2026屆高三一輪復(fù)習(xí)回歸教材版微專題——集合篇專題02集合的基本運(yùn)算回歸教材不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，而是要注意挖掘教材的典型例題習(xí)題的內(nèi)在價(jià)值，開(kāi)展變式教學(xué)，多維度拓展。本專題分兩部分：第一部分是回歸教材的例題及典型習(xí)題，并針對(duì)教材習(xí)題的開(kāi)展變式跟蹤訓(xùn)練，每道例題、習(xí)題配備了至少5到跟蹤訓(xùn)練試題，進(jìn)行多方位的測(cè)試；第二部分是針對(duì)本部分內(nèi)容的綜合測(cè)試卷，該資料對(duì)于鞏固學(xué)生的“四基”、提高學(xué)生的“四能”、落實(shí)考教銜接，可以起到事半功倍的效果?；貧w教材：考點(diǎn)1：并集的運(yùn)算1、人教A版（2019年）必修一P10頁(yè)例1：設(shè)，，求2、人教A版（2019年）必修一P10頁(yè)例2：設(shè)集合，集合，求.方法總結(jié)：并集運(yùn)算基本步驟及注意事項(xiàng)1、基本步驟：（1）明確兩個(gè)集合元素；（2）合并所有元素；（3）去除重復(fù)元素，保留唯一元素組成新集合。2、注意事項(xiàng)：（1）元素不重復(fù)，遵循互異性；（2）空集與任何集合的并集是該集合本身；（3）用描述法時(shí)，準(zhǔn)確表述公共屬性；（4）可借助數(shù)軸（數(shù)集）或Venn圖直觀分析；（5）記準(zhǔn)符號(hào)“∪”，區(qū)分“或”的邏輯關(guān)系（元素屬于A或B）。【變式訓(xùn)練1】若集合，，則（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練2】已知集合,則（

）A．或 B．C． D．【變式訓(xùn)練3】已知集合或，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練4】已知集合，，則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練5】已知集合，，若，則所有滿足條件的實(shí)數(shù)m組成的集合為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)2：交集的運(yùn)算1、人教A版（2019年）必修一P12頁(yè)練習(xí)2：設(shè)，，求.方法總結(jié)：交集運(yùn)算基本步驟及注意事項(xiàng)基本步驟：1.明確參與運(yùn)算的兩個(gè)集合A、B，清晰其元素構(gòu)成（如數(shù)集、點(diǎn)集等）；篩選同時(shí)滿足A和B屬性的元素，即“屬于A且屬于B”的元素；3.這些元素組成的集合即為A∩B。注意事項(xiàng)：1.強(qiáng)調(diào)“且”的邏輯，元素需同時(shí)符合兩集合條件；2.無(wú)公共元素時(shí)，；3.數(shù)集用數(shù)軸找重疊部分，點(diǎn)集聯(lián)立方程求公共解；4.符號(hào)為“∩”，避免與“∪”混淆；5.牢記A∩A=A，，若A?B則A∩B=A。【變式訓(xùn)練1】已知集合，則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】已知集合，則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】已知集合，，則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練4】已知集合，，則（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練5】已知集合，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)3：補(bǔ)集的運(yùn)算1、人教A版（2019年）必修一P13頁(yè)例5：設(shè)是小于9的正整數(shù)，，，求，.方法總結(jié)：補(bǔ)集運(yùn)算基本步驟及注意事項(xiàng)基本步驟：1.明確全集U（前提，含研究對(duì)象所有元素）；確定子集A（A?U）；3.找出U中所有不屬于A的元素，組成。注意事項(xiàng)：1.補(bǔ)集依賴全集，同一集合在不同全集中補(bǔ)集不同；2.與A無(wú)公共元素，且并集為U；3.全集的補(bǔ)集是空集，空集的補(bǔ)集是全集；4.符號(hào)“”中U可省略（默認(rèn)已知），勿與交集、并集符號(hào)混淆?！咀兪接?xùn)練1】已知全集，若集合，則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】設(shè)全集，集合，若，則．【變式訓(xùn)練3】已知全集，集合，則（

