2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)與時(shí)代發(fā)展的緊密聯(lián)系考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x}&x\neq0\\a&x=0\end{cases}$，若$f(x)$在$x=0$處連續(xù)，求$a$的值。二、計(jì)算極限$\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x^2}-\cosx}{x\sinx}$。三、設(shè)函數(shù)$y=x\lnx$，求$y$的二階導(dǎo)數(shù)。四、求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$的單調(diào)區(qū)間和極值。五、計(jì)算定積分$\int_{0}^{1}x\mathrm{e}^{-x}\mathrmaaug6wwx$。六、求微分方程$\frac{\mathrm6mmk8muy}{\mathrmsa8wca8x}+y=\mathrm{e}^{-x}$的通解。七、設(shè)函數(shù)$z=z(x,y)$由方程$x^2+y^2+z^2=f(xyz)$確定，其中$f$具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partial^2z}{\partialx^2}$。八、計(jì)算二重積分$\iint_{D}x^2\mathrm4888w4ux\mathrma6waka4y$，其中$D$是由拋物線$y=x^2$和直線$y=1$圍成的區(qū)域。九、將函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$展開成$x$的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間。十、設(shè)向量組$\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,1),\boldsymbol{\alpha}_2=(1,2,3),\boldsymbol{\alpha}_3=(1,3,t)$，（1）求向量組$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$的秩；（2）若向量組$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$線性無(wú)關(guān)，求$t$的值。十一、設(shè)矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求$\boldsymbol{A}$的特征值和特征向量。十二、設(shè)隨機(jī)變量$X$的概率密度函數(shù)為$f(x)=\begin{cases}2x&0\leqx\leq1\\0&\text{otherwise}\end{cases}$，（1）求隨機(jī)變量$X$的分布函數(shù)$F(x)$；（2）求隨機(jī)變量$X$的期望$E(X)$和方差$D(X)$。十三、設(shè)隨機(jī)變量$X$和$Y$相互獨(dú)立，且$X\simN(0,1),Y\simN(1,2)$，求隨機(jī)變量$Z=2X+Y$的概率密度函數(shù)。十四、設(shè)總體$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，$X_1,X_2,\dots,X_n$是來(lái)自總體$X$的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，（1）求參數(shù)$\lambda$的矩估計(jì)量；（2）求參數(shù)$\lambda$的最大似然估計(jì)量。十五、為了估計(jì)某城市成年男性的平均身高，隨機(jī)抽取了100名成年男性，測(cè)得他們的平均身高為175厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為10厘米。假設(shè)成年男性身高服從正態(tài)分布，求該城市成年男性平均身高的95%置信區(qū)間。試卷答案一、$a=1$解析：函數(shù)$f(x)$在$x=0$處連續(xù)，意味著$\lim_{x\to0}f(x)=f(0)$。由于$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，所以$a=1$。二、$\frac{3}{2}$解析：利用洛必達(dá)法則，因?yàn)?\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x^2}-\cosx}{x\sinx}=\lim_{x\to0}\frac{2x\mathrm{e}^{x^2}+\sinx}{\sinx+x\cosx}=\lim_{x\to0}\frac{2\mathrm{e}^{x^2}+4x^2\mathrm{e}^{x^2}+\cosx}{2\cosx-x\sinx}=\frac{3}{2}$。三、$y''=\lnx+2$解析：首先求一階導(dǎo)數(shù)：$y'=\lnx+1$。然后求二階導(dǎo)數(shù)：$y''=\frac{1}{x}$。四、單調(diào)增區(qū)間：$(-\infty,1)$；單調(diào)減區(qū)間：$(1,+\infty)$；極大值：$f(1)=0$。解析：首先求一階導(dǎo)數(shù)：$f'(x)=3x^2-6x$。令$f'(x)=0$，解得$x=0$或$x=2$。列表分析一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化：|區(qū)間|$f'(x)$|$f(x)$||------------|--------|--------||$(-\infty,0)$|正|增||$(0,2)$|負(fù)|減||$(2,+\infty)$|正|增|所以，單調(diào)增區(qū)間為$(-\infty,1)$和$(2,+\infty)$，單調(diào)減區(qū)間為$(1,2)$。$f(1)=0$為極大值。五、$1$解析：利用分部積分法，令$u=x$，$\mathrmwysiyeev=\mathrm{e}^{-x}\mathrmuec6qccx$，則$\mathrmw66gg6au=\mathrmussee4wx$，$v=-\mathrm{e}^{-x}$。$\int_{0}^{1}x\mathrm{e}^{-x}\mathrmis848aix=-x\mathrm{e}^{-x}\big|_{0}^{1}+\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}\mathrmg64cciix=-\mathrm{e}^{-1}+\mathrm{e}^{-x}\big|_{0}^{1}=1-2\mathrm{e}^{-1}=1$。六、$y=\mathrm{e}^{-x}(C+x)$解析：這是一階線性微分方程，利用積分因子法。積分因子$\mu(x)=\mathrm{e}^{\int1\mathrmu8y6664x}=\mathrm{e}^x$。將原方程兩邊乘以積分因子：$\mathrm{e}^x\frac{\mathrmq6skaq8y}{\mathrmm6uki6ax}+\mathrm{e}^xy=1$。左邊變?yōu)椋?(\mathrm{e}^xy)'=1$。積分得：$\mathrm{e}^xy=x+C$。所以，通解為：$y=\mathrm{e}^{-x}(C+x)$。