2022年中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）題型一：二次函數(shù)中直角三角形的存在性1.（2019嘉定二模）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，拋物線（、是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)、，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，如果直線和直線的夾角為15o，求線段的長(zhǎng)度；（3）設(shè)點(diǎn)為此拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．2.（2019寶山二模）如圖，已知對(duì)稱軸為直線的拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，其中.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及此拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，若直線BD和直線BC的夾角為15o，求線段CD的長(zhǎng)度；（3）設(shè)點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).題型二：函數(shù)中的等腰三角形分類討論1.(2019閔行區(qū)二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2﹣2x+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求證：∠DAB=∠ACB；（3）點(diǎn)Q在拋物線上，且△ADQ是以AD為底的等腰三角形，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2020?浦東新區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，與軸相交于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)、，求的正切值；（3）點(diǎn)在拋物線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．題型三：二次函數(shù)平移綜合1．（2022普陀區(qū)一模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣x+1交于點(diǎn)A（m，0），B（﹣3，n），與y軸交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AC．（1）求m、n的值和拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D在拋物線y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸上，當(dāng)∠ACD＝90°時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）將△AOC平移，平移后點(diǎn)A仍在拋物線上，記作點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．yx2bxc（0和（4Px軸相Q.BCBQ=CP3（2020閔行一模24）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與牰交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)．（1）用含的代數(shù)式表示頂點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）當(dāng)頂點(diǎn)在△AOB內(nèi)部，且S△AOC（3）如果將拋物線向右平移一個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位后，平移后的拋物線的頂點(diǎn)仍在△AOB內(nèi)，求的取值范圍．4（2022奉賢一模24）（本題滿分12分,第(1)小題滿分4分,第(2)小題每小題滿分4分)如圖11,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y(1)求該拋物線的表達(dá)式的頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)將拋物線沿y軸上下平移,平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為M,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.①如果點(diǎn)M落在線段BC上,求∠DBE的度數(shù)②設(shè)直線ME與x軸正半軸交于點(diǎn)P,與線段BC交于點(diǎn)Q,當(dāng)PE=2PQ時(shí),圖圖115．（2021?松江區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線y＝ax2+bx﹣5a經(jīng)過點(diǎn)A．將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求拋物線的對(duì)稱軸；（3）若拋物線的頂點(diǎn)在△OBC的內(nèi)部，求a的取值范圍．6.【2021年靜安區(qū)二模24】（本題滿分12分，其中第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（2）小題3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0）（如圖），經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線與y軸相交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．求此拋物線表達(dá)式與頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；求∠ABC的正弦值；將此拋物線向上平移，所得新拋物線頂點(diǎn)為D，且△DCA與△ABC相似，求平移后的新拋物線的表達(dá)式．（第2（第24題圖）AOxy7.【2021年長(zhǎng)寧二模24】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣163x+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如果將拋物線向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，聯(lián)結(jié)AC、BC，當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求m的值；（3）如果點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)B的右側(cè)，聯(lián)結(jié)PC，直線PA交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)∠PCE＝∠PEC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．8.【2021年奉賢二?！咳鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），點(diǎn)A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A、C．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線先向右平移m個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上的點(diǎn)C′處，求m的值；（3）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于原拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，聯(lián)結(jié)AC，如果點(diǎn)F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．9.【2021年浦東新區(qū)二模24】（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）．直線y＝x﹣2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將拋物線y＝x2+bx向右平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，求平移后拋物線的表達(dá)式；（3）將拋物線y＝x2+bx向下平移，使平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)D，交線段BC于點(diǎn)P、Q，（點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)），平移后拋物線的頂點(diǎn)為M，如果DP∥x軸，求∠MCP的正弦值．題型四：二次函數(shù)背景下的相似三角形的存在性1.（2022青浦一模24）．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)BC、BD，求∠CBD的正切值；（3）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)△BDP與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．2.（2022嘉定一模24）（12分）（2021秋?嘉定區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B兩點(diǎn)在直線y＝x上，如圖．二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2的圖象也經(jīng)過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，并與y軸相交于點(diǎn)C，如果BC∥x軸，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與BC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，如果以點(diǎn)E、O、B所組成的三角形與△OBD相似，且相似比不為1，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是M，求tan∠AMC的值．3（202崇明一模）24.如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，3)，點(diǎn)M(m，0)為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N．（1）求拋物線的解析式，并寫出此拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如果以點(diǎn)P、N、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求m的值；（3）如果以B、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．4.（2022寶山一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)，試判斷與是否相似，并證明你的結(jié)論；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得．如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．5．