）A．或 B．或C． D．【變式訓(xùn)練4】設(shè)全集，集合A滿足，則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練5】已知集合，，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)4：交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算1、人教A版（2019年）必修一P14頁(yè)習(xí)題1.3第4題：已知集合，，求，，，.2、人教A版（2019年）必修一P14頁(yè)習(xí)題1.3第6題：已知全集，試求集合B.方法總結(jié)：集合混合運(yùn)算注意事項(xiàng)：運(yùn)算順序：先括號(hào)內(nèi)，再補(bǔ)集，最后交、并（補(bǔ)集優(yōu)先于交并）。明確全集：補(bǔ)集依賴全集，需先確定或推斷全集范圍，避免混淆。邏輯對(duì)應(yīng)：交集為“且”，并集為“或”，補(bǔ)集為“非”，轉(zhuǎn)換需準(zhǔn)確。工具輔助：數(shù)集用數(shù)軸找區(qū)間，抽象集用Venn圖，直觀避錯(cuò)。特殊集合：關(guān)注?和全集運(yùn)算（如A∩?=?，?UU=?），及子集關(guān)系簡(jiǎn)化運(yùn)算。驗(yàn)證結(jié)果：檢查是否滿足互異性、補(bǔ)集與原集并集為全集等。【變式訓(xùn)練1】（多選）已知全集，集合，，則（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練2】（多選）已知全集，，，則（

）A．B．C．D．【變式訓(xùn)練3】（多選）已知全集，集合，集合，則（

）A． B．的子集個(gè)數(shù)為8C． D．【變式訓(xùn)練4】已知集合，，則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練5】已知全集為不大于20的質(zhì)數(shù)}，是的兩個(gè)子集，且滿足，求集合和．考點(diǎn)5：集合運(yùn)算中的分類討論思想1、人教A版（2019年）必修一P14頁(yè)習(xí)題1.3第5題：設(shè)集合，，求，．方法總結(jié)：集合問(wèn)題中分類討論思想的應(yīng)用及注意事項(xiàng)應(yīng)用場(chǎng)景：1.含參數(shù)集合運(yùn)算（如方程、不等式解集），按參數(shù)取值（如系數(shù)為0、符號(hào)正負(fù)）分類，避免漏解；2.包含關(guān)系（A?B），分A=?與A≠?兩類，非空時(shí)再按元素特征細(xì)化；3.元素互異性驗(yàn)證，對(duì)可能相等的元素分情況討論，排除重復(fù)。注意事項(xiàng)：1.分類標(biāo)準(zhǔn)唯一，確保不重復(fù)、不遺漏；2.優(yōu)先處理空集、單元素集等特殊情況；3.每類結(jié)果需代入驗(yàn)證，滿足集合確定性、互異性及題設(shè)條件；4.同類解合并，矛盾解舍去，保證邏輯閉環(huán)?！咀兪接?xùn)練1】（多選）設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)a的值可以是（

）A．0 B． C． D．3【變式訓(xùn)練2】已知集合，，且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）.A．或 B．C．或 D．【變式訓(xùn)練3】（多選）設(shè)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．集合的子集個(gè)數(shù)為4 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式訓(xùn)練4】設(shè)集合.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式訓(xùn)練5】已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求，；(2)若時(shí)，存在集合，使，求出所有的集合；(3)集合能否滿足？若能，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)5：集合運(yùn)算中的數(shù)形結(jié)合思想1、人教A版（2019年）必修一P10頁(yè)例2：設(shè)集合，集合，求.2、人教A版（2019年）必修一P13頁(yè)練習(xí)第3題：圖中U是全集，A，B是U的兩個(gè)子集，用陰影表示：（1）；（2）.方法總結(jié)集合問(wèn)題中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用及注意事項(xiàng)應(yīng)用范圍：1.數(shù)集運(yùn)算（如不等式解集）用數(shù)軸表示，直觀呈現(xiàn)交、并、補(bǔ)集的區(qū)間關(guān)系；2.抽象集合或有限集用Venn圖，清晰展示子集、交集、并集的包含關(guān)系；3.點(diǎn)集問(wèn)題（如坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)）借助坐標(biāo)系，將集合關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何圖形位置關(guān)系。注意事項(xiàng)：1.數(shù)軸標(biāo)注需準(zhǔn)確（端點(diǎn)實(shí)心/空心區(qū)分）；2.Venn圖需明確區(qū)域?qū)?yīng)關(guān)系，避免符號(hào)混淆；3.圖形僅輔助分析，最終結(jié)果需用集合語(yǔ)言規(guī)范表述；4.復(fù)雜集合需結(jié)合圖形特征提煉數(shù)量關(guān)系，防止直觀代替邏輯證明?！咀兪接?xùn)練1】（多選）下圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練2】（多選）設(shè)全集，集合，若，則（

