2025年大學(xué)《生物統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——生物統(tǒng)計學(xué)中的統(tǒng)計時間序列分析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.時間序列數(shù)據(jù)與截面數(shù)據(jù)最根本的區(qū)別在于（）。A.數(shù)據(jù)的測量尺度不同B.數(shù)據(jù)的收集方法不同C.數(shù)據(jù)點之間是否存在時間依存性D.數(shù)據(jù)的變量個數(shù)不同2.若一個時間序列的均值和方差都不隨時間變化，則稱該序列具有（）。A.平穩(wěn)性B.非平穩(wěn)性C.季節(jié)性D.自相關(guān)性3.對于一個平穩(wěn)時間序列Xt，其自協(xié)方差函數(shù)γ(k)滿足（）。A.γ(0)=0,γ(k)≠0B.γ(0)>0,γ(k)隨|k|增大而趨于0C.γ(0)<0,γ(k)隨|k|增大而趨于0D.γ(0)=1,γ(k)=0對所有k>04.在時間序列分析中，繪制自相關(guān)函數(shù)（ACF）圖的主要目的是（）。A.檢驗數(shù)據(jù)的正態(tài)性B.檢驗數(shù)據(jù)的獨立性C.判斷序列的平穩(wěn)性D.輔助識別時間序列模型5.對于AR(1)模型Xt=φXt-1+εt，若φ=0.8，則該模型是（）。A.齊次模型B.非齊次模型C.平穩(wěn)的D.非平穩(wěn)的6.MA(1)模型Xt=εt+θεt-1的自協(xié)方差函數(shù)γ(k)為（）。A.γ(k)=0,k>1B.γ(k)=σ2,k=0C.γ(k)=θ2σ2,k=1D.以上都對7.模型識別過程中，如果ACF和PACF都呈指數(shù)衰減，則傾向于選擇（）模型。A.AR(1)B.MA(1)C.ARMA(p,q)D.ARIMA(p,1,q)8.在擬合ARIMA模型后，對殘差進(jìn)行白噪聲檢驗（如Ljung-Box檢驗）的目的是（）。A.檢驗原始序列的平穩(wěn)性B.檢驗?zāi)Ｐ蛥?shù)的顯著性C.檢驗殘差序列是否為白噪聲D.檢驗殘差序列是否具有自相關(guān)性9.若一個非平穩(wěn)時間序列經(jīng)過差分d次后變?yōu)槠椒€(wěn)序列，則該序列的差分形式模型通常表示為（）。A.ARIMA(0,0,q)B.ARIMA(p,0,q)C.ARIMA(p,d,q)D.ARIMA(0,d,0)10.時間序列預(yù)測的基本思想是利用序列自身的歷史信息來估計未來的值，這體現(xiàn)了（）原理。A.相關(guān)性B.類聚性C.因果性D.連續(xù)性二、填空題（每小題2分，共20分。請將答案填在題后的橫線上）1.時間序列分析研究的是按______順序排列的數(shù)據(jù)。2.一個平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)（ACF）______。3.模型識別的常用方法包括______圖分析法、參數(shù)估計法等。4.ARIMA(p,d,q)模型中，參數(shù)p代表______模型階數(shù)，q代表______模型階數(shù)。5.進(jìn)行ARIMA模型參數(shù)估計常用的方法是______。6.模型診斷的主要內(nèi)容包括______檢驗和______檢驗。7.若時間序列數(shù)據(jù)包含明顯的、周期性的波動，則稱為______。8.某種疾病的年發(fā)病率數(shù)據(jù)通常具有______趨勢。9.時間序列預(yù)測可以分為______預(yù)測和______預(yù)測。10.對于ARIMA(1,1,1)模型，其對應(yīng)的差分方程為______。三、簡答題（每小題5分，共25分）1.簡述平穩(wěn)時間序列和非平穩(wěn)時間序列的主要區(qū)別及其在生物統(tǒng)計學(xué)分析中的意義。2.解釋自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）的定義和作用。3.簡述ARIMA模型中參數(shù)p,d,q的物理意義。4.為什么需要對擬合好的ARIMA模型的殘差進(jìn)行白噪聲檢驗？5.簡述生物統(tǒng)計中應(yīng)用時間序列分析的幾個典型例子。四、計算題（每小題10分，共30分）1.假設(shè)某地過去5年的流感病例數(shù)（例/年）分別為：120,150,180,160,200。試計算該時間序列的一階自協(xié)方差γ(1)和自相關(guān)系數(shù)ρ(1)。（假設(shè)數(shù)據(jù)已平穩(wěn)，且總體方差σ2未知，可用樣本方差S2替代）2.