（2022靜安區(qū)一模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（﹣1，m），頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求直線AB的表達(dá)式；（2）求tan∠ABD的值；（3）設(shè)線段BD與x軸交于點(diǎn)P，如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△ABP相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．6.（2021年寶山二模24）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣1（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（1，0）和點(diǎn)D（﹣3，n），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）將拋物線平移，使點(diǎn)C落在點(diǎn)B處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，求△ODE的面積；（3）如果點(diǎn)P在y軸上，△PCD與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．7.（2021崇明二模24）（12分）已知拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)AC、BC、CD、BD．（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出對(duì)稱軸；（2）當(dāng)S△BCD＝4S△AOC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)E是x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．題型五：二次函數(shù)中的角相等或角的和差倍半關(guān)系1.（2022長(zhǎng)寧一模24）拋物線與軸相交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)),與軸交于點(diǎn),其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）求的正切值；（3）點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上,且,求的長(zhǎng)．2.（2022年虹口一模24）已知開口向上的拋物線y＝ax2﹣4ax+3與y軸的交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AB與OC交于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，求拋物線y＝ax2﹣4ax+3的表達(dá)式；（3）當(dāng)∠ABC＝2∠BCD時(shí)，求OD的長(zhǎng)。3.（2022黃埔一模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與BC交于點(diǎn)D，與軸交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的對(duì)稱軸及B點(diǎn)的坐標(biāo)（2）如果，求拋物線的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)F是該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且在線段的下方，，求點(diǎn)的坐標(biāo)4.（2022年松江一模24題）如圖，已知直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）直線x＝t與該拋物線交于點(diǎn)C，與線段AB交于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合），與x軸交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AC、BC．①當(dāng)＝時(shí)，求t的值；②當(dāng)CD平分∠ACB時(shí)，求△ABC的面積．5.（2022徐匯一模24題）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，C為線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，交該拋物線于點(diǎn)E．（1）求直線AB的表達(dá)式，直接寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）當(dāng)以B，E，D為頂點(diǎn)的三角形與△CDA相似時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時(shí)，求△BDE與△CDA的面積之比．6.（2021年長(zhǎng)寧二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣163x+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如果將拋物線向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，聯(lián)結(jié)AC、BC，當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求m的值；（3）如果點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)B的右側(cè)，聯(lián)結(jié)PC，直線PA交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)∠PCE＝∠PEC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．7.（2021年楊浦二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x﹣5與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+6x+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCPQ是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)QC，在∠QCB內(nèi)作射線CD與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D，使得∠QCD＝∠ABC，求線段DQ的長(zhǎng)．8.（2021年青浦二模）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸是直線x＝1，頂點(diǎn)是點(diǎn)D．（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為該拋物線第三象限上的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形PBDC為梯形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E為x軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)tan（∠PBO+∠PEO）＝時(shí)，求OE的長(zhǎng)．題型六：例1（2022楊浦一模24）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)P是該拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP、BC，AP與線段BC相交于點(diǎn)F．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，如果點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，PG與線段BC交于點(diǎn)H，如果PF＝PH，求線段PH的長(zhǎng)度．2.（2020長(zhǎng)寧二模）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn).（1）求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將上述拋物線向下平移1個(gè)單位，平移后的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)，求的面積；（3）如果點(diǎn)在原拋物線上，且在對(duì)稱軸的右側(cè)，聯(lián)結(jié)交線段于點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo).圖圖7-1-2-3-41234-1-2-3-41234Oxy3.（2021閔行區(qū)二模24）（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線x＝3，且對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C．直線y＝kx+b，經(jīng)過點(diǎn)A，與線段BC交于點(diǎn)E．（1）求拋物線y＝﹣x2+mx+n的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)BO、EO．當(dāng)△BOE的面積為3時(shí)，求直線y＝kx+b的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)D為y軸上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD、AD，當(dāng)BD＝EO時(shí)，求∠DAO的余切值．4.（2021虹口二模24）如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與雙曲線H：交于點(diǎn)P(2，)，直線分別與直線l和雙曲線H交于點(diǎn)E、D．（1）求k和b的值；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，如果ED=BO，求m的值；（3）點(diǎn)C是y軸上一點(diǎn)，如果四邊形BCDE是菱形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．5.（2020浦東二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）直線平行于軸，與拋物線交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)是該拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)、，交線段于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．6.（2020青浦二模）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)的圖像與x軸正半軸交于點(diǎn)、，與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，且．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，交對(duì)稱軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將△PCD沿直線MN翻折，當(dāng)點(diǎn)P恰好與點(diǎn)O重合時(shí)，折痕MN交軸于點(diǎn)M，交軸于點(diǎn)N，求的值．圖7備用圖7備用圖【真題訓(xùn)練】1（2021上海中考真題24）.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)、Q(1,4).(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)A在直線PQ上，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，以AB為斜邊在其左側(cè)作等腰直角三角形ABC，①當(dāng)Q與A重合時(shí)，求C到拋物線對(duì)稱軸的距離；②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo).2.