12.4逆命題與互逆定理3.角平分線學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解并掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.（重點）2.能利用角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理證明相關(guān)結(jié)論并應(yīng)用.（難點）自主學(xué)習(xí)一、知識鏈接我們知道角是軸對稱圖形，它的對稱軸就是角平分線所在的直線，試著在下圖中畫出∠ABC的對稱軸BD.二、新知預(yù)習(xí)在上圖的BD上取一點H，點H在∠ABC的內(nèi)部，作HE⊥AB，HF⊥BC，求證：HE=HF.合作探究一、探究過程探究點1：角平分線的性質(zhì)定理問題根據(jù)上述的作圖及證明，你認(rèn)為過角平分線上一點向角的兩邊作垂線，這兩條垂線有什么關(guān)系？【要點歸納】角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點到角兩邊的距離___.例1如圖，D是△ABC外角∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：CE＝CF．例2如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3【方法總結(jié)】利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．【針對訓(xùn)練】如圖，OP是∠MON的平分線，點A是ON上一點，作線段OA的垂直平分線交OM于點B，過點A作CA⊥ON交OP于點C，連接BC，AB＝10cm，CA＝4cm．則△OBC的面積為cm2．探究點2：角平分線的性質(zhì)定理的逆定理問題寫出角平分線性質(zhì)定理的逆命題，它是真命題還是假命題？【要點歸納】角平分線的性質(zhì)定理的逆定理角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的上.例3如圖，BE＝CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB＝DC，求證：AD是∠BAC的平分線．【方法總結(jié)】證明一條射線是角平分線的方法有兩種：一是利用三角形全等證明兩角相等；二是利用角平分線的性質(zhì)定理的逆定理．【針對訓(xùn)練】如圖，已知△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點D.求證：AD是∠BAC的平分線．（提示：作輔助線如圖所示）二、課堂小結(jié)內(nèi)容角平分線的性質(zhì)定理角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.如果點P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，那么PD＝________．角平分線性質(zhì)定理的逆定理角的內(nèi)部到角的兩邊距離________的點在角的平分線上．如果點P為∠AOB內(nèi)一點，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，且PD＝PE，那么點P在∠AOB的平分線上.當(dāng)堂檢測1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，且DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=______度，BE=________.第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖2.如圖，在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距離是______.3.如圖，已知△ABC的周長是21，BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面積是________．4.如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，則∠MAB＝°．5.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F．下面給出四個結(jié)論，①DA平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的點到B、C兩點的距離相等；④到AE、AF距離相等的點，到DE、DF的距離也相等．其中正確的結(jié)論有()A．1個B．2個C．3個