2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——?jiǎng)恿ο到y(tǒng)與混沌理論探索考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題4分，共20分。請將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.設(shè)$\vec{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$是平面光滑向量場，系統(tǒng)$\dot{x}=P(x,y),\dot{y}=Q(x,y)$的相軌線如果是一條封閉曲線，那么在該曲線上任意一點(diǎn)$(x_0,y_0)$，向量$\vec{F}(x_0,y_0)$的方向是？(A)指向曲線內(nèi)部(B)指向曲線外部(C)沿曲線切線方向(D)垂直于曲線2.對于平面自治系統(tǒng)$\dot{x}=f(x,y),\dot{y}=g(x,y)$，設(shè)點(diǎn)$(x_0,y_0)$是平衡點(diǎn)。若在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處的雅可比矩陣$\mathbf{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialx}&\frac{\partialf}{\partialy}\\\frac{\partialg}{\partialx}&\frac{\partialg}{\partialy}\end{pmatrix}$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2$，則下列說法正確的是？(A)若$\lambda_1\lambda_2>0$，則$(x_0,y_0)$一定是鞍點(diǎn)(B)若$\lambda_1=i\omega,\lambda_2=-i\omega$且$\omega\neq0$，則$(x_0,y_0)$一定是中心點(diǎn)(C)若$\text{Re}(\lambda_1)>0$且$\text{Re}(\lambda_2)<0$，則$(x_0,y_0)$一定是穩(wěn)定焦點(diǎn)(D)若$\lambda_1\neq0,\lambda_2\neq0$且$\lambda_1\neq\lambda_2$，則系統(tǒng)在$(x_0,y_0)$附近是可積的3.下列哪個(gè)系統(tǒng)是哈密頓系統(tǒng)？(A)$\dot{x}=y,\dot{y}=-x+y^3$(B)$\dot{x}=x^2+y,\dot{y}=x-y^2$(C)$\dot{x}=xy,\dot{y}=x^2$(D)$\dot{x}=y^2,\dot{y}=x^2y$4.在二維相空間中，一條封閉的相軌線代表系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？(A)一定是周期解(B)一定是穩(wěn)定解(C)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)隨時(shí)間趨于該封閉曲線(D)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)隨時(shí)間遠(yuǎn)離該封閉曲線5.李雅普諾夫指數(shù)是描述動(dòng)力系統(tǒng)哪個(gè)特性的量？(A)平衡點(diǎn)的類型(B)相軌線的形狀(C)運(yùn)動(dòng)軌跡的收斂性(D)系統(tǒng)長期行為對初值的敏感性二、計(jì)算題（每題10分，共40分）6.考慮自治系統(tǒng)$\dot{x}=y,\dot{y}=-x-y^2$。求系統(tǒng)在原點(diǎn)$(0,0)$處的平衡點(diǎn)類型。7.考慮自治系統(tǒng)$\dot{x}=x-y-x(x^2+y^2),\dot{y}=y+x-y(x^2+y^2)$。證明原點(diǎn)$(0,0)$是該系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)。8.對于哈密頓系統(tǒng)$\dot{x}=\frac{\partialH}{\partialy},\dot{y}=-\frac{\partialH}{\partialx}$，其中$H(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$。求該系統(tǒng)的正則方程，并找出其能量守恒的不變量。9.考慮系統(tǒng)$\dot{x}=y,\dot{y}=x-x^3-xy$。計(jì)算在點(diǎn)$(1,0)$附近的李雅普諾夫指數(shù)$\lambda_1,\lambda_2$的近似值（提示：進(jìn)行線性化分析）。三、證明題（每題15分，共45分）10.