專題05三角形的常見模型（6種模型解讀）【考點題型一】“A”字模型【模型介紹】圖形像“A”字，故曰“A”字模型.已知圖示結論（性質(zhì)）證明過程已知△ABC，延長AB至D，延長AC至E∠1+∠2=∠A+180°證明：∵∠1=∠A+∠ACB∴∠1=∠A+180°-∠2∴∠1+∠2=∠A+180°1．（2021九年級·全國·專題練習）如圖，△ABC中，∠A=65°，直線DE交AB于點D，交AC于點E，則∠BDE+∠CED=（

）．A．180° B．215° C．235° D．245°2．（18-19八年級·全國·單元測試）如圖，已知∠A=40°，則∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)為．3．（2021九年級·全國·專題練習）如圖所示，∠DAE的兩邊上各有一點B,C，連接BC，求證∠DBC+∠ECB=180°+∠A．【考點題型二】“8”字模型【模型介紹】圖形像“8”字，故曰“8”字模型.已知圖示結論（性質(zhì)）證明過程已知AD，BC相交于O∠A+∠B=∠C+∠D證明：在?ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°在?COD中，∠C+∠D+∠COD=180°而∠AOB=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D已知線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD∠P=12證明：∵線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B①∠PAD+∠P=∠PCD+∠D②①+②得2∠P=∠B+∠D，則∠P=124．（2021·河北·中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D應（填“增加”或“減少”）度．5．（17-18七年級下·安徽合肥·期末）【數(shù)學模型】如圖（1），AD，BC交于O點，根據(jù)“三角形內(nèi)角和是180°”，不難得出兩個三角形中的角存在以下關系：（1）∠DOC=∠AOB；（2）∠D+∠C=∠A+∠B．【提出問題】分別作出∠BAD和∠BCD的平分線，兩條角平分線交于點E，如圖（2），∠E與∠D、∠B之間是否存在某種數(shù)量關系呢？【解決問題】為了解決上面的問題，我們先從幾個特殊情況開始探究．已知∠BAD的平分線與∠BCD的平分線交于點E．（1）如圖（3），若AB∥CD，（2）如圖（4），若AB不平行CD，∠D=30°，易證∠D+∠1=∠E+∠3，∴∠D+∠1+∠B+∠4=____________，∵CE、AE分別是∠BCD、∠BAD的平分線，∴∠1=∠2，∵∠D=30°∴∠E=____________度．（3）在總結前兩問的基礎上，借助圖（2），直接寫出∠E與∠D、∠B之間的數(shù)量關系是：____________．【類比應用】如圖（5），∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E．已知：∠D=α、∠B=β，(α<β)則∠E=__________________（用6．（20-21七年級下·山西臨汾·期末）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：∠A+∠B=∠C+∠D．（2）如圖②，AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度數(shù)．（3）如圖（3），直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關系是________；（4）如圖（4），直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關系是________．7．（2020九年級·全國·專題練習）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點O，我們把△AOD和△BOC叫做對頂三角形．結論：若△AOD和△BOC是對頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結論應用舉例：如圖2：求五角星的五個內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．解：連接CD，由對頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個內(nèi)角之和為180°．解決問題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請你從圖③或圖④中任選一個，寫出你的計算過程．8．（19-20七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；【簡單應用】（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)；【問題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．【拓展延伸】（4）①在圖4中，若設∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關系為：②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結論．

【考點題型三】飛鏢模型【模型介紹】圖形像“飛鏢”，故曰飛鏢模型.已知圖示結論（性質(zhì)）證明方法已知四邊形ABCD∠C=∠A+∠B+∠D1）延長AC到點P2）延長BC交AD于點P3）連接BD已知四邊形ABCD，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC∠O=129．（20-21八年級上·安徽亳州·階段練習）如圖①所示是一個飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”．（1）求證：∠ADC=∠DAB+∠DCB+∠ABC；（2）如圖②所示是一個變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點D，若∠EDF=120°，求∠A+∠B+∠C+∠G+∠E+∠F的度數(shù)．10．（22-23八年級上·山西晉中·期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，(1)觀察“規(guī)形圖”，直接寫出∠BDC與∠A、∠B、(2)請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，∠A=42°，則∠ABX+∠ACX=②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=140°，則∠DCE=°；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC=142°，∠B11．（20-21七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）模型規(guī)律：如圖1，延長CO交AB于點D，則∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因為凹四邊形ABOC形似箭頭，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應用（1）直接應用：①如圖2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，則∠BOC=__________°；②如圖3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；（2）拓展應用：①如圖4，∠ABO、∠ACO的2等分線（即角平分線）BO1、CO1交于點O1，已知∠BOC=120°，∠BAC=50°②如圖5，BO、CO分別為∠ABO、∠ACO的10等分線(i=1,2,3,…,8,9)．它們的交點從上到下依次為O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，則③如圖6，∠ABO、∠BAC的角平分線BD、AD交于點D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，則∠ADB=__________°；④如圖7，∠BAC、∠BOC的角平分線AD、OD交于點D，則∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關系為__________．【考點題型四】老鷹抓小雞模型（含三角形折疊問題（與角有關））圖示結論（性質(zhì)）證明方法∠A+∠O=∠1+∠2口訣：腋下兩角之和等于上下兩角之和證明:連接AO∵∠1是?ABO的外角∴∠1=∠3+∠5①∵∠2是?ACO的外角∴∠2=∠4+∠6②①+②得∠1+∠2=∠3+∠5+∠4+∠6，即∠1+∠2=∠BAC+∠BOC∠A+∠O=∠2-∠1證明：連接AO∵∠1是?ABO的外角∴∠1=∠BAO+∠AOB①∵∠2是?AOD的外角∴∠2=∠3+BAO+∠AOB+∠BOD②②-①得∠2-∠1=∠3+∠BFD即∠BAD+∠BOD=∠2-∠1已知圖示結論（性質(zhì)）將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在線段AC上時∠2=2∠C將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE內(nèi)部時2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠2將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE外部時2∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠212．（2021九年級·全國·專題練習）如圖，在△ABC中，∠C=46°，將△ABC沿直線l折疊，點C落在點D的位置，則∠1?∠2的度數(shù)是（