（2020上海中考真題24）．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+5與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B（如圖）．拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A．（1）求線段AB的長(zhǎng)；（2）如果拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過線段AB上的另一點(diǎn)C，且BC＝，求這條拋物線的表達(dá)式；（3）如果拋物線y＝ax2+bx的頂點(diǎn)D位于△AOB內(nèi)，求a的取值范圍．3（2019上海中考真題24）．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2﹣2x，其頂點(diǎn)為A．（1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，并說明它的變化情況；（2）我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”．①試求拋物線y＝x2﹣2x的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)；②平移拋物線y＝x2﹣2x，使所得新拋物線的頂點(diǎn)B是該拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，且四邊形OABC是梯形，求新拋物線的表達(dá)式．2022年中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）題型一：二次函數(shù)中直角三角形的存在性1.（2019嘉定二模）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，拋物線（、是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)、，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，如果直線和直線的夾角為15o，求線段的長(zhǎng)度；（3）設(shè)點(diǎn)為此拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】將點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式求解可得；先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，從而得出OC=OB=3，∠CBO=45°，據(jù)此知∠DBO=30°或60°，依據(jù)DO=BO?tan∠DBO求出得DO＝或3，從而得出答案；（3）設(shè)P（-1，t），知BC2=18，PB2=4+t2，PC2=t2-6t+10，再分點(diǎn)B、點(diǎn)C和點(diǎn)P直角頂點(diǎn)三種情況分別求解可得．【詳解】依題意得：，解得：∴拋物線的表達(dá)式是（2）∵拋物線與軸交點(diǎn)為點(diǎn)∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，又點(diǎn)的坐標(biāo)是∴∴或在直角△中，∴或，∴或.（3）由拋物線得：對(duì)稱軸是直線根據(jù)題意：設(shè)，又點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是∴，，，①若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：，②若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：，③若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：，.綜上所述的坐標(biāo)為或或或.【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．2.（2019寶山二模）如圖，已知對(duì)稱軸為直線的拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，其中.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及此拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，若直線BD和直線BC的夾角為15o，求線段CD的長(zhǎng)度；（3）設(shè)點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).【分析】（1）將A、C坐標(biāo)代入拋物線，結(jié)合拋物線的對(duì)稱軸，解得a、b、c的值，求得拋物線解析式;（2）求出直線BC的解析式為，得出∠CBA=45°再求出∠DBA=30°或∠DBA=60°,再求出DO即可;（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別以B、C、P為直角頂點(diǎn)，進(jìn)行分類討論，再運(yùn)用勾股定理得到方程式進(jìn)行求解.【詳解】解：（1）根據(jù)對(duì)稱軸x=-1,A（1,0），得出B為(-3,0)依題意得：，解之得：，∴拋物線的解析式為.（2）∵對(duì)稱軸為，且拋物線經(jīng)過，∴∴直線BC的解析式為.∠CBA=45°∵直線BD和直線BC的夾角為15o，∴∠DBA=30°或∠DBA=60°在△BOD，，BO=3∴DO=或，∴CD=或.（3）設(shè)，又，，∴，，，①若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：，②若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：，③若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：，.綜上所述的坐標(biāo)為或或或.【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.題型二：函數(shù)中的等腰三角形分類討論1.(2019閔行區(qū)二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2﹣2x+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求證：∠DAB=∠ACB；（3）點(diǎn)Q在拋物線上，且△ADQ是以AD為底的等腰三角形，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．整體分析：（1）把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式中，解方程組即可得到拋物線解析式，從而得到拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由tan∠OCB=．tan∠DAC=，得到∠DAC=∠OCB，從而得到結(jié)論；（3）令Q（x，y）且滿足，由△ADQ是以AD為底的等腰三角形，得到QD2=QA2，從而得到x-2+2y=0．解方程組，即可得到結(jié)論．滿分解答：解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，得：，解得：．∴拋物線的解析式是：，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)D（－1，4）．（2）令y=0，則，x1=－3，x2=1，∴A（－3，0），∴OA=OC=3，∴∠CAO=∠OCA．在Rt△BOC中，tan∠OCB=．∵AC=，DC=，AD=，∴AC2+DC2=20，AD2=20，∴AC2+DC2=AD2，∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，∴tan∠DAC=．又∵∠DAC和∠OCB都是銳角，∴∠DAC=∠OCB，∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，即∠DAB=∠ACB．（3）令Q（x，y）且滿足，A(－3，0），D（－1，4）．∵△ADQ是以AD為底的等腰三角形，∴QD2=QA2，即，化簡(jiǎn)得：x-2+2y=0．由，解得：，，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（，），（，）．2．（2020?浦東新區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，與軸相交于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)、，求的正切值；（3）點(diǎn)在拋物線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）將點(diǎn)，坐標(biāo)代入拋物線即可；（2）如圖1，過點(diǎn)作于，分別證和是等腰直角三角形，可求出，的長(zhǎng)，可在中，直接求出的正切值；（3）此問需分類討論，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，由同角的三角函數(shù)值相等可求出的值，由對(duì)稱性可求出第二種情況．【解答】解：（1）將點(diǎn)，代入拋物線中，得，解得，，，拋物線的表達(dá)式為；（2）在中，當(dāng)時(shí)，，，，為等腰直角三角形，，，如圖1，過點(diǎn)作于，則，是等腰直角三角形，，，，在中，，即的正切值為2；（3）①如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，則，由（1）知，，，，，解得，（舍去），，；②取點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，延長(zhǎng)交拋物線于，則此時(shí)，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，，解得，，，，聯(lián)立，，解得，或，；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．題型三：二次函數(shù)平移綜合1．（2022普陀區(qū)一模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣x+1交于點(diǎn)A（m，0），B（﹣3，n），與y軸交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AC．（1）求m、n的值和拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D在拋物線y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸上，當(dāng)∠ACD＝90°時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）將△AOC平移，平移后點(diǎn)A仍在拋物線上，記作點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．（2）過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，由直角三角形的性質(zhì)得出tan∠ACO＝tan∠CDH，則，可列出方程求出CH的長(zhǎng)，則可得出答案；（3）設(shè)P（t，），得出N（t﹣3，），由點(diǎn)N在直線AB上可得出t的值，則可得出答案．【解答】解：（1）將A（m，0）代入y＝﹣x+1，解得m＝3，∴A（3，0），將B（﹣3，n）代入y＝﹣x+1，解得n＝2，∴B（﹣3，﹣2），把A（3，0），B（﹣3，2）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．