）A． B．C．的真子集個(gè)數(shù)為32 D．【變式訓(xùn)練3】（多選）圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練4】已知集合，集合，若全集，且，則的取值范圍為.【變式訓(xùn)練5】設(shè)集合，，(1)若，求，；(2)若中只有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．綜合測(cè)試：01集合的概念與集合間的基本關(guān)系測(cè)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3.已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）A． B．C． D．4.已知集合，，，則下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A． B．C． D．5．已知集合，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．0或16．已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，則集合（）A． B． C． D．7．平面內(nèi)直線，可能有三種位置關(guān)系，即相交于一點(diǎn)?平行或重合，設(shè)平面內(nèi)直線，上的點(diǎn)的集合分別為，下列表述錯(cuò)誤的是（

）.A．直線，相交于一點(diǎn)可表示為B．直線，重合可表示為C．直線，平行可表示為；D．直線，相交于一點(diǎn)可表示為8．已知集合，，若集合中恰好只有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知集合，，，，下列選項(xiàng)正確的有（

）A． B．C． D．10．已知集合，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．有2個(gè)子集 B．中任意兩個(gè)元素差的最小值為C． D．或11．如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．集合，，集合，若，則以下的取值滿足題意的是．13．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為．14．已知集合，，只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．設(shè)集合，.(1)當(dāng)時(shí)，求，；(2)記，若集合的真子集有7個(gè)，求：所有實(shí)數(shù)的取值所構(gòu)成的集合.16．設(shè)全集，集合．(1)若時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．已知集合，，，若，，求a的值及m的取值范圍．18．已知集合，.(1)在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)，作為下面問(wèn)題的條件，并解答.問(wèn)題：當(dāng)集合A，B滿足_______時(shí)，求的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.(2)若，求的取值范圍.19．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列橫線中，求解下列問(wèn)題．設(shè)集合_______，集合．(1)若集合B的子集有2個(gè)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2026屆高三一輪復(fù)習(xí)回歸教材版微專題——集合篇專題02集合的基本運(yùn)算回歸教材不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，而是要注意挖掘教材的典型例題習(xí)題的內(nèi)在價(jià)值，開(kāi)展變式教學(xué)，多維度拓展。本專題分兩部分：第一部分是回歸教材的例題及典型習(xí)題，并針對(duì)教材習(xí)題的開(kāi)展變式跟蹤訓(xùn)練，每道例題、習(xí)題配備了至少5到跟蹤訓(xùn)練試題，進(jìn)行多方位的測(cè)試；第二部分是針對(duì)本部分內(nèi)容的綜合測(cè)試卷，該資料對(duì)于鞏固學(xué)生的“四基”、提高學(xué)生的“四能”、落實(shí)考教銜接，可以起到事半功倍的效果?；貧w教材：考點(diǎn)1：并集的運(yùn)算1、人教A版（2019年）必修一P10頁(yè)例1：設(shè)，，求解：根據(jù)并集的定義可知.2、人教A版（2019年）必修一P10頁(yè)例2：設(shè)集合，集合，求.解：如圖，在數(shù)軸上把集合A、集合B的元素表示出來(lái)，根據(jù)并集的定義可知.方法總結(jié)：并集運(yùn)算基本步驟及注意事項(xiàng)1、基本步驟：（1）明確兩個(gè)集合元素；（2）合并所有元素；（3）去除重復(fù)元素，保留唯一元素組成新集合。2、注意事項(xiàng)：（1）元素不重復(fù)，遵循互異性；（2）空集與任何集合的并集是該集合本身；（3）用描述法時(shí)，準(zhǔn)確表述公共屬性；（4）可借助數(shù)軸（數(shù)集）或Venn圖直觀分析；（5）記準(zhǔn)符號(hào)“∪”，區(qū)分“或”的邏輯關(guān)系（元素屬于A或B）?！咀兪接?xùn)練1】若集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)并集的定義求解即可.【詳解】由，，則.故選：C.【變式訓(xùn)練2】已知集合,則（