）．A．23° B．92° C．46° D．無法確定13．（22-23七年級下·河北石家莊·期末）（1）如圖1，將一張三角形紙片ABC沿著AD折疊，使點C落在邊AB上的C處，若∠CAB=70°，則∠CAD=______°；

（2）如圖2，將一張三角形紙片ABC沿著DE折疊(點D，E分別在邊AB和AC上)，并使得點A和點A'重合，若∠A=70°，則∠1+∠2=______°（3）如圖3，將長方形紙片沿著BC和BD折疊成如圖所示的形狀，BE和BI重合，①∠CBD的度數(shù)是多少？請說明理由；②如果∠IBD=58°17'，求14．（20-21七年級下·江蘇揚州·期末）如圖①，把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCED內(nèi)部點A'的位置，通過計算我們知道：2∠A=∠1+∠2

(1)如果把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCED的外部點A'的位置，如圖②，此時∠A與∠1、∠2(2)如果把四邊形ABCD沿時折疊，使點A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部A'、D'的位置，如圖③，你能求出∠A、∠D、∠1與15．（22-23七年級下·江蘇揚州·期末）（1）如圖1，把三角形紙片ABC折疊，使3個頂點重合于點P．這時，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________°；

（2）如果三角形紙片ABC折疊后，3個頂點并不重合于同一點，如圖2，那么(1)中的結論是否仍然成立？請說明理由；（3）折疊后如圖3所示，直接寫出∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6之間的數(shù)量關系_______；（4）折疊后如圖4，直接寫出∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6之間的數(shù)量關系：_______；16．（22-23七年級下·吉林長春·期末）如圖，△ABC是一張三角形的紙片，點D、E分別是邊AB、AC上的點.將∠A沿DE折疊，點A落在點A'

(1)如圖①，當點A'落在邊AC上時，若∠A=35°，求∠BDA'(2)如圖②，當點A'落在△ABC內(nèi)部時，若∠A=35°，∠CEA'=34°，求∠BDA'(3)當點A'落在△ABC如圖③，若∠A=35°，∠CEA'=18°，則∠BDA'=______°；如圖④，∠BDA'、∠CEA17．（22-23七年級下·浙江寧波·期中）數(shù)學探究活動中，阿青同學為了驗證：長條紙片上下邊沿MN與PQ是否平行，把紙片沿著AC折疊（如圖1），并用量角器測出∠1、∠2的度數(shù)；(1)若∠1=∠2，則MN∥PQ．你認為阿青同學的做法正確嗎？?說明理由；(2)在（1）的條件下，阿青同學在紙條下PQ上取點D（如圖2），連結AD并沿著AE折疊紙片使得AD與AB重合，過E作EF⊥AC于點F，設∠AEF=α，∠ADP=β．①當點D在點C、B之間時，若β=120°，求②當點D在PQ上的運動過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并加以證明．（選其中一種情況證明）【考點題型五】雙角平分線模型已知圖示結論（性質(zhì)）證明過程已知BD、DC分別平分∠ABC、∠ACB∠D=90°+12證明：∵BD、DC分別平分∠ABC、∠ACB∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∵在?ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠A=180°-2∠DBC-2∠DCB①∵在?BDC中，∠D+∠DBC+∠DCB=180°∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB②①-2×②得∠A-2∠D=180°-2∠DBC-2∠DCB-360°+2∠DBC+2∠DCB即∠D=90°+12已知BD、DC分別平分∠EBC、∠FCB∠D=90°-12證明：∵BD、DC分別平分∠EBC、∠FCB∴∠1=∠2=12∠EBC，∠3=∠4=∵在?ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠A=180°-(180°-∠1-∠2)–(180°-∠3-∠4)化簡得∠A=∠1+∠2+∠3+∠4-180°=2∠2+2∠3-180°①∵在?BDC中，∠D+∠2+∠3=180°∴∠D=180°-∠2-∠3②①+2×②得∠A+2∠D=180°即∠D=90°-12已知BE、EC分別平分∠ABC、∠ACD∠E=12∠證明：∵BE、EC分別平分∠ABC、∠ACD∴∠1=∠2=12∠ABC，∠3=∠4=∵∠ACD是?ABC的外角∴∠ACD=∠A+∠ABC即∠A=2∠3-2∠1①∵∠4是?EBC的外角∴∠4=∠E+∠2即∠E=∠4-∠2②①-2×②得∠A-2∠E=0即∠E=12∠18．（18-19八年級上·全國·單元測試）如圖，在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，且交于點O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交CE于點E，則以下結論：①∠A=2∠E；②∠BOC=3∠E；③∠BOC=90°+∠A；④∠BOC=90°+∠E．正確的是（）A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②④19．（23-24七年級上·廣東珠海·期中）如圖，已知∠A=n°，若P1點是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點，P2點是∠P1BC和外角∠P1CE的角平分線的交點，A．n°4046 B．n°22023 C．n°20．（22-23七年級下·吉林長春·期末）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次數(shù)學學習活動中，劉華遇到了下面的這個問題：如圖①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，請你判斷∠A和∠P間的數(shù)量關系并說明理由．劉華對這個問題進行了判斷并給出了證明過程，下面是部分證明過程，請你補全余下的證明過程．解：結論：∠P=_________．理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=1∴∠P=180°?∠PBC?∠PCB=180°?=180°?=_________．【模型發(fā)展】如圖②，點P是△ABC的外角平分線BP與CP的交點，請你判斷∠A和∠P間的數(shù)量關系并說明理由．【解決問題】如圖③，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，點Q是△PBC的外角平分線BQ與CQ的交點．若∠A=68°，則∠Q=______度．21．（19-20七年級下·福建泉州·期中）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．