（2）如圖1，過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，∵拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣＝，∴DH＝，∵∠ACD＝90°，∴∠ACO+∠DCH＝90°，又∵∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠ACO＝∠CDH，∴tan∠ACO＝tan∠CDH，∴，由（1）可知OA＝3，OC＝2，∴，∴CH＝，∴D（，﹣）；（3）如圖2，若平移后的三角形為△PMN，則MN＝OC＝2，PM＝OA＝3，設(shè)P（t，t﹣2），∴N（t﹣3，t﹣2﹣2），∵點(diǎn)N在直線y＝﹣x+1上，∴（t﹣3）+1，∴t＝3或t＝﹣3，∴P（3，4﹣）或P（﹣3，4+）．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，平移的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程確定點(diǎn)的坐標(biāo)．yx2bxc（0和（4Px軸相Q.BCBQ=CP解：（1）根據(jù)題意………（2分）解得：，。∴拋物線的表達(dá)式是…………………（2分）（2），∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，5）.對(duì)稱軸是直線x=2，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，0）.…………（1分）∴，，；……………………（1分）∴，∴∠COM=90°，…………………（2分）（3）根據(jù)題意，BC∥PQ.如果點(diǎn)C在點(diǎn)B的上方,PC∥BQ時(shí)，四邊形BCPQ是平行四邊形，∴BQ=CP，BC=PQ=5，即拋物線向上平移5個(gè)單位，平移后的拋物線解析式是.…………（2分）如果點(diǎn)C在點(diǎn)B的下方，四邊形BCQP是等腰梯形時(shí)BQ=CP，作BE⊥PQ，CF⊥PQ，垂足分別為E、F.根據(jù)題意可得，PE=QF=1，PQ=5，BC=EF=3，即拋物線向下平移3個(gè)單位，平移后的拋物線解析式是……………（2分）.綜上所述，平移后的拋物線解析式是或.3（2020閔行一模24）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與牰交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)．（1）用含的代數(shù)式表示頂點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）當(dāng)頂點(diǎn)在△AOB內(nèi)部，且S△AOC（3）如果將拋物線向右平移一個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位后，平移后的拋物線的頂點(diǎn)仍在△AOB內(nèi)，求的取值范圍．【小問1詳解】解：拋物線，∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：對(duì)于，當(dāng)x=0時(shí)，y=5，當(dāng)y=0時(shí)，x=5，∴A（5，0），B（0，5），∵頂點(diǎn)C在△AOB內(nèi)部，且S∴，∴a=2，∴拋物線的表達(dá)式為；【小問3詳解】解：由題意，平移后的拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵平移后的拋物線的頂點(diǎn)仍在△AOB內(nèi)，∴，解得：1＜a＜3，即的取值范圍為1＜a＜3．4（2022奉賢一模24）（本題滿分12分,第(1)小題滿分4分,第(2)小題每小題滿分4分)如圖11,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y(1)求該拋物線的表達(dá)式的頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)將拋物線沿y軸上下平移,平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為M,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.①如果點(diǎn)M落在線段BC上,求∠DBE的度數(shù)②設(shè)直線ME與x軸正半軸交于點(diǎn)P,與線段BC交于點(diǎn)Q,當(dāng)PE=2PQ時(shí),圖圖11【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得，，解得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)D（1，4）；（2）①設(shè)直線x＝1交x軸于G，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴GM＝GB＝2，∴DM＝DG﹣GM＝2，∴將拋物線y＝﹣x2+2x+3沿y軸向下平移2個(gè)單位時(shí)，點(diǎn)M落在BC上，此時(shí)E（0，1），∵D（1，4），E（0，1），B（3，0），∴DE2＝10，BE2＝10，BD2＝20，∴DE2+BE2＝BD2，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°；②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸時(shí)，則點(diǎn)M在x軸下方，如圖，作QH⊥x軸于H，由C（0，3），D（1，4）可知，直線CD與x軸夾角為45°，∴平移后∠QPB＝45°，∴PH＝BH，∵OE∥QH，PE＝2PQ，∴OP＝2PH，∴4BH＝3，∴BH＝∴OP＝2BH＝，∴GM＝GP＝，∴M（1，﹣），∴平移后拋物線為y＝﹣（x﹣1）2﹣．5．（2021?松江區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線y＝ax2+bx﹣5a經(jīng)過點(diǎn)A．將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求拋物線的對(duì)稱軸；（3）若拋物線的頂點(diǎn)在△OBC的內(nèi)部，求a的取值范圍．【分析】（1）由y＝3x+3與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，可求出A、B坐標(biāo)，B向右移動(dòng)5個(gè)單位即得C坐標(biāo)；（2）將A坐標(biāo)代入y＝ax2+bx﹣5a可得b＝﹣4a，根據(jù)對(duì)稱軸公式可得答案；（3）對(duì)稱軸x＝2與BC交于D，與OC交于E，拋物線的頂點(diǎn)在△OBC的內(nèi)部，則頂點(diǎn)在D和E之間，用a表示頂點(diǎn)縱坐標(biāo)列不等式可得答案．【解答】解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C．∴C（5，3）；（2）∵A（﹣1，0），拋物線y＝ax2+bx﹣5a經(jīng)過點(diǎn)A，∴0＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，∴拋物線y＝ax2+bx﹣5a對(duì)稱軸為x＝＝﹣＝2；（3）對(duì)稱軸x＝2與BC交于D，與OC交于E，如圖：設(shè)OC解析式為y＝kx，∵（5，3），∴3＝5k，∴k＝，∴OC解析式為y＝x，令x＝2得y＝，即E（2，），由（1）知b＝﹣4a，∴拋物線為y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣9a），拋物線的頂點(diǎn)在△OBC的內(nèi)部，則頂點(diǎn)在D和E之間，而D（2，3），∴＜﹣9a＜3，∴﹣＜a＜﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的平移、二次函數(shù)圖象等知識(shí)，表示頂點(diǎn)坐標(biāo)列不等式是解題的關(guān)鍵．6.【2021年靜安區(qū)二模24】（本題滿分12分，其中第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（2）小題3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0）（如圖），經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線與y軸相交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．求此拋物線表達(dá)式與頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；求∠ABC的正弦值；將此拋物線向上平移，所得新拋物線頂點(diǎn)為D，且△DCA與△ABC相似，求平移后的新拋物線的表達(dá)式．（第2（第24題圖）AOxy24．解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），∴． （1分）∴． （1分）∴拋物線表達(dá)式為，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）． （2分）（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸、AB分別相交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E（3，0）．∵點(diǎn)B（0，5），∴OA=OB=5,AB＝，∠OAB=45°，∴EF=AE=2，CF=6． （1分）∴． （2分）過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，∵BC=，∴． （1分）∴．∴． （1分）（3）∵，∴Rt△AEC∽R(shí)t△AHB，∴∠ACE=∠A∵△DCA與△ABC相似，∴或． （1分）∴或．∴CD=或CD=6． （1分）∵拋物線和y軸的交點(diǎn)向上平移的距離與頂點(diǎn)平移的距離相同，∴平移后的拋物線的表達(dá)式為或． （1分）7.【2021年長(zhǎng)寧二模24】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣163x+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如果將拋物線向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，聯(lián)結(jié)AC、BC，當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求m的值；（3）如果點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)B的右側(cè)，聯(lián)結(jié)PC，直線PA交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)∠PCE＝∠PEC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）m＝4；（3）【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則拋物線過點(diǎn)C（0，4），即可求解；（3）求出直線PA的表達(dá)式，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，?t＋4），由∠PCE＝∠PEC，則點(diǎn)P在CE的中垂線上，進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得故拋物線的表達(dá)式為；（2）令x=0，y=4∴C（0，4）當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則拋物線過點(diǎn)C（0，4）由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為x＝2，則平移后拋物線再過點(diǎn)C時(shí)，m＝4；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，)，設(shè)直線PA的表達(dá)式為y＝kx+b，代入A、P坐標(biāo)得，解得，∴直線PA的表達(dá)式為y＝（）x，令x=0，y=故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣t+4），而點(diǎn)C（0，4），∵∠PCE＝∠PEC，則點(diǎn)P在CE的中垂線上，由中點(diǎn)公式得：yP＝（yC+yE），即＝（t+4），解得t＝1（舍去）或，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、中垂線的性質(zhì)、圖形的平移等，有一定的綜合性，難度適中．