）A．或 B．C． D．【答案】A【分析】先通過(guò)解不等式化簡(jiǎn)集合，再求兩集合的并集.【詳解】由，得，∴，；由，得，∴，.所以或．故選：A.【變式訓(xùn)練3】已知集合或，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得，解得即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得，?故選：D【變式訓(xùn)練4】已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，再結(jié)合集合的并集即可求解.【詳解】由又，所以可得集合，則，故C正確.故選：C.【變式訓(xùn)練5】已知集合，，若，則所有滿足條件的實(shí)數(shù)m組成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程先確定集合的元素，由，，逐一驗(yàn)證所有可能符合情況即可.【詳解】方程的兩根為或，.可能為(1)

時(shí)，，符合；(2)

時(shí)，，符合；(3)

時(shí)，，符合綜上，實(shí)數(shù)m組成的集合為，故選：D考點(diǎn)2：交集的運(yùn)算1、人教A版（2019年）必修一P12頁(yè)練習(xí)2：設(shè)，，求.【答案】.【分析】根據(jù)一元二次方程的解法分別求得集合，由并集和交集的定義直接得到結(jié)果.【詳解】，，。方法總結(jié)：交集運(yùn)算基本步驟及注意事項(xiàng)基本步驟：1.明確參與運(yùn)算的兩個(gè)集合A、B，清晰其元素構(gòu)成（如數(shù)集、點(diǎn)集等）；篩選同時(shí)滿足A和B屬性的元素，即“屬于A且屬于B”的元素；3.這些元素組成的集合即為A∩B。注意事項(xiàng)：1.強(qiáng)調(diào)“且”的邏輯，元素需同時(shí)符合兩集合條件；2.無(wú)公共元素時(shí)，；3.數(shù)集用數(shù)軸找重疊部分，點(diǎn)集聯(lián)立方程求公共解；4.符號(hào)為“∩”，避免與“∪”混淆；5.牢記A∩A=A，，若A?B則A∩B=A。【變式訓(xùn)練1】已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合集合中元素的性質(zhì)利用集合交集運(yùn)算直接求解即可.【詳解】因?yàn)榧媳硎酒鏀?shù)組成的集合，又，所以.【變式訓(xùn)練2】已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算可求解.【詳解】因?yàn)榧希?故選：A【變式訓(xùn)練3】已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出集合，，由交集的定義求解即可【詳解】由題可得：，，所以，故選：C【變式訓(xùn)練4】已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先確定集合，再由交集得到結(jié)論.【詳解】由可得，所以，則．【變式訓(xùn)練5】已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求解集合和集合，再根據(jù)交集的定義即可求出.【詳解】由題意得，可解得，，，可解得，又，，.故選：A．考點(diǎn)3：補(bǔ)集的運(yùn)算1、人教A版（2019年）必修一P13頁(yè)例5：設(shè)是小于9的正整數(shù)，，，求，.解：根據(jù)題意可知，，所以，.方法總結(jié)：補(bǔ)集運(yùn)算基本步驟及注意事項(xiàng)基本步驟：1.明確全集U（前提，含研究對(duì)象所有元素）；確定子集A（A?U）；3.找出U中所有不屬于A的元素，組成。注意事項(xiàng)：1.補(bǔ)集依賴全集，同一集合在不同全集中補(bǔ)集不同；2.與A無(wú)公共元素，且并集為U；3.全集的補(bǔ)集是空集，空集的補(bǔ)集是全集；4.符號(hào)“”中U可省略（默認(rèn)已知），勿與交集、并集符號(hào)混淆?！咀兪接?xùn)練1】已知全集，若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由補(bǔ)集的概念即可求解.【詳解】由題意，若集合，則.故選：C.【變式訓(xùn)練2】設(shè)全集，集合，若，則．【答案】4【分析】根據(jù)補(bǔ)集定義求出集合A，然后由韋達(dá)定理可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以和是方程的兩根，故，?jīng)檢驗(yàn)滿足題意.【變式訓(xùn)練3】已知全集，集合，則（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】利用補(bǔ)集的運(yùn)算進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，集合，則集合或.故選：A.【變式訓(xùn)練4】設(shè)全集，集合A滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全集及補(bǔ)集寫(xiě)出集合A即可.【詳解】由題知，由，得．故選：C【變式訓(xùn)練5】已知集合，，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)集合補(bǔ)集的運(yùn)算結(jié)果和集合元素的互異性，可求參數(shù).【詳解】因?yàn)椋?，解得?．當(dāng)時(shí)，，不滿足互異性，舍去；當(dāng)時(shí)，集合，此時(shí)，符合題意，故．故選：B考點(diǎn)4：交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算1、人教A版（2019年）必修一P14頁(yè)習(xí)題1.3第4題：已知集合，，求，，，.【詳解】因?yàn)?，，所?所以；因?yàn)椋?，所?所以；因?yàn)椋?，所以，所以；因?yàn)?，，所以，所?2、人教A版（2019年）必修一P14頁(yè)習(xí)題1.3第6題：已知全集，試求集合B.【答案】【解析】計(jì)算，根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】，，.故.方法總結(jié)：集合混合運(yùn)算注意事項(xiàng)：運(yùn)算順序：先括號(hào)內(nèi)，再補(bǔ)集，最后交、并（補(bǔ)集優(yōu)先于交并）。明確全集：補(bǔ)集依賴全集，需先確定或推斷全集范圍，避免混淆。邏輯對(duì)應(yīng)：交集為“且”，并集為“或”，補(bǔ)集為“非”，轉(zhuǎn)換需準(zhǔn)確。工具輔助：數(shù)集用數(shù)軸找區(qū)間，抽象集用Venn圖，直觀避錯(cuò)。特殊集合：關(guān)注?和全集運(yùn)算（如A∩?=?，?UU=?），及子集關(guān)系簡(jiǎn)化運(yùn)算。驗(yàn)證結(jié)果：檢查是否滿足互異性、補(bǔ)集與原集并集為全集等?！咀兪接?xùn)練1】（多選）已知全集，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算逐一判斷即可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由，得4，所以，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由于，故，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由于，故，故D錯(cuò)誤，故選：BC?！咀兪接?xùn)練2】（多選）已知全集，，，則（