證明：對于二維自治系統(tǒng)$\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{f}(\mathbf{z})$，如果存在一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)$V(\mathbf{z})$，滿足$V(\mathbf{z})>0$，$\frac{dV}{dt}\leq0$，且$\frac{dV}{dt}=0$僅在$\mathbf{z}=\mathbf{z}_0$(平衡點(diǎn))處成立，那么該平衡點(diǎn)$\mathbf{z}_0$是局部穩(wěn)定的。11.證明龐加萊-貝奈克定理：對于哈密頓系統(tǒng)$\dot{\mathbf{q}}=\{\mathbf{H},\mathbf{q}\}$，如果$H$在相空間中的某個(gè)區(qū)域$D$內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，并且存在一個(gè)與$H$正交的函數(shù)$G$（即$\{\mathbf{H},G\}=0$），那么在$D$內(nèi)存在一個(gè)圍繞某個(gè)平衡點(diǎn)的閉合軌道。12.設(shè)$x'=f(x,y),y'=g(x,y)$是一個(gè)光滑自治系統(tǒng)，$(x_0,y_0)$是一個(gè)平衡點(diǎn)。證明：如果在該點(diǎn)處，系統(tǒng)雅可比矩陣$\mathbf{J}$的特征值都具有負(fù)實(shí)部，那么存在一個(gè)定義在鄰域內(nèi)的李雅普諾夫函數(shù)$V(x,y)$，使得$V(x_0,y_0)=0$，$V(x,y)>0$當(dāng)$(x,y)\neq(x_0,y_0)$，且$\frac{\partialV}{\partialx}f+\frac{\partialV}{\partialy}g\leq0$。---試卷答案一、選擇題1.(C)2.(D)3.(A)4.(A)5.(D)二、計(jì)算題6.解：平衡點(diǎn)$(0,0)$滿足$\dot{x}=0,\dot{y}=0$，即$y=0,-x-y^2=0$，解得$(0,0)$為平衡點(diǎn)。計(jì)算雅可比矩陣$\mathbf{J}$在$(0,0)$處：$\mathbf{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialx}&\frac{\partialf}{\partialy}\\\frac{\partialg}{\partialx}&\frac{\partialg}{\partialy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-2y\end{pmatrix}\bigg|_{(0,0)}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$計(jì)算特征值：$\det(\mathbf{J}-\lambda\mathbf{I})=\det\begin{pmatrix}-\lambda&1\\-1&-\lambda\end{pmatrix}=\lambda^2+1=0$，得$\lambda_1=i,\lambda_2=-i$。特征值為純虛數(shù)，且在原點(diǎn)鄰域內(nèi)沒有實(shí)部的特征值。因此，平衡點(diǎn)$(0,0)$是一個(gè)中心點(diǎn)，是不穩(wěn)定焦點(diǎn)。7.解：平衡點(diǎn)$(0,0)$滿足$\dot{x}=0,\dot{y}=0$，即$y+x(x^2+y^2)=0,y+x-y(x^2+y^2)=0$。解得$(0,0)$為平衡點(diǎn)。計(jì)算雅可比矩陣$\mathbf{J}$在$(0,0)$處：$\mathbf{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialx}&\frac{\partialf}{\partialy}\\\frac{\partialg}{\partialx}&\frac{\partialg}{\partialy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-3x^2-y^2&-1-2xy\\1-x^2-y^2&1-2xy\end{pmatrix}\bigg|_{(0,0)}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$計(jì)算特征值：$\det(\mathbf{J}-\lambda\mathbf{I})=\det\begin{pmatrix}1-\lambda&-1\\1&1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)^2+1=\lambda^2-2\lambda+2=0$，得$\lambda=1\pmi$。特征值實(shí)部為正（$\text{Re}(\lambda)=1$），因此平衡點(diǎn)$(0,0)$不是穩(wěn)定的。