8.【2021年奉賢二?！咳鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），點(diǎn)A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A、C．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線先向右平移m個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上的點(diǎn)C′處，求m的值；（3）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于原拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，聯(lián)結(jié)AC，如果點(diǎn)F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x2﹣2x；（2）4；（3）F坐標(biāo)為（4，）或（4，﹣1.5）．【分析】（1）求出A坐標(biāo)，將A、C坐標(biāo)代入y＝ax2＋bx即可得答案；（2）求出AB解析式，用m表示C′坐標(biāo)代入即可得答案；（3）分F在A上方和下方兩種情況畫出圖形，構(gòu)造相似三角形利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得答案．【詳解】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，∵點(diǎn)A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，∴A（4，0），∴將A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2＋bx得：，解得，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2x；（2）設(shè)直線AB的解析式是y＝mx＋n，將A（4，0），B（0，2）代入得：，解得，∴直線AB的解析式是y＝﹣x＋2，∵拋物線y＝x2﹣2x向右平移m個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，則其上的點(diǎn)C也向右平移m個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，而C（1，﹣），∴C′（1＋m，﹣），∵C′（1＋m，﹣）在直線AB上，∴﹣＝﹣（1＋m）＋2，∴m＝4；（3）∵y＝x2﹣2x對(duì)稱軸為x＝2，B（0，2），點(diǎn)B關(guān)于原拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，∴B′（4，2），∵A（4，0），∴直線AB′為x＝4，點(diǎn)F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，分兩種情況：①F在A上方，如圖：過A作AG⊥CF于G，過G作GH//x軸交直線x＝4于H，過C作CM⊥x軸交直線GH于M，∵B（0，2），A（4，0），∴tan∠BAO＝，∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，∴tan∠ACF＝，即，而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，∴△MCG∽△HGA，∴，∴MC＝GH，MG＝2AH，設(shè)G（m，n），則MC＝n＋1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，∴n＋1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，解得m＝2.8，n＝0.9，∴G（28，0.9），又C，∴直線GC解析式為：y＝x﹣，令x＝4得y＝∴F（4，），②F在A下方，延長(zhǎng)AC交y軸于D，過C作CF//x軸交直線x＝4于F，∵A（4，0），C（1，﹣1.5），∴直線AC解析式為y＝x﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（0，2），∴B，D關(guān)于x軸對(duì)稱，∴∠BAO＝∠DAO，若∠ACF＝∠BAO，則∠ACF＝∠DAO，∴CF//x軸，∴F綜上所述，∠ACF＝∠DAO，F(xiàn)坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的平移、相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．9.【2021年浦東新區(qū)二模24】（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）．直線y＝x﹣2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將拋物線y＝x2+bx向右平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，求平移后拋物線的表達(dá)式；（3）將拋物線y＝x2+bx向下平移，使平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)D，交線段BC于點(diǎn)P、Q，（點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)），平移后拋物線的頂點(diǎn)為M，如果DP∥x軸，求∠MCP的正弦值．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得B（4，0），然后分兩種情況討論求得即可；（3）設(shè)向下平移后的拋物線表達(dá)式是：y＝x2﹣2x+n，得點(diǎn)D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式為y＝x2﹣2x﹣1．求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后解直角三角形即可求得結(jié)論．【解答】解：（1）由題意，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），得0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴拋物線的表達(dá)式是y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴它的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，﹣1）．（2）∵直線與x軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0）．①將拋物線y＝x2﹣2x向右平移2個(gè)單位，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，此時(shí)平移后的拋物線表達(dá)式是y＝（x﹣3）2﹣1．②將拋物線y＝x2﹣2x向右平移4個(gè)單位，使得點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，此時(shí)平移后的拋物線表達(dá)式是y＝（x﹣5）2﹣1．（3）如圖，設(shè)向下平移后的拋物線表達(dá)式是：y＝x2﹣2x+n，得點(diǎn)D（0，n）．∵DP∥x軸，∴點(diǎn)D、P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x＝1對(duì)稱，∴P（2，n）．∵點(diǎn)P在直線BC上，∴．∴平移后的拋物線表達(dá)式是：y＝x2﹣2x﹣1．∴新拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，﹣2）．∴MC∥OB，∴∠MCP＝∠OBC．在Rt△OBC中，，由題意得：OC＝2，，∴．即∠MCP的正弦值是．題型四：二次函數(shù)背景下的相似三角形的存在性1.（2022青浦一模24）．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)BC、BD，求∠CBD的正切值；（3）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)△BDP與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得：，所以拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．∵B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4），∴BC＝，DC＝，BD＝．∴BC2+DC2＝18+2＝20＝DB2．∴∠BCD＝90°．∴tan∠CBD＝．（3）∵tan∠ACO＝，∴∠ACO＝∠CBD．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°．∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC．即：∠ACB＝∠DBO．∴當(dāng)△BDP與△ABC相似時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)．（i）當(dāng)時(shí)，∴．∴BP＝6．∴P（﹣3，0）．（ii）當(dāng)時(shí)，∴．∴BP＝．∴P（﹣，0）．綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，0）或（﹣，0）．2.（2022嘉定一模24）（12分）（2021秋?嘉定區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B兩點(diǎn)在直線y＝x上，如圖．二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2的圖象也經(jīng)過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，并與y軸相交于點(diǎn)C，如果BC∥x軸，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與BC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，如果以點(diǎn)E、O、B所組成的三角形與△OBD相似，且相似比不為1，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是M，求tan∠AMC的值．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2的圖像與y軸相交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），∵BC//x軸，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是﹣2，∵點(diǎn)A、B兩點(diǎn)在直線y＝x上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2），∵這個(gè)二次函數(shù)的圖像也經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）、B（﹣4，﹣2），∴，解這個(gè)方程組，得a＝，b＝1，∴二次函數(shù)的解析式是y＝+x﹣2；（2）根據(jù)（1）得，二次函數(shù)y＝+x﹣2圖像的對(duì)稱軸是直線x＝﹣2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），∴OB＝2，BD＝2，∵BC//x軸，∴∠OBD＝∠BOE，∴以點(diǎn)E、O、B組成的三角形與△OBD相似有可能以下兩種：①當(dāng)時(shí)，△BOD∽△OBE，顯然這兩相似三角形的相似比為1，與已知相似比不為1矛盾，這種情況應(yīng)舍去，②當(dāng)時(shí)，△BOD∽△OEB，∴，∴OE＝10，又點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣10，0）；（3）過點(diǎn)C作CH⊥AM，垂足為H，根據(jù)（1）得，二次函數(shù)的解析式是y＝+x﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（﹣2，﹣3），設(shè)直線AM的解析式為y＝kx+m，，解得k＝1，m＝﹣1，∴直線AM的解析式為y＝x﹣1，設(shè)直線AM與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，﹣1），∴△OPQ是等腰直角三角形，∠OQP＝45°，∵∠OQP＝∠HOC，∴∠HOC＝45°，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），∴CQ＝1，∴HC＝HQ＝，又MQ＝2，∴MH＝MQ﹣HQ＝，∴tan∠AMC＝．