）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】利用集合中交集、并集和補(bǔ)集的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算，即可解答.【詳解】因?yàn)椋?，所以，A項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，B項(xiàng)正確；又，所以，C項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，D項(xiàng)正確.故選：BCD.【變式訓(xùn)練3】（多選）已知全集，集合，集合，則（

）A． B．的子集個(gè)數(shù)為8C． D．【答案】BC【分析】利用集合的并補(bǔ)運(yùn)算判斷C、D，并判斷集合的包含關(guān)系及子集個(gè)數(shù)判斷A、B.【詳解】由題設(shè)且子集有個(gè)，B對(duì)，又，則，A、D錯(cuò)；由，則，C對(duì)；故選：BC【變式訓(xùn)練4】已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算逐一驗(yàn)證即可.【詳解】由題意有，，所以，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；又或，則，故C正確；又，，故D錯(cuò)誤.故選：C.【變式訓(xùn)練5】已知全集為不大于20的質(zhì)數(shù)}，是的兩個(gè)子集，且滿足，求集合和．【答案】【分析】方法一：由題意分析集合和集合中元素，對(duì)于不能確定的元素分情況討論即可得解；方法二：畫(huà)韋恩圖，把能確定的元素表示出來(lái)，逐步分析即可.【詳解】（方法一）由題意得，由得，且，由得，且，由得，且．下面討論11和13．情形一：，但，與矛盾．情形二：，但，與矛盾．情形三：，且，與矛盾．情形四：，且，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．同理可得，且．綜上可得．（方法二）結(jié)合韋恩圖（如圖），將條件，所涉及的元素填入，得．考點(diǎn)5：集合運(yùn)算中的分類討論思想1、人教A版（2019年）必修一P14頁(yè)習(xí)題1.3第5題：設(shè)集合，，求，．【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)且且時(shí)，所以，.方法總結(jié)：集合問(wèn)題中分類討論思想的應(yīng)用及注意事項(xiàng)應(yīng)用場(chǎng)景：1.含參數(shù)集合運(yùn)算（如方程、不等式解集），按參數(shù)取值（如系數(shù)為0、符號(hào)正負(fù)）分類，避免漏解；2.包含關(guān)系（A?B），分A=?與A≠?兩類，非空時(shí)再按元素特征細(xì)化；3.元素互異性驗(yàn)證，對(duì)可能相等的元素分情況討論，排除重復(fù)。注意事項(xiàng)：1.分類標(biāo)準(zhǔn)唯一，確保不重復(fù)、不遺漏；2.優(yōu)先處理空集、單元素集等特殊情況；3.每類結(jié)果需代入驗(yàn)證，滿足集合確定性、互異性及題設(shè)條件；4.同類解合并，矛盾解舍去，保證邏輯閉環(huán)。【變式訓(xùn)練1】（多選）設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)a的值可以是（