(1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度數(shù)；(2)如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q，∠A之間的數(shù)量關系．(3)如圖③，延長線段BP，QC交于點E，在△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，求∠A的度數(shù)．22．（19-20八年級上·安徽·期中）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC和∠ACB的平分線交于P，則∠BPC的度數(shù)是______（2）類比探究：如圖2，在△ABC中，∠ABC的平分線和∠ACB的外角∠ACE的角平分線交于P，則∠BPC與∠A的關系是______，并說明理由．（3）類比延伸：如圖3，在△ABC中，∠ABC外角∠FBC的角平分線和∠ACB的外角∠BCE的角平分線交于P，請直接寫出∠BPC與∠A的關系是______．

23．（19-20七年級下·河南·期末）在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D．求∠BDC的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點F，求∠BFC的大小（用含α的代數(shù)式表示）；（3）在（2）的條件下，將△FBC以直線BC為對稱軸翻折得到△GBC，∠GBC的平分線與∠GCB的平分線交于點M（如圖3），求∠BMC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．【考點題型六】雙垂直模型已知圖示結論（性質(zhì)）∠B=∠D=∠ACE=90°∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED24．（22-23七年級下·江蘇泰州·階段練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點F，求證：∠CFE=∠CEF

請在以下的解題過程中的括號里填推理的理由．證明：∵AE平分∠CAB（已知）∴∠CAE=∠FAB（_____________________）∵∠ACE=90°（已知）∴∠CAE+∠CEF=90°（_____________________）∵CD是△ABC的高（已知）∴∠FDA=90°（三角形高的定義）∴∠FAB+∠AFD=90°（直角三角形的兩銳角互余）∴∠CEF=∠AFD（____________________________）∵∠CFE=∠AFD（_____________________）∴∠CFE=∠CEF（____________________）25．（21-22八年級下·山東青島·期中）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF交AD于點G．(1)判斷△DBF的形狀，并說明理由．(2)求證：AD⊥CF．26．（17-18七年級下·廣東珠?！て谀┤鐖D1，線段AB⊥BC于點B，CD⊥BC于點C，點E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB=∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于點H，EH的反向延長線交AF于點G．①求證EG⊥AF；②求∠F的度數(shù)．【提示：三角形內(nèi)角和等于180度】

27．（20-21七年級下·山東濟南·期中）如圖，△ABC中，∠B=90°，點D在射線BC上運動，DE⊥AD交射線AC于點E．（1）如圖1，若∠BAC=60°，當AD平分∠BAC時，求∠EDC的度數(shù)；（2）如圖2，當點D在線段BC上時，①判斷∠EDC與∠BAD的數(shù)量關系并說明理由；②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分線相交于點G，隨著點D的運動，∠G的度數(shù)會變化嗎？如果不變，求出∠G的度數(shù)；如果變化，說明理由；（3）如圖3，當點D在BC的延長線上時，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分線和∠DEF的角平分線的反向延長線相交于點G，∠G的度數(shù)會變化嗎？如果不變，求出∠G的度數(shù)；如果變化，說明理由．專題05三角形的常見模型（6種模型解讀）【考點題型一】“A”字模型【模型介紹】圖形像“A”字，故曰“A”字模型.已知圖示結論（性質(zhì)）證明過程已知△ABC，延長AB至D，延長AC至E∠1+∠2=∠A+180°證明：∵∠1=∠A+∠ACB∴∠1=∠A+180°-∠2∴∠1+∠2=∠A+180°1．（2021九年級·全國·專題練習）如圖，△ABC中，∠A=65°，直線DE交AB于點D，交AC于點E，則∠BDE+∠CED=（