3（202崇明一模）24.如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，3)，點(diǎn)M(m，0)為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N．（1）求拋物線的解析式，并寫出此拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如果以點(diǎn)P、N、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求m的值；（3）如果以B、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：∵拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，3)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y=?x2+x+3，∵y=?x2+x+3=?(x-)2+，∴此拋物線對(duì)稱軸為x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；【小問2詳解】解：設(shè)直線AB的解析式為y=px+q，把A（4，0），B（0，3）代入得，解得：，∴直線AB的解析式為y=，∵M(jìn)（m，0），MN⊥x軸，∴N（m，?m2+m+3），P（m，），∴NP=?m2+3m，OB=3，∵NP∥OB，且以點(diǎn)P、N、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∴NP=OB，即?m2+3m=3，整理得：m2-4m+4=0，解得：m=2；【小問3詳解】∵A（4，0），B（0，3），P（m，），∴AB=5，BP=，而NP=?m2+3m，∵PN∥OB，∴∠BPN=∠ABO，當(dāng)時(shí)，△BPN∽△OBA，即，整理得9m2-11m=0，解得m1=0（舍去），m2=，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）；當(dāng)時(shí)，△BPN∽△ABO，即，整理得2m2-5m=0，解得m1=0（舍去），m2=3，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）；綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）或（3，0）．4.（2022寶山一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)，試判斷與是否相似，并證明你的結(jié)論；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得．如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【小問1詳解】解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，設(shè)拋物線解析式為：，將點(diǎn)C代入可得：，解得：，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；【小問2詳解】解：如圖所示：為直角三角形且三邊長(zhǎng)分別為：，，，的三邊長(zhǎng)分別為：，，，∴，∴為直角三角形，∵，∴△AOC~△DCB；【小問3詳解】解：設(shè)存在點(diǎn)P使，作線段AC的中垂線交AC于點(diǎn)E，交AP于點(diǎn)F，連接CF，如（2）中圖：∴，，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，∴，即解得：，設(shè)，∴，，∴，整理得：①，=，即②，將①代入②整理得：，解得：，，∴，，∴或（不符合題意舍去），∴，，設(shè)直線FA解析式為：，將兩個(gè)點(diǎn)代入可得：，解得：，∴，∴聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)得：，將①代入②得：，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，∴．5．（2022靜安區(qū)一模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（﹣1，m），頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求直線AB的表達(dá)式；（2）求tan∠ABD的值；（3）設(shè)線段BD與x軸交于點(diǎn)P，如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△ABP相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【分析】（1）將A（2，0）代入y＝x2+bx，求出拋物線解析式，再將B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，求出m的值，然后用待定系數(shù)法求直線AB的解析式即可；（2）利用勾股定理判定△ABD是直角三角形，即可求解；（3）求出P點(diǎn)坐標(biāo)（，0），設(shè)C（t，0），當(dāng)∠ABC＝∠APB時(shí)，△ABP∽△APC，過B點(diǎn)作BQ⊥x軸交于點(diǎn)Q，則tan∠BCQ＝＝，求出CQ＝9，即可求C（﹣10，0）；當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，△ABC≌△ABP，即可求C點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）將A（2，0）代入y＝x2+bx，∴4+2b＝0，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x，將B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，∴m＝3，∴B（﹣1，3），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴D（1，﹣1），∴AD＝，AB＝2，BC＝3，∵AB2＝AD2+BC2，∴△ABD是直角三角形，∴tan∠ABD＝＝；（3）設(shè)直線BD的解析式為y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝﹣2x+1，令y＝0，則x＝，∴P（，0），設(shè)C（t，0），如圖1，當(dāng)∠ABC＝∠APB時(shí)，△ABC∽△APB，∴∠ACB＝∠ABP過B點(diǎn)作BQ⊥x軸交于點(diǎn)Q，∴tan∠BCQ＝＝，∴CQ＝9，∴CO＝10，∴C（﹣10，0）；當(dāng)C點(diǎn)與P點(diǎn)重合時(shí)，△ABC≌△ABP，此時(shí)C（，0）；綜上所述：C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣10，0）或（，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，利用分類討論，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．6.（2021年寶山二模24）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣1（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（1，0）和點(diǎn)D（﹣3，n），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）將拋物線平移，使點(diǎn)C落在點(diǎn)B處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，求△ODE的面積；（3）如果點(diǎn)P在y軸上，△PCD與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣1經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，n），∴，解得：，∴拋物線解析式為：y＝x2+x﹣1；∴＝2，∴D（﹣3，2）；（2）∵將拋物線平移，使點(diǎn)C落在點(diǎn)B處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，∴E（﹣2，3），∴S△ODE＝9﹣﹣＝；（3）如圖1，連接CD，AC，CB，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，∵A（﹣2，0），B（1，0），C（﹣1，0），D（﹣3，2），∴OB＝OC，DE＝CE＝3，AB＝3，BC＝，CD＝3，∴∠ABC＝∠OCD＝45°，∵△PCD與△ABC相似，點(diǎn)P在y軸上，∴分兩種情況討論：①如圖2，當(dāng)∠BAC＝∠CDP時(shí)，△DCP∽△ABC，∴，∴，∴PC＝2，∴P（0，1），②如圖3，當(dāng)∠BAC＝∠DPC時(shí)，△PCD∽△ABC，∴，∴，∴PC＝9，∴P（0，8）．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，8）或（0，1）時(shí)，△PCD與△ABC相似．7.（2021崇明二模24）（12分）已知拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)AC、BC、CD、BD．（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出對(duì)稱軸；（2）當(dāng)S△BCD＝4S△AOC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)E是x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，∴﹣4a＝﹣4，∴a＝1，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣4，對(duì)稱軸．（2）如圖1中，設(shè)D（m，m2﹣3m﹣4），連接OD．∵S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，∴×4×（﹣m2+3m+4）+×4×m﹣×4×4＝4××1×4整理得：m2﹣4m+4＝0，解得m＝2，∴D（2，﹣6）．（3）如圖2中，當(dāng)AE為平行四邊形的邊時(shí)，∵DF∥AE，D（2，﹣6）∴F（1，﹣6），∴DF＝1，∴AE＝1，∴E（0，0），或E′（﹣2，0）．如圖3中，當(dāng)AE，DF是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，∵點(diǎn)D與點(diǎn)F到x軸的距離相等，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為6，當(dāng)y＝6時(shí)，6＝x2﹣3x﹣4，解得x＝﹣2或5，∴F（﹣2，6）或（5，6），設(shè)E（n，0），則有＝或＝，解得n＝1或8，∴E（1，0）或（8，0），，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，0）或（1，0）或（8，0）或（﹣2，0）．