）A．0 B． C． D．3【答案】ABC【分析】解方程，寫(xiě)出集合A的所有元素，根據(jù)集合A和集合B的關(guān)系，分析集合B中的元素的可能情況，解出相應(yīng)的.【詳解】∵，又∵，∴所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)；時(shí)，此時(shí)不存在；綜上可得：實(shí)數(shù)a的值可以是，故選：ABC.【變式訓(xùn)練2】已知集合，，且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）.A．或 B．C．或 D．【答案】A【分析】先由得到，再分類討論，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，利用韋達(dá)定理得到，解得；當(dāng)時(shí)，利用韋達(dá)定理得到，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，根據(jù)韋達(dá)定理得到，解得；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A.【變式訓(xùn)練3】（多選）設(shè)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．集合的子集個(gè)數(shù)為4 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AB【分析】根據(jù)集合元素個(gè)數(shù)求子集個(gè)數(shù)判斷A，根據(jù)交集運(yùn)算結(jié)果求出參數(shù)范圍判斷BC，分類討論判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以集合的子集個(gè)數(shù)為，故A正確；當(dāng)時(shí)，，即，故B正確；當(dāng)時(shí)，，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，綜上，，故D錯(cuò)誤.故選：AB【變式訓(xùn)練4】設(shè)集合.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或；(2)【分析】（1）求出集合A，由給定交集的結(jié)果，求出a并驗(yàn)證得解.（2）由給定條件，可得，再利用集合的包含關(guān)系討論求解即得.【詳解】（1）依題意，，由，得，則，解得或，當(dāng)時(shí)，則，滿足；當(dāng)時(shí)，則，滿足，所以或.（2）由（1）可知，，，若，則，解得；若，則，無(wú)解；若，由（1）知；若，則，無(wú)解，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式訓(xùn)練5】已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求，；(2)若時(shí)，存在集合，使，求出所有的集合；(3)集合能否滿足？若能，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，；(2)，，，，，(3)能，?！痉治觥浚?）先求出集合，再根據(jù)并集，補(bǔ)集的定義求解即可；（2）由題設(shè)可得是非空集合，且是的真子集，進(jìn)而求解即可；（3）由題設(shè)可得，進(jìn)而分和討論求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，．（2）當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋?，因?yàn)椋ㄊ欠强占?，且是的真子集），，所以這樣的集合共有6個(gè)：，，，，，．（3）能，由，可得，若，此時(shí)由，可得；若，由（1）知，①當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，不是的一個(gè)子集，舍去；②當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，此時(shí)是的一個(gè)子集；③當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，此時(shí)是的一個(gè)子集．綜上可得，當(dāng)或時(shí)，滿足，此時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為．考點(diǎn)5：集合運(yùn)算中的數(shù)形結(jié)合思想1、人教A版（2019年）必修一P10頁(yè)例2：設(shè)集合，集合，求.解：如圖，在數(shù)軸上把集合A、集合B的元素表示出來(lái)，根據(jù)并集的定義可知.2、人教A版（2019年）必修一P13頁(yè)練習(xí)第3題：圖中U是全集，A，B是U的兩個(gè)子集，用陰影表示：（1）；（2）.【答案】（1）圖象見(jiàn)解析；（2）圖象見(jiàn)解析.【解析】根據(jù)補(bǔ)集、交集和并集的定義，利用圖表示出來(lái)即可.【詳解】如下圖陰影部分所示.方法總結(jié)集合問(wèn)題中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用及注意事項(xiàng)應(yīng)用范圍：1.數(shù)集運(yùn)算（如不等式解集）用數(shù)軸表示，直觀呈現(xiàn)交、并、補(bǔ)集的區(qū)間關(guān)系；2.抽象集合或有限集用Venn圖，清晰展示子集、交集、并集的包含關(guān)系；3.點(diǎn)集問(wèn)題（如坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)）借助坐標(biāo)系，將集合關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何圖形位置關(guān)系。注意事項(xiàng)：1.數(shù)軸標(biāo)注需準(zhǔn)確（端點(diǎn)實(shí)心/空心區(qū)分）；2.Venn圖需明確區(qū)域?qū)?yīng)關(guān)系，避免符號(hào)混淆；3.圖形僅輔助分析，最終結(jié)果需用集合語(yǔ)言規(guī)范表述；4.復(fù)雜集合需結(jié)合圖形特征提煉數(shù)量關(guān)系，防止直觀代替邏輯證明。【變式訓(xùn)練1】（多選）下圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】結(jié)合韋恩圖，利用交并補(bǔ)的定義表述即得.【詳解】由圖形可知，陰影部分用集合符號(hào)可以表示為或者.故選：AD.【變式訓(xùn)練2】（多選）設(shè)全集，集合，若，則（