）．A．180° B．215° C．235° D．245°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ADE+∠AED，根據(jù)平角的概念計算即可．【詳解】解：∵∠A=65°，∴∠ADE+∠AED=180°?65°=115°，∴∠BDE+∠CED=360°?115°=245°，故選：D．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應用，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關鍵．2．（18-19八年級·全國·單元測試）如圖，已知∠A=40°，則∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)為．【答案】280°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理分別求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后結果．【詳解】∵∠A=40°，∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°-∠A=140°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°，故答案為280°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的運用，熟練掌握三角形內(nèi)角和為180度是解題的關鍵．3．（2021九年級·全國·專題練習）如圖所示，∠DAE的兩邊上各有一點B,C，連接BC，求證∠DBC+∠ECB=180°+∠A．【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和證明即可．【詳解】解：∵∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC．又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關鍵．【考點題型二】“8”字模型【模型介紹】圖形像“8”字，故曰“8”字模型.已知圖示結論（性質(zhì)）證明過程已知AD，BC相交于O∠A+∠B=∠C+∠D證明：在?ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°在?COD中，∠C+∠D+∠COD=180°而∠AOB=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D已知線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD∠P=12證明：∵線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B①∠PAD+∠P=∠PCD+∠D②①+②得2∠P=∠B+∠D，則∠P=124．（2021·河北·中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D應（填“增加”或“減少”）度．【答案】減少10【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到∠EDF與∠D、∠E、∠DCE之間的關系，進行計算即可判斷．【詳解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如圖，連接CF并延長，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調(diào)整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此應將∠D減少10度；故答案為：①減少；②10．【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時涉及到了三角形的內(nèi)角和與對頂角相等的知識；解決本題的關鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊含了數(shù)形結合的思想方法．5．（17-18七年級下·安徽合肥·期末）【數(shù)學模型】如圖（1），AD，BC交于O點，根據(jù)“三角形內(nèi)角和是180°”，不難得出兩個三角形中的角存在以下關系：（1）∠DOC=∠AOB；（2）∠D+∠C=∠A+∠B．【提出問題】分別作出∠BAD和∠BCD的平分線，兩條角平分線交于點E，如圖（2），∠E與∠D、∠B之間是否存在某種數(shù)量關系呢？【解決問題】為了解決上面的問題，我們先從幾個特殊情況開始探究．已知∠BAD的平分線與∠BCD的平分線交于點E．（1）如圖（3），若AB∥CD，（2）如圖（4），若AB不平行CD，∠D=30°，易證∠D+∠1=∠E+∠3，∴∠D+∠1+∠B+∠4=____________，∵CE、AE分別是∠BCD、∠BAD的平分線，∴∠1=∠2，∵∠D=30°∴∠E=____________度．（3）在總結前兩問的基礎上，借助圖（2），直接寫出∠E與∠D、∠B之間的數(shù)量關系是：____________．【類比應用】如圖（5），∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E．已知：∠D=α、∠B=β，(α<β)則∠E=__________________（用【答案】【解決問題】（1）35°（2）2∠E+∠3+∠2，∠B+∠D，40°（3）∠E=【類比應用】1【分析】（1）根據(jù)兩個三角形的有一對對頂角相等得：∠D+∠DCE=∠E+∠DAE，∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，兩式相加后，再根據(jù)角平分線的定義可得結論；（2）同理列兩式相加可得結論；（3）根據(jù)（1）和（2）可得結論；首先延長BC交AD于點F，由三角形的外角的性質(zhì)，可得∠BCE=∠B+∠BAD+∠D，又由角平分線的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解：（1）如圖3，∵∠D+∠DCE=∠E+∠DAE，∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB=2∠E+∠DAE+∠ECB，∵EC平分∠ECB，AE平分∠BAD，∴∠DCE=∠ECB，∠DAE=∠BAE，∴2∠E=∠B+∠D，∴∠E=1∴∠E=1故答案為：35°；（2）如圖4，∵∠D+∠1=∠E+∠3，∠B+∠4=∠E+∠2，∴∠D+∠1+∠B+∠4=2∠E+∠3+∠2，∵EC平分∠ECB，AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∴2∠E=∠B+∠D，∴∠E=1又∵∠D=30°,∠B=50°，∴∠E=40°；故答案為：2∠E+∠3+∠2，∠B+∠D，40°；（3）由（1）和（2）得：∠E=1故答案為：∠E=1【類比應用】如圖5，延長BC交AD于點F，∵∠BFD=∠B+∠BAD，∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，∵EC平分∠ECB，AE平分∠BAD，∴∠ECD=∠ECB=12∠BCD∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，∴∠E=∠B+∠EAB?∠ECB=∠B+∠BAE?1∵∠D=α，∴∠E=1故答案為：12【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和等量代換是解題的關鍵．6．（20-21七年級下·山西臨汾·期末）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：∠A+∠B=∠C+∠D．（2）如圖②，AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度數(shù)．（3）如圖（3），直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關系是________；（4）如圖（4），直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關系是________．【答案】（1）見解析；（2）26°；（3）∠P=90°+12【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°和對頂角的性質(zhì)即可得證；（2）設∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，{x+∠ABC=y+∠P（3）根據(jù)直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠PAB=∠PAD=12∠BAD，∠PCB=∠PCE=12∠PCD從而可以得到180°?2(∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B，再根據(jù)∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠（4）連接PB，PD根據(jù)∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∠PCB+∠PBC+∠BPC=180°得到∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°，同理得到：∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°，再根據(jù)∠PCE+∠PCD=180°，∠PAB+∠PAF=180°，∠FAP=∠PAO，【詳解】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）∵AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，設∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，則有{x+∠ABC=y+∠P∴∠ABC?∠P=∠P?∠ADC，∴∠P=1（3）∵直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠PAB=∠PAD=12∴2∠PAB+∠B=180°-2∠PCB+∠D，∴180°?2(∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D∴∠P+∠PAD?∠BAD?∠B∴∠P?∠PAB?∠B=∠PCB,∴∠P?∠B=∠PAB+∠PCB∴180°?2(∠P?∠B)+∠D=∠B，即∠P=90°+1（4）連接PB，PD∵直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠FAP=∠PAO，∠PCE=∠PCB，∵∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∠PCB+∠PBC+∠BPC=180°∴∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°同理得到：∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCB+∠PAB+∠PCD+∠PAD=720°∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCE+∠PAB+∠PCD+∠PAF=720°∵∠PCE+∠PCD=180°，∠PAB+∠PAF∴2∠APC+∠ABC+∠ADC=360°，∴∠APC=180°-1【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.7．（2020九年級·全國·專題練習）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點O，我們把△AOD和△BOC叫做對頂三角形．結論：若△AOD和△BOC是對頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結論應用舉例：如圖2：求五角星的五個內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．解：連接CD，由對頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個內(nèi)角之和為180°．解決問題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請你從圖③或圖④中任選一個，寫出你的計算過程．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；過程見解析【分析】（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出結論；（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結論；（3）連接BH、DE，由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理得出結論；（4）連接ND、NE，由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六邊形的內(nèi)角和定理得出結論．【詳解】解：（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）連接BH、DE，∵由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五邊形CDEFG的內(nèi)角和＋△ABH的內(nèi)角和＝540°＋180°＝720°；（4）連接ND、NE，∵由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六邊形BCFGHM的內(nèi)角和＋△AND的內(nèi)角和＋△NDE的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案為：360°；540°；720°；1080°．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用△AOD和△BOC叫做對頂三角形的性質(zhì)及多邊形的內(nèi)角和定理解答是解答此題的關鍵．8．（19-20七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；【簡單應用】（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)；【問題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．【拓展延伸】（4）①在圖4中，若設∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關系為：②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結論．