根據(jù)某項研究，得到一組關(guān)于某種腫瘤患者生存時間（周）的數(shù)據(jù)，其一階差分后序列近似滿足AR(1)模型。若已知差分后序列的自相關(guān)系數(shù)ρ(1)=0.4，試求原序列AR(1)模型的參數(shù)φ的估計值。3.擬合了一個ARIMA(1,1,1)模型，模型參數(shù)的估計值為φ?=0.6,θ?=0.5，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=10。試計算該模型在預(yù)測未來一步時（h=1）的預(yù)測值和預(yù)測方差（假設(shè)初始值已知且誤差項方差為Var(εt)=σ2）。---試卷答案一、選擇題1.C*解析思路：時間序列數(shù)據(jù)的關(guān)鍵特征是數(shù)據(jù)點之間存在時間上的依存關(guān)系，這是它與截面數(shù)據(jù)最本質(zhì)的區(qū)別。A、B、D描述的是不同類型數(shù)據(jù)或不同方面，但不是核心區(qū)別。2.A*解析思路：平穩(wěn)性是時間序列分析的基礎(chǔ)，其定義就是均值、方差和時間無關(guān)，且自協(xié)方差僅依賴于時間間隔k，不依賴于具體時間點。3.B*解析思路：平穩(wěn)序列的均值E(Xt)是常數(shù)，方差Var(Xt)也是常數(shù)。自協(xié)方差γ(k)衡量k期滯后相關(guān)性，理論上應(yīng)隨|k|增大而趨于0，即滿足B選項描述。4.D*解析思路：ACF圖展示序列與其自身不同滯后時間的相關(guān)性。通過觀察ACF和PACF的形狀（如拖尾、截尾、指數(shù)衰減等），可以初步判斷序列的平穩(wěn)性，并輔助選擇合適的ARIMA模型階數(shù)。5.C*解析思路：對于AR(1)模型Xt=φXt-1+εt，若要求序列是平穩(wěn)的，需要滿足|φ|<1。本題φ=0.8，滿足此條件，故模型平穩(wěn)。6.D*解析思路：MA(1)模型Xt=εt+θεt-1。計算γ(0)=E[XtXt]=E[(εt+θεt-1)(εt+θεt-1)]=E[εt2]+θ2E[εt-12]=σ2+θ2σ2。計算γ(1)=E[XtXt-1]=E[(εt+θεt-1)εt-1]=E[εtεt-1]+θE[εt-12]=0+θσ2=θ2σ2。對于k>1，γ(k)=E[XtXt+k]=E[(εt+θεt-1)...]=0。因此，B、C、A的描述都正確。7.C*解析思路：ACF呈指數(shù)衰減，PACF在滯后1處截尾（通常很快趨于0），這是典型的一階自回歸AR(1)模型的特征。8.C*解析思路：ARIMA模型的核心思想是消除序列中的自相關(guān)性。如果擬合后的殘差仍然存在顯著的自相關(guān)性（即不是白噪聲），說明模型未能充分捕捉數(shù)據(jù)中的信息，所選模型不合適，需要調(diào)整。9.C*解析思路：ARIMA(p,d,q)模型中，p是自回歸階數(shù)，d是差分階數(shù)，q是移動平均階數(shù)。對于需要d次差分才能平穩(wěn)的序列，其模型形式自然包含d。10.D*解析思路：時間序列預(yù)測利用歷史數(shù)據(jù)點之間的連續(xù)性（序列值受前序值影響）來預(yù)測未來值，這正是連續(xù)性原理的體現(xiàn)。二、填空題1.時間*解析思路：時間序列數(shù)據(jù)是按照觀察或測量時間的先后順序排列的一系列數(shù)據(jù)點。2.指數(shù)遞減并最終趨于0*解析思路：根據(jù)平穩(wěn)序列自協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì)，γ(k)隨|k|的增大而單調(diào)遞減，且在理論上趨于0。3.自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）圖*解析思路：通過繪制ACF和PACF圖，可以直觀地觀察序列的自相關(guān)性模式，為模型識別提供重要線索。4.自回歸；移動平均*解析思路：ARIMA模型由自回歸部分（AR）、差分部分（d，體現(xiàn)非平穩(wěn)性）、移動平均部分（MA）組成。p控制AR部分的階數(shù)，q控制MA部分的階數(shù)。5.最大似然估計（MLE）*解析思路：在給定模型形式的條件下，估計ARIMA模型參數(shù)最常用的方法就是最大似然估計，它旨在找到能使觀測數(shù)據(jù)出現(xiàn)概率最大的參數(shù)值。6.參數(shù)；統(tǒng)計量（或模型擬合優(yōu)度）*解析思路：模型診斷不僅要檢驗殘差是否滿足基本假設(shè)（如白噪聲性），還要檢驗?zāi)Ｐ蛥?shù)估計的可靠性（如參數(shù)的顯著性、共線性等），以及模型對數(shù)據(jù)的擬合程度。