題型五：二次函數(shù)中的角相等或角的和差倍半關(guān)系1.（2022長(zhǎng)寧一模24）拋物線與軸相交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)),與軸交于點(diǎn),其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）求的正切值；（3）點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上,且,求的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）把點(diǎn)代入得：當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4．故拋物線的表達(dá)式為（2）過點(diǎn)B作交于E點(diǎn)，令則故，（3）過點(diǎn)D作軸，過點(diǎn)A作，當(dāng)點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上，F(xiàn)只能在第四象限，故【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，勾股定理逆定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是確定出拋物線解析式，是一道中等難度的中考?？碱}．2.（2022年虹口一模24）已知開口向上的拋物線y＝ax2﹣4ax+3與y軸的交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AB與OC交于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，求拋物線y＝ax2﹣4ax+3的表達(dá)式；（3）當(dāng)∠ABC＝2∠BCD時(shí)，求OD的長(zhǎng)?！窘獯稹拷猓海?）令x＝0，則y＝3，∴A（0，3），∵y＝ax2﹣4ax+3＝a（x﹣2）2+3﹣4a，∴對(duì)稱軸為直線x＝2，∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴C（4，3），∴B（2，3﹣4a）；（2）如圖1，過點(diǎn)B作BG⊥y軸交于點(diǎn)G，∵∠ABC＝90°，∴∠OAB＝45°，∴AG＝BG＝2，∴B（2，1），∴3﹣4a＝1，∴a＝，∴y＝x2﹣2x+3；（3）如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥OC交于點(diǎn)H，連接AC，∵∠ABC＝2∠BCD，∴∠NBC＝∠CNB，∴∠ONB＝2∠OCB，∵NB∥y軸，∴∠AOC＝∠ONB，∵AC＝4，AO＝3，∴tan∠AOC＝，∴tan∠HNB＝，設(shè)HB＝4x，則HN＝3x，∴NB＝5x，∴NB＝CN＝5x，∴CH＝8x，∴tan∠HCB＝，∵∠OCB＝∠NBC＝∠ABN，∴＝，∴a＝1，∴y＝x2﹣4x+3，∴B（2，﹣1），∵N是OC的中點(diǎn)，∴N（2，），∴BN＝，ON＝，∵AO∥BN，∴△AOD∽△BND，∴＝，即＝，∴OD＝．3.（2022黃埔一模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與BC交于點(diǎn)D，與軸交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的對(duì)稱軸及B點(diǎn)的坐標(biāo)（2）如果，求拋物線的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)F是該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且在線段的下方，，求點(diǎn)的坐標(biāo)【小問1詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2?3ax?4a，∴對(duì)稱軸是，∵A(?1，0)，∵1+1.5=2.5，∴1.5+2.5=4，∴B(4，0)；【小問2詳解】∵二次函數(shù)y=ax2?3ax?4a，C在y軸上，∴C的橫坐標(biāo)是0，縱坐標(biāo)是?4a，∵y軸平行于對(duì)稱軸，∴，∴，∵，∵M(jìn)D=，∵M(jìn)的縱坐標(biāo)是+∵M(jìn)的橫坐標(biāo)是對(duì)稱軸x，∴，∴+=，解這個(gè)方程組得：，∴y=ax2?3ax?4a=x2-3×（）x-4×（）=；【小問3詳解】假設(shè)F點(diǎn)在如圖所示的位置上，連接AC、CF、BF，CF與AB相交于點(diǎn)G，由（2）可知：AO=1，CO=2，BO=4，∴，∴，∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB，∴∠BCO=∠CAO，∵∠CFB=∠BCO，∴∠CAO=∠CFB，∵∠AGC=∠FGB，∴△AGC∽△FGB，∴，設(shè)EF=x，∵BF2=BE2+EF2=，AC2=22+12=5，CO2=22=4，∴=，解這個(gè)方程組得：x1=5，x2=-5，∵點(diǎn)F在線段BC的下方，∴x1=5（舍去），∴F（，-5）．4.（2022年松江一模24題）如圖，已知直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）直線x＝t與該拋物線交于點(diǎn)C，與線段AB交于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合），與x軸交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AC、BC．①當(dāng)＝時(shí)，求t的值；②當(dāng)CD平分∠ACB時(shí)，求△ABC的面積．【小問1詳解】解：由y=-x+2可得：當(dāng)x=0時(shí)，y=2；當(dāng)y=0時(shí)，x=3，∴A（3，0），B（0，2），把A、B的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y=-x2+x+2；【小問2詳解】①如圖1，∵DE∥OB，∴，∵，∴，又∵∠ADE=∠BDC，∴△ADE∽△BDC，∴∠DAE=∠DBC，∴AE∥BC，∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，∴2=-x2+x+2，∴x=0或x=2，∴C（2，2），∴t=2；②如圖2，設(shè)C（t，-t2+t+2），過點(diǎn)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，∵∠BCH=∠ACE，∴tan∠BCH=tan∠ACE，∴，∴，∴t=，∴C（，），∴S△ACB=S△ACE+S梯形BOCE-S△ABO=．5.（2022徐匯一模24題）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，C為線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，交該拋物線于點(diǎn)E．（1）求直線AB的表達(dá)式，直接寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）當(dāng)以B，E，D為頂點(diǎn)的三角形與△CDA相似時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時(shí)，求△BDE與△CDA的面積之比．【小問1詳解】解：令，則，或，，令，則，，設(shè)直線的解析式為，，，，，，；【小問2詳解】解：，，是直角三角形，設(shè)，①如圖1，當(dāng)，時(shí)，，，，（舍或，，；②如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，，，，，，即，，，，（舍或，，；綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；【小問3詳解】解：如圖3，作的垂直平分線交軸于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，在中，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，．6.（2021年長(zhǎng)寧二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣163x+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如果將拋物線向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，聯(lián)結(jié)AC、BC，當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求m的值；（3）如果點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)B的右側(cè)，聯(lián)結(jié)PC，直線PA交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)∠PCE＝∠PEC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得故拋物線的表達(dá)式為；（2）令x=0，y=4∴C（0，4）當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則拋物線過點(diǎn)C（0，4）由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為x＝2，則平移后拋物線再過點(diǎn)C時(shí)，m＝4；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，)，設(shè)直線PA的表達(dá)式為y＝kx+b，代入A、P坐標(biāo)得，解得，∴直線PA的表達(dá)式為y＝（）x，令x=0，y=故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣t+4），而點(diǎn)C（0，4），∵∠PCE＝∠PEC，則點(diǎn)P在CE的中垂線上，由中點(diǎn)公式得：yP＝（yC+yE），即＝（t+4），解得t＝1（舍去）或，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為．7.（2021年楊浦二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x﹣5與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+6x+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCPQ是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)QC，在∠QCB內(nèi)作射線CD與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D，使得∠QCD＝∠ABC，求線段DQ的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）在y＝x﹣5中令x＝0，得y＝﹣5，令y＝0得x＝5，∴A（5，0），B（0，﹣5），將A（5，0），B（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得：，解得，∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+6x﹣5；（2）在y＝﹣x2+6x﹣5中令y＝0得x1＝1，x2＝5，∴C（1，0），點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，設(shè)P（m，﹣m2+6m﹣5），Q（n，n﹣5），則BP的中點(diǎn)為（，），CQ的中點(diǎn)為（，），∵四邊形BCPQ是平行四邊形，∴線段BP的中點(diǎn)即是CQ的中點(diǎn)，∴，解得或，∴Q（3，﹣2）；（3）設(shè)CD與AB交于N，如圖：∵B（0，﹣5），C（1，0），Q（3，﹣2），∴CQ＝2，BQ＝3，∵∠QCD＝∠ABC，∠CQN＝∠BQC，∴△CQN∽△BQC，∴，即＝，∴QN＝，設(shè)N（t，t﹣5），而Q（3，﹣2），∴＝，∴t＝或t＝，∵在∠QCB內(nèi)作射線CD，∴t＝，N（，﹣），設(shè)CN解析式為y＝kx+b，將N（，﹣），C（1，0）代入得：，解得，∴CN解析式為y＝﹣5x+5，令x＝3得y＝﹣10，∴Q（3，﹣10），∴DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．