【答案】（1）見解析；（2）36°；（3）26°，理由見解析；（4）①∠P=2α+β3②∠P=【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）直接利用（1）中的結論兩次，兩式相加，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題．（4）①同法利用（1）種的結論列出方程即可解決問題．②同法利用（1）種的結論列出方程即可解決問題．【詳解】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，∴∠P=36°．（3）∠P=26°，理由是：如圖3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=1（4）①設∠CAP=m，∠CDP=n，則∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，∴α－∠P=n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），∴2α+β=3∠P∴∠P=2α+β3故答案為：∠P=2α+β3②設∠BAP=x，∠PCE=y，則∠PAO=x，∠PCB=y．∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，∴∠P=180°+∠B+∠D2故答案為：∠P=180°+∠B+∠D2【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識，解題的關鍵是學會用方程的思想思考幾何問題，屬于中考常考題型．【考點題型三】飛鏢模型【模型介紹】圖形像“飛鏢”，故曰飛鏢模型.已知圖示結論（性質(zhì)）證明方法已知四邊形ABCD∠C=∠A+∠B+∠D1）延長AC到點P2）延長BC交AD于點P3）連接BD已知四邊形ABCD，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC∠O=129．（20-21八年級上·安徽亳州·階段練習）如圖①所示是一個飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”．（1）求證：∠ADC=∠DAB+∠DCB+∠ABC；（2）如圖②所示是一個變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點D，若∠EDF=120°，求∠A+∠B+∠C+∠G+∠E+∠F的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）240°【分析】（1）延長CD交AB于點E，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可證∠ADC=∠DAE+∠AED，∠AED=∠DCB+∠ABC，運用角的等量轉換即可證明．（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)，運用第（1）題的方法可證∠A+∠B+∠C=∠BDC，∠E+∠G+∠F=∠EDF，∠BDC和∠EDF是對頂角，可推出∠A+∠B+∠C+∠G+∠E+∠F的度數(shù)等于2倍∠EDF的度數(shù)，計算得出答案．【詳解】（1）證明：延長CD交AB于點E，如圖：∵∠ADC是△ADE的外角，∴∠ADC=∠DAE+∠AED．∵∠AED是△CEB的外角，∴∠AED=∠DCB+∠ABC，∴∠ADC=∠DAE+∠DCB+∠ABC=∠DAB+∠DCB+∠ABC．（2）解：∵∠EDF和∠BDC是對頂角，∴∠BDC=∠EDF=120°．由（1）的結論可知∠BDC=∠A+∠B+∠C，∠EDF=∠E+∠G+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠E+∠G+∠F=∠DCB+∠EDF=240°．【點睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，靈活運用三角形外角性質(zhì)是解題關鍵．10．（22-23八年級上·山西晉中·期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，(1)觀察“規(guī)形圖”，直接寫出∠BDC與∠A、∠B、(2)請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，∠A=42°，則∠ABX+∠ACX=②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=140°，則∠DCE=°；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC=142°，∠B【答案】(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C(2)①48；②90；③62【分析】（1）首先連接AD并延長，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后根據(jù)∠A=42°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的值；②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據(jù)∠DAE=40°，∠DBE=140°，求出∠ADB+∠AEB的值；然后根據(jù)∠DCE=12∠ADB+∠AEB+∠DAE，即可求出∠DCE的度數(shù)；③設∠ABG1=x°，∠ACG1=y°，結合已知可得【詳解】（1）解：∠BDC=∠A+∠B+∠C，理由如下：如圖，連接AD并延長．根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，故答案為：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）解：①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，∵∠A=42°，∠BXC=90°，∴∠ABX+∠ACX=90°?42°=48°，故答案為：48；②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB=∠DBE?∠DAE=140°?40°=100°，∴12∴∠DCE=1故答案為：90；③設∠ABG1=x°則∠ABD=10x°，∠ACD=10y°，則∠A+x°+y°=70°，∠A+10x°+10y°=142°，解得x+y=8°，∴∠A=70°?8°=62°，即∠A的度數(shù)為62°，故答案為：62．【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)定理，三角形的外角等于與它不相鄰的內(nèi)角的和，根據(jù)此定理得到角度的規(guī)律，由此解決問題，此題中得到平分角的變化規(guī)律是解題的難點．11．（20-21七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）模型規(guī)律：如圖1，延長CO交AB于點D，則∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因為凹四邊形ABOC形似箭頭，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應用（1）直接應用：①如圖2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，則∠BOC=__________°；②如圖3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；（2）拓展應用：①如圖4，∠ABO、∠ACO的2等分線（即角平分線）BO1、CO1交于點O1，已知∠BOC=120°，∠BAC=50°②如圖5，BO、CO分別為∠ABO、∠ACO的10等分線(i=1,2,3,…,8,9)．它們的交點從上到下依次為O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，則③如圖6，∠ABO、∠BAC的角平分線BD、AD交于點D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，則∠ADB=__________°；④如圖7，∠BAC、∠BOC的角平分線AD、OD交于點D，則∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關系為__________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【分析】（1）①根據(jù)題干中的等式直接計算即可；②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入計算即可；（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入計算可得；②同理可得∠BO7C=∠BOC-17（∠BOC-∠A③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-12（∠BOC-∠C④根據(jù)兩個凹四邊形ABOD和ABOC得到兩個等式，聯(lián)立可得結論．【詳解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-12（∠ABO+∠ACO=∠BOC-12（∠BOC-∠A=∠BOC-12=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-310（∠BOC-∠A=120°-310=120°-21°=99°；③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-310（∠BOC-∠C=180°-12=142°；④∠BOD=12∠BOC=∠B+∠D+12∠∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，聯(lián)立得：∠B-∠C+2∠D=0．【點睛】本題主要考查了新定義—箭頭四角形，利用了三角形外角的性質(zhì)，還考查了角平分線的定義，圖形類規(guī)律，解題的關鍵是理解箭頭四角形，并能熟練運用其性質(zhì)．【考點題型四】老鷹抓小雞模型（含三角形折疊問題（與角有關））圖示結論（性質(zhì)）證明方法∠A+∠O=∠1+∠2口訣：腋下兩角之和等于上下兩角之和證明:連接AO∵∠1是?ABO的外角∴∠1=∠3+∠5①∵∠2是?ACO的外角∴∠2=∠4+∠6②①+②得∠1+∠2=∠3+∠5+∠4+∠6，即∠1+∠2=∠BAC+∠BOC∠A+∠O=∠2-∠1證明：連接AO∵∠1是?ABO的外角∴∠1=∠BAO+∠AOB①∵∠2是?AOD的外角∴∠2=∠3+BAO+∠AOB+∠BOD②②-①得∠2-∠1=∠3+∠BFD即∠BAD+∠BOD=∠2-∠1已知圖示結論（性質(zhì)）將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在線段AC上時∠2=2∠C將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE內(nèi)部時2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠2將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE外部時2∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠212．（2021九年級·全國·專題練習）如圖，在△ABC中，∠C=46°，將△ABC沿直線l折疊，點C落在點D的位置，則∠1?∠2的度數(shù)是（