現(xiàn)在尋找李雅普諾夫函數(shù)。考慮函數(shù)$V(x,y)=x^2+y^2$。計(jì)算其沿系統(tǒng)軌跡的時(shí)間導(dǎo)數(shù)：$\frac{dV}{dt}=\frac{\partialV}{\partialx}\dot{x}+\frac{\partialV}{\partialy}\dot{y}=2x(x-y-x(x^2+y^2))+2y(y+x-y(x^2+y^2))$$=2x^2-2xy-2x^4-2xy^2+2y^2+2xy-2y^4-2xy^3$$=2(x^2+y^2)-2(x^4+y^4+xy(x^2+y^2))$在原點(diǎn)$(0,0)$附近，$x^4,y^4,xy(x^2+y^2)$都是高階小量，可以忽略。因此，在原點(diǎn)附近$\frac{dV}{dt}\approx2(x^2+y^2)>0$。這意味著軌跡會(huì)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，平衡點(diǎn)$(0,0)$是不穩(wěn)定的。（注：題目要求證明穩(wěn)定，但計(jì)算結(jié)果表明平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。此題可能存在條件錯(cuò)誤或要求尋找不同類型的穩(wěn)定點(diǎn)，或者考察對不穩(wěn)定性證明的理解。按標(biāo)準(zhǔn)方法計(jì)算，原點(diǎn)不滿足穩(wěn)定條件。若題目意圖是考察穩(wěn)定性的證明方法，則應(yīng)提供穩(wěn)定點(diǎn)的例子。）8.解：正則方程為$\dot{x}=\frac{\partialH}{\partialy},\dot{y}=-\frac{\partialH}{\partialx}$。$H(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$。$\frac{\partialH}{\partialx}=x,\frac{\partialH}{\partialy}=y$。因此，正則方程為$\dot{x}=y,\dot{y}=-x$。能量守恒的不變量即為哈密頓量本身$H(x,y)$。由于$H(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$，且系統(tǒng)能量守恒，即$H(x(t),y(t))=\text{常數(shù)}$，所以$H$就是該系統(tǒng)的能量守恒不變量。9.解：在點(diǎn)$(1,0)$附近，系統(tǒng)可以近似為線性系統(tǒng)。計(jì)算雅可比矩陣$\mathbf{J}$在$(1,0)$處：$\mathbf{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialx}&\frac{\partialf}{\partialy}\\\frac{\partialg}{\partialx}&\frac{\partialg}{\partialy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1-3x^2-y^2&-x-2xy\end{pmatrix}\bigg|_{(1,0)}=\begin{pmatrix}0&1\\-2&-1\end{pmatrix}$計(jì)算特征值：$\det(\mathbf{J}-\lambda\mathbf{I})=\det\begin{pmatrix}-\lambda&1\\-2&-1-\lambda\end{pmatrix}=\lambda^2+\lambda-2=0$，得$\lambda_1=1,\lambda_2=-2$。因此，近似李雅普諾夫指數(shù)為$\lambda_1\approx1,\lambda_2\approx-2$。三、證明題10.證明：設(shè)$\mathbf{z}_0$是平衡點(diǎn)，即$\mathbf{f}(\mathbf{z}_0)=\mathbf{0}$。取李雅普諾夫函數(shù)$V(\mathbf{z})$，滿足$V(\mathbf{z}_0)=0$，$V(\mathbf{z})>0$當(dāng)$\mathbf{z}\neq\mathbf{z}_0$，且$\frac{dV}{dt}\leq0$。對于系統(tǒng)$\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{f}(\mathbf{z})$上的任意軌跡$\mathbf{z}(t)$，$V(\mathbf{z}(t))$是一個(gè)非負(fù)函數(shù)，并且其沿軌跡的時(shí)間導(dǎo)數(shù)$\frac{dV}{dt}$總是小于或等于零。這意味著$V(\mathbf{z}(t))$是一個(gè)非增加的函數(shù)。假設(shè)存在一個(gè)點(diǎn)$\mathbf{z}_1$在軌跡上，使得$V(\mathbf{z}_1)>0$。