8.（2021年青浦二模）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸是直線x＝1，頂點(diǎn)是點(diǎn)D．（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為該拋物線第三象限上的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形PBDC為梯形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E為x軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)tan（∠PBO+∠PEO）＝時(shí)，求OE的長(zhǎng)．解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0），對(duì)稱軸是直線x＝1，∴……（2分），解得 （1分）∴拋物線的解析式為．把x＝1代入拋物線的解析式，得y＝4．∴D（1，4）． （1分）（2）∵點(diǎn)P為拋物線第三象限上的點(diǎn)，且四邊形PBDC為梯形，∴CD∥BP． （1分）延長(zhǎng)DC交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)G，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)H．∵C（0，3），D（1，4），∴GD＝CG＝1．∴∠GDC＝45°．∵GD∥BF，∴∠DFB＝∠GDC＝45°．∵CD∥BP，∴∠PBF＝∠DFB＝45°． （1分）∴∠PBF＝∠HPB，∴PH＝BH．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．由題意可知B（3，0）．得． （1分）解得，或．（舍）∴P（－2，－5） （1分）（3）∵P（－2，－5），∴在Rt△PHO中，． （1分）∵，∴．由（2）可知，，因此，所以點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)．又∵，∴． （1分）∵，∴△OPB∽△OEP． （1分）∴，∴，∴． （1分）題型六：例1（2022楊浦一模24）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)P是該拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP、BC，AP與線段BC相交于點(diǎn)F．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，如果點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，PG與線段BC交于點(diǎn)H，如果PF＝PH，求線段PH的長(zhǎng)度．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵y＝﹣x2+x+2，∴對(duì)稱軸為直線x＝，令y＝0，則﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝4，∴B（4，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，∴，∴，∴y＝﹣x+2，∴E（，），設(shè)直線AE的解析式為y＝k'x+n，∴，∴，∴y＝x+，聯(lián)立，∴x＝3或x＝﹣1（不符合題意，舍去），∴P（3，2）；（3）解法一：設(shè)P（t，﹣t2+t+2），則H（t，﹣t+2），∴PH＝﹣t2+2t，設(shè)直線AP的解析式為y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝x+，聯(lián)立，∴x＝，∴F（，），直線AP與y軸交點(diǎn)E（0，），∴CE＝2﹣＝，∵PF＝PH，∴∠PFH＝∠PHF，∵PG∥y軸，∴∠ECF＝∠PHF，∵∠CFE＝∠PFH，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝EF，∴（）2＝（）2+（﹣）2，∴（4﹣t）2+4＝（5﹣t）2，∴t＝，∴PH＝﹣t2+2t＝．2.（2020長(zhǎng)寧二模）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn).（1）求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將上述拋物線向下平移1個(gè)單位，平移后的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)，求的面積；（3）如果點(diǎn)在原拋物線上，且在對(duì)稱軸的右側(cè)，聯(lián)結(jié)交線段于點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo).圖圖7-1-2-3-41234-1-2-3-41234Oxy解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線∴，解得（2分）∴拋物線的解析式為，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2分）（2）拋物線與軸交于點(diǎn)平移后的拋物線表達(dá)式為：，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2分）過點(diǎn)做軸，垂足為點(diǎn)∴（2分）（3）∵直線經(jīng)過點(diǎn)、，∴直線的表達(dá)式為：設(shè)對(duì)稱軸與直線相交于點(diǎn)，則∵∴（1分）過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)，則∴（1分）∵∴∴∴∴（舍去）或（1分）∴（1分）3.（2021閔行區(qū)二模24）（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線x＝3，且對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C．直線y＝kx+b，經(jīng)過點(diǎn)A，與線段BC交于點(diǎn)E．（1）求拋物線y＝﹣x2+mx+n的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)BO、EO．當(dāng)△BOE的面積為3時(shí)，求直線y＝kx+b的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)D為y軸上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD、AD，當(dāng)BD＝EO時(shí)，求∠DAO的余切值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法和拋物線對(duì)稱軸公式即可求解；（2）先求出頂點(diǎn)B坐標(biāo)，根據(jù)△BOE的面積為3求出BE，進(jìn)而求出點(diǎn)E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；（3）分BD∥OE和BD與OE不平行兩種情況，分別求出D坐標(biāo)，利用余切定義即可求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（5，3），∴，∴，∴拋物線表達(dá)式為y＝﹣x2+6x﹣6；（2）把x＝3代入y＝﹣x2+2x﹣5得y＝4，∴拋物線頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，4），由△BOE的面積為3得BE×3＝3，∴BE＝2，∵點(diǎn)E在線段BC上，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為E（3，3），把點(diǎn)E（3，2）和點(diǎn)A（8，，∴，∴直線表達(dá)式為y＝﹣x+5；（3）如圖，①若BD∥OE，則四邊形OEBD1為平行四邊形，則點(diǎn)D4坐標(biāo)為（0，2），連接D5A，∴cot∠D1AO＝＝，綜上所述，此時(shí)∠DAO的余切值為或．【點(diǎn)評(píng)】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式，余切定義等知識(shí)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，解第（3）步時(shí)要注意分類討論思想應(yīng)用．4.（2021虹口二模24）如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與雙曲線H：交于點(diǎn)P(2，)，直線分別與直線l和雙曲線H交于點(diǎn)E、D．（1）求k和b的值；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，如果ED=BO，求m的值；（3）點(diǎn)C是y軸上一點(diǎn)，如果四邊形BCDE是菱形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】24．解：（1）由題意：把點(diǎn)P(2，)代入中，得．………（2分）把點(diǎn)P(2，)代入中，得．………（2分）（2）由題意：E，D．則．…（1分）∵ED=BO，且BO=3，∴．…………（1分）解得．…………（1分）∵點(diǎn)E在線段AB上，∴m<0．∴m的值為．…………（1分）（3）易得．………（1分）①當(dāng)m<0，點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，．∵，∴．解得．∴，C．………（1分）②當(dāng)m<0，點(diǎn)D在點(diǎn)E上方時(shí)，，方程無實(shí)根．③當(dāng)m>0，點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，，方程無實(shí)根．④當(dāng)m>0，點(diǎn)D在點(diǎn)E上方時(shí)，．解得．∴，C．……（1分）∴綜上所述C或C.……（1分）5.（2020浦東二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）直線平行于軸，與拋物線交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)是該拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)、，交線段于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【整體分析】（1）根據(jù)拋物線與軸交于點(diǎn)可得出c的值，然后由對(duì)稱軸是直線可得出b的值，從而可求出拋物線的解析式；

（2）令y=0得出關(guān)于x的一元二次方程，求出x，可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到AB的長(zhǎng)，再求出MN的長(zhǎng)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱可求出OE的長(zhǎng)；

（3）過點(diǎn)E作x軸的平行線EH，分別過點(diǎn)F，P作EH的垂線，垂足分別為G，Q，則FG∥PQ，先證明△EGF∽△EQP，可得，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，-a+3），則EG=a，F(xiàn)G=-a+3-=-a+，可用含a的式子表示P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)P在拋物線的圖象上，可得關(guān)于a的