7.季節(jié)性*解析思路：季節(jié)性是指時間序列數(shù)據(jù)中存在的周期性波動，其周期通常與日歷單位（如年、季、月、周）相關(guān)。8.趨勢*解析思路：許多生物現(xiàn)象（如人口增長、疾病蔓延初期、物種數(shù)量變化等）隨時間發(fā)展會呈現(xiàn)出某種總體上升或下降的趨勢。9.定性；定量*解析思路：定性預(yù)測側(cè)重于基于專家經(jīng)驗、市場判斷等進(jìn)行預(yù)測；定量預(yù)測則基于歷史數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計模型進(jìn)行預(yù)測。10.(1-φB-θB)^(-1)ΔXt=εt或X_t-φX_(t-1)=θε_(t-1)+ε_t（其中B為后移算子）*解析思路：ARIMA(1,1,1)模型定義為Xt=φXt-1+εt+θεt-1。對Xt做一階差分得到ΔXt=Xt-Xt-1=φXt-1-φXt-2+εt+θεt-1-θεt-2。若假設(shè)εt是白噪聲，εt-2對εt無影響，可簡化得到ΔXt=φXt-1+εt+θεt-1。用后移算子B表示，Xt=X_0+Σ(t-1)ε_i，則Xt-1=X_0+Σ(t-2)ε_i，ΔXt=Xt-Xt-1=ε_t+θε_(t-1)。代入原模型得X_t=φ(X_(t-1)-ε_(t-1))+ε_t+θε_(t-1)，即(1-φB)X_t=ε_t+θε_(t-1)。整理得(1-φB-θB)X_t=ε_t。若考慮差分在t處，即(1-φB-θB)ΔX_t=ε_t。這是ARIMA(1,1,1)模型的常用差分形式。三、簡答題1.簡述平穩(wěn)時間序列和非平穩(wěn)時間序列的主要區(qū)別及其在生物統(tǒng)計學(xué)分析中的意義。*區(qū)別：平穩(wěn)序列的統(tǒng)計特性（均值、方差、自協(xié)方差）不隨時間變化；非平穩(wěn)序列的統(tǒng)計特性隨時間變化，特別是均值或方差存在趨勢，或自協(xié)方差不隨時間衰減。*意義：大多數(shù)時間序列分析方法（如ARIMA模型）都基于序列平穩(wěn)性假設(shè)。非平穩(wěn)序列直接應(yīng)用這些方法可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)論。在生物統(tǒng)計學(xué)中，許多自然或醫(yī)學(xué)過程可能呈現(xiàn)非平穩(wěn)性（如生長曲線、流行病爆發(fā)初期），需要通過差分等手段將其轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列后再進(jìn)行分析，以便更準(zhǔn)確地建模和預(yù)測。2.解釋自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）的定義和作用。*定義：ACFρ(k)=Cov(Xt,Xt-k)/Var(Xt)是序列在滯后k期時的自協(xié)方差與方差之比，衡量序列與其自身滯后k期值之間的線性相關(guān)程度。PACFα(k)是在控制了1到k-1期滯后影響后，序列與其自身滯后k期值之間的線性相關(guān)程度，即α(k)=Cov(Xt,Xt-k)-Σ(i=1tok-1)Cov(Xt,Xt-i)*Cov(Xt-i,Xt-k)/Var(Xt)。它衡量的是在排除了中間滯后項影響后，k期滯后項對當(dāng)前值的直接影響。*作用：ACF和PACF共同用于識別時間序列模型的結(jié)構(gòu)。ACF顯示所有滯后期的總影響，PACF顯示直接影響。它們的模式（如截尾、拖尾）為選擇ARIMA模型的階數(shù)p和q提供了依據(jù)。3.簡述ARIMA模型中參數(shù)p,d,q的物理意義。*p(自回歸階數(shù))：表示模型中包含的當(dāng)前值對自身過去p期觀測值的依賴程度。即Xt受前p期值Xt-1,Xt-2,...,Xt-p的影響。*d(差分階數(shù))：表示需要做多少次差分才能將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列。它反映了序列中非平穩(wěn)性的“階數(shù)”，是消除趨勢或季節(jié)性影響的操作次數(shù)。*q(移動平均階數(shù))：表示模型中包含的當(dāng)前值對過去q期誤差項（殘差）的依賴程度。即Xt受前q期誤差εt-1,εt-2,...,εt-q的影響。4.為什么需要對擬合好的ARIMA模型的殘差進(jìn)行白噪聲檢驗？*因為ARIMA模型的核心目標(biāo)是擬合序列中的自相關(guān)信息。