由于$\frac{dV}{dt}\leq0$，$V(\mathbf{z}(t))$將不會(huì)增加，即$V(\mathbf{z}(t))\leqV(\mathbf{z}_1)$。但根據(jù)$V(\mathbf{z})>0$當(dāng)$\mathbf{z}\neq\mathbf{z}_0$，$V(\mathbf{z}(t))$永遠(yuǎn)不會(huì)等于零，除非$\mathbf{z}(t)=\mathbf{z}_0$。因此，要使$V(\mathbf{z}(t))$保持非增加且永遠(yuǎn)不為零，唯一的可能是$V(\mathbf{z}(t))$永遠(yuǎn)大于零且趨向于某個(gè)非負(fù)極限，但這與$\frac{dV}{dt}\leq0$和$V(\mathbf{z}_0)=0$矛盾（除非軌跡最終到達(dá)$\mathbf{z}_0$）。實(shí)際上，由于$\frac{dV}{dt}\leq0$且$\frac{dV}{dt}=0$僅在$\mathbf{z}=\mathbf{z}_0$處成立，$V(\mathbf{z}(t))$必須是非增加的，并且當(dāng)$t\to\infty$時(shí)，$V(\mathbf{z}(t))$趨向于$V(\mathbf{z}_0)=0$。這意味著對于任意$\epsilon>0$，存在$\delta>0$和$T>0$，當(dāng)$\|\mathbf{z}(t)-\mathbf{z}_0\|<\delta$時(shí)，$t>T$，都有$\|\mathbf{z}(t)-\mathbf{z}_0\|<\epsilon$。因此，平衡點(diǎn)$\mathbf{z}_0$是局部穩(wěn)定的。11.證明：設(shè)哈密頓系統(tǒng)$\dot{\mathbf{q}}=\{\mathbf{H},\mathbf{q}\}$，其中$\mathbf{H}$在區(qū)域$D$內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，且存在一個(gè)與$\mathbf{H}$正交的函數(shù)$G$，即$\{\mathbf{H},G\}=\frac{\partialH}{\partialq_i}\frac{\partialG}{\partialq_j}-\frac{\partialH}{\partialq_j}\frac{\partialG}{\partialq_i}=0$對所有$i,j$成立。定義函數(shù)$F=G+\alphaH$，其中$\alpha$是一個(gè)常數(shù)。計(jì)算$F$的全微分：$dF=\frac{\partialF}{\partialq_i}dq_i=\left(\frac{\partialG}{\partialq_i}+\alpha\frac{\partialH}{\partialq_i}\right)dq_i=\left(\{\mathbf{H},G\}+\alpha\{\mathbf{H},H\}\right)dq_i=\alpha\{\mathbf{H},H\}dq_i$由于$\{\mathbf{H},H\}=0$（因?yàn)?\{\mathbf{H},H\}=\sum\frac{\partialH}{\partialq_i}\frac{\partialH}{\partialq_i}=\sum(\frac{\partialH}{\partialq_i})^2\geq0$，且僅在$H$為常數(shù)時(shí)取等號(hào)），所以$dF=0$。這意味著$F=G+\alphaH$是一個(gè)常函數(shù)。設(shè)此常數(shù)為$C$，即$G+\alphaH=C$。定義作用量積分$S=W+p\cdotG$，其中$W=\int_{q_0}^q\sqrt{2(E-H(q,p))}dq$是哈密頓函數(shù)$E$的積分（哈密頓-雅可比方程的解），$p=\frac{\partialH}{\partialq}$是廣義動(dòng)量。$S$是哈密頓函數(shù)$H(q,p)$下的全積分（在相空間中定義了一個(gè)曲面族）。令$H'=H-\frac{C-G}{\alpha}$。由于$G$與$H$正交，$C-G$與$H$也正交，所以$H'$仍然是一個(gè)哈密頓函數(shù)。在$H'$相空間中，作用量積分$S=W+p\cdotG$是一個(gè)常數(shù)，其中$p=\frac{\partialH'}{\partialq}$。因此，$H'$的等能面（由$H'=\text{常數(shù)}$定義）在相空間中是圍繞平衡點(diǎn)$(q,p)=(0,0)$的閉合曲面（因?yàn)?H$是關(guān)于$(q,p)$的二次型函數(shù)，其等值面是超曲面，且在$H=0$時(shí)退化為一點(diǎn)）。由$\dot{q}=\{\mathbf{H'},\mathbf{q}\}$和$\dot{p}=-\{\mathbf{H'},\mathbf{p}\}=-\{\mathbf{H'},\mathbf{q}\}$，可知在$H'=\text{常數(shù)}$的閉合曲面上，$q$和$p$都隨時(shí)間周期性變化。