）A． B．C．的真子集個(gè)數(shù)為32 D．【答案】AD【分析】由題意知，作出Venn圖，如圖，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由題意知，作出Venn圖，如圖．由圖可知，故A正確，B錯(cuò)誤；集合的真子集個(gè)數(shù)為，C錯(cuò)誤；，故，D正確.故選：AD【變式訓(xùn)練3】（多選）圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素，分析與集合、、的關(guān)系，利用集合的運(yùn)算關(guān)系，逐個(gè)分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得出結(jié)論.【詳解】如圖，在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素，則或，所以陰影部分所表示的集合為，再根據(jù)集合的運(yùn)算可知，陰影部分所表示的集合也可表示為，所以選項(xiàng)AD正確，選項(xiàng)BC不正確.故選：AD.【變式訓(xùn)練4】已知集合，集合，若全集，且，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算得到，利用數(shù)軸法表示集合間的包含關(guān)系，可直接得出結(jié)果.【詳解】由題意，，如圖所示，因?yàn)?，所?【變式訓(xùn)練5】設(shè)集合，，(1)若，求，；(2)若中只有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)條件得到，再利用集合的運(yùn)算即可求出結(jié)果；（2）由（1）知或，根據(jù)條件，借助數(shù)軸，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所以或，所以，．?）由（1）知或，又中只有一個(gè)整數(shù)，由圖知，，且，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．綜合測(cè)試：01集合的概念與集合間的基本關(guān)系測(cè)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合交集、補(bǔ)集的概念求解即可.【詳解】因?yàn)槿?，所以，又，所以?．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式求出集合，由交集定義即可求解.【詳解】由，得，解得或，由，得，由此解得，所以，又，故．3、已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖驗(yàn)證B，C，D選項(xiàng)，再解出集合，利用交集補(bǔ)集定義判斷A選項(xiàng).【詳解】由圖可知陰影部分所表示的集合為，故C正確，B，D錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，故A錯(cuò).故選：C.4、已知集合，，，則下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到中的元素為2的倍數(shù)，中的元素為3的倍數(shù)，中的元素為6的倍數(shù)，確定集合，，之間的包含關(guān)系，分別求出各選項(xiàng)中等號(hào)左邊的結(jié)果，即可進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)題意得到中的元素為2的倍數(shù)，中的元素為3的倍數(shù)，中的元素為6的倍數(shù)，所以，，，所以，，所以；，，故選項(xiàng)A，C，D正確；，例如，但，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：B.5．已知集合，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．0或1【答案】A【分析】由補(bǔ)集運(yùn)算直接求解即可.【詳解】由，且，可知，且，解得：，符合集合元素特性，故選：A6．已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，則集合（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件結(jié)合關(guān)系，求出，由此可求.【詳解】因?yàn)?，又，，所以，又，所以，故選：D.7．平面內(nèi)直線，可能有三種位置關(guān)系，即相交于一點(diǎn)?平行或重合，設(shè)平面內(nèi)直線，上的點(diǎn)的集合分別為，下列表述錯(cuò)誤的是（