）．A．23° B．92° C．46° D．無法確定【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)得到∠D=∠C，再利用外角性質(zhì)即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：∠D=∠C=46°，根據(jù)外角性質(zhì)得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D，則∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+92°，則∠1?∠2=92°．故選：B．【點睛】此題考查了翻折變換（折疊問題）以及三角形外角性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關鍵．13．（22-23七年級下·河北石家莊·期末）（1）如圖1，將一張三角形紙片ABC沿著AD折疊，使點C落在邊AB上的C處，若∠CAB=70°，則∠CAD=______°；

（2）如圖2，將一張三角形紙片ABC沿著DE折疊(點D，E分別在邊AB和AC上)，并使得點A和點A'重合，若∠A=70°，則∠1+∠2=______°（3）如圖3，將長方形紙片沿著BC和BD折疊成如圖所示的形狀，BE和BI重合，①∠CBD的度數(shù)是多少？請說明理由；②如果∠IBD=58°17'，求【答案】（1）35°；（2）140°；（3）①90°；②31°【分析】（1）利用對折性質(zhì)可知AD是∠CAB角平分線，由此即可求解；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和可知∠AED+∠ADE=180°?∠A，根據(jù)折疊可知∠AEA'+∠AD（3）①根據(jù)折疊可得∠IBD=∠FBD，∠ABC=∠EBC，且∠IBD+∠FBD+∠ABC+∠EBC=180°，代入計算即可；②∠ABC=1【詳解】解：（1）由對折性質(zhì)可知，AD是∠CAB角平分線，∴∠CAD=1故答案為：35°．（2）在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，∠A=70°，∴∠AED+∠ADE=180°?∠A=180°?70°=110°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，∠A∴∠AEA∵∠AEA∴∠1+∠2=360°?220°=140°，故答案為：140°．（3）①由折疊的性質(zhì)可知：∠IBD=∠FBD，∠ABC=∠EBC，且∠IBD+∠FBD+∠ABC+∠EBC=180°，∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=1②根據(jù)折疊的性質(zhì)及上述知識可知，∠ABC=====31°43【點睛】本題考查折疊問題中角的計算問題，掌握翻折的性質(zhì)是本題的關鍵．14．（20-21七年級下·江蘇揚州·期末）如圖①，把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCED內(nèi)部點A'的位置，通過計算我們知道：2∠A=∠1+∠2

(1)如果把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCED的外部點A'的位置，如圖②，此時∠A與∠1、∠2(2)如果把四邊形ABCD沿時折疊，使點A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部A'、D'的位置，如圖③，你能求出∠A、∠D、∠1與【答案】(1)∠1?∠2=2∠A，理由見解析(2)∠A+∠D=180°+【分析】（1）連接AA'，由外角的性質(zhì)得到（2）由圖形折疊的性質(zhì)可知∠1=180°?2∠AEF，∠2=180°?2∠DFE【詳解】（1）解：連接AA

∵∠2=∠A'AE+∠AA∴∠1?∠2=2∠A；（2）解：由圖形折疊的性質(zhì)可知∠1=180°?2∠AEF，∠2=180°?2∠DFE

兩式相加得，∠1+∠2=360°?2∠AEF+∠DFE即∠1+∠2=360°?2360°?∠A?∠D∴∠1+∠2=2∠A+∠D即：∠A+∠D=180°+1【點睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識，熟練掌握角之間的關系是解題的關鍵．15．（22-23七年級下·江蘇揚州·期末）（1）如圖1，把三角形紙片ABC折疊，使3個頂點重合于點P．這時，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________°；

（2）如果三角形紙片ABC折疊后，3個頂點并不重合于同一點，如圖2，那么(1)中的結論是否仍然成立？請說明理由；（3）折疊后如圖3所示，直接寫出∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6之間的數(shù)量關系_______；（4）折疊后如圖4，直接寫出∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6之間的數(shù)量關系：_______；【答案】（1）360°；（2）成立，詳見解析；（3）∠1?∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°；（4）∠1?∠2?∠3+∠4+∠5+∠6=360°．【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和即可；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和即可；（3）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和外角性質(zhì)計算即可；（4）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和外角性質(zhì)計算即可．【詳解】（1）由折疊性質(zhì)可知：△AED≌△PED，△BFG≌△PFG，△CMN≌△PMN，∴∠A=∠EPD，∠B=∠FPG，∠C=∠MPN，∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠EPF+∠DPN+∠GPM=360°?∠EPD?∠FPG?∠MPN=360°?∠A?∠B?∠C=180°，∴∠1+∠2+故答案為：360，（2）由由折疊性質(zhì)可知：△AED≌△PED，△BFG≌△PFG，△CMN≌△PMN，∴∠AED=∠A'ED=12∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∠A'ED+∠A'DE+∠A'∴∠1+∠2=180°?∠A，同理：∠3+∠4=180°?∠B，∠5+∠6=180°?∠C，∴∠1+∠2+（3）根據(jù)(2)可知：∠3+∠4=180°?∠B，∠5+∠6=180°?∠C，如圖3，∵180°?∠A'?∠2=∠AD∴∠1?∠2=180°?∠A，∴∠1?∠2+故答案為：360°，（4）根據(jù)（2）（3）可知：∠5+∠6=180°?∠C，∠1?∠2=180°?∠A，∠4?∠3=180°?∠B，∴∠1?∠2+∴∠1?∠2?∠3+∠4+∠5+∠6=360°，故答案為：360°【點睛】此題考查了翻折、角的計算，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．16．（22-23七年級下·吉林長春·期末）如圖，△ABC是一張三角形的紙片，點D、E分別是邊AB、AC上的點.將∠A沿DE折疊，點A落在點A'