因此，存在圍繞平衡點(diǎn)$(0,0)$的閉合軌道。12.證明：設(shè)$(x_0,y_0)$是一個(gè)平衡點(diǎn)，且在該點(diǎn)處，系統(tǒng)雅可比矩陣$\mathbf{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialx}&\frac{\partialf}{\partialy}\\\frac{\partialg}{\partialx}&\frac{\partialg}{\partialy}\end{pmatrix}$的特征值都具有負(fù)實(shí)部，記為$\lambda_1,\lambda_2$，且$\text{Re}(\lambda_1)<0,\text{Re}(\lambda_2)<0$。根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，存在一個(gè)非奇異矩陣$\mathbf{P}$和一個(gè)對角矩陣$\mathbf{\Lambda}=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}$，使得$\mathbf{J}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1}$。定義一個(gè)新的變量$\mathbf{u}=\mathbf{P}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)$。在新的坐標(biāo)系下，平衡點(diǎn)變?yōu)樵c(diǎn)$(0,0)$。原系統(tǒng)變換為$\dot{\mathbf{u}}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{J}\mathbf{P}\mathbf{u}=\mathbf{\Lambda}\mathbf{u}$。即$\dot{u}_1=\lambda_1u_1,\dot{u}_2=\lambda_2u_2$。在這個(gè)線性系統(tǒng)中，函數(shù)$V(u_1,u_2)=u_1^2+u_2^2$是一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。計(jì)算其沿系統(tǒng)軌跡的時(shí)間導(dǎo)數(shù)：$\frac{dV}{dt}=2u_1\dot{u}_1+2u_2\dot{u}_2=2u_1(\lambda_1u_1)+2u_2(\lambda_2u_2)=2(\lambda_1u_1^2+\lambda_2u_2^2)$。由于$\text{Re}(\lambda_1)<0,\text{Re}(\lambda_2)<0$，所以$\lambda_1u_1^2+\lambda_2u_2^2\leq0$。因此，$\frac{dV}{dt}\leq0$，且$\frac{dV}{dt}=0$僅當(dāng)$u_1=0,u_2=0$時(shí)成立。將$\mathbf{u}=\mathbf{P}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)$代回原變量$\mathbf{x}$，得到$V(\mathbf{x})=(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^T\mathbf{P}^{-T}\mathbf{P}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)=(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^T\mathbf{P}^{-T}\mathbf{P}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)$。令$\mathbf{K}=\mathbf{P}^{-T}\mathbf{P}^{-1}$，則$\mathbf{K}$是正定矩陣（因?yàn)?\mathbf{J}$的特征值有負(fù)實(shí)部，保證了平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，對應(yīng)的線性化系統(tǒng)是穩(wěn)定的）。所以$V(\mathbf{x})=(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^T\mathbf{K}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)$。顯然，$V(\mathbf{x}_0)=0$，且當(dāng)$\mathbf{x}\neq\mathbf{x}_0$時(shí)，$V(\mathbf{x})>0$。因此，存在一個(gè)定義在$\mathbf{x}_0$附近鄰域內(nèi)的李雅普