如果模型擬合成功，殘差序列理論上應(yīng)該只剩下隨機(jī)誤差，即白噪聲過程，其特征是不存在自相關(guān)性。對殘差進(jìn)行白噪聲檢驗（如Ljung-Box檢驗）是為了統(tǒng)計性地判斷殘差序列是否確實滿足這種零自相關(guān)的白噪聲特性。如果檢驗結(jié)果拒絕原假設(shè)（即殘差存在自相關(guān)），則說明模型未能充分捕捉數(shù)據(jù)中的信息，可能需要增加模型階數(shù)、調(diào)整模型形式或檢查數(shù)據(jù)質(zhì)量。5.簡述生物統(tǒng)計中應(yīng)用時間序列分析的幾個典型例子。*疾病監(jiān)測與預(yù)測：分析傳染?。ㄈ缌鞲小滩。┑陌l(fā)病率、患病率等時間序列數(shù)據(jù)，識別流行趨勢、周期性，預(yù)測未來發(fā)病情況，為防控策略提供依據(jù)。*生態(tài)學(xué)研究：分析種群數(shù)量、物種豐度、環(huán)境因子（如溫度、降雨量）等隨時間變化的數(shù)據(jù)，研究生態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)變化規(guī)律。*臨床試驗：分析患者癥狀評分、生命體征（如血壓、心率）、藥物濃度等隨時間測量的數(shù)據(jù)，評估治療干預(yù)的效果。*藥物代謝動力學(xué)：研究藥物在生物體內(nèi)濃度隨時間變化的規(guī)律，為劑量確定和藥效評價提供信息。四、計算題1.假設(shè)某地過去5年的流感病例數(shù)（例/年）分別為：120,150,180,160,200。試計算該時間序列的一階自協(xié)方差γ(1)和自相關(guān)系數(shù)ρ(1)。（假設(shè)數(shù)據(jù)已平穩(wěn)，且總體方差σ2未知，可用樣本方差S2替代）*解：先計算樣本均值：μ?=(120+150+180+160+200)/5=155*計算樣本方差S2（作為σ2的估計）：S2=[(120-155)2+(150-155)2+(180-155)2+(160-155)2+(200-155)2]/(5-1)=[(-35)2+(-5)2+(25)2+(-5)2+(45)2]/4=(1225+25+625+25+2025)/4=3700/4=925S=√925≈30.41*計算γ(1)：γ(1)=Cov(Xt,Xt-1)≈S2=925*計算自相關(guān)系數(shù)ρ(1)：ρ(1)=γ(1)/γ(0)=γ(1)/Var(Xt)≈S2/S2=925/925=12.根據(jù)某項研究，得到一組關(guān)于某種腫瘤患者生存時間（周）的數(shù)據(jù)，其一階差分后序列近似滿足AR(1)模型。若已知差分后序列的自相關(guān)系數(shù)ρ(1)=0.4，試求原序列AR(1)模型的參數(shù)φ的估計值。*解：設(shè)原序列為{Yt}，其一階差分序列為{ΔYt}=Yt-Yt-1。已知{ΔYt}~AR(1)：ΔYt=φΔYt-1+εt。根據(jù)AR(1)模型性質(zhì)，差分后序列{ΔYt}的自相關(guān)系數(shù)ρ(1)_ΔY=ρ(1)=0.4。對于AR(1)模型Yt=φYt-1+εt，其一階差分ΔYt=(1-φ)Yt-1+εt。該差分序列{ΔYt}也是一個AR(1)模型，其自相關(guān)系數(shù)為ρ(1)_ΔY=1/(1+φ)。已知ρ(1)_ΔY=0.4，則有：0.4=1/(1+φ)1+φ=1/0.4=2.5φ=2.5-1=1.53.擬合了一個ARIMA(1,1,1)模型，模型參數(shù)的估計值為φ?=0.6,θ?=0.5，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=10。試計算該模型在預(yù)測未來一步時（h=1）的預(yù)測值和預(yù)測方差（假設(shè)初始值已知且誤差項方差為Var(εt)=σ2=S2）。*解：ARIMA(1,1,1)模型為：(1-φB-θB)ΔXt=εt。預(yù)測一步（h=1）即在t+1時刻預(yù)測X(t+1)。*預(yù)測方程：1-φ?B-θ?B*[X(t+1)-X(t)]=σ?2（假設(shè)初始值X(t)已知，其影響包含在方程右側(cè)）X(t+1)=φ?X(t)+θ?ε(t)+σ?2/(1-φ?B-θ?B)*預(yù)測值（給定X(t)）：當(dāng)ε(t)=0時，預(yù)測值為X?(t+1|t)=φ?X(t)+σ?2/(1-φ?B-θ?B)。使用B算子定義，X?(t+1|t)=φ?X?(t|t-1)+θ?ε?(t)+σ?2/(1-φ?B-θ?B)。在t時刻，已知X(t)，ε?(t)=0，所以X