(1)如圖①，當點A'落在邊AC上時，若∠A=35°，求∠BDA'(2)如圖②，當點A'落在△ABC內(nèi)部時，若∠A=35°，∠CEA'=34°，求∠BDA'(3)當點A'落在△ABC如圖③，若∠A=35°，∠CEA'=18°，則∠BDA'=______°；如圖④，∠BDA'、∠CEA【答案】(1)70°；(2)36°；(3)①88°；②∠BDA【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求解；（2）由折疊的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求解∠AED=73°，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解；（3）①由折疊的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求解∠AED=99°，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解∠A'DE=46°，即可解答．②由折疊的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求解∠AED=90°?【詳解】（1）由折疊可知：∠A'=∠A=35°，∴∠A'DA=180°?∠A?∠A'=110°，∴∠BDA'=180°?∠A'DA=70°；（2）由折疊可知：∠AED=∠A'ED∵∠CEA'=34°∴∠AED=73°，∵∠A=35°，∠A+∠ADE+∠AED=180°，∴∠ADE=180°?35°?73°=72°，∴∠A∴∠BDA（3）如圖③，由折疊可知：∠AED=∠A'ED

∵∠CEA'=18°∴∠AED=99°，∵∠A=35°，∠A+∠ADE+∠AED=180°，∴∠ADE=180°?35°?99°=46°，∴∠A∴∠BDA故答案為：88°；如圖④，由折疊可知：∠AED=∠A'ED

∵∠A∴∠AED=180°?∠CE∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，∴∠ADE=180°?∠A?90°?∴∠A∴∠BDA即∠BDA故答案為：∠BDA【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，折疊與對稱的性質(zhì)，靈活運用折疊與對稱的性質(zhì)求解角的關系是解題的關鍵．17．（22-23七年級下·浙江寧波·期中）數(shù)學探究活動中，阿青同學為了驗證：長條紙片上下邊沿MN與PQ是否平行，把紙片沿著AC折疊（如圖1），并用量角器測出∠1、∠2的度數(shù)；(1)若∠1=∠2，則MN∥PQ．你認為阿青同學的做法正確嗎？?說明理由；(2)在（1）的條件下，阿青同學在紙條下PQ上取點D（如圖2），連結AD并沿著AE折疊紙片使得AD與AB重合，過E作EF⊥AC于點F，設∠AEF=α，∠ADP=β．①當點D在點C、B之間時，若β=120°，求②當點D在PQ上的運動過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并加以證明．（選其中一種情況證明）【答案】(1)正確，理由見解析(2)①60°②α=1【分析】（1）由翻折的性質(zhì)可得∠MAC=∠1，則∠MAC=∠2，進而可得MN∥PQ；（2）①由折疊的性質(zhì)可得∠DAE=∠BAE=12∠DAB，∠ACB=∠CAB，由題意知∠CAB?∠BAE+α=90°①，∠ACB+∠CAD+β=180°，2∠CAB?∠BAE+β=180°②，①×2?②得2α?β=0，進而可得α【詳解】（1）解：正確，理由如下：由翻折的性質(zhì)可得∠MAC=∠1，∵∠1=∠2，∴∠MAC=∠2，∴MN∥PQ；（2）①解：由折疊的性質(zhì)可得∠DAE=∠BAE=12∠DAB由題意知∠CAB?∠BAE+α=90°①∠ACB+∠CAD+β=180°，∵∠CAD=∠CAB?∠DAB=∠CAB?2∠BAE，∴∠CAB+∠CAB?2∠BAE+β=180°，即2∠CAB?∠BAE①×2?②得2α?β=0，解得∴α的度數(shù)為60°；②解：猜想α=1由題意知，分兩種情況討論，①D在B左側時，α=1②當D在B右側，如下圖，由折疊的性質(zhì)可得∠DAE=∠BAE=12∠DAB由題意知∠CAB+∠BAE+α=90°①∠ACB+∠CAD+β=180°，∵∠CAD=∠CAB+∠DAB=∠CAB+2∠BAE，∴∠CAB+∠CAB+2∠BAE+β=180°，即2∠CAB+∠BAE①×2?②得2α?β=0，解得綜上所述，α和β之間的數(shù)量關系為α=1【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識．解題的關鍵在于明確角度之間的數(shù)量關系．【考點題型五】雙角平分線模型已知圖示結論（性質(zhì)）證明過程已知BD、DC分別平分∠ABC、∠ACB∠D=90°+12證明：∵BD、DC分別平分∠ABC、∠ACB∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∵在?ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠A=180°-2∠DBC-2∠DCB①∵在?BDC中，∠D+∠DBC+∠DCB=180°∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB②①-2×②得∠A-2∠D=180°-2∠DBC-2∠DCB-360°+2∠DBC+2∠DCB即∠D=90°+12已知BD、DC分別平分∠EBC、∠FCB∠D=90°-12證明：∵BD、DC分別平分∠EBC、∠FCB∴∠1=∠2=12∠EBC，∠3=∠4=∵在?ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠A=180°-(180°-∠1-∠2)–(180°-∠3-∠4)化簡得∠A=∠1+∠2+∠3+∠4-180°=2∠2+2∠3-180°①∵在?BDC中，∠D+∠2+∠3=180°∴∠D=180°-∠2-∠3②①+2×②得∠A+2∠D=180°即∠D=90°-12已知BE、EC分別平分∠ABC、∠ACD∠E=12∠證明：∵BE、EC分別平分∠ABC、∠ACD∴∠1=∠2=12∠ABC，∠3=∠4=∵∠ACD是?ABC的外角∴∠ACD=∠A+∠ABC即∠A=2∠3-2∠1①∵∠4是?EBC的外角∴∠4=∠E+∠2即∠E=∠4-∠2②①-2×②得∠A-2∠E=0即∠E=12∠18．（18-19八年級上·全國·單元測試）如圖，在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，且交于點O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交CE于點E，則以下結論：①∠A=2∠E；②∠BOC=3∠E；③∠BOC=90°+∠A；④∠BOC=90°+∠E．正確的是（）A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②④【答案】A【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線，外角的性質(zhì)等知識，由角平分線的定義可得∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12【詳解】解：①∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠E=∠DCE?∠DBE=1故①正確，∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB∴∠OBC=12∠ABC∴∠BOC=180°?(∠OBC+∠OCB)=180°?=180°?1故②③錯誤，∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB∴∠OCE=1∴∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC=∠OCE+∠E=90°+∠E，故④正確，綜上所述正確的結論是①④，故選：A．19．（23-24七年級上·廣東珠?！て谥校┤鐖D，已知∠A=n°，若P1點是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點，P2點是∠P1BC和外角∠P1CE的角平分線的交點，A．n°4046 B．n°22023 C．n°【答案】B【分析】此題考查了三角形的外角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線定義，由∠P1CE=∠P1+∠P1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而P1B、P1C分別平分∠ABC【詳解】解：∵BP1平分∠ABC，CP∴∠P1BC=∵∠ACE=∠A+∠ABC，∠P∴∠P1=同理：∠P?，由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律∠P∴∠P故選：B．20．（22-23七年級下·吉林長春·期末）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次數(shù)學學習活動中，劉華遇到了下面的這個問題：如圖①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，請你判斷∠A和∠P間的數(shù)量關系并說明理由．劉華對這個問題進行了判斷并給出了證明過程，下面是部分證明過程，請你補全余下的證明過程．解：結論：∠P=_________．理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=1∴∠P=180°?∠PBC?∠PCB=180°?=180°?=_________．【模型發(fā)展】如圖②，點P是△ABC的外角平分線BP與CP的交點，請你判斷∠A和∠P間的數(shù)量關系并說明理由．【解決問題】如圖③，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，點Q是△PBC的外角平分線BQ與CQ的交點．若∠A=68°，則∠Q=______度．【答案】探索發(fā)現(xiàn)90°+12∠A，90°+【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理：探索發(fā)現(xiàn)：根據(jù)角平分線的定義得到∠PBC=1模型發(fā)展：由角平分線的定義得到∠PBC=12∠CBD，∠PCB=12∠BCE，由平角的定義得到解決問題：根據(jù)前面的結論進行求解即可．【詳解】解：探索發(fā)現(xiàn)：結論：∠P=90°+1理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=1∴∠P=180°?∠PBC?∠PCB=180°?=180°?=90°+1故答案為：90°+12∠A模型發(fā)展：∠P=90°?1∵點P是△ABC的外角平分線BP與CP的交點，∴∠PBC=1∵∠CBD=180°?∠ABC，∴∠CBD+∠BCE=1∵∠ABC+∠ACB=180°?∠A，∴∠CBD+∠BCE=180°?1∴∠P=180°?∠CBD?∠BCE=90°?1解決問題：由探索發(fā)現(xiàn)和模型發(fā)展的結論可知∠P=90°+1∴∠Q=90°?故答案為：28．21．（19-20七年級下·福建泉州·期中）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．

