信號(hào)$x(2t)$的傅里葉變換為________。7.離散傅里葉變換（DFT）的長度為$N$，則頻率分辨率等于________。8.一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，若其沖激響應(yīng)為$h(t)$，輸入信號(hào)為$x(t)$，則其零狀態(tài)響應(yīng)$y(t)$可以通過________求得。9.判斷一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)是否穩(wěn)定，可以通過檢查其系統(tǒng)函數(shù)$H(z)$的極點(diǎn)是否位于________來確定。10.在信號(hào)處理中，濾波器的階數(shù)越高，其過渡帶通常________。三、計(jì)算題（每小題10分，共40分）11.已知連續(xù)時(shí)間信號(hào)$x(t)=\sin(10\pit)+\cos(20\pit)$，求其傅里葉變換$X(j\omega)$，并繪制其幅度譜圖。12.已知離散時(shí)間信號(hào)$x[n]=\{1,2,3,4,5\}$，求其離散傅里葉變換（DFT）$X[k]$，并計(jì)算$X[0]$和$X[2]$的值。13.設(shè)計(jì)一個(gè)長度為8的FIR低通濾波器，其截止頻率為$\pi/4$，使用矩形窗法設(shè)計(jì)該濾波器，并給出其單位脈沖響應(yīng)$h[n]$。14.已知系統(tǒng)函數(shù)$H(z)=\frac{1-0.5z^{-1}}{1-0.7z^{-1}+0.12z^{-2}}$，求該系統(tǒng)的階數(shù)，并判斷其穩(wěn)定性。四、證明題（每小題10分，共20分）15.證明：若信號(hào)$x(t)$的傅里葉變換為$X(j\omega)$，則信號(hào)$x(-t)$的傅里葉變換為$X(-j\omega)$。16.證明：線性時(shí)不變系統(tǒng)的卷積運(yùn)算滿足交換律，即$y(t)=x(t)*h(t)=h(t)*x(t)$。五、綜合應(yīng)用題（20分）17.已知一信號(hào)$x(t)$經(jīng)過一個(gè)理想低通濾波器后，得到輸出信號(hào)$y(t)$。理想低通濾波器的截止頻率為$\omega_c$。若$x(t)$中包含兩個(gè)頻率分別為$\omega_1$和$\omega_2$的正弦信號(hào)，其中$\omega_1<\omega_2<\omega_c$。請(qǐng)分析輸出信號(hào)$y(t)$的特點(diǎn)，并說明當(dāng)$\omega_2$接近$\omega_c$時(shí)可能出現(xiàn)的問題。試卷答案一、選擇題1.B2.D3.A4.A5.C二、填空題6.$\frac{1}{2}X(\frac{j\omega}{2})$7.$\frac{2\pi}{N}$8.卷積9.單位圓內(nèi)10.越窄三、計(jì)算題11.解析：$x(t)=\sin(10\pit)+\cos(20\pit)$$X(j\omega)=j\pi[\delta(\omega-10\pi)-\delta(\omega+10\pi)]+\pi[\delta(\omega-20\pi)+\delta(\omega+20\pi)]$幅度譜為$|X(j\omega)|=\pi[\delta(\omega-10\pi)+\delta(\omega+10\pi)+\delta(\omega-20\pi)+\delta(\omega+20\pi)]$12.解析：$x[n]=\{1,2,3,4,5\}$$X[k]=\sum_{n=0}^{4}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{5}kn}$$X[0]=\sum_{n=0}^{4}x[n]=15$$X[2]=\sum_{n=0}^{4}x[n]e^{-j\frac{4\pi}{5}n}=1+2e^{-j\frac{8\pi}{5}}+3e^{-j\frac{16\pi}{5}}+4e^{-j\frac{24\pi}{5}}+5e^{-j\frac{32\pi}{5}}$13.解析：理想低通濾波器頻率響應(yīng)$H(e^{j\omega})=\begin{cases}1,&|\omega|\leq\frac{\pi}{4}\\0,&\frac{\pi}{4}<|\omega|\leq\pi\end{cases}$矩形窗函數(shù)$w[n]=\begin{cases}1,&0\leqn\leq7\\0,&n<0\text{或}n>7\end{cases}$$h[n]=H(e^{j\omega})e^{j\frac{2\pin}{8}}\bigg|_{\omega=0}\timesw[n]=\frac{1}{8}\sum_{m=-7}^{7}e^{j\frac{\pim}{4}}\timesw[n-m]$14.解析：$H(z)=\frac{1-0.5z^{-1}}{1-0.7z^{-1}+0.12z^{-2}}$分母多項(xiàng)式為$z^2-0.7z+0.12$該系統(tǒng)為二階系統(tǒng)（階數(shù)等于分母多項(xiàng)式的階數(shù)）。根為$z_1=0.6$,$z_2=0.2$，均在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定。四、證明題15.證明：設(shè)$x(t)$的傅里葉變換為$X(j\omega)$，即$X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt$則$x(-t)$的傅里葉變換為$\int_{-\infty}^{\infty}x(-t)e^{-j\omegat}dt=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omegat}(-dt)=X(-j\omega)$16.證明：設(shè)$y(t)=x(t)*h(t)$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau$令$\tau'=t-\tau$，則$d\tau'=-d\tau$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t-\tau')h(\tau')(-d\tau')=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau')x(t-\tau')d\tau'=h(t)*x(t)$即$x(t)*h(t)=h(t)*x(t)$五、綜合應(yīng)用題17.解析：理想低通濾波器只允許頻率低于截止頻率$\omega_c$的信號(hào)通過。由于$\omega_1<\omega_2<\omega_c$，所以$\omega_1$和$\omega_2$均可通過濾波器。輸出信號(hào)$y(t)$將包含頻率為$\omega_1$和$