）.A．直線，相交于一點(diǎn)可表示為B．直線，重合可表示為C．直線，平行可表示為；D．直線，相交于一點(diǎn)可表示為【答案】D【分析】根據(jù)直線間的位置關(guān)系和集合的運(yùn)算法則，逐一判斷選項(xiàng)即可求得結(jié)果.【詳解】平面內(nèi)直線，上的點(diǎn)的集合分別為，由集合間的運(yùn)算法則可知：直線，相交于一點(diǎn)可表示為，即A正確，若直線，重合，則可知，所以可表示為，即B正確；若直線，平行，則兩直線沒(méi)有交點(diǎn)，可表示為，即C正確；選項(xiàng)D中，的結(jié)果需表示成集合的形式，所以D錯(cuò)誤.故選：D8．已知集合，，若集合中恰好只有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先算出集合A中的整數(shù)，再分中的兩個(gè)整數(shù)是2，3和中的兩個(gè)整數(shù)是0，1兩種情況討論，分別得到不等式組，計(jì)算可得．【詳解】由題意，集合A中的整數(shù)為0，1，2，3．因?yàn)?，所以集合中至少?個(gè)整數(shù)，所以集合中的兩個(gè)整數(shù)只能為0，1或2，3．若集合中的兩個(gè)整數(shù)是2，3，則解得；若集合中的兩個(gè)整數(shù)是0，1，則解得．綜上可得，或，即的取值范圍是．故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知集合，，，，下列選項(xiàng)正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)集合中元素的特點(diǎn)可排除AC；分析兩直線的位置關(guān)系可判斷B的真假；根據(jù)集合元素的關(guān)系可判斷D的真假.【詳解】因?yàn)榧现械脑囟际怯行驅(qū)崝?shù)對(duì)（點(diǎn)），所以，的運(yùn)算結(jié)果均為點(diǎn)的集合，所以，都是錯(cuò)誤的，即AC錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)榉匠探M無(wú)解，所以正確，即B正確；對(duì)D：因?yàn)椋?，所以，故正確，即D正確.故選：BD10．已知集合，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．有2個(gè)子集 B．中任意兩個(gè)元素差的最小值為C． D．或【答案】ABD【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算及子集的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，所以有2個(gè)子集，故A正確；對(duì)于B，，則中任意兩個(gè)元素差的最小值為，故B正確；對(duì)于C，或，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，且，所以或，故D正確.故選：ABD.11．如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．C．D．【答案】ABC【分析】根據(jù)給定的韋恩圖理解新定義，再利用集合的交集、并集、補(bǔ)集及對(duì)稱差集進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，是偶?shù)，所以，故B正確；對(duì)于C，，，故正確；對(duì)于D，，，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．集合，，集合，若，則以下的取值滿足題意的是．【答案】【分析】根據(jù)集合運(yùn)算求出，再依據(jù)列式求解.【詳解】，，，則，又，，解得.13．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】或.【分析】由條件可得，，列方程，不等式求.【詳解】因?yàn)榈慕饧癁?，所以，又，所以，，所以，，所以，，解得?14．已知集合，，只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】由題可得方程在上只有1個(gè)解，據(jù)此可得答案.【詳解】因只有一個(gè)元素，則在上只有1個(gè)解..若判別式等于0，則或.當(dāng)時(shí)，易得方程解為，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，方程解為，滿足題意.若判別式大于0，得或.由韋達(dá)定理，兩根之積為2，兩根之和為，要使方程在上只有1個(gè)解，則滿足題意，且.綜上實(shí)數(shù)m的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．設(shè)集合，.(1)當(dāng)時(shí)，求，；(2)記，若集合的真子集有7個(gè)，求：所有實(shí)數(shù)的取值所構(gòu)成的集合.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由題意求出集合中方程的解，由中的元素根據(jù)交集、并集運(yùn)算即可求解；