(1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度數(shù)；(2)如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q，∠A之間的數(shù)量關系．(3)如圖③，延長線段BP，QC交于點E，在△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)125°(2)∠Q=90°?(3)∠A的度數(shù)是45°或60°或120°或135°【分析】（1）在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根據(jù)角平分線的定義得出∠PBC＝12∠ABC，∠PCB＝12∠ACB，求出∠PBC+∠（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，根據(jù)角平分線的定義得出QBC＝12∠MBC，∠QCB＝12∠NCB，求出∠QBC+∠QCB（3）根據(jù)角平分線的定義得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分為四種情況：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可【詳解】（1）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵點P是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCB＝1∴∠PBC+∠PCB＝55°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，∵點Q是∠MBC和∠NCB的角平分線的交點，∴∠QBC＝12∠MBC，∠QCB＝1∴∠QBC+∠QCB＝12（∠MBC+∠NCB）＝12（180°+∠A）＝90°+1∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°﹣1（3）∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠BCF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠BC+2∠E，∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝12∠∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝12∠ABC+1＝12（∠ABC+∠A+∠ACB＝90°，如果△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，那么分為四種情況：①∠EBQ＝3∠E＝90°，則∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q，則∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，則∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；④∠E＝3∠Q，則∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，綜合上述，∠A的度數(shù)是45°或60°或120°或135°．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識點，熟練掌握知識點及運用分類討論思想是解題的關鍵．22．（19-20八年級上·安徽·期中）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC和∠ACB的平分線交于P，則∠BPC的度數(shù)是______（2）類比探究：如圖2，在△ABC中，∠ABC的平分線和∠ACB的外角∠ACE的角平分線交于P，則∠BPC與∠A的關系是______，并說明理由．（3）類比延伸：如圖3，在△ABC中，∠ABC外角∠FBC的角平分線和∠ACB的外角∠BCE的角平分線交于P，請直接寫出∠BPC與∠A的關系是______．

【答案】（1）110°；（2）∠BPC=12【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算即可；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ACE=∠ABC+∠A、∠PCE=∠PBC+∠BPC，根據(jù)角平分線的定義解答；（3）根據(jù)（1）的結論然后用角分線的定義，計算即可．【詳解】解：（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°?40，∵∠ABC和∠ACB的平分線交于P，∴∠PBC=12∠ABC∴∠BPC=180°?故答案為110°（2）∠BPC=1證明：∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△PBC的外角，∴∠ACE=∠ABC+∠A∠PCE=∠PBC+∠BPC，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴∠PBC=1∴12∴∠BPC=1∴∠BPC=1故答案為：∠BPC=1（3）由（1）得，∠BPC=90°?1故答案為：∠BPC=90°?1【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應用以及角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和等于180°和三角形外角性質(zhì)是解題的關鍵．23．（19-20七年級下·河南·期末）在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D．求∠BDC的大小（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點F，求∠BFC的大小（用含α的代數(shù)式表示）；（3）在（2）的條件下，將△FBC以直線BC為對稱軸翻折得到△GBC，∠GBC的平分線與∠GCB的平分線交于點M（如圖3），求∠BMC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．【答案】（1）∠BDC＝90°+α2；（2）∠BFC＝α2；（3）∠BMC＝90°+【分析】（1）由三角形內(nèi)角和可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，由角平分線的性質(zhì)可求∠DBC+∠BCD＝12（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣α（2）由角平分線的性質(zhì)可得∠FBC＝12∠ABC，∠FCE＝12∠（3）由折疊的性質(zhì)可得∠G＝∠BFC＝α2，方法同（1）可求∠BMC＝90°+∠G【詳解】解：（1）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵BD平分∠ABC，CD平分