七、$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{f'(xyz)z-2xf(xyz)}{f(xyz)+x^2f''(xyz)}$$\frac{\partial^2z}{\partialx^2}=\frac{f''(xyz)(z-2x)^2-2f'(xyz)(1-2x^2z)}{(f(xyz)+x^2f''(xyz))^2}$解析：對(duì)方程$x^2+y^2+z^2=f(xyz)$兩邊關(guān)于$x$求偏導(dǎo)：$2x+2z\frac{\partialz}{\partialx}=f'(xyz)(yz+xy\frac{\partialz}{\partialx})$解得：$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{f'(xyz)z-2xf(xyz)}{f(xyz)+x^2f''(xyz)}$再對(duì)$\frac{\partialz}{\partialx}$關(guān)于$x$求偏導(dǎo)，得到$\frac{\partial^2z}{\partialx^2}$。八、$\frac{1}{6}$解析：將積分區(qū)域$D$分為兩部分$D_1$和$D_2$，其中$D_1$是由$y=x^2$和$y=\sqrt{x}$圍成，$D_2$是由$y=\sqrt{x}$和$y=1$圍成。$\iint_{D}x^2\mathrm4oqksq6x\mathrm8yweg4gy=\int_{0}^{1}\mathrm666k8gqy\int_{y^2}^{\sqrt{y}}x^2\mathrm4mc8weex+\int_{0}^{1}\mathrm4ems8oky\int_{0}^{\sqrt{y}}x^2\mathrm4sue6mex=\frac{1}{6}$九、$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}$，收斂區(qū)間為$(-1,1)$解析：利用幾何級(jí)數(shù)展開式，$\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}$，其中$|x|<1$。所以，$f(x)=\frac{1}{x^2+1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}$，收斂區(qū)間為$(-1,1)$。十、（1）秩為2（2）$t\neq5$解析：（1）將向量組寫成矩陣形式，并進(jìn)行行變換：$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-r_1}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\1&3&t\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_1}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t-1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-2r_2}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t-5\end{pmatrix}$向量組的秩為2，當(dāng)且僅當(dāng)$t-5=0$，即$t\neq5$。（2）當(dāng)$t\neq5$時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān)。十一、特征值為-1和2；特征向量為$k_1(2,-1)^T$和$k_2(1,1)^T$，其中$k_1,k_2$為非零常數(shù)。解析：求解特征方程$\det(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{I})=0$，得到特征值$\lambda_1=-1$和$\lambda_2=2$。對(duì)于$\lambda_1=-1$，解方程$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=0$，得到特征向量$k_1(2,-1)^T$。對(duì)于$\lambda_2=2$，解方程$(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=0$，得到特征向量$k_2(1,1)^T$。十二、（1）$F(x)=\begin{cases}0&x<0\\x^2&0\leqx\leq1\\1&x>1\end{cases}$（2）$E(X)=\frac{2}{3}$，$D(X)=\frac{1}{18}$解析：（1）根據(jù)概率密度函數(shù)的定義，計(jì)算分布函數(shù)：$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\mathrmg8cs6mmt=\begin{cases}0&x<0\\\int_{0}^{x}2t\mathrmkeumu86t=x^2&0\leqx\leq1\\\int_{0}^{1}2t\mathrmk88u8q8t=1&x>1\end{cases}$（2）計(jì)算期望和方差：$E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2x\mathrm4466wy6x=\frac{2}{3}$$E(X^2)=\int_{0}^{1}x^2\cdot2x\mathrmgsiyigix=\frac{1}{2}$$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\frac{1}{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{18}$十三、$f_Z(z)=\frac{1}{3\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(z-1)^2}{18}}$解析：由于$X$和$Y$獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，$Z=2X+Y$也服從正態(tài)分布。$E(Z)=E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=0+1=1$$D(Z)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=4\cdot1+2=6$所以，$Z\simN(1,6)$。概率密度函數(shù)為：$f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot6}}\mathrm{e}^{-\frac{(z-1)^2}{2\cdot6}}=\frac{1}{3\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(z-1)^2}{18}}$十四、（1）$\hat{\lambda}_M=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$（2）$\hat{\lambda}_{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$解析：（1）矩估計(jì)法：$E(X)=\lambda$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$是$E(X)$的無(wú)偏估計(jì)。所以，$\lambda$的矩估計(jì)量為$\hat{\lambda}_M=\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$。（2）最大似然估計(jì)法：似然函數(shù)為：$L(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}\frac{\lambda